CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI
5. Chứng minh rằng nêu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau, thì
§1. Dừng phép đối xứng trục để giải toán
8.1. Trên đường phân giác ngoài của góc c của A A B C lẫy một điểm M * c.
Chứng minh rằng M A + MB > CA + CB.
8.2. Điểm M nằm trên đường kính AB của đường tròn. Dây cung CD đi qua M và cắt AB dưới góc 45°. Chứng minh rằng tổng C M2 + D M2 không phụ thuộc vào cách chọn điểm M .
8.3. Hai d ;*v"nig tròn bằng nhau Si và S2 cùng tiếp xúc trong với đường tròn s tại A i và A2. Điếm c bệt kì trên đường tròn s đuợc nối bằng đoạn thẳng với các điểm A i và A2. Các đoạn thẳng đó cắt các đường tròn Si và S2 tại điểm Bi và B2.
Chứng minh rằng; A i A2 // B1B2.
8.4. a) Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lòi bệt kì không lớn hơn nửa tổng của các tích các cạnh đối nhau :
SA B T> ^ - ( A B . CD + BC. AD) 2
b) Chứng minh rằng đẳng thức trong a) đạt được chi khi tứ giác là nội tiếp dược và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
8.5. Chứng minh rằng trong Iĩ^ọi tam giác ABC đường cao ha không lớn hơn Vp (p — ây, trong đó p là nửa chu vi.
§2. Phép đối xúng trục với các bài toán dựng hình
8.6. Dựng tứ giác ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A khi biẽt độ dài các cạnh của nó.
8.7. Dựng tứ giác ngoại tiếp ABCD khi biết độ dài hai cạnh kẽ nhau AB và AD, và các góc thuộc các đinh B và D.
8.8. Dựng A A B C theo cạnh c , đường cao he và hiệu các góc A và B.
8.9. Cho góc nhọn MON và các điếm A và B nằm trong góc đó. Hãy tim trê]
cạnh OM điểm X sao cho A X Y Z , trong đó Y và z là các giao điểm của các đườn thẳng X A và XB với ON, là cân : X Y = xz.
8.10. Cho đường thẳng M N và hai điếm A và B nằm cùng một phía so với nói Dựng trên đường thẳng M N điểm X sao cho A X M = 2 BXN
§ 3 . Dựng hình. Các cạnh của tam giác đối xứng qua các đường phân giác
8.11. Dựng AABC nếu cho các điểm A, B và đường thẳng chứa đường phân giác của góc c .
8.12. Cho ba đường thẳng l i , Ỉ2, te đông quy tại một điếm, và một điểm A trên đường thẳng h . Dựng ÀABC sao cho các đường phân giác của'tam giác nằm trên các đường thẳng l i , h, b .
8.13. Dựng tam giác theo các trung điểm cho trước của hai cạnh và đường thẳng chứa phân giác kẻ tới một trong các cạnh đó.
§4. Tích của các phép đối xứng
8.14. a) Cho hai đường thẳng l i và 12 song song. Chứng minh rằng S|2. Si! = , trong đó T^" là phép tịnh tiễn l i thành 12 và a -L l i
b) Cho hai đường thẳng l i và I2 cửt nhau tại điểm o. Chứng minh rằng S i2. Su = R2", trong đó Ra là phép quay biên l i thành 12.
8.15. Trên mặt phẳng chcv* đường thẳng a, b, c. Giả sử T = Sa.Sb.Sc. Chứng minh rằng T.T là một phép tịnh tiên (hoặc là phép đông nhất).
8.16. Giả sử b = Sn(l2). Chứng minh rằng S13 = Su . S12. Su
§5. Tính chất của phép đ ố i xứng và của trục đ ố i xứng.
8.17. Điểm A nằm cách tâm hình tròn bán kính lem một khoảng 50cm. Cho phép lẫy đ ố i xứng qua mọi đường thẳng cửt hình tròn. Chứng minh rằng: a) sau 25 lần lấy đối xứng qua các đuờng thẳng ta có thể đua được điểm A vào trong hình tròn; b) không thể làm được điều đó sau 24 lần lẫy đ ố i xứng.
8.18. Giả sử a là vectơ vuông góc với đường thẳng 1. Chứng minh rằng -ằ -ằ
-ằ -ằ 2 X a ~* -*
Si (x) = X - _/ . a với mọi vecto X.
ĩ *
8.19. Trên đường tròn tám o cho các điểm Ai,..., An chia đường tròn ra thành n cung tròn bằng nhau, và một điểm X. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với X qua các đường thẳng O Ạ I , . . . OAn tạo thành một đa giác đêu.
8.20. Chứng minh rằng nêu một hình phang có đúng 2 trục đôi xứng, thì các trục đó vuông góc với nhau.
8.21. Chứng minh rằng nếu một đa giác có một số (lớn hơn 2) trục đối xứng,- thì tất cả các trục đó đông quy l ạ i một điểm.
8.22. Chứng minh rằng nêu một đa giác phảng có một số chẵn trục đối xứng, thì nó có tâm đối xứng.
§6. Các bài toán sử dụng tính chất của tích các phép đối xứng.
8.23. Hãy nội tiếp trong một đường tròn cho trước một n-giác có các cạnh song song với n đuờng thẳng cho trước.
8.24. Qua tâm o cửa đường tròn kẻ n đi ù n g 'hảng. Hãy ngoại tiếp quanh đường tròn một n-giác có các đinh nằm trên các dướn': thẳng đó.
8.25. Đường tròn nội liếp tiếp xúc với tác cạnh Be, CA, AB cắa AABC tại các điểm Ta, Tb, Te. Giả sử Ka, Kb, Ke là ảnh cắa các điếm đó qua các phép đỗi xứng qua các đường phân giác cắa các góc A, B, c tuông ứng.
a) Chứng minh rằng KaKb //AB.
b) Gọi trung điểm các cạnh cắa tam giác là Ma, Mb, Me. Chứng minh rằng nêu A A B C cân, thì các đường thẳng MaKa, MbKb và McKc đông quy tại một điểm.
8.26. Hai đường thẳng cắt nhau theo góc y. Một con cào cào nhảy từ đường thẳng này sang đường thẳng kia, mỗi lần nhảy dài Ì mét, và con cào cào không nhảy ngược l ạ i chỗ cũ nêu như nó còn có thổ nhảy đến chỗ mới. Chứng minh rằng quá
Y
trình nhảy sẽ lập đi lập lại theo chu kì khi và chi khi ^ là số hữu t i .
§7. Các bài toán cực trị
8.27. Cho đường thẳng Ì và hai điểm A, B nằm cùng phía so với nó. H ã j | t ì m trên đường thẳng Ì một điểm X sao cho độ dài đường gấp khúc A X B là nhò nhất.
8.28. Trong một tam giác nhọn cho trước hãy nội tiếp một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
8.29. Hãy tìm một đường cong có độ dài nhỏ nhất chia một tam giác đều ra làm hai phần có diện tích bằng nhau.
CÁC BÀI T O Á N T Ự G I Ả I
8.30. Một hình bị chặn có thể có một tâm đối xứng và có đúng một trục đ ố i xứngị được hay không ?.
8.31. Cho một tứ giác không lõi chu vi p. Chứng minh rằng luôn tìm được một tứ giác lôi có chu vi nhự vậy, nhưng có diện tích lớn hơn.
8.32. Dựng điểm p nằm trong A A B C sao cho K A = E B = H C , trong đó K , E , H là chân các đường Vuông góc họ từ điểm p xuống các cọnh A B , B e , C A tương ứng.
8.33. Trên mặt phang cho một hình bị chặn <p có các tính chất sau : với mọi đường thẳng 1.