CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI
4. Chứng minh rằng cáẹ trung diểmcác cạnh của một tam giác đêu tạo thành một đa giác đều
9.32. Tích của phép quay 60° quanh điểm A ' biến điểm B thành điểm c , phép quay 60° quanh điểm B ' biên điểm c thành điểm A và phép quay 120° quanh điểm
RM1 2 0° - RB ' ° • RẦ ° ° = E- D O Ư Ớ RB ° ° - RA ° ° = RM ° ° ' T ẳ C Đ I É M M L À T Â M C ỦA
phép quay Rg°°. R 6 f . Suy ra MA'B' = MB'A' = 30°, tức A A ' B ' M cân có A'MB' = 1 2 0 ° .
9.33. Kí hiệu dinh của tam giác đêu là A i , A6, trung điểm các đoạn thẳng A1A2,.., A(,Aị là G i , C Ặ , tâm đổi xứng của lục giác là o (h.98). Ta chứng minh
rằng C1C2 = C2C3 và C 1 C 2 C 3 = 120°
R õ ràng : R6° R6 AĨ \ R ? ! = R !8 0° - A3
60°
A2 Ai
= KA 4 •• KAỊ,
O60° p(60°
.R\ 3 - K Ã 2
R 60
A2 • G i ả sử R 120" Khi đó :PA2A3 =
= P A 3 A 2 = 3 0 ° , lức là R ( A 3 ) = A2 Bởi vì R 120° T,'>o" _ D180°
p RA ! - R õ ' nen 0Á1P = 30° và OPAi = 60° Do đổ
PO X A 4 A 1 và O P A 4 = 60° tức
Hình 98
R Ì2 0° ( A I ) = A4. Ta duơc R '2 0° (A1A3) = A4A2. Nhưng C1C2 = - AịA3 và
p . 2
C2C3 = - A 2 A 4 , suy ra C1C2 = CzC} và C1C2C3 = 120°.
2
Tương tự ta chứng minh được rằng tát cả các cạnh của lục giác C\ ...C(, bằng nhau và tát cả các góc của nó đêu bằng 120°, tức lục giác đó đều.
9.M. Kí hiệu các diêm đã cho M i , Mn. Giả sứ ta đã dựng được đa giác
A ) A - \ . . A n sao cho các tam giác là À 1 M 1 A 2 , A 2 M 2 A 3 . ... , AnMnAi cân và
A j M j A q + i = ôi và cỏc cạnh của đa giỏc là đỏy của cỏc tam giỏc cõn đú. Rừ ràng R'^n o . . . o R ' ^ ( A i ) = A i . Nờu ô ) + . . . + a n * k360° thỡ điếm A i là tõm của phép quay R^ị1 o... o R ^ . Tâm của tích các phép quay ta có thể sử dụng được.
Sau đó việc dựng các đinh còn lại của đa giác dễ dàng thực hiện được. Nếu - k36(/\ thì bài toán vô đinh : hoặc là mọi điếm A i đêu cho ta đa giác tưanu ứng thỏa mãn tính chột đầu bài, hoặc bài toán không có nghiệm.
9.A5. Ta có Rị.'.. Rị.. R^. (B) = Ryc. RJ. (C) = Ryc(A) = B, tức là điểm B bột biên qua lích các phép quay R|... R^,. R^.. Bởi vì tí + p + y = In nên tích đó là một phép tịnh tiên có một điểm bột biên, tức là phép đỏng nhột. Do đó
R c = R B ' R V ' t ứ c đ ^ i n c l à l â m c ủ a Ph éP ymy RB ' • RẲ ' • S u y r a
C'A'B* = ằ và C'B'A' = ẽ-. Khi đú A'C'B' = Ê = 2 2 2 2 2
•ằ.36. Tà cỏ R * r " . R"A ( N ) = L và R * ~ a . R^ ( L ) = N . DO đú cỏc phộp biờn hình R'^. " . R° và ° . là các phép đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng LN, tức là R* ." a . R"A = R* ~ a . KaA. Suy ra R*r " = R*r °, tức là G' = G.
Chư(mg 10
P H É P VỊ T ự VÀ P H É P VỊ T ự Q U A Y
CÁC K I Ế N T H Ứ C C ơ BẢN
1. P h é p t ự vị là một Jihcp biên h ì n h trôn mặt phang, biên điểm ^. t h à n h diêm X* thỏa m ã n tinh chất OX' = k ox ( đ iề m o và sỏ k ch(Mrưức). Đ iế m o gọi là tâm vị l ự , còn số k - t i số vị tự.
P h é p vị t ự tâm o t i số k dược kí h i ệ u Hk.
2. Hai h ì n h được gọi là vị l ự với nhau, nếu h ì n h n ọ biên t h à n h h ì n h kia qua m ộ i p h é p vị tự.
3. P h é p vị tự quay là tích của một p h é p vị tự v ớ i một p h é p quay v ớ i cùng một tâm. T h ứ l ự thực h i ệ n các p h é p b i ê n h ì n h ẳ đây k h ô n g quan trọng, v ì :
T i số của p h é p vị tự quay có t h ể coi là một số dương, bẳi vì :
4. Tích của hai p h é p vị tự v ớ i các t i số k i và k2 v ớ i kik2 * Ì là một p h é p vị tự ti sô kik2, đ ô n g t h ờ i tâm của nó nằm trôn đường thẳng nối các tâm của hai p h é p vị t ự ban đâu (xem bài 10.24).
5. T â m của p h é p vị tự quay bicii Juụii thần!! A B t h à n h đoạn thẳng C D là giao d i ê m cùa các đường tròn ngoại t i ế p các tam.giác ACP và BDP, trong đ ó p là giao đ i ể m của các clườnẹ thẳng A B và C D (xem bài 19.29).
CÁC BÀI T O Á N M Ở ĐAU
1. Chưn!! minh rằng qua một p h é p vị tự đường t r ò n biên t h à n h đường tròn.
2. Hai đường tròn t i ế p xúc V Ớ I nhau t ạ i diêm K. M ộ t đường thẳng đi qua (.liếm K cắt các đường tròn đó l ạ i các đ i ể m A và B. Chứng minh rằng các đường ticp tuyên của các đường tròn kỏ qua các đ i ể m A và B song song với nhau.
3. Hai dường tròn t i ế p xúc với nhau tại đ i ể m K. Qua K kẻ hai đường thẳng cai đường t r ò n t h ứ nhát tại các đ i ể m A và B, cắt đường t r ò n t h ứ hai tại c và D . Chứng minh n i n e A B / / C D .
4. C h ư n g minh rằng các đ iế m dôi xứng với một đ i ể m bát kì qua trung đ iế m các cạnh cùa m ộ t h ì n h vuông là các dinh cùa một h ì n h vuông.
5. T r ê n mặt phang cho các điềm A và B và đường thẳng 1. T i m tập h ạ p các trọng tâm của các À A B C với c là m ộ i (liêm thay đ ổ i t r ê n đường thẳng 1.
§ 1 . Các bài toán vị tự với nhau.
10.1. Chứng minh rằng các dường cao của một tam giác đỗng quy t ạ i một đ i ể m , d õ n g t h ờ i đ i ể m H đó nằm trên c ù n g một dường thẳng v ớ i trụng t â m M và t â m đ ư ờ n g t r ò n ngoại t i ế p o của các tam giác (chính xác hơn, đ i ể m M nằm trên đoạn thẳng O H và chia đoạn thẳng đó theo ti l ệ O M : M H = 1 : 2 ) .
10.2. Chứng minh rằng các trung đ i ể m c á t cạnh của một tam giác, chân các đ ư ờ n g cao và các trung đ i ể m các đoạn thẳng nỗi trực t â m v ớ i các đ i n h , cùng nằm t r ê n m ộ t đ ư ờ n g t r ò n (đường t r ò n 9 đ i ể m ) .
10.3. Đ ư ờ n g tròn s tiếp xúc v ớ i các cạnh bằng nhau A B và BC của tam giác cân A B C t ạ i các đ i ể m p và K, đông t h ờ i t i ế p xúc trong với đường tròn ngoại t i ế p A A B C . Chứng m i n h rhijc trung đ i ể m đoạn thẳng PK là tâm của đường tròn n ộ i l i ế p trong
A A B C .
10.4. M ộ t đa giác l ỗ i có t í n h chất sau : nếu tất cả các cạnh của nó được đầy ra phía ngoài một khoảng bằng Ì, thì các đường thẳng mới nhận được tạo t h à n h một đa giác đ ò n g dạng với da giác ban dầu. Chứng minh rằng trong đa giác đó có thề nội t i ế p dược một đường tròn.
10.5. Chứng minh rằng trong m ọ i tam giác R >2r (R và r là bán kính các đường t r ò n ngoại t i ế p và nội t i ế p của tam giác) và đẳng thức chi đạt được k h i tam giác đ ê u .
10.6. Trong A A B C n ộ i t i ẽ p một h ì n h vuông sao cho hai đ i n h của n ó nằm trên cạnh đáy, còn hai đ i n h k h i nằm t r ê n các cạnh bên của tam giác. Chứng minh rằng cạnh cứa h ì n h vuông nhỏ hơn 2r n h ư n g lớn hơn trong d ó r là bán kính dường tròn n ộ i t i ế p của A A B C .
10.7. Chứng minh rani; mỗi da uiac lòi (p chứa hai đa giác 0 1 và <p2 k h ô n g giao Ì
nhau và cunq dồng dạniỊ với (p theo ti sô
10.8. MỘ! tứ uiác lòi dược chin hởi các đ ư ờ n ẹ c h é o t h à n h 4 tam eiác, C h ứ n c minh rằng đường tkánq noi các t.ọni; tâm của hai tam giác dõi nhau vuông góc v ớ i
sđw'rnằ thane nụi c ỏ t trực tõm cựa hai lam giỏc cũn l ạ i .
§2. Các điiửng t r ò n vừ t ự vói nhau.
10.9. T r ô n liưởnn tròn cô đừnh hai đ iế m A và B, còn điểm c chuyến độim t r ê n đưởrm t r ò n đó. T i m tập hợp các đ i ể m , là các trọng t í m cùa các tam giác A B C .
10.10. Trong đưừne tròn kè mội dâv cung A B chắn một cung 120°. Cớ t h ế kẻ qua trunii đ iế m của dây t u n c dó một dãy cunií hi chia h(Vi giao đ iế m của các dây (lum; theo t i lộ Ì : 4 được hav không '.'
10.11. Hai (lường tròn t i ế p xúc với nhau l ạ i đ iề m p. Qua đ i ể m p kẻ hai cát t u y ê n cai li ườn 5 tròn thứ nhát l ạ i các diem A i và B i . cắt đường tròn t h ứ hai t ạ i các đ i ể m A2 và EỈ2- Chứne minh rằng các tam mác P A i B i và PA^Bz đỏng dạng vcýi nhau.
1 0 . 1 2 . Bên trong dường tròn s cho hai đ i ể m A và B. Chung minh rằng tôn t ạ i một đưòrng tròn đi qua các đ iế m A và B. và nằm t r ọ n vẹn bên trong đường t r ò n s.
10.13. T r ô n đoạn thẳng nối các tâm cùa hai đưởnu tròn ticp xúc ni>oài v ớ i nhau như trên d ư ở n i ; k í n h ta dựng một dườnii t r ù n . C h ứ n Ị minh rằniỊ t á ba đ ư ừ n g t r ò n cùng ticp xúc với một dường thẳng.
1 0 . 1 4 . a) Đ ư ờ n i ỉ tròn n ộ i tiêp của A A B C t i ẽ p xúc với cạnh A C t ạ i đ i ể m D , kẻ đưừnií k í n h D M . Đường thắng B M cất cạnh A C t ạ i đ iề m K. Chứng m i n h rằng A K = D C .
b) Trong dưừng tròn kù hai dưửng kính A B và CD vuông góc v ớ i nhau. T ừ một đ iề m M nam ncoài đường tròn kỏ các l i ê p tuyên t ớ i dường tròn, cắt đ ư ờ n g thẳng A B t ạ i các (liêm E và H , các dường thẳng M C và M D cắt đường t h ẳ n g A B tại các đ iế m F và K. Chứng minh rằng E F = HK..
10.15. Trong một dường tròn n ộ i t i ế p tú giác A B C D . Chứng minh r ằ n g các trọng (âm của các lam giác A B C , C D A , B C D , D A B nằm trên cùng một đ ư ờ n g t r ò n . 1 0 . 1 6 . Các đường tròn (ỉ, Y rá c"ns b á " kính và t i ẽ p xúc v ớ i các cạnh của các góc A . B , c tương ứng tủa A A B C . Đ ư ờ n g tròn ổ t i ế p xúc ngoài v ớ i tất cả ba đường tròn a, / Ị y. Chứng minh rằng tâm đường tròn ỏ nằm t r ê n đường t h ẳ n g đi qua !?.m cỏc dườnớằ trũn nội t i ế p và ngoại'tiẽp của A A B C .
10.17. Cho A A B C . Dụm; 4 diíờnii tròn cùng bán kính ọ sao cho có một tron ị!
sỏ các dưừnii ườn dó liếp xúc vớ) ba ưuờniỉ tròn kia, còn mỗi đường tròn trong sỏ ba đường tròn đo tiôp xút với hai cạnh của tam d á c . Hãy l í n h p , nêu bán kính các duửnn tròn nội tiêp và ngoại ticp của tam giác lươne ứng bằníi r và R.
§3. Dựng hình và táp hợp các điẳm.