0.10. Analyse de l’ a priori des questions dans l’expérimentation
0.10.3 Stratégies et impacts de la variable, ceux qui sont observables
T’1: “Calculer la valeur de l’expression contenant un logarithme ằ
Pour ce type de tâche, nous prévoyons l’existence des stratégies qui sont les suivantes :
S’11: Stratégie “Utiliser définition - propriété - règle”
Utiliser les règles pour calculer le logarithme en vue de les transformer en forme logab ou logcc, clogc. Par la suite, trouver la valeur de pour que
. a b
Conclusion : est le résultat de l’expression à calculer.
S’12: Stratégie “utiliser la calculette”
Utiliser la calculette pour calculer le logarithme.
S’13: Stratégie “représentation graphique”
Utiliser la représentation graphique pour trouver la valeur du logarithme.
T”3: “Comparer 2 logarithmes”
Pour ce type de tâche, nous prévoyons l’existence des stratégies qui sont les suivantes :
S”31: Stratégie “comparer ces deux logarithmes à un entier M étant 0 (ou 1)”
Démontrer que le premier logarithme est supérieur à l’entier M étant 0 (ou 1) et que le deuxième est inférieur.
S”32: Stratégie “utiliser la calculette”
Utiliser la calculette pour calculer les deux logarithmes et comparer les deux résultats trouvés.
S”33: Stratégie “représentation graphique ”
Déterminer les coordonnées de ces 2 logarithmes sur un même repère et les comparer.
S”34: Autres stratégies
Le choix d’une pour la variable et son impact sur les stratégies Bulletin numéro 1
Question 1
Dans les questions 1a, 1b, 1c, notre choix de la valeur pour la variable vise à favoriser l’utilisation la stratégie S’11 chez les élèves, tel est ci-dessous :
+ Pour la question 1a, le problème est sous forme logab, avec a et b susceptibles d’être transformés en : a c r et b c s, r et s étant les rationnels. Dans ce cas, r =1, c’est-à-dire b est transformé en b a s. D’ailleurs, ce choix défavorise les élèves dans l’utilisation des stratégies S’12 et S’13.
+ Pour la question 1b, le problème contient un logarithme dans l’exposant et est sous forme alogbN, avec a et b susceptibles d’être transformés en :
a c r và b c s, r et s étant les rationnels. Dans ce cas, b = c, c’est-à-dire a est transformé en a b r.
+ Pour la question 1c, les expressions logarithmiques données ont une même base. Le problème dispose de termes contenant le logarithme et d’une expression sous forme de radical, ce qui présente un obstacle pour la stratégie S’12. En plus, la stratégie S’13 devient inutilisable.
Pour la question 1d, nous avons créé une situation inhabituelle (rupture contractuelle) dans laquelle le problème est transformé en logab, mais a et b dans
logab ne sont pas aptes à être transformés en a c r, b c s avec r et s étant les rationnels. Cela empêche l’utilisation des stratégies S’11, S’13 ; et présente une certaine difficulté à la stratégie S’12. Nous voulons ainsi observer le comportement
des élèves et leur respect des techniques institutionnelles dans le traitement de logarithme.
Question 2
Dans la question 2, nous exposons le problème de comparaison des 2 logarithmes. Ils pourraient être facilement comparés à un entier M (étant 1) par le caractère monotone de la fonction logarithmique. D’ó apparaỵt une occasion pour la stratégie S”31 ; sont limitées les deux stratégies S”32 et S”33 ; se défavorise l’utilisation de la stratégie S”34. C’est également la résolution attendue de l’Institution dans la comparaison des 2 logarithmes. L’objectif du problème c’est d’aider les élèves à mieux comprendre leur tâche ainsi que les techniques qu’ils utilisent pour accomplir cette tâche.
Question 3
Il s’agit d’une situation de rupture contractuelle. Le problème consiste toujours à comparer deux logarithmes, mais ils ne sont pas comparés à un seul entier. La comparaison est guidée par une question ouverte qui sert à détecter le comportement de l’élève dans la résolution de la situation.
Bulletin numéro 2
Il s’agit de la même situation que celle de la question 1d visant à observer le comportement des élèves et leur respect des techniques institutionnelles dans le traitement de logarithme. Pour résoudre ce problème, nous proposons plusieurs résolutions (le résultat du problème est une expression logarithmique) et demandons aux élèves de les évaluer et de justifier leur évaluation (éventuellement).
Analyse détaillée de ce qui est observable Question 1
1a : Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes :
S’11: Stratégie “Utiliser définition - propriété - règle”
Vu 1 3 3 27
, log3 1
27= -3. Ou A = log3 1 log 33 3 3 27
Solution : A = -3
S’12: Stratégie “Utiliser la calculette”
En utilisant la calculette, on a :
3
log 1 3 27 Solution : A = -3
S’13: Stratégie “Utiliser la représentation graphique”
Selon la représentation graphique, on a :
3
log 1 3 27 Solution : A = -3
1b : Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes :
S’11: Stratégie “Utiliser définition - propriété - règle”
B = 12
log 7
( 1 )
32 = 12
5log 7
( )1
2 = 12
log 7
1 5
(( ) )
2 = 75 = 16807 Solution : B = 16807
S’12: Stratégie “Utiliser la calculette”
En utilisant la calculette, on a 12
log 7
( 1 )
32 = ( 1 ) 2,8073549= 16807 32
Solution : B = 16807
1c: Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes :
S’11: Stratégie “Utiliser définition - propriété - règle”
C = log5 3 log 12 log 50 5 5
= 1log 35 1log 45 1log 3 log 25 log 25 5
2 2 2 5
= 1log 3 log 25 5 1log 3 2log 5 log 25 5
2 2 5
= log 2 2 log 25 5 = 2 Solution : C = 2
S’12: Stratégie “Utiliser la calculette”
C = log5 3 log 12 log 50 5 5
= 0,341303097 – 0,771979655 + 2,430676558
= 2
Solution : C = 2
1d: Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes :
S’11: Stratégie “Utiliser définition - propriété - règle”
D = 2log3 7 1log 49 log3 1
2 7
3
= log 7 log 7 log 73 3 3
= log 73
Solution : D = log 73
S’12: Stratégie “Utiliser la calculette”
A = 2log3 7 1log 49 log3 1
2 7
3
= 1,771243749 + 1,771243749 - 1,771243749
= 1,771243749
Par l’application de S’11 et S’12 :
D = 2log3 7 1log 49 log3 1
2 7
3
= log 7 log 7 log 73 3 3
= log 73
En utilisant la calculette, on a : log 73 = 1,771243749
Solution : D = 1,771243749 Par l’application de S’11 et S’13 :
D = 2log3 7 1log 49 log3 1
2 7
3
= log 7 log 7 log 73 3 3
= log 73
En dessinant la représentation graphique de la fonction y = log3x
On a :
log 73 1,771243749
Solution : D = 1,771243749 Question 2
Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes : S”31: Stratégie “comparer à un entier M étant 0 (ou 1)”
En posant α = log 53 , = log 47
On a : 3 = 5 > , donc α > 1; 31 7 = 4 < 71 donc < 1 On en déduit que log 53 > log 47
S”32: Stratégie “Utiliser la calculette”
En utilisant la calculette, on a : log 53 = 1,464974 et log 47 = 0,712414 Donc log 53 > log 47
S”33: Stratégie “Utiliser la représentation graphique”
On dessine la représentation graphique de y
=log3x et y = log7x sur un même repère.
Selon la représentation graphique, on a un point dont les coordonnées sont de (5 ;log 53 ) et qui est supérieur qu’un autre point de (4 ;log 47 ).
Donc log 53 > log 47 Question 3
Les réponses recueillies sont susceptibles de partir des stratégies suivantes : S”31: Stratégie “comparer à un entier M étant 0 (ou 1)”
Les élèves constatent que > 1, > 1 et concluent que c’est impossible de comparer les deux logarithmes et .
log 43 log 54
log 43 log 54 S”32: Stratégie “Utiliser la calculette”
En utilisant la calculette, on a : log 43 = 1,2186 et log 54 = 1,10964 Donc, log 53 > log 47
S”33: Stratégie “Utiliser la représentation graphique”
On dessine la graphique de y =log3x et y = log4x sur un même repère.
Selon la représentation, un point dont les coordonnées sont de (4 ; ) et qui est supérieur qu’un autre point de (5 ;
).
log 43
log 54
Donc log 43 > log 54 S”34: Autres stratégies
Il s’agit des résolutions qui ne font pas partie de celles susmentionnées.
Note : L’indice de l’utilisation de la stratộgie ô Utiliser la calculette ằ est la valeur du logarithme calculée en décimal.