Logarit và hàm số logarit trong giáo trình [a]

1.2. Đặc trưng của khái niệm logarit và khái niệm hàm số logarit ở một

1.2.1 Logarit và hàm số logarit trong giáo trình [a]

Trong giáo trình này, chúng tôi thấy trình tự xuất hiện các khái niệm như sau :

Mở đầu là mục 1–chương 8 (trang 71–[a]), hàm số logarit được định nghĩa (tổng quát) như sau:

“Một hàm logarit là một ánh xạ từ R* vào R nghiệm phương trình:

(E) f(xt) = f(x) + f(t) với x và t bất kỳ trong R*”

trước, giáo trình [a] chứng minh được rằng:

“Nghiệm của phương trình (E) là:

Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm số x 1

 x; hàm này được gọi là logarit neper và được ký hiệu là Log (3).

Các hàm nhận được bằng cách nhân hàm trên đây với một hằng số tùy ý C (mỗi hàm này là nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm số x C

 x )”.

Đến đây chúng tôi thấy rằng cần đặt ra các câu hỏi sau:

 Liệu còn có hàm số hoặc liên tục hoặc đơn điệu nào khác (ngoài các hàm số logarit nêu trên) thỏa mãn phương trình (E) hay không ?

 Liệu còn có hàm số logarit nào khác (ngoài các hàm số logarit nêu trên) thỏa mãn phương trình (E) hay không ?

Để trả lời câu hỏi số  thì cuối mục 1–chương 8 (trang 73–[a]), [a] “chỉ ra mà không chứng minh rằng phương trình (E) không nhận một nghiệm hoặc liên tục hoặc đơn điệu nào khác ngoài các hàm vừa xác định”.

Đến mục 2–chương 8 (trang 75–[a]), giáo trình [a] khảo sát hàm số logarit neper và kết luận rằng: “Hàm logarit neper là liên tục và tăng thực sự từ -∞ đến +∞, nó lấy mọi giá trị thực đúng một lần”.

Một điều thú vị là cho đến thời điểm này thì khái niệm cơ số của hàm số logarit vẫn chưa được đề cập. Các tính chất, đặc trưng của hàm số logarit chỉ duy nhất được khảo sát qua hàm số logarit neper. Vì sao như vậy ? Chúng tôi cũng đã đặt ra câu hỏi thứ 3 như sau:

 Tại sao giáo trình [a] chỉ khảo sát duy nhất hàm số logarit neper ?

Khái niệm cơ số của hàm số logarit xuất hiện ở mục 3–chương 8 (trang 76–

[a]) cùng với định nghĩa hàm số logarit cơ số a:

(3) Thông thường, logarit neper được ký hiệu là ln

loga Logx x Loga (a là một số dương khác 1)”.

Theo định nghĩa này, giáo trình [a] chứng minh được rằng:

 Mọi hàm f xác định bởi f(x) = C Logx là một hàm số logarit có cơ số là a (ngược lại là hiển nhiên), với a là nghiệm duy nhất của phương trình:

 C = 1

Loga  Loga = 1 C

 Khi C = 1, hàm số logarit đặc biệt nhận được (hàm Logx) có cơ số là số vô tỷ e  2,71828.

Như vậy, câu hỏi  và  đã được giải đáp đồng thời:

 Nghiệm của phương trình (E) là hàm số logarit cơ số a (a là một số thực dương khác 1).

 Khái niệm hàm số logarit cơ số a được định nghĩa thông qua khái niệm hàm số logarit neper nên chúng ta chỉ cần khảo sát hàm số logarit neper là đủ.

Giá trị tại điểm x của hàm số Logx sao cho Logx = 1 chính là số vô tỷ e.

Nghĩa là số e xuất hiện sau khi đã có hàm số logarit neper.

Giáo trình [a] cũng đã đưa ra hai ví dụ sử dụng logarit vào việc tính giá trị của một đại lượng ở trang 78–[a]. Cho đến lúc này, chúng tôi vẫn chưa thấy sự xuất hiện của hàm số mũ. Mãi đến mục 5–chương 8 (trang 79–[a]) và mục 6–chương 8 (trang 82–[a]), giáo trình [a] mới đưa vào khái niệm hàm số mũ e là hàm ngược của hàm số logarit neper và hàm số mũ a là hàm ngược của hàm số logarit cơ số a.

Với định nghĩa hàm số logarit là nguyên hàm của hàm số x C

 x , triệt tiêu tại 1, không cho phép tính nhanh Logx hay tổng quát hơn là logax. Cần phải có sẵn một bảng số cho các giá trị loga x tại các giá trị đủ gần nhau của x. Do đó, ở trang 102–

[a], giáo trình [a] đưa ra bảng các giá trị của logarit thập phân (bảng logarit thường dùng). Bảng này cho phép xác định logarit của một số và xác định một số khi biết logarit của nó.

 Thứ tự xuất hiện các khái niệm trong giáo trình [a] không giống như trong lịch sử (cả hình thức lẫn mức độ sử dụng), giáo trình [a] đã trình bày khái niệm hàm số logarit trước rồi mới trình bày khái niệm logarit.

 Do gặp khó khăn trong việc tính toán với các đại lượng có giá trị lớn, giáo trình [a] đã đưa vào sử dụng logarit với vai trò đơn giản hóa phép tính (thay thế phép tính nhân bằng phép tính cộng).

 Việc sử dụng logarit được thể hiện qua việc tra bảng logarit, giáo trình [a] nhấn mạnh là chỉ có thể sử dụng logarit (cơ số a cho trước, 1 ≠ a > 0) với điều kiện có thể thực hiện dễ dàng hai phép tính:

+ +

Xác định logarit cơ số a của x khi biết x.

Xác định x khi biết logarit cơ số a của x.

 Logarit và mũ được giáo trình [a] trình bày hoàn toàn tách biệt, không đan xen vào nhau. Hàm số mũ được chuyển tiếp từ hàm số logarit qua hàm số ngược.

 Tổ chức toán học gắn liền với hàm số logarit có mặt trong [a]

Kiểu nhiệm vụ T1: “Tính giá trị một đại lượng”

Ví dụ 1: (trang 78–[a]) Xác định độ pH của một dung dịch trong hóa học?

Giải

Gọi pH = - log10[H+]

Trong 1 lít nước nguyên chất, ở 25oC:

* Đối với môi trường trung tính :

Có 10-7 gam nước phân ly, tạo ra 10-7 ion-gam hyđrô và 10-7 ion-gam hyđrôxyl. Nghĩa là:

[H+] = 10-7  log10[10-7] = -7 Suy ra: pH = 7

* Đối với môi trường axit : [H+] > 10-7  log10[H+] > -7 Suy ra: pH < 7

* Đối với môi trường bazơ :

Ví dụ 2: (trang 79–[a])

Trong một hiện tượng sinh lý như là sự nghe âm, cường độ I của cảm giác tăng chậm hơn cường độ J của sự kích thích.

Thật vậy :

 Người ta có thể xem I tỷ lệ với logarit của thương

o

J

J nếu J lớn hơn giới hạn Jo, mà dưới mức đó thì sẽ không thu được một cảm giác nào.

I = C Log

o

J

J (luật Phesne) Trong đó:

J: cường độ của âm (W/cm2) +

+ Jo cường độ của âm ở ngưỡng nghe.

 Trong âm học, người ta đo cường độ J bằng công suất âm với đơn vị là W/cm2. Với âm có tần số lớn hơn 1000 hz người ta lấy Jo = 10-16 W/cm2 và công nhận rằng I = 10 log10

o

J

J là độ đo cường độ sinh lý của âm bằng đềxibel (dB).

Từ công thức trên ta thấy, khi cường độ J của âm tăng lên 102, 103, ... lần thì cảm giác I về độ to nhỏ của âm tăng lên gấp 2, 3, ... lần.

Kỹ thuật 1 : +

+

Biểu diễn đại lượng cần tính qua logarit thập phân của một số.

Tính logarit thập phân của số này.

Kiểu nhiệm vụ T2: “Tìm giá trị của biểu thức tính logarit thập phân”

Ví dụ: (trang 106–[a])

Xác định số y có log10 y= 2,741205 Giải.

Phần đặc tính là 2, nên y có 3 chữ số trước dấu phẩy.

Bảng logarit thập phân cho:

Định trị của 5510 = 0,74115 và của 5511 = 0,74123

Vậy y = 551,069 Kỹ thuật 2 :

+ +

+

Xác định phần đặc tính và phần định trị.

Nếu phần định trị có trong bảng logarit thập phân, người ta đọc số tương ứng và đặt dấu phẩy (thêm các số không nếu cần thiết) bằng cách dùng giá trị của phần đặc tính.

Nếu phần định trị không có trong bảng, người ta thực hiện phép nội suy tuyến tính bằng cách xét hai định trị gần với phần định trị đã cho nhất.

Kiểu nhiệm vụ T3: “Khảo sát hàm số logarit neper”