Bài toán này có thể coi là một dữn chứng điển hình của việc tống quát hóa

CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI 5.38. Chứng minh rằng

5.9. Bài toán này có thể coi là một dữn chứng điển hình của việc tống quát hóa

Ta _giải luôn bài toán c). Ta kí hiệu như sau:

r = Õ Ầ , b = ( Ẵ , r = Õ c , a = B6c,y3 = A Ỗ ci/ = AOB, a = I ã*! , b = I b I , c=\c\.

-ằ -ằ -ằ -ằ -ằ

Xột vecto X = 2 (SBOC . OA + SAOC . OB + SAOB-* -* -ằ . o e) = be sin a . a + + ác sin p. b + ab sin -/, c. Đế chứng minh rằng X = 0, ta chi cân chứng minh

rằnga , x = b . x = c . x = 0. Thật vậy a . X = a2 bc(sina + sirvỄỈ cosy + s i n / cosậ )=

= a2 be Ị s i n ô + sin (/3 + I = 0 , bởi vỡ a + ậ + Y = 3 6 0 ° . T ư ơ n g tự ta cũng chứng minh được rằng b . X = 0 và c. X = 0.

5.10. G i ả sử o là t â m đ ư ờ n g t r ò n n ộ i l i ế p . K h i đ ó P A2 = P 02+ O A2 + + 2 . P O . O A . B ở i vì gác đ ạ i lượng PO và O A k h ô n g thay đ ổ i , n ê n ta cẫn_phải chứng minh r ằ n g ^ đ ạ i lượng sau cũng k h ô n g thay đ ổ i , 2a P O . O A + 2b P O . O B +

+ 2c PO. oe = 2PO. ( a O A + b OB + c oe). Trong bài 5.9b) ta đã chứng minh được rằng a. O A + b . OB + c . oe = 0 .

5.11. G i ả sử Ì là một đường thẳng bất kì, n là vecto đ ơ n vặ v u ô n g góc v ớ i đường thẳng 1. N ế u các đ i ể m A và B nằm trong c ù n g mật nửa mặt phảng tạo b ở i đường thẳng Ì cùng v ớ i vecto n , t h ìp ( B , ì ) - p ( A , ì ) = A B . n trong âóp(X,l) là khoảng cách từ đ iế m X đế n đường thẳng 1.

- ằ - * - ằ - ằ

G i ả sử I U , 112 > n 3, m là các vecto đ ơ n vặ vuông góc v ớ i các cạnh liên l i ế p nhau của t ứ giác A B C D và đ ê u hướng vào trong. Kí h i ệ u tổng các khoảng cách từ đ i ể m X đẽ n các cạnh của tứ giác A B C D là i( X } . K h i đ ó 0 = 2( B ) - 2(A) =

= A B . ( n i + 112 + 113 + 1*4). T ư ơ n g tự B C . ( ni + 112 + 113 + ri4 ) = 0 . B ớ i vì các đ i ể m A , B , c k h ô n g thẳng h à n g n ê n n i + 112 + n3 + IM = 0 . T ừ d ó suy ra

-ằ, -ằ -ằ -ằ- -ằ_ -ằ -ằ -ằ ^-ằ -ằ ^-Ị>

ni 4 112 + 2n i . 112 = 113 + 114 + 2 n 3 . n 4 , tức là ( n i , n 2 ) = (n3 , i u ) , bởi vì I ni ặ = Ì , í = Ì , 2, 3, 4. T u ô n g tự (112 , 113) = (I>4 , n i ) . N h ư n g

( n i , 112) + (iằ2 . n3 ) + (n3 , m ) + (n4 , n i ) = 360°, cho n ờ n ( n i , n ạ ) + + (m ,m) = (n3 , n 4 ) + (114 , n i ) = 180°. Suy ra (ni , n 3 ) = ( n i , n 2 ) + + (n2 , 113) - 180°. T u ụ n g t ự (iằ2 , n 4) = 180°, tức là cỏc cạnh đ ố i nhau của tứ giỏc A B C D song song v ớ i nhau.

5.12. X é t 5 v e c t ơ a i , &2, a 3 , M, as và giả sử rằng đ ộ đài của tống hai vecto b á t kì trong sỗ đ ộ l ớ n h ơ n đ ộ d à i tổng của 3 vecto còn l ạ i . B ở i vì

I a i + a2 I > I a3 + a4 + as I , n ê n I a i r + 2a i . a 2 + I a2 r > I a3 r +1 a4 r + + I as I + 2 a3 M + 2 34 36 + 2 à ? a £ Cộng tất cả c á c bẩt đẳng thức n h ư vậy đ ỗ i v ớ i tất cá 10 cặp vecto, ta đuợc : 4 ( _ ^ a i Ị2 + .. +2Ị&1 .&2 +•• •) >

> 6 ( | a i |2+ . . . ) + 6 ( a i . a 2 + . . . ) . tức là ( a i + a2 + a3 + M + as Ỷ < 0 . Ta đi đẽ n mâu thuẫn.

5.13. Kí h i ệ u các vecto đã cho là a i , . . . , aio . G i ả sử A B = ai + , . . + aio. Ta chứng m i n h rằng tia A B sẽ cho ta trục cân t i m .

R õ r à n g I A B — ai 12 = A B2 - 2 A B . a , + I ai 12, tức là A B . a, =

= - ( A B2 + | ã ị > | 2 - | Ã B - ã ! > | 2 ) . Theo giả thiết A B > I ẠB - ãT I , cho

— * — ằ

nên A B . ai > 0, tức là hình chiếu của các vecto ai lên tia AB (lương.

: _^ 5.14. Ta kí hiệu các vccto đặt trên các cạnh liên tiếp của đa eiác ban đầu là

"*ạị , , . . , ar^, cũn cỏc vecio đại trờn cỏc cạnh tưưnô ứng của đa giỏc vẽ lại là bi , . . . , bn . K h i dỏ bi = ( í + Pi) ai , trong đ ó Ị pi Ị < p . Già sứ

n li n

~* V ~* V "ằ \-i -ằ

b = ZJ bi = 2J ( Ì + Pi) ai = lé Pi a. . R õ ràng d = I b ị . 1 = 1 i = Ì í - Ì

Ta chia các vecto ai an ra làm hai nhóm : nhóm thứ nhất gôm các vecto có hình chiêu dương lên vecto b , n h ó m thứ hai íỊÔm các vecto có hình chiếu không đương l ê n V £ c t 0 b . B ở i vì đ a giác là l ô i , nón có thể coi nhỘỊp thứ n h á ^ g ồ m c á c v e c i o ai , . . . , aic , v à n h ó m t h ứ hai gôm c á c vecto ak + Ì , . . . , an . Ta

2 -*> - ằ - ằ ~* - * - *

c ó ứ' = h ' = b ( pi ai + . . + Pk au ) + b ( pií + Ì at + Ì + . . . + Pn_an ) <

1 < I pb (ai + . . . + a ờ ị + I p b (ak + i + . . . + an ) Ì = Ị 2p b ( a i + . . . + ak ) I . Bởi vì ai + . . . + ak tựa vào một đường chéo của đa giác nằm ìrong đường tròn b á n kính Ì, n ê n I ai + . . . + ak I < 2 . Như vậy ứ < 2p. 2 I b I , tức ỉa d < 4p.

- ằ - ằ - ằ - *

5.15. G ọ i o là irọnt! tâm của A A B C . Khi đó O A + O B + o e = 0 (xem bài 5.21J Giá sử X là một điểm bát ki. Khi đó X A 2 + X B2 + x e3 =

= | X O + Ỡ A | 2 + Ị X O + Õ B |2 + | X O + Õ C ; Ị2 = O A 2 + O B2 + O C 2 + 3 X 02 + + 2 X O ( Õ Ả + ỠB + Ổi) = O A2 + O B2 + OỚ +• 3 X 02 > O A2 + O B2 + o e2. Như vậy o là diêm phải tìm.

5.16, Xét hai điếm Mi và M2. Ta có M Í A . MiB = (M1M2 + M2A)(MiM2 + + M2B ) = M ] M r i- M2A.M2B + M1M2 ( M 3 A + M2B). Tương tự

^ T C . M T D = M1M22 + M I Ì C . M I D + M1M2 (M2C + M2D). Do đó MTA . M I B - M T C . M T D = M I A , M2B - M I C . MiD + Ml M2 (DB - A C ) . Nen D B A C , thì tích M i M ; ( D B - A C ) nhận tắt cả các giá trị thực khi M l chay khắp mặt phang. Do đo trong trường hợp nay

M i A . M Ị B - M i C . MiD = 0 với một điếm Mi nào đó. Có nghĩa rằng M A . M B * M C . MD với mọi điếm M thì A C = D B .

Điêu ngược lại khônẹ đúng. Nêu A B C D là hình chữ nhật thì A C = D B , nhưng AC A D A A . A B .

5.17, Trên mát phang xét -4 veclo (a.b). ( C . d l , (c,f), (g,h). S ẽ cỏ mội trong nhưng

góc giửd các vecio dỏ khôníí lớn han V——- - Q0° . Và nếu góc 'lừa cát vccto không 4

lớn hơn lH Ỷ \ thì tích vô hướng của chung se không âm.

Sáu sò đã cho chinh lá các tích vỏ hướng cùa tất cả các cặp trong sô 4 vecto kể trên, do đ o một trona cát- sò đỏ sẽ không âm.

5.18, Già sứ ni , . , rik là cái- V c c t o d<rn vị pháp '.uyên nepài của (.ác cạnh, C Ó P M ỉ , . . . , Mk là các điềm hát kì trên các canh đó. V ớ i mọi diêm X nam trotiíỊ đa nức, khoảng cách từ đó lởi cạnh thứ ị bổn (Ị XMi H i Do đó tống các khoáng (ách tư d e ơ i í m iron é A và B đen các canh cùa đa giác bằng nhau khi \ht chi khi

k k k k . k

ỵ A M Z r= ỵ BM, nỏ = 2 B A . nì + ỵ - Ă M i . r ì - , tức l à B A 2 r ĩ , = 0 .

ớ ớ : = ỉ i = è 1 = 1 i ằ i

í.av ta í ổ r u! các khoảng cách lừ một diêm trong hất kì đến các canh cùa đa giác là k h ò r e đố? khi v à chi kh chi Z, H í - í)

ì - ĩ

-* .-* ~* „, 360°

5.19. a) G i ả sử a = O A l + . . . + OAf! . Khi quay quanh điếm o ẹóc diêm n

Ai, hiển thành điểm Ai-t Ì ( A n 4 í - A ; ì Do d o qua phép quay dó vecto a biên than;-, chính nó, lức l à a = 0 .

b; Rõ ràng x Ẳ [ + . . . + xẴn = ( X O t OAI ) + . . . + ( X O + OAp ) =

= n X O 4 OA) *• . +• OAn . Trong phân a) la đá chưn tỉ minh được lẵng OAI + .. + oXi = 0 .

5.20. Theo bài trên ã*- 1985 Ào, ÍT - 1985. B O , trong đó o là tám cùa (lá giác. Rõ ràng A O có thể lớn hon RO ctiổng han nêu (liêm A nằm rãi gần đinh của da giác, còn diêm B nằm rãi gần it ung điểm cùa một cạnh.

5.21. Ta có A A l = ỉ ( A B + A C ) , B B | = "(BA + BC) . CCì = 1 ( C A -f- C B ) .

2 2 2 -ằ -* -* -ằ

Cộng các đổng thức này lại ta dược A A | 4 B B i + C C Ị - 0 . Ta cùng thấy rằng

nêu o là trọng tâm tủa A A B C , thì AO = -- A A | , BÒ = - BBi , có = - c ò Do 3 3 3 đó AO + B O + CO = (T.

5.22. a) Giả sử O A + O B + oe = 0 . Khi đó lổng các hình chiêu của các vecto đó theo Jihuurng của đường thẳm; AO lên đường thẳm? B C hán?, !), túi; lò

A ] B + A | C = 0. Do đó A i là trung điểm cùa cạnh B C Tưrme iự như Bi và C ; là trung điềm cùa các cạnh A C vá A B lum!" ứng

h) G i ả sử OAI + OB{ + oe Ì = í). Khi đó lổng các hình chiêu của các véc! í- đó lẽn đường thẳng vuông góc với A O bane lì. Nhu vậy đười\Ị< cao của ác um giác A O C i và A O B i hạ xuống cạnh A O bà ne nhau, lức là SA om - S A Í Ì C I - Si .Tương

tự SBOCJ = S B O A I ~ s?. và Seo A i - Seo Bi S3. Mà

Si + S2 S A O B S A U' l ì _

Si 4 S;< SÁCH S A I O C S3

Cho nen S2 = Sĩ. Tương tự Si = S ; - S3. Suy ra B A I : CA) = S2: Sò = ỉ, tức là A i là truníỉ điếm của cạnh B C . Tương tở Bi và C[ là trung điểm của các cạnh A C và A B tương ứng.

c) G i ả sử A A l + BBi + C C i = (T . Khi đó AB] + B C i + CAI = A B + BBi +BC + C C i + C A 4- A A l = (AB + B C + C A ) + (AAỉ + BBi +

„-ằ -* A B i B C i C A I -* -* -*

+ C C i ) = í). G i ả sử = p . — — = q , — = r. Ta có 0 = A B i + B C i + A C B A C B

+ CAI = p A C + a B A + rCB và p(AB + B C + C A ) = (3. Cho nên pBA + pCB =

= q B A + r C B . Suy ra p = q -- r. Phân còn lại ta vận dởng bài 4.13.

5.23. T a chứng minh bằng quy nạp. Vái n = 0.. bài toán đúng là hiến nhiên.

Giả sử bái toán đúng cho 2n +1 vecto. Xét trong hệ gôm 2n + 3 vecto hai vecto ở ncoài cùng (lức hai vccto tạo \ ó i nhau góc lớn nhất). Không mất tính tống quát giả sử đó là các vccto OPi và OP2n+3 . Theo giả thiết quy nạp độ dài của vecto OR = OP2 + . . . + O P 2 1 1 + 2 không nhỏ hơn 1. Vcctơ O R nằm trong góc

PiOP2n + 3, do dó nó tạo một góc nhọn với vecto OS = OPi + OP2n + 3 • Suy la

|ốs +ÕR I > O R > 1.

5.24. Trước hết ta chứng minh rằng nếu a j b ; C là các vccto có độ dài không lớn lum 1, thì ít nhát có Ì trong các veclo a :-: b , a ± c , b ± c c ó đ ộ đ à i k h ô n g

l ứ n h ơ n l . T h ậ t v ậ v t r o n i Ị t á c v c c t o ± a , ± b , ± c L ỏ n có hai \ e c i o É Ị O v ứ i nhau m ộ t g ó c k h ô n t í l ớ n h a n ò O0, do đ ó h i ệ u cùa hai vecto đó sẽ c ó đ ộ d à i khỏní>

l ớ n h ơ n Ì ( n ê u t r o n g A A B C CỎ A B < Ì, B e < Ì, A B C < 6 ( f t h ì A C k h ô n g p h ả i là c ạ n h l ớ n nhất và A C < 1).

- * —*

Banc cỏch d ú ta cú thể rỳt xuống chi càn xột hai vccto a v à b . G ú c ớằiữa cỏc vccto a và b hoặc ữtỊÍa các yecio a và - b k h ô n g lớn hơn 9 0 ° . do d ó hoặc Ịa - b I < / 2 hoặc Ịa + h I < v^2

5.25. Già sứ A i , B Ị, C i , D i , E i là trung đ iế m cùa các cạnh AB, B e , C D , D E , HA; A2, B2. c2. Da. E2 là t r u n g d i ể m các cạnh A1B1.

B . C I . C I D I , D I E I , E J A I .

Ta dựng t h è m vào A D B C đ ể được h ì n h b ì n h h à n h Ò B C K (h.63).

B ủ i vì Ác = 2 A i B i và

c k = 2Bi"*Ci nên A A i B i d d ô n g dạng với

A A C K v ớ i t i số đồng dạng 1

b ă n g ~~ Do đó

Hình 63

A i C| = —A K < - ( A D + D K ) 2 2 Ì

= - (2 D i E l + BC) và Az B2 = - A1C1 <

Ì Ì

< - (2D1E1 + BC). T ư ơ n g tự B2C2 < - (2Ei A i + C D ) , C2D2 s - ( 2 A i B i + D E ) ,

4 4 4 -

D 2 E 2 < - (2 B 1 C 1 + E A ) và cuối c ù n g E 2 A 2 <-(2 C 1 D 1 + A B ) . Cộng tát cả các 4 4 bát đẳng thức này l ạ i ta được P 2 á - (2 Pi + Po), trong đó Pi là chu vi của ngũ

4

giác n h ậ n dược sau làn dựniĩ t h ứ ì. B ở i vì Pi < Po, n ê n P2 5 - Po . Suy ra 4

?2k+ ỉ £ ?2k í ị - Ỵ . p<>, tức là p„ + P| + P2 + ... <

ì ^ V \ Ì + 1 + - + - + — + — + . . . Pc, = s Po .

4 4 r 42 ;

5.26. Ta lập hệ trục toa đ ộ Oxy. G i ả sử \ f là dường thẳng đi qua đ i ể m o và lạo gúc <p (0 ôp <ĨI) v ớ i trục Ox. tức là nờu diem A nằm t r ờ n lip và từa dụ I h ứ hai cựa đ i ể m A d ư a n e , thì A O X = ip; lo = ít = Ox.

N ế u vccto a lạo nóc (í VỚI trục Ox (góc dược xác định niíưực chiêu kim dõniỉ hò l ừ i r u c Ox đón VCCU) a ). thì đ ò dài hình chiêu cùa VCCIO a lèn đuừnu thẳniĩ 1^ bằnti

7 "

-ằ . -* -*

I a I . I cos (<p - a ) ị . T í c h phân ì I a I . I COS (<p -a)ịủ<p = ĩ\-ã\ khóm; phụ

l i

(thuộc vào (í.

G i ả sử các vccto ai , . . . , an . bi , . . . , bm . l ạ o v ớ i trục Ox các nóc a i , . . . , ô n , fỉị , (im • K h i d ú t h e o g i à t h i ế t I a i I . I c o s ( y - a i ) | + . . . +

+ | ó ĩ i | . | a K ( y. - ô Yn) | < ị b i | . | c t i s( y > - yớới ) | + . . . + |bm I . I c o s ( ^- / 3m l i v á i m ừ i góc <p . Lay lích p h á n xác d i n h cả hai ve của bát đẳng thức d ó thoi) <p từ 0 đ e n jr la dược.

I aT I + . . . + I z I < I b ĩ I + . . . + I c I

h

N h ậ n xét: Đ ạ i lượng — i — / f(x) dx dược gụi là nia trị trung b ì n h của hàm sô b - a ;,

í t r ê n đoạn |a, b j . D ẳ n g thức J | a | . | COS ((p—a)\d(p- | u | cò nghĩa là lùa trị trung -* 2 ~*

b ì n h c ủ a đ ộ dài h ì n h c h i ê u VCCIO a bằng — I a I ( c á c h t r ì n h bày c h ư a đ ư ợ c h o à n

Tí

loàn c h í n h xác này la sẽ còn sử dụng ve sau. Phát biểu thật chính xác phải n h ư sau : ciá trị trung bình cùa hàm fị<p), bằng đ ộ dài hình chiếu voctoa lên duửng ihẳniỊ

ỡ -ằ

ìự>. t r ê n (loạn 11), Trị b ằ m : 3 I a ị ).

5.27. T ổ n ! ! đ ộ d à i h ì n h t h i ê u các t ạ n h l ù a m ộ t đa giác l ồ i l ê n m ộ t d ư ơ n g t h ẳ n g bát kỉ b ằ n g hai l ă n đ ộ d à i h ì n h c h i ê u c ủ i ! t h í n h da giác l é n đ ư ờ n g t h ẳ n g đ ó . D o d ó l ố n t i d ụ d à i h ì n h c h i ê u các v e t l o đ ặ t t r ê n các c ạ n h cùa đa giác t r o n í l è n m ộ i d u ú n i i t h ẳ n g b ấ t k ì k h ô n g l ớ n h ơ n c ủ a da niác n e o a i l é n (iuừne I h ắ n c d ò Suy ra, t h e o k é t q u ứ bài 5.26 t ổ dniỊỘ d à i các v c c t o d ặ t t r ê n các c ạ n h , tức là c h u v i , cùa da ị iĩ á c r o tng*' k h ô n g l ớ n han l ồ n g t u ô n g ứ n g của đa giác- n u o à i .

5.28. N ê u t ố n g đ ộ d à i các v c c l o b ằ n g L . t h ì t h e o n h ậ n xót cùa b à i 5 . 2 6 , lỉiá ưụ

t r u n i ! b ì n h cùa lông đ ộ d à i các h ì n h c h i ê u cùa t á c v o a n d ó b a n g — .

H à m í t r ê n đ o ạ n ị a , b ] k h ô n g (hồ (V k h á ] ) r i ( T ĩ đ ê u n h ò h ơ n giá t r ị ( r u n t i h ì n h c cùa m ì n h d ư ự t , vì n ế u ngược l ạ i

h

c = —-— J f(x) dx < ——-—• = t

b - a a b - a

D o d ó l u ô n l ì m dược m ộ i đ ư i r n n I h ầ n iĩ I sao t h o IOI11! đ ộ d á i h ì n h c h i ê u cùa các Vĩ-cto ban đ â u l ê n d ó k h ô n g n h ỏ h a n ~ .

T a đ ị n h h ư ó n n d u ử n ! ỉ t h ẳ n g ì . K h i d ó hoặc l ổ n i i d ô d à i các h ì n h c h i ê u (lương t h e o h u á n i í đ ó , h t ậ c t ổ n iĩ đ ộ d à i các h ì n h c h i ê u â m t h e o h ư ở n g đ ó k h ô n g n h ỏ hem

^ . D o đ ú hô)ặc đ ộ d à i c ủ a t ố n iĩ cỏc v c t t o c h o h ỡ n h c h i ờ u d ư ơ n g t h e o h u ỳ n i : dó

TI

c h ọ n . hoặc d ụ d à i c ủ a t ố n g các v c c i o c h o h ì n h c h i ế u â m t h e o h ư ớ n g đã c h ụ t ! , k h ô n g n h ô h o n t .

Jằ n

5.29. K í h i ệ u h ì n h c h i ế u của đa giác l ê n d ư ở n u t h ẳ n g Ì là A B . R õ r à n c các d i ê m A va B lá h ỉ n h c h i c u c ủ a các ( l ì n h A i và B i nào đ ó của đa giác D o đ ó A | B | > A B , t ứ c là đ ọ d à i h ỉ n h c h i ế u c ủ a đa e i á i- k h ô n g l ớ n h ơ n A i B i , c ù n ( h e o ỊỊiắ t h i ẽ i A i B i < d . BỞI vì t ổ n g đ ộ d à i h ĩ n h c h i ê u c á t c ạ n h của da giác l ê n đ o à n g t h ắ n g b ằ n g 2 A B , n õ n n ó k h ô n g l ở n h u n 2d.

G i á t r ị t r u n i ỉ h ì n h cùa t ổ n g ( l ộ dài h ì n h c h i c u các c ạ n h b ằ n g - p , t r o n g d ó p là t h u v i của da [ỊÌat ( x e m b à i 5 . 2 6 ) . G i á t r i i r u n c b ì n h k h ô n g him h(Tn giá t r ị l ớ n n h á t , suy ra " p < I 2d , tức lá p < n d .

JI

5.30. Theo kết qu:i H. i 5.36 bất dẳng thức | a | + | b | + | c | + + | d | > | a + ( l | + | b + ( l | + | c + d | chi cân chứng minh cho các hình c h i ê u của c á c vcvtơ lên đưìrni! thẳng, tức là có t h ể coi a , b , c, d là các vccto song song vói m ộ i dưìrnií t l ì ẳ n i Ị , hoặc đ a n g i ả n là c á c số t h ỏ a m ã n đ i ê u k i ệ n a + b + c + + ứ = 0. Ta có Ihẻ coi d > 0 , b ở i vì nêu k h ô n g ta có thể chi càn thay đ ổ i dâu của tai cả các so.

Ta có t h ề coi a < b < c Ta p h â n ra làm ba trường hợp : Ì ) a,b,c < 0 2)a < 0 còn h,c > 0 3)a,b < 0 còn c > 0.

T r ò m : cà ha i r ư ậ n i i hợp ta cân phải k i ế m tra các bát đẳng t h ú c sau :

1) l a i + I M + | c | + im > | d | - l a i + ItiI - | b | + MI - | c |

2) l a i + I M + | c | + ị ti I > l a i - M I + I M + | d | + | c | + | d | . C á t b a i ưắnii thức này là h i ổ n n h i ê n , vì < | a | + | b | + | c | .

3) | a | + | b | + | c | + | ( l | a | | a | - | d | | + | | b | - | d | | + | c | + | d | , tức là

| a | + | b | > I | a | - Ị<JỊI + I | b | - | d | I. Bằng c á c h p h â n ra x é t c á c trường hợp

| d | < |fo| . | b | < | d | < | a | , | a | < | d |, la sẽ nhận được bãi đẳniĩ Ihức nói t r ê n (trung truìrni: h ợ p c u õ i c à n l i r u ý r ằ n g | d | = | a | + | b ị - I c Ị < | a | + | b | ).

5.31. Theo k ế t quà bài 5.26 ta chi cân chứnc minh bát dằng thức cho các h ì n h chịốu của các vecio lòn một (luông thẳne bây kì. G i ả sử các hình c h i ê u của các vecto O A I . . . . , O A n lên đ ư ờ n g t h ẳ n g Ì bằng ( k ể cả d â u ) a i , . . . an. Ta chia c á c số a i an l à m hai n h ó m : XI > X2 £ . . . ă Xk > 0 v à y ' i < y ' 2 < . . , í

< v'n - k < 0 . D i l l V i = - y' j . K h i đ ổ X I + . . . + X k = y i + ... + Ỵ n k = a.

H ì n h chjp'u của chu vi t u â n li ứnii với sô 2(X1 + y i ) . H ì n h chiếu của lổng đ ộ dài c á t vccto O A i t ư ơ n e ứna vái sỏ XI + ... +-Xk + VI + ... + yn-k = 2a. K h i ta thay Xi bằng x í = - ( x i + . . . + X k ) v à yi bằng y T = — - — ( y i + . . . + yn - lí) thí đ ạ i

k n - k

lượn lĩ X I +• ... + X k + V I + ... + V n - k k h ô n g thay d ổ i , còn d ạ i l ư ợ n g X i + y i chi c ó t h ể Ìỉiàm d i . N h ư vậy _ / a a

2 { - + — )

2 ( X | + VỊ ) > 2(xT + y i ) _ \ k n - k ^ _ n X I + . . . -t- Ỵ n- k x ĩ + . . . + y ^ k a + a k (n - k )

N í u n chẵn, thì - > " = - . k (n - k) n n n

2 2

Nêu n IC\ thì - — - — — >

k ( n - k ) n - Ị nI + 2 i r - 1

-> f

D o đ ó p > -4 d khi n c h ă n . và p > 4 n- - d > 4- d khi n lé.

n n: - I n

Cá h a i s ự d à n h í!iá t r ẽ n d e l l k h ô n ! ! I h ẽ ' l à m l ó t h t m D ế c h ư n ỉ! m i n h d i ê u d ó c â m

XÓI c á c đ a l ĩ i á c c ó c á c đ i n h c h i a ra l a m h a i n h ó m " ô m n- v ỹ - đ i o m n ê u n c h a n .

•> ì

" — ! . và - d i ê m nCu n l ẽ . d õ n e t h à i khoang uich lú ùa các đinh ciinn một

y •)

• n h ó m là rai n h ò . còn khoànii cách liiửa t á c d i ê m khiu- n h ó m là rái lớn.

5.J2. Đ ộ dài tủa (Jưừnj! conu là ịỉiVn hạn cùa các t h u \ ị các đa lĩiác nội n é p t r o n "

d ư ở n i ! t o n u d ó . Xót da liiíic nùi l i ũ p vái chu vi p và i l ộ dài h ì n h chiếu lòn dưừrm Ihắna I h ằ t i ịĩ d ị . G i ả s ứ Ì — ỉ < d i < Ì v á i m o i đ u ô i ! ! . ' I h â n i ỉ I. Da g i á c c ó ( h ố d ư ự c

chọn sao cho f nhỏ lũy ý. Bới vì da tỉiác lõi. nên lôtii! d ỏ dàiìn hh chicu các cạnh của đa giác lên dưửnu thắng I him li 2il|.

ì

G i á t r ị trung b ì n h cùa dai lượm: 2di hằng — P(xcm hài 5.26). cho nên 2 — 2r<

•>

< — p < 2 , t ú c là lĩ — JĨF < p < Sĩ. Cho í' liên t*TÍ ( ) , la dược đ ộ dài dirốrm cong

Tí

bằng-"ì.

— * — *

5.33. a) Trước hụi la lỳa s ử rliniỉ Ả, U > Ị). K h i dú Ằ a X ô b =

= I Ả a I . I fi b I sin ( a , b ) = kịt ị a X b ). K h i VÓI c á c trưùnt! hợp k h á c c â n lưu ý r ằ i Ị £ n ê u A > 0, / í < 0 hoiic A <.(), / í > 0 t h ì ( a , b ) =

= (Ằ a , /< b ) + Ì S Ơ ' , tức là sin ( a . h ) = - sin ( Ả a , ịi b ) , còn nêu A < 0, fi < ( ) , t h ì (ã*". ÍT) = ( r ? /I Í T ) .

b) Ta cú t h ế coi rằne tỏt cả cỏc v o a n '.I:iriôĩ X i ! cú chum; cốc : a = O A . b = O B , c = oe, b + c = O D . Ta dint ni ụ nùi đ ộ h u ú n g t r ụ c Oy I heo lia O A . G i ả sử A = (o. v i ) . B = Jx:. y j ) . c = (X'..y<). D = (x: + Xí. VỊ + y . - ^ K h i

đ ó a X b = x : y i . a X c = \ , a X ( b + c ) = ( X i + x . \ ) y i = a X h + a X c .

5.34. Tỵ uọi các vecio dơn vị hựontỉ theo các trục Ox và Ọ y là í và ị . K h i dó

( X I Ì + Ỵ I j ) X ( X : i + v : j ) - X i x ; ( ỉ X i ) + X i y : ụ X í ) + V | X 2 ( j X ' i ) + V | V 2 ( j X ị ) .

R ó iríini! i X j = - j X i = I và i X i = j X j = t ) . l ứ t là a + h = X 1 > : - x: y i . 5.35. Già sử A ( l ) . B ( l ) . C ( t ) la vị trí cúc vận ưộne viên ờ thơi diem I . K h i d ó A O í B ( t ) = A ( n ) B ( o H ( M Ĩ - V A ) l , A ( l ) C ( t ) = A(o)C(o) + ( V e - V. \ ) ị.

T r o n ị! d ó V A . V | Ĩ . \ ( * lá vận lốc cùa các vận dọn!! viên. Như vậy : S.\B( ( 1 ) -

= - I A ( l ) B ( l ) X A I I ) C ( I ) I = Ì ||iT+ - \ . \ ) t I X Ị r+ ( V e " * - v , l I li .

•> •>

ironi! ơ ó h = A ( G ) B ( 0 ) . i * = A ( 0 ) C ( 0 ) .

Bôi v ì v x /V \ | Ị 7 \(. nõn ( v| { - V ) X ( v(. - V ) = 0. Suy ni s\ H ( ( I ) =

= | x + V i ị. G i ã i h ẹ | \ | = 2, |x + 5> Ị - * 1:1 d ư ợ t hai n g h i ê m . S ABrU ) = ị 2 + i t I hoặc S..\HC(t) = |2 - t | .

5

N h ư vậy k h i t = l o la dưực S. A U C = 4 hoặc S. A H C = X.

5.36. G i à sử A ( t ) , B í t ) , C( I ) là \ ị trí cùa 3 nuin'ii ở thỏi điếm I Da!

Xí í) = A( t) B ụ ) , vu) = A( ! ) C( 1 ). K h i d ó \ụỵ= Ui + b x o = l e + l i . Ba ri ií in l i íhắnu h á n g v á i n h a u k h i v à c h i k h i x ( t ) / ' • V ( 1 ) J u c l à X U ) X VU) = 0. Hu

r à n g x ( t ) X y ( l ) = l ' ( a x c ) + l ( a V l i + b V c ) + h > d , l í t ) l a m ô i t a m I h ư i h i u

hai. Ở t h à i đ iế m ban đâu x(t) X V U ) * I). Mà m ọ i lam thúc hạc hai k h ò m ; dõni!

n h á t bà nu o, sẽ có khôn}! quá hai nưhiiỊ m.

- ằ ' - ằ - * -ằ

5.37. Già sử X = X1C1 + X 2 C 2. K h i d ỏ e f X X - X J ( ci*x c : * ) v á

• * - - - * X X o i * _ằ c i * X X

X X C 2 = X i (C'1 X C'2 ) . Do ư ó x = e i + — C2 • Suy r.i :

c f X L'2 e f x e ;

- * - * - * -* -* - ằ - • - ằ - ằ - ằ

íx X C 2 ) ( c f X y ) + ( e f X x ) ( C 2 X ỵ ) + ( c? x C I ) ( x X y ) = ( ) ( Ì) v ó i X . > t: ' . l à c á c V O C I O h u ! k ì t r ê n mặt p h a n g .

D ặ t cr = A B . (. f = A C . x = Ãb, ỹ * = Ã E . K h i đú s = a + XX c y 4 (è ô

-ằ •ằ -ằ -ằ -• -ằ

= c + V X 0 2 + a = d + X X c f + b , l ứ c hà X X c ; = s - a - d , y V o : - s - t a .

X X C i = S - d - b . Thay t á c đẳng thức đ ó v à o (1), la đuực - ( S - a - d ) c H ( S - c - - a ) ( S - d - b ) - ad = 0 . lức là s2 - S ( ; i + b + c + d + c ) + ( a b + h i + c d + d ^ + c a ) ọ .

Chương 6