•nâÌHâNmeiaKsaÉHBÌKM
r(AB) < r(A) và ĩ(AB) < r(B).
Chứìĩg minh: Xét 11 ai ma í rận;
A =
au ^12 . . . ^in bu b,2 • • • a . /
^21 ^22 ^2n
, B - ba. b-,2
. .
Theo định nghĩa phép nhân, ta có
AB
^}) ^12
^2i ^22
c
7ti2
2p mp
trong đó:
Cij =^aiib,j + ai,b2,+--- + a A j (i = 1, 2, m; j = 1, 2, p).
(5-3)
Cố định j bất kỳ (j = 1, 2, , p) và viết hệ thức (5.3) lần lượt với i = 1, 2, ..., m, ta có;
c,j = a,,b ,j + ai2b2j+--+a,„b„j, s =a2ib,j + a22bj.+---+
^mj = ^m!blj + a^2b2j+--+ K A y Từ đây suy ra:
’ a„ ■ ’ ai: " "a,n -
^21 + b,j 322
ô
+ ••• +b„j 32n
. _ .^m2 . _ ^mn _
180 , ,, Trường Đạl học Kinh tế Quốc dàn
Chutíng 3: Ma trận và đính íh ú t
Điều này chứng tỏ cột j bất kỳ của ma írận AB biểu diễn tuyến tính qua các cột cùa A. Từ đây suy ra hệ vccíơ cột của AB có hạng không vượt quá hạng của hệ vectơ cụt của A, do đó
r(A B )< r{ A ).
Tưcmg tự, cố định i bấi kỳ (i = 1 ,2 , m) và viết hệ thức (5.3) lần lượt với j = í, 2, , p, ta thấy mọi dòng của AB biểu diễn tuyến tính qua các dòng của B, từ đó suy ra r(AB) < r(B).
V í dụ 2: Chứng minh rằng nếu hai ma trận A và B có số dòng như nhau, nhưng r(A) < r(B) thì phương trình ma trận AX - B không có nghiệm.
Giải: Theo định lý 2 trên đây, với mọi ma trận X mà phép nhân AX có nghĩa la luôn có
r(AX) < r(A) < r(B).
Điều này chứng tỏ không tồn tại m a trận X sao cho AX = B.
IV . C Á C PH Ư Ơ N G P H Á P T ÌM H Ạ N G CỦA M A T R Ậ N a. Phương p h á p định thức bao quanh
Khi chứng minh định lý vể hạng của ma trận, xuất phát từ định thức D =D J2 ' ta lập định thức Aj bằng cách viền thêm một dòng và một cột. Ta gọi Aj là định thức con cấp r + 1 bao quanh định thức D. Một cách tổng quát, ta nói định thức con D (cấp r + 1) của ma trận A là định thức bao quanh định thức con D (cấp r) khi và chỉ khi D được thành lập bằng cách bổ sung thêm một dòng và một cột của A ngoài r dòng và r cột đã chọn để lập định thức D. Chẳng hạn, nếu A là ma trận cấp 3x4 thì định thức
dị'! có hai định thức con cấp 3 bao quanh nó là DỊ23 và D^3
(ta có một phưomg án chọn thêm một dòng và hai phương án chọn thêm một cột của ma trận A). Nói chung, nếu D là một đinh thức con Cấp r của ma trân cấp m xn (r < m và r < n) thì để
Trường Đạl học Kinh tế Quốc dân 181
TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KiNHTẾ ,
sifB m m !ằ ta sisa m m H ia ’m ia ấ a a sm m ấ m a im 3 sm x m B m m m e'ttm a m ssm a m ấ m a m m ấ a m a à B m m a K iấ a ấ ấ ấ ấ ấ ấ ấ lềllẩ m a tm ấ a m m m ấ m
lập niot điiih ĩỉurc COII cấp i -r ỉ bao (|uanh D ta có m - I cach chon thêm một (iònií và n - r cách chọn thèm mỏt cót (ngoài các dòng và các cột đã chọn ờê láp đinh thức D), do đó số định thức con cấp r + ! hao quanh định thức D bằng (m - r)fn - r).
llic o cách lập luận chírrm minh định lý vể hang cùa ma trận ta có mệnh để sau đây;
Nếu ma trận /l có một định lìiức con D 0 cấp r má mọi dịnlì ihức con cấp r + J hao quanh nó (nếu có) đểu bằníỊ 0 ilìì hạng của ma trận A bằnẹ r.
Từ mệnh đề nêu trên ta có thể tính hạng của inội ma trận theo phương pháp lặp như sau;
Xuất phát từ một định thức con D ^ ơ, cấp s, của ma trận la chỉ cần tính các định thức con cấp s + 1 bao quanh nó (nếu có). Nếu tất cả các định thức con cấp s + 1 bao quanh D đểu bằng {), hoãc ma trận không có định thức con cấp s + 1 (khi s đã bằng số dòng hoặc số cột của ma trận), thì hạng của ma trận bằng s. Nêu trong số các định thức con cấp s + ] bao quanh D có một định thức D nào đó khác 0 thì ta lai chuyên sang xét các định thức con cấp
s + 2bao quanh D (nếu có). Lặp lại quá trinh này, sau một số hữu hạn bước td sẽ xác định được hạng của ma trận.
V í dụ 3: Tim hạng của ma trận:
A =
3 2 1 0 -1
0 1 7 - 2 1
0 1 3 4 - !
3 2 0 -6 1
Giải: Dễ dàng nhận thấy
1B2 Trường Đạì học Kinh tế Quốc dâh
Chương 3: Má irần W ễỆnhkÌhikĩ
W M C 9 R B a B ô a ằ w ^ 0 B 9 M M K ô w n M 9 ! B C K n H ( g l a a a e M a i M ẫ ẫ M i B e m B H e ẫ H i a a M M a B k
d!; =
0 1 3 ^ 0 .
Trong số các định thức con cấp 3 bao quanh dịnh thức này ta gặp một định íhức khác 0:
Di:3
3 2 1 0 ! 2 0 1 3
= 3 ^ 0 ,
Chuyển sang xét các định thức con cấp 4 bao quanh định thức này ta có:
P ) 1 2 3 4
‘-'1234
3 2 1 0 3 2 1 -1
0 1 2 - 2
_ n -
- U, U|234 - 0 1 2 1
0 1 3 4 0 1 3 -1
3 2 0 - 6 3 2 0 1
= 0.
Chú ý rẳng ma irận A đã cho có tất cả năm định thức con cấp 4 nhưng trong số đó chí có hai định thức bao quanh DỊịj . Do tất cả các định thức con cấp 4 bao quanh DỊ2j đều bằng 0 nên hạng của ma trận A bẳng 3.
V í dụ 4: Tuỳ theo các giá tn của tham số k hãy tìm hạng của ma trận:
A
3 - 1 3 2 2 5 4 - 5 4 -7 1 4 5 4 7 k
Giải: Trước hết ta thấy ngay định thức con cấp 2 ở góc Irên bên trái của ma trận khác 0;
Tnrdng Đạl bọc Kinh tếO uốc dâiì 183
TOẨN CAO CẤP CHO CÁC KỈNH TỂ
3 -1 2 5
Khi tính các định thức con cấp 3 bao quan^ DỊ^ ta gặp một đinh thức khác 0:
3 - 1 3 2 5 4 4 -7 1
= - 1 7
Ma trận đã cho chỉ có một định thức con cấp 4 duy nhất:
3 - ỉ 3 2
2 5 4 - 5
Ì-. I234
^ Ỉ 2 3 4 = A -
4 -7 1 4
5 4 7 k
Từ đây suy ra: khi k 5Ế - 3 thì r(A) = ^ị; khi b. Phương ph áp biến đổi
Xét ma trận daag
*^I1 b j 2 b j 5 • • b , „
0 ồ 2 2 b 2 s •• ■^ 2 n
0 0 . . . . . ■
0 0 . . . 0 ■■ • 0
_ 0 0 ... 0 ■ 0
trong đó s < n và bị ^ 0 với mọi i = 1, 2 , . . .
= -17(k + 3).
- - 3 thì r(A) = 3.
(5.4)
184 Trường Đại học Kinh tế Quốc dằn
Chương 3: Ma trận và định thức
Nếu xoá đi các dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0 phía dưới dòng thứ s (nếu có) thì hạng của ma trân (5.4) không thay đổi (do mỗi dòng đó biểu diễn tuyến tính qua các dòng còn lại). Mặt khác ta thấy ma trận (5.4) có một định thức con cấp s khác 0:
Điều này chứng tỏ hạng của ma trận (5.4) bẳng s.
Như ta đã biết, các phép biến đổi sơ cấp trên hệ vectơ dòng hoặc hệ vectơ cột của một ma trận không làm thay đổi hạng của hệ vectơ đó, do đó chúng không làm thay đổi hạng của ma trận. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp ta có thể biến đổi một ma trận bất kỳ ve dạng (5.4).
Như vậy, bằng cách biến đổi ma trận về dạng (5.4) ta có thể xác định được hạng của nó.
Ví dụ 5: Tim hạng của ma trận
A =
3 2 5 7 9 1
1 4 0 - 9 1 0
1 4 2 - 9 8 1
2 11 4 3 3 2
0 13 1 - 1 3 2 2
Giải: Ta biến đổi m a trận đã cho lần lượt như sau:
(1) Cộng vào dòng thứ nhất, dòng thứ ba và dòng thứ tư, theo thứ tự, tích của dòng*thứ hai với - 3, - 1 và - 2, sau đó đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ hai;
(2) Lấy dòng thứ hai cộng vào dòng thứ năm, sau đó đổi chỗ cột thứ hai và cột thứ ba;
(3) Cộng vào dòng thứ năm tích của dòng thứ tư với - 1, , sau đó đổi chỗ dòng thứ ba và dòng thứ tư;
Trưởng Đại học Kinh tê' Quốc dân 185