I. P H É P NHÂN MA TR Ậ N V Ớ Ỉ MA TR Ậ N
a. Đ ịnh nghĩa phép nhân mũ irận vớỉ m a trận Cho hai ma trận;
- • ain 'bn b a ■
A = ^2! ^22 ■
B = ^22
ằ0,2 • ■ ■ ^mn. - ■ a„p_
tiOớig đú nr>a ôjận A cú số cộĩ bằnịi số dũng của ưia trận B
Đ ịah nghĩỉa: Tích của rna tĩận A và ma trận B là một ma trận cấp mxp, ký hiệu là /iB và được xác định như sau;
AB =
C ị | c
C,1 c
12 22
^ml trong đó
Cij =a„b,j + a,2b,j+--+a,„b„, (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., p).
Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghia trên bạn cần lưu ý mấy điểm sau đây:
• Tích AB có nghĩa khi ' ù chỉ khi số cột của ma trận đúng trước (ma trận A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (ma trận B),
h?c Kinh ur QU& dSn
CtìUững 3: Ma trận và đĩnh thút:
ằ Cấp của ma t^-an AB (khi cú nghĩa): Ma trận AB cú số dũng bằng số dòng của !ca trân đứng trước vã số cột băng số cột của ma trân đứng sau;
• Các phần !ử của AB đươc tính theo quy tắc: Phần tử Cjj thuộc dòng i và cột i của ưia trận AB là tích vô hướng của dòng thứ i cúa ma trận đứng trước và cột thứ j của m a trận đứng sau (khi AB có nghĩa, cấc dòng của A và các cột của B đều có n phần tử và ta xem chúng như các vcctơ n chiều).
Ví dụ ỉ : Cho 2 ma trận:
3 1 - 2 ' 0 2 - 5 r
A = 0 5 4 í 3 0 -1
~ ỉ 0 -3 - 5 -1 4 1
Trong trường hợp này tích AB có nghĩa vì- số cột của A và số dòng của B cùng bằng 3, nhưng tích BA không có nghĩa vì số cột của B (ma trận đứng trước) bằng 4, trong khi số dòng của A (ma trận đứng sau) bằng 3.
Ma trận AB là một ma trận cấp 3x4:
11 '21
'31
'22
'13 '23
'14 '24
^32 ^33 ^34
Đê tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB ta lấy dòng thứ nhất của Ả nhân lần lượt với các côt của B theo quy tăc nhân vô hướng hai vectơ 3 chiều:
c,, = 3 .0 + 1.1 + ( - 2 ) . ( - 5 ) = 11,
c, 2 = : 3 . 2 + 1.3 + ( - 2 ) . ( - 1 ) = 11, c,3 = 3 .(-5 ) + 1.0 + (-2 ).4 = -2 3 ,
Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dâíi 14Ỡ
TOẤN CAO CẨP CHO CÁC NHẢ KíNHĨỂ
11ằ il^ j'iiỡ < tMjịôằ.i.iWatia'Li'iỳlôốMè‘'‘'‘~‘ jièii^eóielMèialgBiB c „ = 3 1 + ỉ . ( - l ) + (-2).] =Ỉ0*
*
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của*.AJ3 ta lấy dòri2 thứ hai của A nhân lần lượt với các cột của B:
c,, = 2 . 0 + 5.1 + 4 . ( - 5 ) - - 1 5 , C23 = 2.2 + 5 . 3 + 4 , ( - 1 ) = 15, c,3 = 2 .(-5 ) + 5.0 + 4.4 = 6,
c,4 = 2.1 + 5 .( - 1 ) + 4.1 = 1.
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ ba của AB ta lấy dòng thứ ba của A nhân lần lượt với các cột của B:
C3, = ( - l ) . 0 + 0.1 + ( - 3 ) .( - 5 ) = 15,
C 3 , = (-1 ).2 + 0.3 + ( - 3 ) . ( - l ) = l ,
C 33 = (-1 ) .(- 5 ) + 0.0 + ( - 3 ) .4 = - 7 , C3, = ( - ! ) . ! + 0 . ( - l ) + ( - 3 ) . l = - 4 . Kết quả là:
11 11 - 23 0
AB = - 1 5 15 6 1 .
15 1 - ■7 - 4 Cho 2 ma trận:
'2 - 1 1' 2 0’
A = 0 8 - 5 , B = 4 - 7 - 1
5 6 - 2 5 2 - 1
Hai m a trận đã cho là hai ma trận vuông cấp 3. Theo quy tắc nhân ma trận thì AB và BA cùng có nghĩa và cả hai tích đó đều là m a trận vuông cấp 3. Bạn đọc hãy tự tính toán các phần tử của các m a trận tích và đối chiếu với kết quả sau đây:
150 Trưởng Đại học Kính lế Quốc dãn
Chương 3: Ma trận và định thtiú
Ó 13 o ' *2 15 - 9'
AB = 7 -6 6 - 3 , BA = - 6 6 41
19 - 3 6 - 4 5 5 - 3
Chú ý: Trong pham vi các ma trận vuông cùng cấp ta có thể nhân hai ma trận bấi kỳ và tích của hai ma trận vuông cấp n ỉà một ma trận vuông cấp n. Tuy nhiên, ngay cả trong phạm vi các ma trận vuông cùng cấp, phép nhân ma trận không cố tính chất giao hoán (ví dụ trên là một trưcfng hợp AB ^ BA).
b. Các tính chất cơ bản của p h ép nhân
Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản dưới đây.
Chúng tôi bỏ qua phần chứng minh. Bạn cần đọc kỹ để hiểu chính xác nội dung của các tính chất đó.
1. Tính chất kết hợp;
(AB)C = A(BC),
trong đó A, B, c là ba ma trận bất kỳ thoả mãn điều kiộn: số cột của A bằng số dòng của B và số cột của B bằng số dòng của c . Do phép nhân có tính chất kết hợp, khi viết tích của ba hoặc nhiềú ma trận ta có thể bỏ các dấu ngoặc.
2. Tính chất phân phối đối với phép cộng:
A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD,
trong đó B và c là hai ma trận cùng cấp, có số dòng bằng số cột của ma trận A và sỏ' cột bằng số dòng của ma trận D.
3. Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và a là một số bất kỳ ta luôn có:
a(AB) = (aA )B = A(aB).
Tính chất này cho ta một quy tắc; Khi nhân m ột s ố với tích cùa hai ma trận ta có th ể thực hiện trước việc nhàn sô' đó với m ột trong hai ma trận nhân tử.
! i l ỉ !
4. Mọi ina trân đểu không thav đổi khi nh^i với ma trận đctn vị E (nếu phép nhân có nghĩa):
AE=^A, E B - B .
Đặc biột, trong tập h<:ỵp các ma trận vuỏno cùníì cấp ta luôn có:
AE = EA = A,
5. Ma trận chuyển vỊ của ma trân AB (khi tích AB có nghĩa) bằng tích của ma trận chuyển vỊ của B với ma trận chuyển vị của A:
(AB)' = B'A'.
6. Định thức của tích các ma trận vuông cùng cấp bằng tích các định thức của chúng;
AB A . B Chú ỷ:
• Tính chất thứ sáu có thể mở rộng cho tích của rrột s ố hữii hạn các ma trận vuông cùng cấp;
AiAt-.-A^ — A| . A2 Am
• Đối với ma trận vuông, ta có thể sử dụng ký hiệu luỹ thừa nguyên dương như sau;
A - = AA, A ' = AAA, A" = AA...A (n lần).
Từ tính chất thứ sáu suy ra: A" = |a Ị".
II. MA T R Ậ N N G H ỊC H ĐẢO
a. K hái niệm ma trận nghịch đảo
Trong tập hợp tất cả các số thưc số 1 giữ vai trò phần tử tning hoà của phép nhân (a.l = a, Va e R ) và được gọi là số đơn vị.
Trong tập hợp tất cả các ma trận viiông cùng cấp, ma trận đơn vị E cũng có vai trò tương tự:
AE = EA = A.
152 Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
ChUỊững 3: Ma trận và đỉnh thiìt
Trong số học, số nghịch đảo của một số thực a 0 là số thực a”
thơá mãn điều kiện a.a ' = 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cũng được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuỏng A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thoả mãn điều kiện:
AX = XA = E.
Chú ý rằng khái niệm ma trận nghịch đảo ch ỉ áp dụng cho ma trận vuông.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu ma trận vuông A cố ma trận nghịch đdo thì nó chỉ có m ột ma trận nghịch đảo duy nhất.
Thật vậy, giả sử X và Y cùng là nia trận nghịch đảo của ma trận A, tức ia:
AX = XA = E và AY = YA = E.
Khi đó ta có;
X(AY) = XE = X và (XA)Y = EY = Y.
Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này suy ra X = Y.
Như vậy, nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo của nó (ịược xác định. Ta sẽ dùng ký hiệu A”’
để chỉ ma trận nghịch đảo của ma trận A. Theo định nghĩa ta có;
AA"' = A'-'A = E.
b. M a trận phụ hợp của m a trận vuông
Trước khi đề cập đến điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo, ta cần phải xem xét mối liên giữa một ma trận vuông và ma trận được lập kèm theo gọi là ma trận phụ hợp của nó.
Cho ma trận vuông cấp n:
Trưông Đạỉ học Kinh tấQ uốc dân . 153