CỘT VÀ CẤU KIỆN CHỊU NÉN
III. SỤ OẰN BÊN KÈM XOẮN
M ômen quán tính của tiết diện dầm đối với trục chính lớn luôn luôn lớn hơn nhiều so với trục nhỏ. Do đó, dầm thường khá yếu khi chịu xoắn và chịu uốn quanh trục nhỏ. Nó dễ bị mất ổn định khi chịu tải trọng. Sự m ất ổn định thường xảy ra dưới dạng uốn sang bên và kèm theo xoắn. Hiện tượng này được gọi là oằn bền do xoắn hoặc gọi tắt là oằn bên (hình 4-3).
Hình 4-3. Sự oằn bên kèm xoắn của dầm l
1- C ông thứ c ch u n g . M ômen uốn lúc bắt đầu có oằn ngang là m ôm en tới hạn. G iá trị mômen tới hạn được cho bới công thức kinh điển quen biết :
M c r = C „ . ^ - E l , G J , + ~ y E I yE C w (4-17) Trong công thức này :
L = chiều dài tự do giữa các giằng bên (còn gọi là chiều dài không giằng).
JT = hằng số xoắn cúa tiết diện. Nếu tiết diện bao gồm các phần tử chữ nhật, J, có thể tính bằng tổng của mỗi phần tử : Jị = Z b t3/3 ;
G = môđun đàn hồi cắt của vật liêu : G = --- (u : hê sổ Poisson)E 2(1+m)
Cw = hằng số vênh của tiết diện. Với tiết diện I, Cw được tính bằng : Cw = I fh 2/ 2 , trong đó Ir là m ôm en quán tính của một cánh đối với trục y-y của tiết diện.
Cb = hệ số điều chỉnh do sự biến đổi của mômen dợc chiều dài dầm.
Úng suất uốn tới hạn là : M
F c r = V L (4-18)
Đ ối với tiết diện thấp và cánh dày, cường độ chịu xoắn là quyết định (do vậy gọi là tiết diện khoẻ chịu xoắn), ta có thể bỏ qua số hạng thứ hai trong công thức của Mcr, ứng suất tới hạn sẽ là :
M Tt^EIyGÌ,"
^ c r - b
Sx LSX
Thay các đặc trưng hình học của liếl diện bằng Gấc giẫ trị gần ớúng của chúng :
T _ 2tb3 2 b t’ / 2bt(d/2)2
Iv = — - ; J,= — — (chỉ xét hai cánh) ; Sx = — —— — = btd ;
y 12 3 x d / 2
Trong đó: b = bề rộng cánh, t = bề dày cánh, d = bể cao dầm , và A f = bt _ 0,21Cb7tE __ 2Q000Cb
c r“ (Ld/Af ) ~ (Ld/A f )
Vì Fcr không được vượt quá Fy, chiều dài không giằng lớn nhất L để đảm bảo ổn định bên của dầm là :
20000Ch , . .. , . . , . , L = --- hoăc nêu lây c b thiên vé a.n Coàn băng 1 :
(Fyd/Af )
Fyd/A f
Đối với tiết diện cao, cánh và bụng móng, cường độ chịu uốn dọc của cánh là quyết định (còn gọi là tiết diện kém chịu xoắn), có thể bỏ qua sô' hạng đầu trong công thức M cr và ứng suất uốn tới hạn là :
Mcr _ Ch(7t/L) ^ E l yGC,
Fcr s x s,
Thay c = — — và Jv= Arv , c b = 1 và điều kiện F < F :J.,d
L/ry = yj(n2E/2Fy) (dA /Sx )
Cho dA /Sx m ột giá trị thấp là 1,5, lấy E = 29000 ksi và dùng kết quả thí nghiệm để chỉnh sửa tỉ số L/rv ta được :
L _ 300
Lấy gần đúng rv bằng 0,25b, cuối cùng được : L < 76b
&
(4-20) Quy phạm AISC/ASD quy định : đối với tiết diện được coi là đặc và được thiết k ế theo F b = 0,66Fy, chiều dài không giằng (tức là khoảng cách giữa các tựa đỡ ngang) không được vượt quá giá trị nhỏ hơn trong hai giá trị sau đây của Lc :
20000 Fyd/A | Lc < 76b
n/Ĩv
(4-21)
(4-22)
2. Dầm với L > Lc. Trong các trường hợp này, có thể đạt được ứng suất chảy tại thớ biên trước khi dầm bị oằn ngang. K hả nãng chịu m ôm en là M y = FyS, nhưng không thể đạt được m ôm en dẻo M p = FyZ. ú n g suất cho phép là 0,6 Fy. ú n g suất uốn tới hạn được xác định theo các phương trình (4-17) và (4-18). Thay các đạc trưng hình học cua tiết diện bới các giá trị gần đúng của chúng và lấy G = E/2,6, ta được công thức làm tròn sau đây:
F = 3E \ 2 í
+ 14E \2
Nếu bỏ qua số hạng thứ hai, ta được
3E 0,66E
F =cr
Ld/r tị L d /A f
( L / r y) :
(do lấy r = 0,22bf, Af = b,tf)
(4-23)
Lấy E = 29000 ksi, chia cho FS = 1,67 và thêm hệ số c b, cuối cùng được ứng suất cho phép ià :
12000Cị, (4_24) b Ld/Af
Nếu bỏ qua số hạng thứ nhất, ta được
= 14E cr" (ry/L)2
Vì chí có cánh nén là làm việc chịu uốn dọc nên bán kính quán tính chỉ nên lấy là của cánh nén và phần bụng lân cận. AISC đề xuất kí hiệu rT cho phần tiết diện này, được xác định là "bán kính quán tính của tiết diện gồm cánh nén cộng m ột phần ba của diện tích bụng nén, lấy đối với trục nằm trong mật pháng của bụng dầm ". rT có thể lấy gần đúng bằng 1,2 ry. Thay rT vào công thức trên, ta nhận được một công thức ứng suất tới hạn rất giống như công thức Euler của cấu kiện nén khi oằn đàn hổi :
F c r =
n2E
(L/rT)2 (4-25)
Trường hợp oằn đàn hồi xảy ra với giá trị lớn của L/ĩỵ, và cồng thức (4-25) được dùng làm cơ sở thiết kế. Chia cả hai vế cho FS = 1,67 và đưa thêm hệ số Cị, xét sự biến đổi của m ôm en, ta được :
F Tt ECb
Fb = ô = - hoảc ẽần đỳng là FS l,6 7 ( L /r r )
170x 103Cb r b - /T , \ 2
(L/r.r)' (4-26)
Trường hợp oằn không đàn hồi, ứng suất oằn lớn hiơn F y/2 được lấy theo đường parabol của SSRC (xem phương trình 3-4) :
2 F = F„
1 cr 1 y
4n2E
L Ỵ V rT
ứng suất cho phép được lấy bẳng 2/3 của Fcr, tức là bằng (thêm hệ số Cb)
F b = F y
' ' L ' 2 3 4n 2ECb y V r T
Thảy giá trị E và điều chỉnh một vài hệ số, công thức cuối cùng của AISC trở thành : Fb =
2 Fv(L/rT)2
530 X 1 03c, (4-27)
Giá trị L/rT ứng với sự chuyển tiếp giữa oằn đàn hồi và không đàn hồi được tìm bằng cách cho bằng nhau các ứng suất cho phép trong các công thức (4-26) và (4-2 7 ):
.2
Fb = F y 2 Fy(L/rT)‘
3 1530 X 103c b
_170000 c b (L/rx )2 từ đây rút ra :
L 510x10 c,
(4-28) Có thể xác định chiếu dài không giằng lớn nhất Lu để cho dầm có thể đạt được M y trước khi bị oằn bén bằng cách cho các ứng suất cho phép trong (4-24) và (4-27) bằng với Fh = 0,6 F,
n _ 12000Cb _ 20000
0,6 Fv = --- —— - p -ằ L = - ——— -ằ L.. = - - (Cu = 1 theo AISC) Ld/A f u (d/A f )Fy
0.6 Fy = Fy 2 Fy(L/rT)2
3 1530 X 103Ci —^ L.. — t. 102x 10 c ,
(4-29)
(4-30)
Trong hai giá trị này, lấy giá trị lớn hơn làm L u.
Tóm tắt giá trị của ứng suất cho phép tuỳ thuộc chiều dài không giằng L là như sau : 1) Khi L không vượt quá giá trị nhỏ hơn của :
20000 , _ 76bf
_ — . _
(d/A f)Fy ỰĨỤ
thì F b = 0,66 Fy (Công thức ( F 1-1) và (F l-2 ) của AISC/ASD) 2) Khi L không vượt quá giá trị lớn hơn của :
20000
(4-21) và (4-22)
L = r. 102x 10 c ,
hay L u =
(d /A f )Fv
thì Fh = 0,60 F v.
(4-29) và (4-30)
(AISC/ASD F 1 -5) 3) Khi L vượt quá L u nhưng nhỏ hơn rT ^ - - — , giá trị lớn hơn của hai giá trị F b sau sẽ là ứng suất cho phép :
Fb =
2 Fy( L /r T):
3 1530x 10 c, Fy < 0,6Fy (4-27) (AISC/ASD F l-6 )
= 1 2 x l0 ì Cb < 0,6FV (4-24) (AISC/ASD F l-8 )
Ld/Af y
4) Khi L vươt quá rT r * - X^ , ứng suất cho phép F b là giá tri lớn hơn trong hai
V Fằ
giá trị của (4-24) và (4-26)
= 12x,10X < 0_6F (4.24) (AISC/ASD F l-8 )
Ld/A,
Fb = 1 7 0 - x - 3f i < 0,6F (4-26) (AISC/ASD F l-7 ) (L/rT)
G iá trị của Cb được xác định từ phương trình : ị M|
+ 0,3 í M 1 N 2
+ 1,05 < —
l M2 / V ^ 2 ) .3
tro n g đó M, là mômen uốn nhỏ hơn và Mj là mômen uốn lơn hơn của hai đầu đoạn khtông giằng, lấy đối với trục khoé của cấu kiện. Tỉ sô' Mị / M^ 11 à dương khi M Ũ! VI2 có cù n g dấu và là âm khi chúng khác dấu. Khi mômen uốn tại miột điểm bât kì hên trong (loạn không giằng là lớn hơn các mômen ở hai đầu của đoạm không giằng thì Cb được lấy bằng đơn vị. Nếu nhịp có nhiều điểm giằng ngang cách đềiu nhau thì giá trị c b được cho irong bảng sau, đối với dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều.
Vị trí các giằng trung gian c b
Không có giằng 1,0
Tại giữa nhịp 1,75
Tại phần ba nhịp 1,0
Tại phần tư nhịp 1,13
Tại phần năm nhịp 1,0
Tại phẩn sáu nhịp
... 1,05
T h í dụ 4-2. Chọn tiết diện thép hình w của dầm đơn giản nhịp 9 m, có các giằng bên dầ'y đú, để mang ũnh tải 750 daN/m. hoạt tải 2250 daN/m. Dun# thép A36
Giả thiết trọng lươn” ban thân dầm là 100 daN/m. Tổng tái tirọng : 750 + 2250 + 100 = 3100 daN/m = 3.1 kN/m
3 1 X 9 2
M ômen uốn : M = — = 3 1 3 ,8 7 kNm.
8
Giả thiết tiết diện là đặc và được giằng đầy đủ nên
Fb = 0,66FV = 0,66 X 36 X 0,6895 = 16,38 kN / cm 2 M ôđun tiết diện cần t h iế t:
s = 313,87 = 1915 cm 3 = 116,86 in3 (Chú ý: 1 in3 = 16,387 cm 3) 16,38
Chọn tiết diện w 21x62, môđun tiết diện là 127 in3. Trọng lượng 62 lb/ft = 92 daN/m, gần với trọng lượng đã giả thiết.
Kiểm tra điếu kiện tiết diện đặc
= 6 , 7 < 4 ì . = ^ = 10,8
^ 6
. . . 640 6 4 Ọ = 1 0 6
bf 8,24
2tf 0,615
d 21
tw 0,4
&
Vậy tiết diện là đặc.
Chọn giằng bên để đảm bảo điều kiện tiết diện đặc. Khoảng cách các giằng là giá trị nhỏ hơn trong hai giá trị Lc sau đây :
_ = --- --- _ in>
_ 20000 _ 20000
'c _ Fvd /A f ~ 3 6 [2 1/(8,24x0,615)]
- 76b 7 6 x 8 ,2 4 tr.A ._ 1' ' Lc < — — = — ——---- = 104 in = 264 cm, là quyết đinh.
Fy 6
Dùng 3 giằng trung gian cách nhau 2,25 m.
T h í dụ 4-3. Kiểm tra tiết diện W21 X 44 của dầm đơn giản nhịp 9 m, có các giằng trung gian, chịu tải trọng tĩnh 750 daN /m , hoạt tải 2250 daN /m . Dùng thép A572 cấp 65
Trọng lượng bản thân của dầm 44 lb/ft = 65 daN/m. Tổng tải trọng : 750 + 2250 + 65 = 3065 daN /m = 30,65 kN/m
30,65 x 9 2
M = ---—--- = 310,33 kNm.
8
Trước hết, giả thiết tiết diện là đặc và có đủ giằng, nên
F b = 0,66F = 0,66 X 65 X 0,6895 = 29,58 kN / cm 2
310,33 Môđun tiết diện cần thiết :
s = = 1049 cmJ = 64 in3 (Chú ý : 1 inJ = 16,387 cm J)•3
29,58
Tiết diện thực tế có s = 81,6 in3, thừa đứ. Tiết diện là đặc v ì :
bf 6,5
=12 <
d_
t,„
0,45 20,66
0,35 = 59 <
65 _ 65 V65 640 _ 640
= 765
= 8,06
= 79,36
ứng suất uốn :
31,033 _ 2 3 2 < 0 ^6 _ a 6 x 65 x 0 ^6895 _ 2 6 ^6 kN/cm2 (81,6x16,387)
nhó hơn ứng suất cho phép đối với tiết diện không đặc. Do đó chỉ cần giằng sao cho đạt được ứng suất cho phép theo các công thức (4-24) và (4-27).
Thử dùng 3 giầng cách nhau 2,25m. Hệ sô c h = 1,13. Tiết điộn W 21x44 có rT = l,57in, 225
, . L ti sô — =
1,57 x 2 ,5 4 = 56,4.
Tỉ số này lớn hơn
ì
nhưng nhỏ hơn
102000C b _ 102000x1,13
65 = 42,
5 IOOOOCkb_ _ /510000x1,13
í 65 = 94.
Vậy ứng suất cho phép là giá trị lớn hơn trong hai giá trị (4-24) và (4-27) : Fb = Fy 2 Fy(L/rTr
3 1530 X 103c,
= 65 2 65 X 56,4
3 153'0x 103 X 1,13 - 35,56ksi
= 24,52 kN/cm'
„ _ 12000Cb
r k = --- 12000x1,13
Ld/A f 625
Ld 225 20,66
= 21,6ksi
Trong đó: — = — — X --- — —
Af 2,54 6.5x0.45
= 625
Fb = 24,52 < fb = 23,2 kN /cm 2 Tiết diện đủ chịu lực.