Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở trên.
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết Didactic toán, cụ thể đó là:
Lý thuyết nhân chủng học: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học;
Lý thuyết tình huống: hợp đồng didactic.
Lý thuyết nhân chủng học
Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.
Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức Quan hệ thể chế:
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì … trong I ?
mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?
Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).
Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, là kỹ thuật cho phép giải quyết T; là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ; là lý thuyết giải thích cho công nghệ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.
Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”.
Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.
Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn.
Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic mà thôi.
Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:
+ + + +
+ + +
Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức;
Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó;
Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không giải quyết được;
Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh.
Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:
Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học;
Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;
Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa.
Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay định
Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic.
Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới:
học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.
Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi.