1.2. Đặc trưng của khái niệm logarit và khái niệm hàm số logarit ở một
1.2.2 Logarit và hàm số logarit trong giáo trình [b]
Trong giáo trình [b], chúng tôi thấy tiến trình xuất hiện các khái niệm như sau:
Từ đầu, giáo trình [b] định nghĩa ngay hàm số logarit neper (mục 1–chương 1) và xác định rõ mục đích là đi tìm một phương thức thay thế phép tính nhân bằng phép tính cộng trong tập hợp các số thực dương. Nói cách khác là xác định một ánh
(4) dùng công thức nội suy tuyến tính
f(xy) = f(x) + f(y) [1]
Giáo trình [b] cũng đi đến kết luận rằng: tồn tại một và chỉ một hàm số thỏa [1], xác định với mọi giá trị dương của x; đó là nguyên hàm của hàm số x K
x triệt tiêu khi x = 1. Với giá trị đặc biệt K = 1, hàm số tương ứng được ký hiệu là y = Logx và gọi là hàm số logarit neper.
Như vậy, giáo trình [b] không đề cập đến hàm số logarit tổng quát mà nghiên cứu hàm số cụ thể là hàm số logarit neper.
Từ định nghĩa sơ cấp của nguyên hàm, suy ra giá trị của hàm số y = Logx tại x = a > 0 chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hyperpol có phương trình xy=1, trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = a. Hay nói cách khác có sự liên hệ giữa hàm số logarit neper và tích phân với cầu nối là diện tích hình phẳng (5).
Ở mục 4–chương 1, giáo trình [b] nghiên cứu dáng điệu của hàm số y = Logx khi x và khi x0. Theo định nghĩa, Logx là hàm số xác định, liên tục, có đạo hàm trên (0 ; +∞), triệt tiêu tại x = 1 và đạo hàm là 1
x.
Hàm số này xác định, liên tục với x > 0, tăng nghiêm ngặt trên (0 ; +∞), và giáo trình [b] kết luận: có thể vẽ được đường biểu diễn của hàm số y = Logx.
Từ đây, hàm số mũ e (mục 5–chương 1) xuất hiện được định nghĩa là hàm số ngược của hàm số logarit neper. Lúc này giá trị của e chưa được xác định (e là số thực dương duy nhất xác định bởi Loge = 1).
Sau đó, bằng giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm số mũ y = ex thì e được xác định là số vô tỷ và có giá trị gần đúng là e 2,71828.
Để đi đến khái niệm hàm số logarit cơ số a, giáo trình [b] mở rộng khái niệm mũ và lũy thừa, sau đó định nghĩa ax exLoga.
(5) Việc phân tích mối liên hệ giữa logarit neper và tích phân cũng là một vấn đề thú vị nhưng không phải là trọng tâm trong luận văn này. Vì vậy, chúng tôi không đi sâu vào phân tích vấn đề này mà có thể nó sẽ được đề cập đến trong một nghiên cứu khác.
biểu diễn của hàm số y = ax được suy ra từ đường biểu diễn của hàm số y = ex. Hàm số y = logax có thể viết loga Logx
y x
Loga hoặc một cách tương đương là x = ay. Như vậy giáo trình [b] xem hàm số y = logax là hàm số ngược của của hàm số y = ax, nên các tính chất của hàm số y = logax tương tự như các tính chất của hàm số này; đường biểu diễn của nó có được nhờ phép lấy đối xứng đồ thị hàm y = ax qua đường phân giác thứ nhất.
-3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
x y
y = e(x)
y = Log(x)
Giáo trình [b] cũng đã xây dựng bảng số logarit thập phân ở mục 22–chương 1 để tìm logarit thập phân của một số, hoặc ngược lại tìm một số khi biết logarit thập phân của nó.
Nhận xét
Giáo trình [b] không trình bày hàm số logarit tổng quát mà đi thẳng vào hàm số logarit cụ thể, đó là hàm số logarit neper.
Giống như giáo trình [a], giáo trình [b] trình bày khái niệm hàm số logarit trước rồi mới trình bày khái niệm logarit, nhưng giáo trình [b] có sự đan xen giữa logarit và mũ.
Vị trí của hàm số logarit cơ số a trong giáo trình [b] rất khiêm tốn, được giáo trình [b] trình bày rất ít vì giáo trình [b] khẳng định: mọi bài toán liên quan đến logarit cơ số a đều được đưa về logarit neper.
Do giáo trình [b] chỉ trình bày đơn thuần là lý thuyết, không có ví dụ và bài tập, nên chúng tôi không đề cập đến tổ chức toán học của giáo trình [b].
Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến hàm số logarit và làm rõ một số cách trình bày những khái niệm này trong các giáo trình Toán ở bậc Đại học.
Sau đây là một số kết quả chính trong phân tích chương 1:
Về định nghĩa hàm số logarit:
Hàm số logarit luôn được định nghĩa là một ánh xạ f từ R* vào R, là nghiệm của phương trình: f(xt) = f(x) + f(t) với x và t bất kỳ trong R*. Phương trình này còn cho thấy bản chất của ánh xạ f là biến đổi phép tính tích thành phép tính tổng.
+
+
+
+
+ +
+ +
Mục tiêu xuất hiện khái niệm hàm số logarit là đưa vào một công cụ cho phép thay thế phép tính tích bằng phép tính cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc hai bằng phép chia đôi; phép khai căn bậc ba bằng phép chia ba, …
Tiến trình xuất hiện các đối tượng trong giáo trình [a] và [b] có khác nhau:
Trong giáo trình [a]: Hàm số logarit (tổng quát) Hàm số logarit neper Hàm số logarit cơ số a Hàm số mũ e, a Hàm số lũy thừa Bảng logarit cơ số 10.
Trong giáo trình [b]: Hàm số logarit neper Hàm số mũ e Mở rộng số mũ và lũy thừa Hàm số mũ a Hàm số logarit cơ số a Bảng logarit cơ số 10.
Tiến trình xuất hiện khái niệm logarit và hàm số logarit giữa lịch sử và giáo trình đại học cũng có sự khác nhau:
Trong lịch sử: khái niệm logarit xuất hiện trước khái niệm hàm số logarit.
Trong giáo trình đại học: khái niệm hàm số logarit xuất hiện trước khái niệm logarit.
Về tính chất của hàm số logarit cơ số a:
Tập xác định là R*, tập giá trị là R.
Luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ; 0) và đi qua điểm (a ; 1)
Là hàm số đơn điệu trên R*: +
Cơ số a lớn hơn 1: hàm số tăng.
Cơ số a dương nhỏ hơn 1: hàm số giảm.
+
+
+ + +
Có đồ thị nằm hoàn toàn về bên phải trục tung, nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
Về chức năng của hàm số logarit:
Thay thế phép tính nhân bằng phép tính cộng.
Liên quan đến khái niệm hàm số logarit và các khái niệm gắn liền với nó, chúng tôi thấy xuất hiện ba kiểu nhiệm vụ sau đây:
T1: “Tính giá trị một đại lượng”.
T2: “Tìm giá trị của biểu thức tính logarit thập phân”.
T3: “Khảo sát hàm số logarit neper”.