Các phương trình đường bờ trong các phần trước phụ thuộc vào điều kiện biên không thấm nước tại đê chắn sóng. Một lần nữa giả thiết rằng có một sự bồi lắng bờ song song, sự bồi lắng tại đê chắn sóng được cho bởi phương trình 20.22 trong đó y sẽ tăng không hạn định mỗi khi t tăng. Vì việc xây dựng một đê chắn sóng dài vô hạn là không kinh tế và tắc trách, mà một đê chắn sóng có độ dài hữu hạn cho trước chỉ có thể ngăn dòng vận chuyển cát dọc bờ trong khoảng thời gian nhất định. Từ đó có hai câu hỏi quan trọng được đặt ra; “đê chắn sóng trên hoàn toàn có khả năng chắn được dòng vận chuyển trầm tích dọc bờ trong bao lâu?” và
“điều gì sẽ xẩy ra sau thời gian đó ?”.
Hình 20.7 dẫn ra một trắc ngang bờ nằm sát ngay phía bồi lắng của đê chắn sóng. Do phần lớn vận chuyển cát xẩy ra ở đới sóng đổ nên không có sự vận chuyển đáng kể nào diễn ra quanh phần cuối của đê chắn sóng miễn là dê chắn sóng vượt qua đới sóng đổ. Điều này ngụ ý rằng, như trên hình vẽ, vận chuyển quanh phía mũi đê chắn sóng có khả năng bắt đầu khi độ sâu trên bờ bồi lắng ở cuối đê chắn sóng đã bị giảm và đạt tới hbr là độ sâu biên ngoài của đới sóng đổ.
Sự bồi lắng chỉ ra trên hình 20.7 tại độ sâu lớn hơn hbr, do vận chuyển dọc bờ trong đới sóng đổ sau đó chuyển dịch xuống theo độ dốc tới chân đập. Hiện tượng vận chuyển ngang này dọc theo trắc ngang bờ sẽ được trình bày chi tiết ở chương 21.
Hình 20.7: Mặt cắt tại đầu mũi đường vận chuyển bùn cát
L
trắc ngang đê chắn sóng
hbr
h
bồi lắng xẩy ra khi dòng trầm tích vòng qua mũi đê chắn sóng
chuyển động cát về phía chân bãi
bê gèc
Khoảng cách bồi lắng L trên hình vẽ có thể được tính khi biết độ sâu sóng đổ và các độ dốc của bãi và đập chắn sóng. Biết độ dài L này, thời gian tl trước khi cát vượt qua mũi đập chắn sóng có thể tính được theo phương trình 20.22.
785 ' , ' 0 4
2 2
1
S h L S
h t L
(20.32)
Đối với sự bồi lắng không song song - phương trình 20.31 S
m m
L t mm
' ) ' ( 5 , 1 ' '
3
1 (20.33)
Trong thực tế L có khả năng kéo dài đến mức mà lời giải theo phương trình 20.33 sẽ không còn hiệu lực nữa, nước sẽ không đủ sâu đảm bảo cho hiện tượng bồi lắng không song song này tiếp tục vươn xa.
Các phương trình ở trên trả lời cho câu hỏi đầu tiên trong hai câu hỏi đã đặt ra trên đây. Chú ý rằng tại thời điểm tl, chân của bờ dốc bồi lắng vượt quá mũi (tip) đập chắn sóng. Do có rất ít lượng vận chuyển cát dọc bờ tại độ sâu như vậy trên trắc ngang, nên đã không dẫn tới một sự vận chuyển đáng chú ý nào quanh
đầu mũi (tip) đập chắn sóng.
Để trả lời cho câu hỏi thứ 2 về vận chuyển cát xung quanh mũi đập chắn sóng sau thời gian tl, chúng ta cần thiết lập một tập mới các điều kiện ban đầu và điều kiện biên và tìm lời giải mới cho phương trình vi phân trên.
Khi vật liệu đi qua quanh mũi đê chắn sóng, điều kiện biên của chúng ta là:
tại x = 0 ; Sx = 0 đối với mọi giá trị t > 0 (20.15) sẽ không còn đúng nữa. Thay vào đó, điều kiện biên giờ đây trở thành
tại x = 0 ; y= L đối với mọi giá trị t > t1 (20.34)
Điều kiện biên khác sẽ là:
tại x = - ; Sx = S đối với mọi giá trị t (20.14) tất nhiên vẫn còn hoàn toàn đúng.
Điều kiện ban đầu thuận tiện nhất sẽ là:
tại t = tl, y được cho theo phương trình 20.17 và được đánh giá như hàm của x với t = tl. Đây là đường bờ hiện tại được xác định theo lời giải trước đây.
Điều không may là lời giải giải tích khả thi cho phương trình vi phân với các
điều kiện biên và điều kiện ban đầu đã trình bày ở trên vẫn còn chưa tìm được;
vấn đề này chưa thể giải được theo cách thông thường. Điều đó càng thôi thúc chúng ta biến đổi các điều kiện để có được lời giải giải tích.
Điều kiện ban đầu cho phép có lời giải tích cho phương trình 20.12 là
tại t = 0 ; y = 0 đối với x < 0 (20.35)
víi
tại t = 0 ; y = L đối với x= 0 (20.36)
Đây là điều kiện ban đầu tuân theo AOB trong hình 20.5 thay cho AO như
trong mục 20.5 và đường cong AB đã được đưa ra trên đây. Điều kiện ban đầu hiện nay (20.35) và (20.36) nói lên rằng bãi bị uốn nhọn tại x = 0 và tiếp tục hướng vuông góc với bờ dọc theo đập chắn sóng. Hơn nữa góc giữa sóng và bãi của
đập chắn sóng tại điểm cuối đập có giá trị ban đầu âm và chúng ta hy vọng cát vận chuyển vào phía trái quanh mũi đê chắn sóng trong các giai đoạn ban đầu phát triển đường bờ. Do không có nguồn cung cấp cát, cách tiếp cận giải quyết bài toán này dường như không hiện thực. Tuy nhiên có thể cứu vớt tình thế bằng cách thoả thuận rằng chỉ sử dụng lời giải này trong trường hợp có dòng vận chuyển dương về phía phải xung quanh mũi đê chắn sóng.
Với (20.04) và (20.34) đến (20.36) lời giải cho phương trình 20.12 là
y = L (20.37)
Trong đó được xác định giống như trong phương trình 20.19.
Để tính lượng vận chuyển cát Sx tại các điểm dọc bờ bồi lắng, chúng ta cần
đánh giá
x y
để thế nó vào phương trình 20.08 phục vụ việc xác định và từ đó Sx. Sử dụng (20.19) và (20.18) trong 20.37 và lấy vi phân:
at x at
L x y
exp 4
2
(20.38)
Trong trường hợp riêng, tại đập chắn sóng, x = 0
at
L x
y
t 0
ã (20.39)
trong đó ký hiệu mang tính thuận tiện hình thức.
Giờ đây, vận chuyển cát tại mũi đập chắn sóng là:
) ' 1 ( ') 1 (
at S L
S Stip
(20.40)
Như vậy, chừng nào còn lớn hơn ’, vẫn tồn tại dòng vận chuyển cát theo hướng âm tại x = 0 (vào phía trái quạnh đầu cuối đê chắn sóng). Điều này tái xác nhận quan điểm trước đây của chúng ta căn cứ vào các điều kiện ban đầu.
Vậy chúng ta có thể tính toán sự phát triển toàn bờ theo cách nào? Chúng ta phân lời giải thích thành hai giai đoạn. Giai đoạn đầu xuất phát từ khi đê chắn sóng mới xây dựng, đã được mô tả ở phần 20.5, và còn được thoả mãn cho đến thời
điểm t = tl theo phương trình 20.32. Thể tích bồi lắng cát tại thời điểm đó sẽ là '
4 2
1
1
L h St
v (20.41)
theo các phương trình 20.25 và 20.32 theo quá trình bồi lắng song song.
Phương trình cho giai đoạn hai sẽ được phát triển trong phần này. Thể tích cát tích luỹ được bây giờ sẽ là:
2
0
2 ( )
t
tip dt S S
v (20.42)
với (20.40) ta thu được
2
0
2 '
t
S dt
v
(20.43)
2
2 2 at
Lh
v (20.44)
sau khi đã tiến hành khá nhiều biến đổi đại số. Chỉ số 2 đã được thêm vào đối với v và t để nhấn mạnh rằng các kết quả thu được từ lời giải thứ 2 của đường bờ.
Thời gian chính xác t2 bắt đầu sử dụng lời giải đường bờ thứ 2 có thể tìm được căn cứ theo yêu cầu các thể tích vật liệu bồi đắp sẽ bằng nhau khi có sự chuyển dịch cơ chế. Điều này không có nghĩa rằng t2 sẽ bằng t1; thực vậy t2 < t1 vì mô hình thứ hai cho phép cung ứng cát (giả tưởng) từ mũi của đê chắn sóng.
Cho v1 và v2 bằng nhau ta có:
2 2
' 2 4
Lh at h
L (20.45)
Kết quả là : ' 64
2 3
2
S
h
t L (20.46)
Sử dụng t1 từ (20.32) ta thu được :
1 1
2
2 0,617
16t t
t
(20.47)
Hình 20.8 Miền thích ứng của các mô hình
Điều này xác nhận quan điểm của chúng ta về các giá trị tương đối của t1 và t2. Nghĩa là, trong thực tế, chúng ta cần phải “bắt đầu” lời giải thứ hai tại một thời điểm nào đó muộn hơn thời điểm t = 0 khi pha thứ nhất bắt đầu. Điều này
được thể hiện bằng biểu đồ trên hình 20.8. Trên hình đó dữ liệu mô hình đầu tiên
được chỉ ra tại trục thời gian nằm trên trên, dữ liệu cho phép mô hình thứ hai trên dưới trục. Chúng ta có thể thấy từ hình vẽ, trục thời gian đối với mô hình lời
t=t1
bồi lắng đạt tới mép đê chắn sóng
thoả mãn mô hình thứ nhất
thoả mãn mô hình thứ hai
0 mô hình thứ hai không thoả mãn
Điều kiện ban đầu - mô hình thứ nhất
0,383 t1 0,617 t1
Điều kiện ban đầu - mô hình thứ hai
t2=0,617 t1
giải thứ hai được dịch về bên phải đối với gốc của trục thời gian xuất phát. Do sự dịch chuyển gốc thời gian này có thể gây ra bất tiện, chúng ta có thể hiệu chỉnh
đối với các phương trình giai đoạn 2 nhằm cho phép thay thế thời gian theo thang thời gian xuất phát. Thang thời gian cho pha 2 tìm được nhờ dịch chuyển thời gian từ thang gốc một khoảng 0.383 t1 như chỉ ra trong hình. Khi dịch chuyển gốc thời gian này trong phương trình (20.40) sẽ thu được
1/2
1) 383 , 0 ( ( ' 1
t t
a S L
Stip
(20.48)
hoặc dùng (20.32)
383 , 0 1 2
t1
t S
Stip
(20.49)
mô tả vận chuyển cát qua mũi đê chắn sóng đối tất cả thời gian lớn hơn t1 theo thang thêi gian gèc.
Nhằm kiểm tra lại, chúng ta có thể xác định dòng vận chuyển trầm tích qua
đê chắn sóng tại thời điểm t = t1; yêu cầu bằng 0 tại đây là cần thiết. Với t = t1 (20.49) ta cã:
1 0,383 1 2
S
Stip (20.50)
S
Stip 0,189 (20.51)
Bảng 20.2: Các giá trị hiệu chỉnh cho các tính toán vận chuyển ở mũi đê chắn sóng.
S Stip
/ t1
t Phương trình 20.51 Giá trị hiệu chỉnh
1,00 0,189 0,000
1,25 0,316 0,298
1,50 0,398 0,394
2,00 0,499 0,499
3,0 0,606 0,606
5,0 0,665 0,665
5,0 0,704 0,704
Các sai số này rút ra từ thực tế cho thấy rằng các chi tiết đường bờ hoàn toàn khác nhau đỗi với mỗi mô hình thậm chí đối với khi thể tích trầm tích lắng đọng tổng cộng như nhau. Những khác biệt này có thể thấy được nếu vẽ hai đường bờ theo các phương trình 20.17 và 20.37
Bakker đã xác định lượng hiệu chỉnh áp dụng cho các giá trị tính toán vận chuyển tại mũi đê chắn sóng. Các giá trị hiệu chỉnh này được dẫn ra trong bảng 20.2
Về giá trị của tất cả công việc này sẽ được thảo luận trong phần sau; một ví dụ ứng dụng của nó cũng được đưa ra ở phần 20.9