Ngược lại, giả sử d = |a | ^ 0. Với điều kiện này ta se chứiig minh rằng ma trận A có ưia trận nghịch đảo.
Thật vậy, theo định lý về mối liên hệ giữa ma trận vuông A và ma trận phụ hợp A* của nó ta có:
AA* = A*A = dE.
Do d 0 ta có thể nhân các vế của đẳng thức trên với - : i ( A A - ) = Ì ( a 'a ) = i ( d E ) .
Theo tính chất của phép nhân ma trận, từ đây suy ra:
a ( Ì a ‘ ) = ( K ) a = (1 ci)e = e .
\d / \ d / \u /
Điều này chứng tỏ ma trận X = là ma trận nghịch đảo của ma trận A (theo định nghĩa) và ta có công thức (4.3).
Định lý đã được chứng minh.
Định lý vừa chứng minh không những cho ta tiêu chuẩn để nhận biết một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo hay không, mà còn cho ta công thức để tìm ma trận nghịch đảo khi nó tồn tại:
công thức (4.3).
Y í dụ 1: Tim ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2:
A = a b c d
Giải: Muốn biết ma trận nghịch đảo có tồn tại hay không ta phải tính định thức của A:
A = a d - bc.
>■ \
• r
Trường Đại liọc Kinh tế Quốc dân
Chuơrìg 3: Ma trận và định thúú
>'ỉêu ad - bc = 0 thì ma trận A không có ma trận nghịch đảo.
KChi ad - bc 7Í: 0 ta có:
-1 1
-A ‘ = 1 A, 1 -^21 A ad - bc _A. 2 -^22 -
1 d
d b
- b ad - bc ad - bc
ad - bc - c a c a
_ ad - bc ad - b c _
V7 dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
2 1 4
A = 1 3 - 3 - 3 2 -1
Ciiải: Trưóc hết ta tính định thức của ma trận A:
2 1 4
d = 1 3 - 3 = - 6 + 9 + 8 - ( - 3 6 - 1 - 12) = 60.
- 3 2 -1
M a trận A có ma trận nghịch đảo:
A 60 60
^11 A3,
■^22 A32
^13 A33
V^iệc còn lại là tính các phần bù đại số:
A \ | , = 3 - 3 ] - 3 1 3
= 3, A,, = - = 10, A,3 =
2 -1 - 3 -1 * 1 - 3 2 11.
Trường Đại học Kinh tế Quốc dãn 1S9
TOÁN CAO CẤP CHO CẤC NHÀ KiNH TỂ
A 2 ,= - 1 4 2 4 2 1
= 9, A-,-, = = 10, A., = -
2 -1 -3 -1 -3 2 = -7,
A31 -
1 4 2 4 2 1
= -15,A3, = - = 10, A,3 =
3 - 3 1 - 3 1 3 = 5.
Ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là:
A"' = 60
Ví dụ 3: C h o m a ư ậ n
r 1 3 1 1 ì 9 - 1 5 ' 20 20 4 10 10 10 — 61 1 1
6 6
n -7 5^ 11 7 1
160 60 12 J
1 2 3 - 3 ‘
2 3 -1 1
-3 - 4 2 -1
3 5 2 m
Hãy tìm điều kiện đối với m để ma trận đã cho có ma trận nghịch đảo. Với điều kiộn đó, hãy tính phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận
Giải: Trước hết ta tính định thức của ma trận B:
B
1 2 3 -3 1 2 3 -3
2 3 -1 1 0 - 1 --7 7
-3 - 4 2 -1 0 2 11 -10
3 5 2 m 0 -1 -7 m + 9
1 2 3 -3
0 - 1 - 7 7
= = 3(m +2).
0 0 -3 4
0 0 0 m+2
160 Trưởng Đại học Kỉnh tế Quốc dãn
Chương 3: Ma trận và đỉntì th ú t Ma trận đã cho cổ rna trán nghịch đảo khi và chỉ khi
B| = 3(m + 2) ^ 0 <=í> - 2 . Khi m - 2 ta có
B”' = 1
3(m + 2)
Phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận phụ hợp B*
là phần bù đại số của phần tử thuộc dòng thứ ba và cột thứ hai của ma trân B:
1 3 - 3
2 -1 1
3 2 m
= 7m +14.
Goị là phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận nghịch đảo B“', ta có:
X 7 3 —
B3, 7m + 14 7 3(m + 2) 3(m + 2 ) 3
Chii ý: Nói chung, phần tử X j j ở dòng i và cột j của ma trận nghịch đảo của một m a trận vuông A bất kỳ được tính theo công
?hức:
trong đó d = I A | , và ,Aj, là phần bù đại số của phần tử ở dòng j, cột i của A.
d. Các tính chất của ma trận nghịch đảo Bạn cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây:
1. Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì
Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân 161
I ỉ lộẢN CAO CẨP CHO CÁC HHẲ KINHĨỂ
(A và ỊA’ 'ị = |A
1 t '
! - l
Hệ ihức thứ nhất suy ra trực tiép từ định nghĩa ma uận nghịch đảo, còn hệ thức thứ hai suy ra từ mệnh đề nói về định ihức của tích hai ma trận vuông cùng cấp:
lAA--‘ ;= :! E Ị = > |A |Ì A -' - 1 . i ĩ > ì I M
2. Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A và B có ma trận nghịch đảo thì ma trận .'-''iiì cũng có ma trận nghịch dảo và
( A B r ‘
Thật vậy, theo tính chất của phép nhân ma trận, ta có;
(B '‘A ' ‘>(AB) - B"'(A“'A)B = B“‘EB - B ''B = E;
(AB)(B'‘A“’; = A(BB"’) / r ' = AJEA'‘ = A“=A = E
Theo dinh nghĩa thì điểu này chứng tỏ B A là ma tiậr. nghịch đảo của m;:. ưận AS.
l ĩ í . ỨNG DỤNG MA T R Ậ N N G H ỊC H ĐẢO
Trong đại số sơ cấp ta đã biết rằng phưcmg trình bậc nhát ax = b (a ^ 0) có rnột nghiệm duy nhất
ba
Tương tự, trong tập hợp các ma Irận vuông cấp n (n cố Jịnh) ta xét các phươiig tiình;
AX = B, (4.4)
YA = B, (4.5)
trong đó A và B là các ma trận vuông cấp n cho trước.
Xét trường hợp ma trận A có ma trận nghịch đảo. Trong truờng hợp này, nhân hai vế của phương trình (4.4) với A “‘ về bên trái ta được;
X = A‘ 'B. (4.6)
Chương 3: Ma trận và định thiic
Tương tự, nhân hai vê của pliương trình (4.5) với A ' về bên phải ta được
Y = B A '. (4.7)
''íhư vậy, klù ma trận A có nia ỉrận nghịch đảo thì mỗi phương trình (4.4) vá (4.5) có một Hiịhiệm duy nhất được xác định theo các công thức (4.6) và (4.7).
V í dụ: O ìo hai m a trận:
"2 1 0 ’ ' 1 -1 5 '
3 -1 1 , B = 2 0 -3
1 3 -2 4 1 0
G iải: Dê dàng xác định được;
- 1 2 1 7 - 4 - 2 10 - 5 - 5
Phương trình AX = B có một nghiệm duy nhất là ma trận:
-1 2 1 7 - 4 - 2 10 - 5 - 5 7 2 -11
- 9 - 9 47 - 2 0 - 1 5 65
75 59
1 - 1 5 2 0 - 3
4 1 0
2 _ ỉ ỉ 5 " T
9 4 7 5 Í T - 4 - 3 13
Phưcmg trình YA = B có một nghiệm duy nhất là ma trận:
Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân 163
TOẲN CAO GẤP CHO CÁC NHẢ KỈNH TỂ
Y=--BA 2
4
1 5 0 - 3
1 0
-1 2 1
7 - 4 - 2 10 - 5 - 5
■ 42 -19 - 2 2 '’ 42
ĩ' 19
5 22"
' ' 5 -3 2 19 17 - - 32
‘ T 19
T )7
T
3 4 2 3
. 5
4 5
2 5-
Nhận xét: Khi A ià ma ĩrận vuòng kliông suy biến cấp n, công thức (4.6) có thể áp dụng để giải phương trình (4.4) với B là ma trận cấp nxp bất kỳ. Tương tự, công ihức (4,7) có thể áp dụng để ẹiải phương trình (4.5) với B là ma trận cấp qxn bất kỳ.
Ví dụ: Giải phương trình AX = B, với
3 2 ' ‘ 2 0 4 '
A = ,B =
. “ 1 1 _3 -1 5 Giải: Ma trận A có ma trân nghịch đảo:
A -11 _ 1 'A , , _ 1 '1 - 2 ‘
A -^12 At2 5 3
Nghiệm của phương trình là;
X = A -‘B =
5 1 2 Ị 3 j ị f - 4 2 - 6 ị
5ị_ ỉ ì - 3 19J
2 0 4 ' 3 -1 5_
_ 4 2 5 5 II 3
5 5
6 ' 5
19 5 .
í E l l l i l S
Kinh tế
Chuững 3: Ma trận và định thứữ
Chú ý: Trong trường hơp ma trận A không có ma trân nghịch đảo (A có định thức bằng 0 hoặc không viiông) ta có thể giải các phương trình (4.4) và (4.5) ihỏng qua việc giải hộ phương trình tuyến tính với các ẩn số là các phần tử của ma trận phải tìm.
IV. T ÌM MA TR Ậ N N G H ỊC H ĐẢO BẰNG p h ư ơ n g
P H Á P BIẾN Đ Ổ I MA TR Ậ N
Theo công thức (4.3), muốn íìin ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấp n ta phải tính n‘ định íhức cấp n - 1 để lập ma trận phụ hợp. Khi n lớn, công việc này khá cồng kềnh. Sau đây chúng tôi trình bày một phương pháp khác cho phép ta tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biên đổi sơ cấp.
Để tìm ma trận nghịch đào của ma trận vuông A (cấp n) ta viết ghép m a trận đơn vị cấp n vào ma trận A về phía bên phải (thêm vào A các cột của ma trận E). Làm như vậy ta được một ma trận cấp nx(2n):
c = [a Ịe
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì bằng các phép biến dổi sơ cấp đôi với hệ vectơ dòng ta có thể biến đổi ma trận c về dạng:
í eỊb' .
Khi đó ma trận B chính là ma trận nghịch dảo của ma trận A.
V í dụ: Tim ma trận nghịch đáo cùa ma trận;
1 0 1 - 2
1 1 0 1
2 - 1 1 1
0 1 - 1 1
Trưdng Đại học Kính t ế Quốc dân 165
TOẮN CAO CẤP CHO CÁC nI Ị Ì Ị Ì Ì Ĩ I Ể
Giải: Ta lập ma trận
0 1 1
1 - 2 1 1 0 0 OỊ 0 1 0 1 0 0
1 1 ' CH 0 1 0
-) l ị ci 0 0 1
Ta biến đổi như sau:
Lấy dòng thứ nhất cộng vào dòng thứ hai, sau đó cộng vào dòng thứ ba tích của dòng thứ nhất với (-2), ta được:
" 1 0 1 -2 1 0 0 0 ’
0 1 1 -1 1 1 0 0
0 -1 -1 5 - 2 0 1 0
0 1 -1 ] 0 0 0 1
Cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, sau đó cộng vào dòng thứ tư tích của dòng thứ hai với (-1), ta được;
' 1 0 1 -2 1 0 0 0 ' 0 1 1 -1 1 1 0 0 0 0 0 4 -1 1 1 0 0 0 -2 2 -1 -1 0 1
Nhân dòng thứ ba với ^ , dòng thứ tư với ( " 2) ’ đổi chỗ hai dòng đó, ta được:
1 0 0 1
0 0 0 0
1 -2 1 -1 1 -1 0 1
0 1
1
9
1
4
0
0 0
i
4
0 0
12 0
Lấy dòng thứ tư cộng vào dòng thứ ba và dòng thứ hai, sau đó lại cộng vào dòng thứ nhất tích của dòng thứ tư với 2, ta được:
166 Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân
Chiiững 3: Ma trận và định thức
1 0 1 0
0 1 ì 0
0 0 0
0 0 0 1
I ] ỉ
2 2 2
3 ÍS ì
4 4 4
1í ì
4 4 4
Ị 1 1
4 4 4
0 0 .12 0
Cộng vào các dòng thứ nhất và dòng thứ hai tích của dòng thứ ba với ( " l ) , ta được;
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
i
4
i
9
i 4 i '4
I 4
i
3 4
J
4
i
4 11
2
0 ị i
4
i
4
i2 0 Ma trận ne;hich đảo cùa ma trận A đã cho là:
r 1
Ậ
1 1
i
1 ị
l 1
2 0 !
2 i
4
3 4
1 ẳ
1
1 1l 1
"4 0