Bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Trong chương trình môn toán THCS HS được tiếp cận chủ đề “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” ( gọi chung là giải bài toán bằng cách lập phương trình) ở chương trình toán lớp 8 và toán lớp 9. Các bài toán trong chủ đề chủ yếu thuộc dạng toán có lời văn. Giải các bài toán dạng này yêu cầu HS phải có kiến thức, khả năng phân tích tổng hợp, liên kết các đại lượng, lập thành phương trình, hệ phương trình để giải. Do đặc thù riêng của dạng toán này mà hầu hết các bài toán đều gắn với nội dung thực tiễn do đó đòi hỏi ở HS vốn kinh nghiệm, trải nghiệm thực tiễn. Tuy nhiên vốn trải nghệm thực tiễn của HS THCS còn ít nên khi giải toán HS thường gặp phải tình huống kết quả xa rời thực
32
tế, không phù hợp nhưng học sinh vẫn kết luận. Vì vậy nhiều HS gặp khó khăn khi giải dạng toán này.
Vai trò của việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ở trường phổ thông
Giải bài toán bằng cách lập phương trình góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục ở trường phổ thông: giải bài toán bằng cách lập phương trình là 1 trong những nội dung quan trọng của chương trình môn toán THCS. Do nội dung các bài toán thường gắn liền với thực tiễn nên khi học dạng toán này HS sẽ phần nào thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, sẽ thấy được tác dụng to lớn của toán học trong cuộc sống, đồng thời trở thành công cụ để người học học tập những môn học khác, bước đầu tiếp cận các lĩnh vực khoa học khác nhau, là công cụ để HS bước vào cuộc sống thực tiễn.
Ngoài ra giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình có điều kiện thực hiện mục tiêu rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ cho HS. Qua việc giải toán chủ đề này, HS được rèn luyện các thao tác trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa…các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo, khả năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác, rèn luyện khả năng, thói quen làm việc theo quy trình và tuân thủ những ràng buộc bắt buộc trong quy trình.
Góp phần giúp HS thấy được mối liên hệ gần gũi giữa toán học và thực tiễn, giữa toán học và các môn học khác: đặc trưng của dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là bài toán cho dưới dạng có lời
33
văn và có sự đan xen của nhiều ngôn ngữ khác nhau như ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý hóa học…do đó bài toán yêu cầu bản thân người học phải có vốn hiểu biết ít nhiều về ngôn ngữ, kiến thức các lĩnh vực khoa học khác nhau. Ngoài ra trong qua trình đi sâu giải bài toán, HS dần thấy được phạm vi, mối liên hệ giữa các lĩnh vực khoa học, làm tăng lượng thông tin vè mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, một trong những điều kiện để phát triển ở người học năng lực vận dụng toán học vào tực tiễn.
Góp phần tạo hứng thú học tập môn toán cho HS: qua việc giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình ngoài sự phấn khởi khi tìm ra kết quả đáp ứng yêu cầu của bài toán, HS còn nảy sinh hứng thú khát vọng về việc vận dụng liến thức toán học để giải quyết nhiều vấn dề thực tiễn hơn nữa. Ngoài ra qua việc giải bài toán thực tiễn, người học thấy được giá trị, cái hay cái đẹp của toán học trong thực tiễn (vật lý, sinh học, kinh tế…) từ đó mong muốn đem hiểu biết về toán học của bản thân để tìm hiểu sâu các vấn đề trong thực tế.
Ngoài ra chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình còn góp phần củng cố các kỹ năng thực hành, kỹ năng vận dụng toán học, rèn luyện phát triển văn hóa toán học cho HS.
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình được thực hiện đối với bài toán có lời văn mà trong giả thiết hoặc kết luận có chứa nội dung mang yếu tố thực tiễn. Giải các bài toán này thực chất là thực hiện việc vận dụng
34
kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong toán học để giải quyết một bài toán nảy sinh từ một tình hống nào đó trong thực tế. Nói một cách khái quát thì nó chính là phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình phải dựa vào quy tắc chung gồm các bước như sau:
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)
+ Chọn ẩn sổ ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn đó
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập phương trình( hệ phương trình) diễn đạt quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải sao cho ngắn gọn và hợp lý
Bước 3: Nhận định kết quả rồi trả lời câu hỏi bài toán
Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của nó ở bước 1 rồi kết luận và trả lời câu hỏi của bài toán.
Yêu cầu về giải một bài toán
35
- Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ: Trước tiên GV hướng dẫn HS hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn; rèn cho HS có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lý chưa.
- Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác: Đó là trong quá trình thực hiện từng bước có lô gíc chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý dến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình từ đó tìm được giá trị của ẩn. Muốn vậy cần cho HS hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện, có thể thoả mãn được điều kiện hay không, điều kiện có đủ để xác định được ẩn không? Từ đó xác định hướng đi, xây dựng được cách giải.
- Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện: Hướng dẫn học HS không được bỏ sót khả năng chi tiết nào. Không được thừa nhưng cũng không được thiếu.
Hướng dẫn học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng.
- Lời giải bài toán phải đơn giản: Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót. Có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số HS hiểu và thực hiện được.
36
- Lời giải phải trình bày khoa học: Hướng dẫn HS hiểu được mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước.
- Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên kiểm tra lại: Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần hướng dẫn cho HS có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai.
2. Các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Thực trạng của vấn đề
Dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là một dạng toán cơ bản. Dạng toán này không thể thiếu trong các bài kiểm tra chương cũng như trong các bài thi học kỳ môn tóan lớp 8 và lớp 9 nhưng đại đa số các em bị mất điểm và cũng có học sinh biết cách giải nhưng không đạt điểm tối đa vì:
- Đọc đề chưa kỹ, nắm bắt các dữ kiệc chưa đầy đủ - Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác
37
- Không biết dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình
Lời giải thiếu chặt chẽ
- Giải phương trình chưa đúng .
- Quên đối chiếu điều kiện hoặc thiếu đơn vị...
GV chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo HS yếu kém.
GV nghiên cứu về phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó. Trong quá trình giảng dạy nhiều GV trăn trở là làm thế nào để HS phân biệt được từng dạng và cách giải từng dạng đó.
Vì vậy nhiêm vụ của GV phải rèn cho HS kỹ năng giải các loại bài tập này tránh những sai lầm của HS hay mắc phải . Do đó, khi hướng dẫn HS giải loại toán này phải dựa trên các quy tắc chung là: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc về giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ của các đại lượng, từ đó HS tìm lời giải cho các bài toán.
Các dạng toán thường gặp
- Dạng toán số học: bài toán về số, tỷ lệ, phần trăm, diện tích, độ tuổi..
38
- Dạng toán chuyển động: một phương tiện đi, 2 phương tiện đi cùng chiều (ngược chiều), tàu (bè) đi ở sông, biển (toán dòng nước)…
- Dạng toán công việc, làm chung làm riêng,…
Các giai đoạn giải một bài toán
- Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán
- Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn.
- Giai đoạn 3: Lập phương trình. Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.
- Giai đoạn 4: Giải phương trình. Vận dụng các kỹ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình.
- Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán.
- Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho HS tương đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý HS biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách: Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác.
39
Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác. Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
Các biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa Toán học ở học sinh trong chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
Thứ nhất: Tạo hứng thú cho người học thông qua việc chỉ ra tác dụng của các kiến thức toán học khi giải quyết các tình huống thực tiễn xung quanh. Hứng thú là một thuộc tính tâm lí - nhân cách của con người. Hứng thú có vai trò rất quan trọng trong học tập và làm việc, không có việc gì người ta không làm được dưới ảnh hưởng của hứng thú. M.Gorki từng nói: Thiên tài nảy nở từ tình yêu đối với công việc. Cùng với tự giác, hứng thú làm nên tính tích cực nhận thức, giúp HS học tập đạt kết quả cao, có khả năng khơi dậy mạch nguồn của sự sáng tạo.
Tạo hứng thú học tập bằng cách làm cho HS nhận thức được mục tiêu, lợi ích của bài học: Hứng thú là một thuộc tính tâm lí mang tính đặc thù cá nhân. Hứng thú có tính lựa chọn. Đối tượng của hứng thú chỉ là những cái cần thiết, có giá trị, có sức hấp dẫn với cá nhân. Vậy vấn đề gì thu hút sự quan tâm, chú ý tìm hiểu của các em? Trả lời được câu hỏi này nghĩa là người GV đã sống cùng với đời sống tinh thần của các em, biến đổi những nhiệm vụ học tập khô khan phù hợp với những mong muốn, nhu cầu, sở thích, nguyện vọng (tất nhiên là phải tích cực, chính đáng) của HS.
Trong việc dạy học bài toán bằng cách giải phương trình và hệ phương trình, để tạo hứng thú cho HS, GV cần chỉ ra tác dụng của việc học dạng toán này:
40
- Học dạng toán này chúng ta được tiếp xúc với các tình huống có trong thực tế như: hai xe đi ngược chiều gặp nhau; tàu bè đi xuôi, ngược dòng nước; diện tích mảnh đất (ruộng, nền nhà…) khi thay đổi các kích thước; bài toán về công việc hai đội làm chung làm riêng;…
- Chúng ta sẽ giải quyết được một số tình huống xảy ra trong thực tế mà trước kia chúng ta chưa biết cách giải quyết như:
+ Nếu bạn A và bạn B cùng tham gia giao thông, hai bạn đi ngược chiều, xuất phát ở hai đầu quãng đường và ở hai thời điểm khác nhau, thì ta có thể biết được thời điểm hai bạn gặp nhau trên đường
+ Nếu bạn A và bạn B cùng làm một công việc cô giáo giao trong một thời gian nào đó thì hoàn thành, khi đó ta có thể tính được thời gian hoàn thành công việc của mỗi bạn nếu làm một mình.
+ Ta có thể tính được các kích thước (dài, rộng) của nền nhà nếu cho biết một số yêu cầu về diện tích của nền nhà đó.
- Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra quan trọng như: kiểm tra học kỳ, kỳ thi vào lớp 10…và số điểm dành cho một bài toán dạng này trong đề thi khá cao: từ 2 đến 2,5 điểm. Chính vì vậy, cần làm thành thạo dạng toán này để góp phần đạt điểm số cao trong bài thi.
Thứ hai: kiểm tra khả năng MHHTH ở người học thông qua hệ thống câu hỏi, hoặc các bài kiểm tra
41
Tác dụng: để đánh giá chất lượng HS:
- Dự đoán những điểm mạnh và điểm yếu của HS để GV tránh giảng dạy lại hoặc giảng dạy quá kỹ những điều HS đã biết và GV có cơ hội giúp HS khắc phục những yếu kém của HS;
- Giám sát quá trình tiến bộ của HS và giúp GV thấy được sự tiến bộ đó có tương xứng với mục tiêu đã đề ra hay không;
- Giúp GV có cơ sở cho điểm hay xếp loại HS;
*Cụ thể:
Các câu hỏi có thể đưa ra khi nghiên cứu một bài toán cần phù hợp với quy trình mô hình hóa toán học:
+ Yêu cầu HS đọc đề và nhận định dạng toán (số, diện tích, quãng đường, làm chung làm riêng…)
+ Đưa ra các câu hỏi phù hợp ở từng dạng như:
Số, diện tích:
Số và chữ số khác nhau ở đâu?
Bình phương của tổng hai số a và b và tổng bình phương của hai số a và b khác nhau thế nào?
Diện tích hình chữ nhật, diện tích tam giác tính như thế nào?
Chiều dài tăng thêm a (m) và tăng gấp a lần khác nhau thế nào?
42
Chiều dài giảm đi b(m) và giảm b lần khác nhau thế nào?
Quãng đường:
Cano đi ngược dòng sông, đi xuôi dòng sông là như thế nào?
Hai xe đi ngược chiều, cùng xuất phát 1 thời điểm, gặp nhau thì thời gian đi của 2 xe và quãng đường có gì đặc biệt?
Nếu xe đang đi trên đường gặp sự cố phải dừng lại trong một thời gian nhất định thì thời gian đi cả quãng đường phải thay đổi như thế nào?
Năng suất,làm chung làm riêng:
Sản phẩm làm được trong đợt sau vượt mức a% so với đợt trước nghĩa là thế nào?
Mỗi giờ, công nhân làm tăng a sản phẩm so với quy định thì năng suất hay sản phẩm thay đổi?
Công nhân làm đươc m/n công việc, hay làm đước a% công việc tức là lượng công việc làm được là bao nhiêu?
+Sau đó yêu cầu HS gạch chân các từ ngữ để xác định các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán để đi lập phương trình hoặc hệ phương trình (tùy theo số ẩn đã gọi)
+Sau khi lập phương trình xong thì yêu cầu HS nêu hướng giải phương trình và điều kiện nhận nghiệm.