4xj + X2 + = 1 3x, - 2X2 - X3 = 0 - X) + 5X2 + 2X3 ^ 0 7X] + 7X2 + 4X3 = 2
Đây là một hộ phương trình tuyến tính 3 ẩn số. Ma trận hệ số của hệ phương trình đã cho có hạng bằng 3, bởi vì nó chỉ có ba cột và có một định thức con cấp ba khác 0:
4 1 1 3 - 2 -1 - 1 5 2
= 12,
Ma trận mở rộng của hệ là một ma trận vuông cấp bốn có định thức bằng 0 (bạn hãy tự kiểm tra) và có định thức con DỊ23 = 12, do đó hạng của nó cũng bằng 3. Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất. Định thức DỊj3 là một định thức con cơ sở của ma trận hộ số, do đó hộ phương trình cơ sở của hệ đã cho gồm ba phưcmg trình đầu:
4xj + Xt + X3 = 1 3xj - 2X2 ~ X3 = 0 . - X| + 5X2 + 2X3 = 0
Đây là một hộ Cramer 3 ẩn số. Theo quy tắc Cramer ta dễ dàng tìm được nghiệm duy nhất của nó là;
1 12
5 13^
.X3 =
12 12
Ví dụ 3: Xét hộ phương trình
208 Trường Đại học Kính tế Quốc dân • iì lí iỉỊ ; i i l ị : H íi: i í i •
Chương 4: Hệ phưong trinh tuyến tínii
ị X , + 2X2+ 3X3+ 4x., - X5 = 3 ' 3 X | - 9x2 + 1 9 x , - 13X4 + 1 7 x , = - 6
X, - X2 + 5X3 - X4 + 3x^ = 0
Qua việc tính hạng ta thấy ma trận hệ số và ma trận m ở rộng của hộ phương trình này cùng có hạng bằng 2. Để giải hệ đã cho la chọn một định thức con cơ sờ của ma trận hệ số, chẳng hạn;
1 2
1 -1 = - 3 ^ 0 .
Hệ phương trình cơ sở gồm phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba:
J X | + 2x-,+3X3+4X4 - X5=3 Xj - +5X3 - X4 + 3X5 = 0
Các ẩn chính là X | , X 2 và các ẩn tự do là X 3 , X 4 , X 5 . Chuyển các số hạng chứa các ẩn tự do sang vế phải và gán cho chúng giá trị tuỳ ý: X3 = a, X4 = p, X5 = y, ta được một hệ phương trình Cramer hai ẩn số Xj, X2'
X, + 2x ị = - 3a - 4p + Ỵ + 3
X| - X2 = - 5 a + p - 3y
Theo quy tắc Cramer ta tìm được:
_ . 13 2 „ 5 _ 2 5_ 4
x , = l - — a — p — y , x , = l + - a - - 3 + - y .
, ' 3 3*^ 3 ' ^ 3 3^ 3 '
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là:
13 5 2 5 _ 4 _ '
[ ' 3 “ 3 ^ 3 ’'- ‘ 3 “ 3 '* 3 ^ ’ P ''' trong đó a , p , y là ba số bất kỳ.
Trường Đại học Kinh tè' Quốc dân 209
TOẨN CẤO CẤP GHO CẤC NHÂ KINH ĨẾ
■ a e á g e g a a i i a á Ẽ Ỉ à e i g ^ ^
Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ phưưng trình;
x + 2 y + 3 z - 5
3x - 4y 4 z = - ì (m là tham số).
2 x - 6 y + m z - 2 Gidi: Gọi A là ma trận hệ số. ta có:
1 2 3
d = | A ị = 3 - 4 I 2 - 6 m
= -10(m + 2).
Khi rn - 2 thì d 0, do đó hệ phương trình đã cho là hệ Cramer. Để tìm nghiêm duy nhất theo quy tắc Cramer ta tính các định thức:
2 3 1
^2 =
d3 =
- 1 - 4
2 - 6 n
1 5 3
3 — 1 1
2 9 in
1 2 3
3 „ 4 - 1 2 - 6
= -2(9m - 38),
= -16(m - 2).
= - 8 0 .
Như vậy, khi m ^ - 2 hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất:
X 9m — 38 ^(m — 2) 5(m -r 2) > y =
5(m 4- 2) m
, z =
21 o’ Trưởntì Đại tìọc Kinh tế Qưểc dân
Chương 4: Hệ trình tuyến tính
Khi m = - 2 ta có d = 0. do dó i (A) < 3. Mạt khác, do d-, ÍC 0 nên hạng của ma trận rnỏ rộng băng 3. Vậy trường hợp lĩi = - 2 hệ phương trình đã cho vò nghiệm.
BÀI TẬP
3. Giải các hệ phưoTig trình sau bằng cách chỉ la một hệ phương trình cơ sở và giải hệ phưoìig trình cơ sở đó:
a)
12X| + 9 xt + 3X3 4- lOx, 13
b)
4X| + 3 x , + X 3 + 2X4 = 3 8X1 + 6x , + 2X3 + 5X4 = 7 16X| + 12xt + 4X3 + 9X4 = 13
2 X | + X ; - X 3 - X 4 + X 5 = 1
X j - X , + X 3 + X 4 - 2 x j = 0
4X| + 5x, - 5 X3 - 5 X4 + 7 X5 = 3 3Xj + 3x. - 3X3 - 3X4 + 4X5 = 2
4. Sử dụng định lý Cronecker-Capelli, hãy tìm k để các hệ phương trình sau có nghiệm
a)
1
X 3 + 4 X 4 = 2
b)
2X| - + X3 +
X| + 2x-, -
X , + l x.2 ~ 4 X 3 + 1 1 X 4 = k
’ 8X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4 = 5 12X| + 3 x , + 3X3 - 3X4 = 2 4x, + 5xt + 2 x , + 3x. = 3 kX| + 4X2 + X3 + 4X4 = 2 5. Cho hệ phưcmg trình
Trường Đại học Kinh tế Quốc đân 211
TOÁM CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KiNH TỂ
2x - y-^ mz - 1 5 x - + y + 3 z - 0 - : x - 3 y - 2 = 4
a) 'Rm hại-ẹ cúa ma ĩrận mờ ỊỘng của hệ phưưng trình đa ch 3.
b) Với ;ỉhữn£, giii ĩri nào của m thì Lọ pbưoiig trinh đã chu có nghiệm?
c) Trong trường hợp hệ có iỉghiéĩĩì hãy xác địiih nghiệm của hộ theo quy tấc Crarnev.
6. Chứng nìiah rằn.a một hệ pnưcmg trình tuyèn tính với số phương tiình bằng ,'ố án có inỏt nglìiệm duy nV ấl khi VH rhỉ khi nó l à hệ phương trì an Cramer.
7. Tlĩn ruệnh đề sa; trong các inệnh •ĩề sau;
a) Nếu m ội hệ phươTig trình tuyến tính vói Sv) phươiig trình nhỏ hơn số ẩíỊ có nơliiệt ỉ thì nó có vô số nghiệm.
b) Mọi hê ị hươiie tnuh tuyến tính V(VÌ số phương trình nỉiỏ hơn sô ẩn đều có vô số nghiệm.
c'i Mọi hệ phươn? tnnh tuyến tính thaán nhất vợi số phươiig tiình nhỏ hon số ẩn ilều có vô số nghiêm
d) Mọi hê phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số là ma irận vuỏng suy biên (có định thức bẳng 0) đều có vô số nghiệm
e ) N ế u h ệ p h u ơ n s i r ì n h í u y ế n t í n h c ó v ó s ố I i g h i ệ m t h i k h i
bỏ bớt một phương trình nó vẫn có vỏ số nghiệm
8. Chứng minh rằng nếu hệ phương trình tuyến tính có ma trận m ở rộng là ma irận vuông không suy biến thì nó vô nghiệm.
9. Cho hệ phương trình
212 Trưcỉng Đại học Kinh tế Cuốc đàn
■:> yiịi; ịỉ- -iH-
l í T~^-r-ịi—iìr-rĩìr‘VìÉrti^-'-tfirt^~ T'-' •'•rrri~’É-r Chvxmg 4: Hệ píĩươTầg trmh iưyến tính. ay 4 bx ■ c
cx + az - b bz -ì- cy = ?
Hãy tìm đieu kiện để hẻ phương trình đó có một nghiệm duy nhất và tìm nghiệm du}' nhất đó.
10. Tuỳ theo giá trị của tham số (k, m, a, b), hãy giải các hệ phưcmg trình sau;
kx y + 7. ^ 1 a ) ^ x + k y + z =■ k
X + y + kz -
mx + my + (m + l)z - m b) "Ị nix + mv + (ĩĩi - l)z - m
(m 4- l)x -r mv + (2m + 3)z = 1
3ax -h (2a 4 l)y (a + l)z = a c) < (2a - l)x + (2a - l)v + (a - 2)z =: a 4- 1
(4 a “ l)x -f- 3ay + 2az “ ]
(5b -i- l)x + 2by + (4b + l)z = 1 + b d) ] (4b - l)x + (b - ỉ)y 4- (àb - l)z = -1
2(3b + l)x + 2by + Í5b + 2)z - 2 - b