Hình 34 3.16. T r ê n ba đoạn thẳng OA, OB, oe có
c ù n g đ ộ dài ( đ iế m B nằm trong góc A O C ) nhu t r ê n các đường ) inh dựng che đường tròn.
Chứng minh rằng d i ệ n tích của tam giác cong g i ớ i hạn bời các cung của các đường t r ò n đó và k h ô n g chức đ i ể m o, t ư n g một nửa d i ệ n tích ( b ì n h thường) của A A B C .
3.17. T r ê n các cạnh của tam giác nhọn A B C bất kỳ n h ư t r ê n các đường kính dựng các đường t r ò n . K h i đó sẽ tạo được ba tam giác cong ổ phía ngoài và một lam giác cong ở phía trong A A B C (h.35). Chứng minh rằng lẫy tổng d i ệ n tích các tam giác ở p h í a ngoài trừ đi diện tích tam giác ở phía trong, thì sẽ được hai lần d i ệ n tích của A A B C lúc đâu.
§ 7 . T r ụ c dẳng phuưng
T r ê n mặt phang cho dường tròn s và một đ i ể m p. Đường thẳng kè qua đ i ể m p cắt đuờng t r ò n t ạ i các đ i ể m A và B.
3.18. Chứng minh rằng tích P A P B không phụ thuộc vào cách chọn đường thẳng.
Đ ạ i lượng đó được lấy v ớ i dâu + đ ố i với đ iế m p nằm ngoài (luông tròn và v ớ i dẫu - đ ố i v ớ i đ iế m p nằm trong đường tròn, được gọi lã p h ư ơ n g tích của đ iế m p đ ố i v ớ i đuờng tròn s.
3.19. Chứng minh rằng đ ố i v ớ i đ iế m p nằm ngoài đường t r ò n s, p h ư ơ n g tích của nó đ ố i v ớ i đ i ể m s bằng bình p h ư ơ n g độ dài tiêp tuyển kẻ t ừ đ i ể m đó.
3.20. T r ê n mặt phẳng cho hai đuửng tròn Si và S24chông đồng t â m . C h ú n g minh rằng tập hợp các đ iế m có phương tích đ ỗ i với hai đường tròn Si và S2 bằng nhau, là một đuờng thẳng.
Dưỡng thẳng dó gói là trục đẳng phương của các đường tròn Si và S2.
3.21..Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường t r ò n cắt nhau đi qua các giao đ i ể m của c h ú n g .
Hình 35
3.22. T r ê n mặt phảng cho 3 đường t r ò n có các t â m k h ô n g thẳng h à n g . K ẻ các trục đẳng phưrmg cùa các cặp đường tròn trong số đ ó . C h ứ n g m i n h rằng tát cả 3 trục đẳng p h u ư n g đ ò n g quy t ạ i một đ i ể m .
Diêm đó gọi là tâm đẳng p h ư ơ n g của ba đường t r ò n .
3.23. a) T r ô n mặt phảng cho ba đường tròn từng đôi cắt nhau. Qua các giao đ i ể m của hai đường tròn bát kì trong sô đ ó kẻ một đường thẳng. Chứng minh rằng ba đường t h ẳ n ẫ này hoặc (longjquy t ạ i một đ i ể m , hoặc song song v ớ i nhau.
b) T r ê n các cạnh B e , C A , A B của tam giác n h ọ n A B C lấy các đ i ể m A i , B i , C i b ã i kì. Chứnh minh rằng ba dây cung chung của các cặp đường t r ò n đường kính A A i , B B i , C C i cùng đi qua trực tâití của A A B C .
3.24. T r ố n cạnh BC của A A B C lẫy A ' . Đ ư ờ n g trung trực của đoạn thẳng A ' B cắt cạnh A B t ạ i M , còn đường trung trực của đoạn thẳng A ' C cắt A C t ạ i N . Chứng minh rặng diêm đ ỏ i xứng v ớ i đ iế m A ' qua đường thẳng M N nằm t r ê n dường tròn ngoại t i ế p của A A B C .
3.25. T r ê n mặt phang cho hai (luông t r ò n k h ô n g cắt nhau. Kè t ớ i c h ú n g một t i ế p tuyên chung ngoài và một riếp tuyên chung trong. C á c t i ế p đ i ể m v ớ i đường t r ò n t h ứ nhất kí hiệu là A và B, v ớ i đường tròn t h ứ hai — là c và D . Chứng minh rằng giao đ i ể m của các đường thẳng A B và C D nằm t r ê n đường thắng n ố i các tâm của các đường t r ò n .
3.26. a) Bên trong một đa giác lôi đặt một số đ iế m . Chứng minh rằng đa giác có th&đuực chia ra t h à n h các đa giác n h ỏ sao cho t ấ t cả c á c đa giác n h ỏ đ ó đêu lôi và trong mỗi đa giác n h ỏ có đ ú n g một trong các đ iế m đã cho.
K ) Bên trong một đa giác l ồ i đ ặ t ựiột số các dường t r ò n từng đôi k h ô n g cắt nhau vcr các bán k í n h khác nhau. Chứng minh rằng đa giác có t h ế được chia ra t h à n h cái; lia giác n h ỏ sao cho tất cả c h ú n g đêu lôi và trong m ỗ i đa giác n h ỏ chứa đ ú n g một trung o':c đường tròn đã cho.
3.27. Chứng minh rằng các đường c h é o A D , B E , C F của lục giác ngoại t i ế p A B C D E F đòng quy t ạ i một đ iế m .
CÁC BÀI TOÁN T ự G I Ả I
3.28. M ộ t cái ghe xích đu có h ì n h quạt t r ò n b á n k í n h R, đu đưa t r ê n một mặt nằm ngang. H ỏ i đ i n h của nó sẽ chuyển động theo quỹ đạo n h ư t h ê n à o ?
3.29. C á c đ ư ờ n g t r ò n S i , Si, Sĩ v ớ i c á c t â m O i , Ơ 2 , O3 c ù n g c ắ t n h a u t ạ i đ i ể m c . N g o à i ra S i v à S; c ò n ca! n h a u t ạ i đ iế m D , S i và S3 t ạ i đ iế m A , S2 và S3 t ạ i đ i ể m B. C á c đ i ể m O i và O2 n ằ m t r ê n ( l u ô n g t r ò n S3. C h ứ n g m i n h r ằ n g c á c đ i ể m A , D và O2 t h ẳ n g h à n g .
3.30. C h o 4 d ư ờ n g t r ò n , t r o n g đ ó đ ư ờ n g t r ò n t h ứ n h ấ t t i ẽ p x ú c v ớ i đ ư ờ n g t r ò n t h ứ hai t ạ i đ iế m A , t h ứ hai v à t h ứ ba t ạ i đ i ể m B , t h ứ ba và t h ứ t ư t ạ i đ i ể m c , t h ứ t ư v à t h ứ n h a i t ạ i đ i ể m D . C h ú n g m i n h r ằ n g t ứ g i á c A B C D n ộ i l i ế p .
3.31. T ừ d i e m A nam n g o à i d ư ờ n g t r ò n b á n k í n h R k ẻ t ớ i đ ó hai t i ế p t u y ê n A B và A C , i r ọ n i ! đ ó B v à c là c á c t i ế p đ i ể m . G i ả s ứ B C = a. C h ứ n g m i n h r ằ n g
) Ì ì a~ „.
4 R = r" + r-Ạ~ + —-. i r o n i ỉ d ó r và ra là b á n k í n h đ ư ờ n g t r ò n n ộ i t i c p và b á n k í n h -ì
d ư ờ n g t r ò n bang l i ế p uỏc A cỵa A A B C .
3.32. H a i đ ư ờ n c t r ò n l i ế p x ú c t r o n i í v ớ ; P.h-J\), Đ u ử n g t h ẳ n g đ i qua t â m cỵa d ư ờ n g t r ò n n h ỏ cai đ ư ờ i ! ! ! i r o n l ớ n t ạ i A và D v à cắt đ ư ừ n u t r ò n n h ỏ t ạ i c á c đ iế m Ị B và c . H a y t í n h t i sỏ h á n k í n h cỵa c á c d ư ờ n g t r ò n , n ê u A B : Be : C D = 2 : 4 : 3 .
3.33. C á c t â m cỵa ba ( l ư ơ n ? t r ò n b á n k í n h R , v ớ i l < R < 2 , t ạ o t h à n h m ộ t t a m c i á c đ ê u c ạ n h 2. HÒI khoảng c á c h giữa c á c giao đ i ể m của c á c d ư ờ n g t r ò n đ ó n ằ m n ỵ o à i l a m g i á c b ằ n g bao n h i ê u ?
L Ờ I G I Ả I
3.1. G i ả sử đ ư ờ n g t h ẳ n g X Y t i ế p x ú c v ớ i đ ư ờ n g t r ò n đ ã c h o l ạ i d i ê m z. C á c c ạ n h t ư ơ n ^ ứ n g c ù a c á c tam g i á c X O A v à X O Z b ằ n g n h a u , c h o n ê n
X O A = X O Z . T u ô n g t ự Z O Y = B O Y . Suy ra X O Y = xoz + Z O Y =
= -- ( A O Z 4 Z O B ) = - A O B .
"> T
3.2. a) K í h i ệ u d i n h c ỵ a g ó c l à A , c ò n c á c t i ế p đ i ể m t ỵ a c á c d ư ờ n g t r ò n v ớ i c á c c ạ n h cỵa gót. là G i . C 2 , D i , D 2 ( h . 3 6 , a ) . D o c á c đ ư ờ n g t i ế p l u y ế n k ẻ t ừ m ộ t . đ iế m b a n g n h a u , n ê n A 2 c Ì = A 2 B 2 + B 2 B 1 , A 1 D 2 = A1B1 + B 1 B 2
v à A O + C 1 A 2 + A 2 C 2 = A D i + D1A1 + A 1 D 2 . T h a y c á c đ ẳ n g t h ứ c đ â u v à o đ ẳ n g t h ứ c c u ố i , l ư u ý r ằ n g A 2 C 2 = A2B2, A1D1 = A1B1 v à A D i = A C i , ta đ ư ợ c A1B1 = A 2 B 2 .
(a)
Hĩnh 36
b) Kí h i ệ u đ i n h của góc là A ; các l i ẽ p đ i ể m của các đường tròn v ớ i các cạnh của góc là ó, C2, D i , D2; các giao đ i ể m của cát tuyến C2D1 v ớ i các đ ư ờ n g tròn là B i và B2 (h.36,b). B ớ i vì tích đ ộ dài cát tuyến v ớ i đ ộ dài phần ngoài của nõ bằng b ì n h p h ư ơ n g đ ộ đài t i ế p tuyên, n ê n C2B1.C2D1 = C 2 Q2v à D1B2D1C2 = D1D22. N h ư n g do C1C2 = D1D2 nên C2B1 = D1B2. Suy ra C2B2 = D1B1.
3.3. G i ả sử p là giao đ i ể m các đường c h é o cùa tứ giác lòi A B C D . T ứ giác A P C D n ộ i t i ế p khi và chi khi A APB - A DPC, tức là PA.PC = P B . P Đ . B ở i vì t á c tứ rise A L B N và A M B K nội t i ế p , nên PL.PN = PA.PB = PM.PK. Do đ ó tứ giác K L M N n ộ i t i ẽ p .
3.4. Kí h i ệ u X là giao đ i ể m t h ứ hai của dường thẳng PK với đường t r ò n đi qua các đ iế m K , A, B; còn PQ là tiếp luyến tới s. Bởi vì P Q2 = PA.PB = P K . P X , nên
P Q2
đ i ể m X nằm trên đường thẳng PK và PX = — — , tức là X chi phụ thuộc vào p, PK
K, Q chứ k h ô n g phụ thuộc vào cách chọn cát tuyên PAB.
3.5. Giả sử o là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Khi đó M ỏ . oe =
= BO . OD. Bởi vì oe = OA và OB = OD nên MO . OA = B O2 và MO.OA =
= D 02. Các đẳng thức này chứng t ỏ rằng OB tiểp xúc với đường tròn ngoại t i ế [ của A A B M và OD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của A A D M .
3.6. Các điểm O i , A và Ơ2 nằm trên cùng một đường thẳng, do đ i A2AO2 = A1AO1. Các tam giác AO2A2 và AO1A1 cân, cho nên A2AO2 = AA2O.
v à A1AO1 = AA1O1. Suy ra AA2O2 = AA1O1, t ứ c l à O1A1 I I O2A2.
3.7. Kí hiệu tâm của các đường tròn Si, S2, S3 là Oi, O2,03; các tiếp điểm củ?
các dường tròn S2 và S3, S3 và Si, Si và S2 là A, B, C; các giao điểm của các duờnị.
thẳng CA và CB với đường tròn S3 là A i và B i (h.37).
Hình 37
Theo kết quả bài trên B1O3 I ị CƠI và A1O3 I |CƠ2. Bởi vì các điểm O i , c và O2 thẳng hàng nên các điểm A i , O3 và Bi cũng thẳng hàng, tức A1B1 là đường kính của đuờng tròn S3.
3.8. Kí hiệu các tiếp điểm của các đường tròn tâm o và O i , o và O2, Oi và O2 tương ứng là A i , A2, B. Tiếp điểm của hai đường tròn nằm trên đường thẳng nối các tâm của chúng. Do đó O1O2 = OiB + BO?= O1A1 + A202Vầ OOi + OO2 +
+O1O2 = -(00] + Oi A i ) + (OO2 + O2A2) = OAI + OA2 = 2R.
3.9. Kí h i ệ u h ì n h chiêu của các đ i ể m A , B, c lên đường thẳng Ì tương ứng là A i , B i , C i . G i ả sử Cz là h ì n h chiếu của đ i ể m c lên đường thẳng A A i . Á p d ụ n g đ ị n h lí Pitago cho A A C C 2 ta được C C 22 = A C2 - AC2 , tức la A 1 Q2 = (a + C )2 (a - c )2 = 4ac. T ư ơ n g tự B1C12 = 4bc, A i B ]2 --= 4ab. B ở i vì A1C1 + C1B1
= = A i B i , cho n ê n Vac + Vbc = Vab tức -Ị" + - Ị - = - 7 - • Vb Va Ve
3.10. Kí h i ệ u t â m của các đường tròn \ầ O i và O2, giao đ i ể m của c h ú n g là A . B ở i vì các bón k í n h O i A và O2A vuông góc v ớ i các t i ế p tuyến của các đường tròn kẻ qua đ i ể m A , n ê n góc giữa các t i ế p tuyên bống góc giữa các b á n k í n h O i A và O2A.
Do đó các đường t r ò n vuông góc với nhau k h i và chi khi O1AO2 = 90° , tức là O1O22 = O 1 A2 + O 2 A2.
3.11. Kí h i ệ u các góc giữa các đường t r ò n n h ư t r ê n h ì n h 38 (các kí h i ệ u n h ư nhau d ù n g đế b i ể u t h ị các góc bống nhau tạo được khi hai đường t r ò n cắt nhau).
X é t số đ o các góc tạo b ở i các đường t r ò n đi qua c á c đ iế m A , B , c, D , ta được
X + s + r = 1 8 0 ° , X + t + u = 1 8 0 ° , y + r + t = 180°, y + u + s = 180°. Lẫy lổng của hai đẳng thức đàu t r ừ đi tổng
c ủ a h a i đ ẳ n g t h ứ c s a u t a đ ư ợ c X = y , đ ó
là đ i ê u ta p h ả i chứng minh. Hình 3H Đ ể xét được h é t các khả n ă n g p h â n
b õ c ủ a các đ i ể m A , B, c, D t a c h i c ầ n c o i các s ố đ o X, y, rt s, u , t c ũ n g c ó t h ế c ó g i á
trị â m .
3.12. Các đường thẳng BC và A D là các đường cao của A A P B do đó đường thẳng PQ đi qua giao đ i ể m Q của c h ú n g vuông góc v ớ i đường t h ẳ n g A B .
3.13. Kí h i ệ u các giao đ i ể m của các đường thẳng A C và B D , B C và A D t u ô n g ứng là K và K i . Theo kết quả bài t r ê n K K i -L A B , do đ ó ta chi cần chứng minh rống giao đ i ể m của các t i ế p tuyên t ạ i các đ i ể m c và D nốm t r ê n đường thẳng K K i .
Ta chứng m i n h rống t i ế p tuyên t ạ i đ i ể m c đi qua trung đ i ể m cùa đoạn thẳng K K i . G i ả sử M là giao đ iế m của t i ế p tuyến t ạ i c và đoạn thẳng K K i . Các cạnh của các góc A B C và C K K i t u ô n g ứng vuông góc v ớ i nhau n ê n c h ú n g bống nhau. T ư ơ n g
t ự C A B = C K i K . T a c ũ n g c ó K C M = A B C (theo tính chất của góc giữa tiếp luyến và đây cung), cho nên A C M K cân. Tương tự A C M K i cân và K M = C M = K i M , tức M là trung điếm của đoạn thẳng K K i .
Tương tự ta cũng chứng minh dược rằng tiếp tuyển tại điểm D đi qua trung điểm của đoạn thẳng K K i , tức là các tiếp tuyên tại các điểm c và D cắt nhau tại một điếm là trung điểm của đoạn thẳng K K i .
3.14. a) Dường thẳng A C cát đường tròn tại các điểm A và A i , đuờng thẳng B C - tại các điểm B và B i . Nếu A = A i (hoặc B = B i ) , thì đường thẳng A C (hoặc B C ) là đường vuông góc cân tìm. Còn nếu không phải nhu vậy thi A B i và B A I là các đường cao của A A B C và đường thẳng căn tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của các đường thẳng A B i và B A I .
b) Lớy điểm C i không nằm trên đuởng tròn và hạ từ đó dường vuông góc với AB. G i ả sử nó cắt đường tròn tại các điểm D và E . Dựng p là giao điếm của các đường thẳng D C và A B , sau đó dựng F là giao điểm của đường thẳng P E với đường tròn. Qua phép đối xứng trục A B điểm c hiển thành điểm F . Do đó C F là đường vuông góc cần tìm.
3.15. Kí hiệu đ ộ dài các cạnh vuông góc là a và b, độ dài cạnh huyên là c. Đ ổ tính lổng diện tích các hình "mặt tràng" ta cần lấy diện tích của hình gôm tam giác và các nửa hình tròn có đường kính là các cạnh góc vuông trừ đi diện tích nửa hình
tròn có dường kính là cạnh huyên. Do đó tổng diện tích các hình "mặt trăng" bằng y + * b2 + S A B C - * c 2 =
8 8 . 8 - SA B C