Phần lớn các công thức tính dòng trầm trích được tổng quan ở đây đã được trình bày kĩ trong các tài liệu về vận chuyển trầm tích (sông). Chúng ta sẽ không lặp lại các trình bày đó nữa mà chỉ qua đó dẫn dắt đến các ứng dụng cho đới bờ.
Một trong những công thức hiện đại được đưa ra sớm nhất là công thức Kalinske-Frijlik do Frijlink (1952) đưa ra trên cơ sở số liệu quan trắc và các luận
điểm của Kalinske (1947). Trong dạng tiện dụng nhất, công thức của Kalinske- Frijlik đối với kênh có bề rộng đơn vị có dạng:
V g C
C BDV
Sb 2D
2
27 , 0
exp (19.01)
trong đó:
B là một hệ số không thứ nguyên, phụ thuộc vào thứ nguyên của dòng trầm tÝch;
C là hệ số Chezy;
D kích thước trung bình của hạt trầm tích;
V vận tốc trung bình dòng ổn định;
hệ số ‘sóng đáy’;
mật độ tương đối của trầm tích, được xác định theo công thức sau:
s (19.02)
trong đó s là mật độ của các trầm tích và là mật độ nước.
Trong công thức này giá trị của hệ số B thường có thế lấy bằng 5. Bijker (1967) khác với Frijlink không đưa tham số sóng đáy, , vào phần đầu của phương trình. Tham số thực nghiệm này cho ta ảnh hưởng của dạng gồ ghề đáy lên dòng trầm tích đáy; độ nhám thực tế, r, vẫn có mặt trong dạng ẩn ở số Chezy.
Mối tương quan giữa phương trình 19.01 và chuyển động của vật liệu đáy có thể được thể hiện một cách thông thường hơn bằng cách thay thế một số tham số.
Hệ số Chezy được viết trong dạng phụ thuộc vào ứng suất đáy như sau:
c
g V C
2 2
(19.03) trong đó c là ứng suất đáy. Số hạng chứa hàm mũ e trong công thức (19.01) chuyển về dạng sau:
c
g 27 D , 0
exp (19.04)
số hạng này thường được gọi là “tham số cơ bản” trong công thức của Kalinske- Frijlink. Cần nói thêm rằng đại lượng này không có thứ nguyên.
Phần còn lại trong công thức (19.01):
C g
BDV (19.05)
được gọi là “tham số vận tải” vì có thứ nguyên thể tích trên một đơn vị độ rộng và một đơn vị thời gian.
Một cách giải thích ý nghĩa vật lí của sự hiện diện tham số không thứ nguyên C
g trong tham số vận tải căn cứ trên cơ sở cho rằng dòng trầm tích đáy phụ thuộc vào vận tốc gần đáy, và
C V g
v (19.06)
là giá trị vận tốc tại độ cao z’:
e z
z'' ''0 (19.07)
như trong mục 15.2. Như vậy, V* có thể đặc trưng cho vận tốc gần đáy trong lớp mà vận chuyển trầm tích đáy có vai trò chính. Độ nhám đáy, r, gây ảnh hưởng tới vận tốc này thông qua ảnh hưởng của C:
r C 12h
lg 18
(19.08)
trong đó h là độ sâu nước.
Công thức Kalinske - Frijlink được phát triển và ứng dụng cho tính toán dòng di đáy cho lòng sông khi phần lớn vận chuyển trầm tích tập trung trong một đới hẹp gần đáy- vận chuyển đáy. Trong công thức này đã không chú ý tới ảnh hưởng của vận chuyển các chất lơ lửng. Tuy nhiên dọc theo bãi chúng ta có thể thấy rối phát triển mạnh trong đới sóng đổ nên đã dẫn đến một lượng cát đáng kể ở trong dạng lơ lửng, như vậy chúng ta không thể bỏ qua dòng vận chuyển lơ lửng trong
đới sát bờ này.
Einstein (1950) đã đưa ra một hướng giải quyết cho các sông có cả dòng vật chất lơ lửng Ss lẫn dòng di đáy Sb. Cách tiếp cận của Einstein cũng dựa trên cách cơ bản đã được trình bày trong chương 9 thông qua dòng vận chuyển tổng cộng:
h
dz z V z c S
0
' ) ' ( ) '
( (19.09)
trong đó: c(z’) là nồng độ trầm tích trên độ cao z’, và V(z’) là vận tốc ngang trên cùng độ cao.
Enstein đã chia dòng tổng cộng ra hai phần: dòng vận chuyển đáy tồn tại trong lớp có độ dày a, gần đáy:
a
b c z V z dz
S
0
' ) ' ( ) '
( (19.10)
và dòng lơ lửng:
h a
s c z V z dz
S ( ') ( ') ' (19.11)
Einstein (1950) đã sử dụng lý thuyết phân bố vận tốc logarit Prandtl-Von Karman- xem mục 15.2- để tính V(z’). Nồng độ vật chất được tính theo phương trình khuyếch tán đã được biến đổi có chú ý tới ảnh hưởng của trọng lực lên các phần tử vật chất:
' 0 ) ' ) (
'
(
dz z z dc
Wc z (19.12)
trong đó W là vận tốc thăng giáng của các phần tử vật chất trong nước, z là hệ số khuyếch tán (nhớt rối).
Vận tốc thăng giáng (lắng đọng) W là một đại lượng rất khó xác định. Sau
đây là các mối tương quan thực nghiệm theo kết quả quan trắc đối với cát trong nước sạch theo nhiệt độ cố định. Các công thức này áp dụng chủ yếu cho đường kính trầm tích trung bình, D50, biến đổi từ 50 đến 300 m.
Khi nhiệt độ nằm trong khoảng 18C ta có
lg 2 2,4113lg 3,7394 4949
. 1 0
lg D50 D50
W
và đối với 10C
lg 2,1795lg 3,1915 47584
. 1 0
lg D50 2 D50
W
Hệ số khuyếch tán có thể sử dụng các biến tương tự như đối với lớp biên logarit. Kết quả cho thấy z là một hàm của z’ :
h
z z h v
z
' '
*
(19.13)
trong đó là hệ số Karman = 0,4. Thay (19.13) vào (19.12) và giải phương trình tìm c(z’), ta thu được công thức biến đổi nồng độ vật chất
z a h
a z
z b h c z
c *
' ) ' ( ) '
(
(19.14)
trong đó c(b) nồng độ tại một độ cao lựa chọn z’=b so với đáy, và z* là tham số phi thứ nguyên.
V z W
*
* (19.15)
Bằng việc lấy b là độ cao của lớp sát đáy, tại mặt phân cách giữa lớp vận chuyển đáy và lớp lơ lửng, (z=a), kết hợp các phương trình (19.14) và 15.04 trong (19.11) ta cã
h a
S dz
z v z z a h
a z
z a h
S c ' '
' ln ) '
( '
0
* *
(19.16)
Einstein đã xác định nồng độ c(a) từ công thức tính dòng di đáy do tác giả tự
đề xuất. Như sẽ được trình bày muộn hơn, Bijker (1968) đã áp dụng cùng nguyên lí này, nhưng với công thức tính vận chuyển đáy của Frijlink-Kalinske.
Tiếp đến Einstein đã giải tích phân (19.16) thông qua hai thành phần bằng hai tích phân khác nhau. Điều này dẫn đến công thức tính dòng vận chuyển lơ
lửng có dạng sau đây:
I
r I h a
SS cac 1 2
ln33 ) ( 6 ,
11
(19.17)
trong đó:
1 *
* )
*1 ( 1
1 ) 1 ( 216 , 0
A
d z A z
A z
I
(19.18)
1 *
* )
*1 (
2 1 ln( )
) 1 ( 216 , 0
A
d z A z
A z
I
(19.19)
với A là một đại lượng phi thứ nguyên của độ gồ ghề, A = r/h, và
là đại lượng phi thứ nguyên của mực nước, = z’/h.
Einstein (1950) đã đưa ra các toán đồ và bảng số của hai tích phân I1 và I2 đối với các giá trị khác nhau của z* và A. Sau này các nhà nghiên cứu – Bakker và Bogaard (1977)- đã đưa ra đánh giá toàn bộ số hạng trong dấu ngoặc vuông của phương trình 19.17, khác với việc đánh giá riêng rẽ các thành phần I1 và I2 trước
đây. Giá trị của thành phần này:
I
r I h
Q 1 33 2
ln (19.20)
được thể hiện trong bảng 19.1 như là một hàm của A và z*
(ý nghĩa của các tham số khác vừa dẫn ra sẽ được giải thích kĩ hơn sau này).
Hình 19.1 cho ta ví dụ về một đường phân bố nồng độ, c(z’) đối với z*=1, r = a
= 0,06 m và h=3m. Đồng thời cũng dẫn ra đường phân bố vận tốc theo logarit và dòng trầm tích tổng cộng. Tất cả ba đường phân bố này đã được đưa về dạng phi thứ nguyên bằng cách chia cho các tham số tương ứng được dẫn ra trên các trục của đồ thị.
Hình 19.1 Ví dụ về phân bố nồng độ, vận tốc và vận chuyển trầm tích
Nhiều nhà nghiên cứu khác đã đưa ra công thức tính dòng trầm tích.
Englund và Hansen (1967) đã đưa ra công thức sau trên cơ sở quan trắc trên sông:
g D V C
S c
2 50 2 / 5 2
2
05 , 0
(19.21)
trong đó: D50 là kích thước hạt vượt qua 50% (theo trọng lượng) của mẫu vật liệu đáy, và S là vận chuyển trầm tích tổng cộng- tổng của vận chuyển đáy và vận chuyển lơ lửng.
Bảng 19.1 Các giá trị của tích phân Einstein
r/h z* = 0 z* = 0,20 z* = 0,40 z* = 0,60 z* = 0,80
Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb
1.10-5 3,03.105 5,54.105 5,54.105 3,28.104 6,00.104 6,00.105 3,88.103 7,10.103 7,10.103 527, 964, 965, 88,0 161, 162, 2.10-5 1,44.104 2,63.105 2,63.105 1,79.104 3,27.104 3,27.104 2,43.103 4,44.103 4,44.103 377 689, 690, 71,6 131, 132, 5.10-5 5,36.104 9,80.104 9,80.104 7,98.103 1,46.104 1,46.104 1,3.103 2,37.103 2,37.103 239 438, 439, 53,6 98,0 99,0 1.10-4 2,53.104 4,63.104 4,63.104 4,32.103 7,90.103 7,90.103 803 1,47.103 1,47.103 169 310 311 42,7 78,2 79,2 2.10-4 1,19.104 2,18.104 2,18.104 2,33.103 4,26.103 4,26.103 496 907 908 119 218 219 33,9 62,0 63,0 5.10-4 4,36.103 7,93.103 7,98.103 1,02.103 1,87.103 1,87.103 260 475 476 74,3 136 137 24,6 45,0 46,0 1.10-3 2,03.103 3,72.103 3,72.103 545 998 999 158 290 291 51,2 93,7 94,7 19,1 34,9 35,9
2.10-3 940 1,72.103 1,72.103 289 529 530 95,6 175 176 35,1 64,2 65,2 14,6 26,7 27,7
5.10-3 336 615 616 123 226 227 48,5 88,7 89,7 20,8 38,1 39,1 10,0 18,3 19,3
0,01 153 280 281 63,9 117 118 28,6 52,3 53,3 13,8 25,2 26,2 7,32 13,4 14,4
0,02 68,9 126 127 32,8 60 61 16,5 30,2 31,2 8,91 16,3 17,3 5,21 9,54 10,5
0,05 23,2 42,4 43,4 13,1 24 25 7,70 14,1 15,1 4,78 8,74 9,74 3,13 5,73 6,73
0,10 9,84 18,0 19,0 6,28 11,5 12,5 4,12 7,54 8,54 2,81 5,14 6,14 1,99 3,64 4,64
0,20 3,90 7,13 8,13 2,80 5,13 6,13 2,04 3,73 4,73 1,51 2,77 3,77 1,15 2,10 3,10
0,50 0,836 1,53 2,53 0,716 1,31 2,31 0601 1,10 2,10 0,49 0,90 1,90 0,39 0,72 1,72
1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00
Bảng 19.1 Các giá trị của tích phân Einstein (tiếp)
z* = 1,00 z* = 1,50 z* = 2,00 z* = 3,00 z* = 4,00 z* = 5,00
r/h
Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb Q Ss/Sb St/Sb 1.10-5 20,0 36,6 37,6 2,33 4,26 5,26 0,973 1,78 2,78 0,432 0,790 1,79 0,276 0,505 1,50 0,202 0,370 1,37 .2.10-5 17,9 32,8 33,8 2,31 4,23 5,23 0,973 1,78 2,78
.5.10-5 15,4 28,2 29,2 2,28 4,17 5,17 0,967 1,77 2,77
.1.10-4 13,6 24,9 25,9 2,25 4,11 5,11 0,432 0,790 0,276 0,505
.2.10-4 11,9 21,8 22,8 2,21 4,04 5,04 0,967 1,77 2,77 0,431 0,789 0,275 0,504 5.10-4 9,78 17,9 18,9 2,13 3,90 4,90 0,962 1,76 2,76 0,431 0,788 0,275 0,504
1.10-3 8,36 15,3 16,3 2,05 3,76 4,76 0,951 1,74 2,74 0,430 0,787 1,79 0,275 0,503 0,370 2.10-3 6,99 12,8 13,8 1,96 3,58 4,58 0,940 1,72 2,72 0,428 0,784 1,78 0,274 0,502 0,202 0,369
5.10-3 5,38 9,84 10,8 1,78 3,26 4,26 0,907 1,66 2,66 0,424 0,776 1,78 0,273 0,499 1,50 0,201 0,367 1,37 0,01 4,28 7,84 8,84 1,62 2,96 3,96 0,869 1,59 2,59 0,417 0,763 1,76 0,270 0,494 1,49 0,199 0,364 1,36 0,02 3,30 6,04 7,04 1,42 2,59 3,59 0,809 1,48 2,48 0,404 0,740 1,74 0,264 0,483 1,48 0,195 0,357 1,36 0,05 2,18 3,99 4,99 1,10 2,02 3,02 0,694 1,27 2,27 0,374 0,684 1,68 0,249 0,456 1,46 0,186 0,341 1,34 0,10 1,48 2,70 3,70 0,836 1,53 2,53 0,568 1,04 2,04 0,339 0,620 1,62 0,236 0,432 1,43 0,181 0,332 1,33 0,20 0,89 1,64 2,64 0,552 1,01 2,01 0,414 0,758 1,76 0,317 0,580 1,58 -- -- -- -- -- --
0,50 0,31 0,57 1,57 0,174 0,319 1,32 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
Một công thức vận chuyển trầm tích khác cũng đã được White và Ackers (1973) đưa ra. Chi tiết về công thức này có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo hoặc trong các giáo trình về vận chuyển trầm tích.