2 2 chứng minh cân kẻ qua đầu của một dây cung dây cung song song với dây cung kia)
2.5. Rõ ràng các chân các đường vuôag góc hạ từ điểm M xuấng các đường kính
18CP 360°
, nên sấ đo góc của các cung đó bằng nhau và bằng — — . Do đó sấ đo góc n ' n
360p 360°
của cung chứa điểm Obằng 360° - ( n - 1 ) — — = — — . Suy ra chân các đường n n
vuông gấc chia đường tròn s ra làm n cung bằng nhau, tức là chúng là các dinh của n - giác đều.
2.6. R õ ràng ( A A l , B B i ) = ( A A l , A B i ) + ( A B i , B B i ) = ( M A I , M B i ) + + ( A N ? B N ) . B ở i vì M A I -L B N và M B i Ì A N , /tên ( M A i ? M B i ) =
= ( B N ? A N ) = - ( A N ? B N ) . Do đ ó ( A A i ^ B B i ) = 0 ° , t ứ c A A 1 / / B B 1 . 2.7. Các đ i ể m A và p nằm t r ê n đường t r ò n 4jiờng k í n h BC* do đ ó A P C = A B C , tức là số đ o góc APC k h ô n g đ ổ i .
Đ ộ dài lớn nhất của dây cung Á P bằng đường k í n h của đường t r ò n , tức là bằng cạnh huyên Be.
Đ ộ dài n h ỏ nhất của dây cung Á P bằng cạnh góc v u ô n g n h ỏ nhất. T h ậ t vậy, giả sử A C < A B . K h i đ ó A P C = A B C < B C A < P C A Đ ộ dài đ o ạ n thừng, mà đ i ể m A chi ytín động t r ê n đ ó , bằng h i ệ u đ ộ dài của cạnh huyên và cạnh góc vuông n h ỏ nhất.
2.8. Bởi vì A B // D E n ê n A C E = B F D . B ở i vì Be / / E F , n ê n C A E = B D F . C á c tam g i á c A C E và B D F có hai cặp góc bằng nhau, do đ ó các g ó c t h ứ ba cũng bằng nhau. T ừ đừng thức của các cặp góc đó suy ra đừng thức cùa các cung A C và D F , tức là sự song song của các dầy cung CD và A F .
2.9. Ta chứng m i n h bằng quy nạp theo n. Đ ố i v ớ i t ứ giác bài toán {lúng là h i ể n n h i ê n , đ ố i v ớ i lục g i á c n ó đuợc chứng m i n h ở bài t r ê n . G i ả sử bài toán đã được chứng minh cho 2 ( n - l ) - g i á c í a sẽ chứng m i n h bài t o á n cũng đ ú n g cho 2n-giác. G i ả sử A i. . . A 2 n là 2n-giỏc, trong đú A 1 A 2 // A n + i A n+ 2 , - ằ A n - i A n // A2n-lA2n. X ộ t 2 ( n - l ) - g i á c A i A 2 . . . A n - i A i r+ i. . . A 2 n- i . Theo giả t h i ẽ t qụy nạp v ớ i n chẵn ta được A n - l A n + l / / A 2 n - l A i , v ớ i n l ẻ ta đ ư ợ c A n - l A n + 1 = A 2 n - l Ạ ] ; X é t A An-lAnAn+1 và A A 2 n - l A 2 n A i . G i ả sử n chẵn. K h i đ ó các v e t ơ A n - i A n và A2n-1 A2n ,
A n - i A n + 1 v à A 2 n- i A i song song và ngược c h i ề u nhau, do đ ó An An-1 Ati+1 = A i A 2 n - 1 A2n và AnAn+1 = A211A1 n h ư các dây cung chắn các cung bằng nhau, và đ ó là đ iề u p h ả i chứng minh. G i ả sử n l ẻ . K h i đ ó A n - i A n + 1 =
= A 2 „ - i A i , tức là A i A n - i / / A n + i A 2 n- i . T r o n g h ì n h l ụ c g i á c A n - i A n A n + i A 2 n - 1A211A1 có AiAn-1 // A n + i A 2 n - i và A n - l A n //A2n-iA2n, do đ ó theo b à i toán trước AnAn+1 // A 2 n A i ( đ i ê u p h ả i chứng m i n h ) .
2.10. Ta có K E C = - ( M B + Ác) , K D C = - ( M B + BC). B ở i vì M B = A M , 2 2
n ê n K E C + K D C = ỉ ( M B + BC + Ố A + Á M ) = 18ơ° tức t ứ giác K E C D n ộ i 2
t i ế p .
2.11. Kí h i ệ u sổ đ o góc của cung chắn b ở i các cạnh của tam giác t r ê n đường t r ò n là*a. Xét cung đuợc chắn b ở i các p h â n k é o dài của c á c cạnh t r ê n đ ư ờ n g t r ò n và kí h i ệ u số đo góc của n ó là a\ K h i đ ó - (a + a') = B Á C = 6 0 ° . N h ư n g a = a\
2
b ở i vì các cung đó đ ố i xứng qua đ ư ờ n g thẳng đi qua t â m đ ư ờ n g t r ò n và song song v ớ i đáy BC của tam giác. Do đó a = a ' = 6 0 ° .
2.12. Kí h i ệ u số đ o góc của các cung A B , BC, C D , A D t ư ơ n g ứng là a, ộ, Y,ỗ.
R õ r à n g a + ậ +Y + ồ = 360°. Kí h i ệ u giao đ i ể m của các đ ư ờ n g thẳng A i C i và B i D i l a o . Khi đó
A i Ô B i = - (MB + B B i + Q D + D D i ) = - (a + p + y + ồ ) = 9 0 °
2 4
2.13. a) Ta chứng m i n h rằng A A i ± B i C i . Kí h i ệ u giao đ i ể m của các đ o ạ n thẳng đ ó là M . Ta có A M B i = - (ẤBÌ + Ẩĩầ + B Q ) = A B B i + A i A B + B C Q =
2
= - ( A B C + C A B + B C A ) = 9 0 ° 2
b) Kí h i ệ u các giao đ i ể m của các đ o ạ n thẳng A A i và B e , B B i và A C , là M i và M2 t ư ơ n g ứng.
Cách thứ nhất: B M i A = - ( B A + Áĩc ) = B C A + A l C i C , BM2A = - ( B A +
^ 2 * • 2
+ B i C ) = B C A + B 1 C 1 C. B ở i vì B M i A = BM2A = 9 0 ° n ê n A i Q C = B i Q C , tức C C i là đường p h â n giác của g ó c A1C1B1.
Cách thứ hai : C á c tarn giác vuông A M i C và B M 2 C đ ô n g dạng, d o ' đ ó B i B C = A i A C , suy rả B i C = A i C và B1C1C = A1C1C, tức C C i là đ u ờ n g p h â n giác của góc A1C1B1.
c) Kí h i ệ u các đ i n h của t ạ m giác T i là A , B và c, trung đ iế m các cung BC, C A , A B là A i , B i , C i . K h i . đ ó T2 = A1B1C1. Các d ư ờ n g thẳng A A i , B B i , C C i là các đường p h â n giác của tam giác T i , do đ ó c h ú n g đ n g quy t ạ i một đ i ể m o. G i ả sử cắc d ư ờ n g t h ẳ n g A B , C1B1 cắt nhau t ạ i đ i ể m K . Ta c h i c ă n chứng m i n h r ằ n g K O // A C . Trong A A B i O đường t h ẳ n g B1C1 là đ ư ờ n g p h â n giác rà là dường cao, do đ ó tam giác đ ó c â n . Suy ra A A K O cũng c â n . C á c đ ư ờ n g thẳng K O và A C song song, b ở i vĩ K O A = K A O = O A C
2 . 1 4 . G i ả sử p là giao điểm thứ hai của các đường tròn. K h i đ ó D C B = - A C =
2 '
= APC và DBC = APB , do đó BDC = 180° - D B C - DCB = 180° - APB - . - A P C = 180° - p?c = A B P 4 ACP. N h ư n g các góc. A B P và ACP c ù n g chắn các cung k h ô n g d ổ i , nên c h ú n g cũng không đ ổ i .
2 . 1 5 . G i ả sử O i và O 2 là tâm các đường tròn Si và S2: c và D là các t i ế p đ i ể m của t i ế p tuyển chung ngoài với các đường t r ò n Si và S 2 t ư ơ n g ứng. G ó c giữa t i ễ p tuyến C D và dây cung C A bằng một nửa góc C O i A chắn t r ê n cung C A . T ư ơ n g tự
D O 2 A = 2 A D C . Do đ ó C D A + D C A = - ( C ổ i A + D Q 2 A ) . B ở i vì COI / / D O 2
2
nôn C ổ ! A + D O 2 A = 180° , tức là C D A + D C A = 90° . Suy ra C A D = 9 0 ° .
2 . 1 6 . Kí hiệu giao đ i ể m của tia A B và t i ế p tuyến của đường tròn t ị i đ i ể m M là c. B ở i vì C M và CT là các t i ế p tuyến của đ u ờ n ^ t r ò n n h ỏ , n ê n C M T = C T M . R õ ràng T A M + A M T = C T M , suy ra T A M + A M T = C M T . G ó c giữa t i ế p tuyên C M và dõy cung M B bằng gúc chắn cung BM.ôDo đ ú C M B = B Á M = T A M . suy ra T A M + A M T = C M T = C M B + B M T = T A M + B M T , tức là A M T = B M T .
2.17. Kí h i ệ u tâm đ ư ờ n g tròn là o. Các đ i ể m p và Q nằm t r ê n đường t r ò n dựng t r ê n b á n k í n h O M n h ư t r ê n đường k í n h , tức là các đ i ể m o, p, Q, M nằm t r ê n đường t r ò n b á n kính — k h ô n g đ ổ i . K h i đó hoặc POQ = A O Đ , hoặc
2
POQ = B O D = 180° - A O D , tức là đ ộ dài dây cung PQ k h ô n g đ ổ i .
2 . 1 8 . G i ả sử A B C D và A 1 B 1 C 1 D 1 là các h ì n h thang có các cịnh tương ứng song song và c ù n g n ộ i t i ế p trong một đường t r ò n . R õ r à n g A B C = A 1 B 1 C 1. Đ o đ ó các dây cung A C và A 1 C 1 bằng nhau, b ở i vì c h ú n g cùng chắn những góc bằng nhau.
2 . 1 9 . X é t hai vị t r í của đường t r ò n lăn : Ở t h ờ i đ i ể m đâu, k h i đ i ể m K chịm vào dường t r ò n cố định ( t i ế p đ i ể m của các đ ư ờ n g t r ò n t ị i t h ờ i đ i ể m d ó ta kí h i ệ u là K i ) , và t ị i một t h ờ i đ i ể m t h ứ hai n à o đ ó k h á c . G i ả sử o là tâm đường t r ò n cổ đ ị n h , O i và O 2 là các vị trí của t â m đường t r ò n lăn t ị i các t h ờ i đ i ể m t h ứ n h á t và t h ứ hai t u ô n g ứng, K 2 là vị t r í của đ i ể m K t ị i t h ờ i đ i ể m t h ứ hai, A là t i ẽ p đ i ể m của hai d ư ờ n g t r ò n t ị i t h ờ i đ iế m t h ứ hai. B ở i vì đường t r ò n lăn k h ô n g t r ư ợ t , n ê n đ ộ d à i của cung K I A bằng đ ộ dài của cung K 2 A . B ở i vì b á n k í n h của đường t r ò n lăn bằng một nửa b á n k í n h đường tròn cố định, n ê n K 2 O 2 A = 2 K 1 O A . Đ i ể m o nằm t r ê n
Ị ^ •v
đường t r ò n lăn, do đ ó K2OA = . - K.2O2A = K i O A , tức là các d i ê m K-2, K i và o
ì
c ù n g nằm t r ê n m ộ i đường thẳng. N h ư vậy quỹ đạo chuyển dộng của d i ê m K là một đường k í n h cùa đường tròn cố đ ị n h .
2.20. EOD = AOC = Ì80° - oẲc - OCA = 180° - ỉ Ầ - - C = 90° + - B =
2 2 2
= 1 2 0 ° . Do đó E O D + E B D - 12Ơ' + 60° = 180°, tức là các đ i ể m B, E, o, D cùng nằm trên một đườnc t r ò n . Bởi vì o là giao đ i ể m của các d ư ờ n g p h â n lĩiác, nên
EBO = D B O , tức là EO = O D .
2.21. Kí hiệu tâm duxrnử tròn n ộ i t i ế p của A A B C là O i , tâm d ư ờ n g tròn bàng t i ế p t i ế p xúc với cạnh B e là O2. G i ả sử M là trung (liếm của đ o ạ n thẳng O1O2. B ở i vì O1BO2 = O1CO2 = 9 0 ° , nên O i M = B M = O2M = C M .
Cách thứnhất. Bởi vì các đ i ể m A , O i , M nằm t r ê n đ ư ờ n g p h â n giác cùa góc A , nên B ổ Ì M = BAO1 + A B O ] = - ( Ầ + B ) . T ư ơ n g tự C O i M = - ( Â + C ) . B ở i
2 2 vì các tam giác O i M B và O i M C cân, nên O i M B = 180° - 2 B O i M =
= 1 8 0 ° - Ầ - B , O i M C = 180° - A - C . Cộng các đ ẳ n g t h ú c đ ó , ta được B M C = O i M B + O i M C - 180° - A . Do đ ó các đ i ể m A , B , M và c c ù n g nằm trên một đ ư ờ n g Iròn.
Cách thứhqi. B ở i vì B M = C M , n ê n M n ằ m t r ê n đường trung trực í! của đ o ạ n t h ẳ n g Be. T r ư ớ c h é t x é t t r ư ờ n g h ợ p A B * A C . K h i đó đường p h â n giác A O i k h ô n g là đường cao của A A B C và cắt d ư ờ n g thẳng d t ạ i một đ i ể m M . N h ư n g cả hai đ ư ờ n g thẳng đ ó đề u đi qua đ i ể m M i là trung đ i ể m cung Be của đ ư ờ n g t r ò n ngoại t i ẽ p . Suy ra M = M i . Tam giác cân ( A B = A C ) là " g i ớ i h ạ n " của một dãy các tam giác k h ô n g cân n à o đ ó ,
cho n ê n đ ố i v ớ i n ó , két luận của bài toán ỵ ị n h 7J cũng đ ú n g .