CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Một số kết quả của giải tích hàm về không gian Hilbert
Khái niệm trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1:Cho X là không gian Unita, số thực ( x, y ) được gọi tích vô hướng của 2 véc tơ x và y trong không gian nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
Định nghĩa 1.2: Một không gian H được gọi là không gian Hilbert nếu nó là không gian Unita với chuẩn Unita và (H, ) là không gian Banach Định nghĩa 1.3: Hệ véc tơ {x1, x2, , xn} được coi là hệ độc lập tuyến tính nếu đẳng thức α1x1 + α2x2 + + αnxn = 0 chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số αi (với i = 1, 2, , n) đều bằng 0.
1.1.2 Tính trực giao, hình chiếu Định nghĩa 1.4:Hai véc tơ x và y trong không gian Hilbert trực giao với nhau nếu
Véc tơ x được xem là trực giao với một tập hợp Y ⊆ X khi nó trực giao với tất cả các phần tử trong Y Tập hợp tất cả các véc tơ trực giao với Y được ký hiệu là Y ⊥.
Trong không gian Hilbert, phần bù trực giao được định nghĩa cho một không gian con đóng Y của không gian Hilbert H Mỗi véc tơ x thuộc X có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z, trong đó y là phần tử của Y gần x nhất và z thuộc phần bù trực giao Y ⊥, với điều kiện x − y ≤ x − u cho mọi u thuộc Y.
Véc tơ y trong phân tích được xem là hình chiếu của x lên không gian con Y Khi đặt Px = y, chúng ta xác định một toán tử P, được gọi là toán tử chiếu lên Y.
1.1.3 Hệ trực chuẩn đầy đủ Định nghĩa 1.6:Một hệ { x1, x2, , xn } gồm các véc tơ trong không gian Hilbert H gọi là hệ trực chuẩn nếu ( x , x ) δ = = 0, khi i ≠ j
Trong không gian Hilbert H, một hệ trực chuẩn {x1, x2, , xn, } được gọi là đầy đủ nếu span {x1, x2, , xn, } trù mật trong H, tức là mọi điểm x ∈ M đều là giới hạn của một dãy x ∈ M Đối với không gian metric X, nó được xem là khả ly nếu tồn tại một tập đếm được S trù mật trong X Không gian Banach (hoặc không gian Hilbert) H được coi là khả ly nếu không gian metric (H, d) là khả ly, với metric d được định nghĩa là d(x, y) = x - y.
Trong không gian C[a,b] và Lp[a,b] (với p ≥ 1), ta có định lý 1.1.1 liên quan đến không gian Hilbert H Các điều kiện sau đây được coi là tương đương: dãy (xn) là dãy trực chuẩn nếu và chỉ nếu (xn) đầy đủ, và x = lim (xn, x) với ∀x ∈ H khi n tiến tới vô cùng.
( x , x ) 2 , ∀x ∈ H , ( x , x ) 2 , ∀x ∈ H , f) ( x, xn ) = 0, ∀n ≥ 1,∀x ∈ H ⇒ x = 0 Định lý 1.1.2 (Phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Schmidt): Nếu hệ
Trong không gian Hilbert H, nếu { x1, x2, , xn } là một tập hợp các véc tơ độc lập tuyến tính, chúng ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn { y1, y2, , yn } sao cho không gian sinh của chúng là tương đương: span { x1, x2, , xn } = span { y1, y2, , yn }.
Chứng minh: Với n = 1 ta chọn y 1 = x 1
Giả sử { x1, x2, , xn+1}độc lập tuyến tính ⇒{ x1, x2, , xn } cũng độc lập tuyến tính Cho
{ y1, y2, , yn } là hệ trực chuẩn sao cho
Véc tơ x n + 1 không thuộc không gian con Y, do đó ta chọn y n + 1 là kết quả của phép chiếu P trên Y Điều này cho thấy Y là một không gian con, và tập hợp {y1, y2, , yn+1} tạo thành một hệ trực chuẩn.
Pxn+1 ∈ span { x1, x2, , xn } ⇒ yn+1 ∈ span { x1, x2, , xn+1}
Tương tự chứng minh được ⇒ span { x1, x2, , xn+1} ∈ span { y1, y2, , yn+1}
Định lý 1.1.3 khẳng định rằng trong một không gian Banach tách được, tồn tại một tập đếm được, có thể là hữu hạn, bao gồm các véc tơ độc lập tuyến tính Tập hợp này tạo thành không gian sinh trù mật trong không gian X.
Chứng minh:Cho { xk , k ≥ 1 } n n trù mật trong X Ta xây dựng dãy (có thể hữu hạn) các véc tơ y k độc lập tuyến tính sao cho
( 1.1 ) span { xk ,1 ≤ k ≤ n } ⊂ span { yk ,1 ≤ k ≤ n } ; điều này suy ra rằng cl ( span { x n , n ≥ 1 } = ) cl ( span { y n , n ≥
Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng quy ước để chứng minh định lý liên quan đến dãy hữu hạn y_n Cụ thể, nếu dãy y_n có n_0 phần tử, thì theo định nghĩa, span { y_k, 1 ≤ k ≤ n } sẽ bằng span { y_k, 1 ≤ k ≤ n_0 } và cũng bằng span { y_n, n ≥ 1 } với n ≥ n_0.
Với n = 1, ta có y₁ = x₁ và giả sử các véc tơ độc lập tuyến tính được xác định thỏa mãn điều kiện (1.1) Nếu tập hợp span { yₖ, 1 ≤ k ≤ n } bằng X, thì ta có định lý chứng minh Ngược lại, tồn tại một số tự nhiên j sao cho xⱼ không thuộc vào span { yₖ, 1 ≤ k ≤ n }.
{ x j , j ≥ 1 } nằm tro ng span { yk ,1 ≤ k ≤ n } thì bao đóng của nó cũng vậy
Ta lấy j nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên và đặt
{ y 1, y 2 , , y n + 1 } y n + 1 = x j Theo cách xây dựng thì
Hệ quả: Một không gian Hilbert tách được có một hệ trực chuẩn đầy đủ đếm được hoặc hữu hạn. Định lý 1.1.4:Nếu
H và H 1 là hai không gian Hilbert vô hạn chiều thì tồn tại toán tử A : H
(Đặc biệt cho x = y ta được
Hệ quả 1: Tất cả các không gian tách được vô hạn chiều đều đẳng cấu, đẳng cự với l 2
Hệ quả 2: Nếu H là không gian Hilbert khả ly thì tồn tại không gian xác suất
P ) và toán tử tuyến tính
Ax là biến ngẫu nhiên Gauss tập chung và
1.2.1 Đị nh ng hĩa và tín h chấ t của ch uyể n độ ng
P ) được gọi là quá trình
Brown) trên R + đầu tại thời điểm 0 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: b ắ t a) v é c t ơ k – c h i ề u w ( t1, t2,
) có phân phối Gauss với k ∈ N bất kỳ và mọi t 1 ,t 2 , ,t k ≥ 0 b) Ew t w s = s ∧ t,
0 và các điều kiện ( a ) − ( c ) được thỏa mãn thì w t được gọi là chuyển động Brown trên đoạn [ 0; a ]
C h ú ý : N ế u w0 = 0 thì các điều kiện ( a ) − ( b ) tương đương với điều kiện sau: d )
– ch iề u có ph ân ph ối
G au ss ch uẩ n tắ c ho ặc cá c bi ến ng ẫu nh i ê n w w,
1 độ c lậ p vớ i nh au và có ph ân ph ối ch uẩ n
Tồ n tại m ột qu á trì nh
) có ph ân bố G au ss vì m ọi α i
R bấ t kỳ ta c ó bi ến n gẫu nhiê n ∑ α ω
Bây giờ ta sẽ dùng lý thuyết không gian Hilbert để chứng minh sự tồn tại của chuyển động Brown theo định nghĩa nêu trên:
Ví dụ 1.2 Sự tồn tại của chuyển động Brown trên đoạn [ 0,1 ] :
Ta sẽ xây dựng chuyển động Brown trên đoạn [ 0,1 ] bằng cách sử dụng hệ x n xác định bởi:
Gọi Y n là dãy các biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập nhau Ta xác định
Khi đó, w t thỏa mãn 2 điều kiện đầu tiên của định nghĩa chuyển động Brown, và câu hỏi về tính liên tục của quỹ đạo được giải quyết.
Chú ý rằng y ( t ) = ( x ,1 ) = t x ( s ) ds là hàm liên tục, nên với ω bất kì, tổng n n [ 0,t ) ∫ n
0 riêng của chuỗi trong ( 1.3 ) là các hàm liên tục Ta sẽ chứng minh rằng chuỗi đó hội tụtuyệt đối và hội tụ đều theo t ∈[ 0,1 ] với hầu hết ω ∈Ω Ta có
Chắc chắn, nếu ∑ an ( ω ) 0 bất kỳ, w w t s − là chuyển động Brown, độc lập với w u ,u ≤ s
−w t tw 1 t là chuyển động Brown, là chuyển động Brown.
Quỹ đạo của chuyển động Brown không có biến phân giới nội trên bất kỳ khoảng nào Chúng ta sẽ chứng minh rằng quỹ đạo này giữ tính chất không có biến phân giới nội, và để đơn giản hóa, chúng ta sẽ giới hạn biến phân của quỹ đạo trong một khoảng nhất định.
[ 0,1 ] Cố định ω và xác định v n ( ω ) = ∑ w k ( ω ) − w k − 1 ( ω ) Chắc chắn v n ≤ v n + 1 và k =1 2 n 2 n ta phải xác định v ( ω ) = lim vn ( ω ) Điều kiện đủ là ta chứng minh v =∞ h.c. c hoặc
Ee −v = 0 Chú ý rằng, các biến ngẫu w ( ω ) − w ( ω ) , 0 ≤ k <
2 n 2 n và cùng phân phối Do vậy, theo định lý hội tụ trội của Lebesgue, ta có
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
Hệ trực chuẩn đầy đủ
Định nghĩa 1.6:Một hệ { x1, x2, , xn } gồm các véc tơ trong không gian Hilbert H gọi là hệ trực chuẩn nếu ( x , x ) δ = = 0, khi i ≠ j
Một hệ trực chuẩn { x1, x2, , xn, } trong không gian Hilbert H được gọi là đầy đủ nếu span { x1, x2, , xn, } trù mật trong H, nghĩa là mọi điểm x ∈ M đều là giới hạn của một dãy x ∈ M Không gian metric X được xem là khả ly nếu tồn tại một tập đếm S trù mật trong X Chúng ta nói không gian Banach (hay không gian Hilbert) H khả ly nếu không gian metric (H, d) là khả ly, với metric d được định nghĩa là d(x, y) = x - y.
Trong không gian C[a,b] và Lp[a,b] (với p ≥ 1), định lý 1.1.1 chỉ ra rằng trong không gian Hilbert H, một dãy (xn) sẽ là dãy trực chuẩn nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện tương đương: thứ nhất, dãy (xn) là đầy đủ, và thứ hai, x = lim (xn) với ∀x ∈ H, khi n tiến đến vô hạn.
( x , x ) 2 , ∀x ∈ H , ( x , x ) 2 , ∀x ∈ H , f) ( x, xn ) = 0, ∀n ≥ 1,∀x ∈ H ⇒ x = 0 Định lý 1.1.2 (Phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Schmidt): Nếu hệ
Trong không gian Hilbert H, nếu tập hợp các véc tơ { x1, x2, , xn } là độc lập tuyến tính, ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn { y1, y2, , yn } thỏa mãn điều kiện: span { x1, x2, , xn } = span { y1, y2, , yn }.
Chứng minh: Với n = 1 ta chọn y 1 = x 1
Giả sử { x1, x2, , xn+1}độc lập tuyến tính ⇒{ x1, x2, , xn } cũng độc lập tuyến tính Cho
{ y1, y2, , yn } là hệ trực chuẩn sao cho
Véc tơ x n + 1 không thuộc không gian Y, do đó chúng ta chọn y n + 1 là kết quả của phép chiếu P trên Y, mà Y được xác định là một không gian con Như vậy, tập hợp {y1, y2, , yn+1} tạo thành một hệ trực chuẩn.
Pxn+1 ∈ span { x1, x2, , xn } ⇒ yn+1 ∈ span { x1, x2, , xn+1}
Tương tự chứng minh được ⇒ span { x1, x2, , xn+1} ∈ span { y1, y2, , yn+1}
Trong không gian Banach X tách được, tồn tại một tập đếm được các véc tơ độc lập tuyến tính, và không gian sinh của tập này trù mật trong X.
Chứng minh:Cho { xk , k ≥ 1 } n n trù mật trong X Ta xây dựng dãy (có thể hữu hạn) các véc tơ y k độc lập tuyến tính sao cho
( 1.1 ) span { xk ,1 ≤ k ≤ n } ⊂ span { yk ,1 ≤ k ≤ n } ; điều này suy ra rằng cl ( span { x n , n ≥ 1 } = ) cl ( span { y n , n ≥
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về định lý và cách chứng minh của nó Theo quy ước, nếu dãy y n hữu hạn với n 0 phần tử, thì theo định nghĩa, span { yk ,1 ≤ k ≤ n } sẽ bằng span { yk ,1 ≤ k ≤ n0} và cũng bằng span { yn,n ≥ 1 } với điều kiện n ≥ n 0.
Khi n = 1, ta có y1 = x1 Giả sử các véc tơ độc lập tuyến tính được xác định sao cho thỏa mãn điều kiện (1.1) Nếu tập hợp span {yk, 1 ≤ k ≤ n} bằng X, thì chúng ta có định lý chứng minh Ngược lại, sẽ tồn tại một số tự nhiên j sao cho xj không thuộc vào span {yk, 1 ≤ k ≤ n}.
{ x j , j ≥ 1 } nằm tro ng span { yk ,1 ≤ k ≤ n } thì bao đóng của nó cũng vậy
Ta lấy j nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên và đặt
{ y 1, y 2 , , y n + 1 } y n + 1 = x j Theo cách xây dựng thì
Hệ quả: Một không gian Hilbert tách được có một hệ trực chuẩn đầy đủ đếm được hoặc hữu hạn. Định lý 1.1.4:Nếu
H và H 1 là hai không gian Hilbert vô hạn chiều thì tồn tại toán tử A : H
(Đặc biệt cho x = y ta được
Hệ quả 1: Tất cả các không gian tách được vô hạn chiều đều đẳng cấu, đẳng cự với l 2
Hệ quả 2: Nếu H là không gian Hilbert khả ly thì tồn tại không gian xác suất
P ) và toán tử tuyến tính
Ax là biến ngẫu nhiên Gauss tập chung và
Chuyển động Brown
1.2.1 Đị nh ng hĩa và tín h chấ t của ch uyể n độ ng
P ) được gọi là quá trình
Brown) trên R + đầu tại thời điểm 0 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: b ắ t a) v é c t ơ k – c h i ề u w ( t1, t2,
) có phân phối Gauss với k ∈ N bất kỳ và mọi t 1 ,t 2 , ,t k ≥ 0 b) Ew t w s = s ∧ t,
0 và các điều kiện ( a ) − ( c ) được thỏa mãn thì w t được gọi là chuyển động Brown trên đoạn [ 0; a ]
C h ú ý : N ế u w0 = 0 thì các điều kiện ( a ) − ( b ) tương đương với điều kiện sau: d )
– ch iề u có ph ân ph ối
G au ss ch uẩ n tắ c ho ặc cá c bi ến ng ẫu nh i ê n w w,
1 độ c lậ p vớ i nh au và có ph ân ph ối ch uẩ n
Tồ n tại m ột qu á trì nh
) có ph ân bố G au ss vì m ọi α i
R bấ t kỳ ta c ó bi ến n gẫu nhiê n ∑ α ω
Bây giờ ta sẽ dùng lý thuyết không gian Hilbert để chứng minh sự tồn tại của chuyển động Brown theo định nghĩa nêu trên:
Ví dụ 1.2 Sự tồn tại của chuyển động Brown trên đoạn [ 0,1 ] :
Ta sẽ xây dựng chuyển động Brown trên đoạn [ 0,1 ] bằng cách sử dụng hệ x n xác định bởi:
Gọi Y n là dãy các biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập nhau Ta xác định
Khi đó, w t thỏa mãn 2 điều kiện đầu tiên của định nghĩa chuyển động Brown, và câu hỏi về tính liên tục của quỹ đạo được giải quyết.
Chú ý rằng y ( t ) = ( x ,1 ) = t x ( s ) ds là hàm liên tục, nên với ω bất kì, tổng n n [ 0,t ) ∫ n
0 riêng của chuỗi trong ( 1.3 ) là các hàm liên tục Ta sẽ chứng minh rằng chuỗi đó hội tụtuyệt đối và hội tụ đều theo t ∈[ 0,1 ] với hầu hết ω ∈Ω Ta có
Chắc chắn, nếu ∑ an ( ω ) 0 bất kỳ, w w t s − là chuyển động Brown, độc lập với w u ,u ≤ s
−w t tw 1 t là chuyển động Brown, là chuyển động Brown.
Quỹ đạo của chuyển động Brown không có biến phân giới nội, và chúng ta sẽ chứng minh điều này trên bất kỳ khoảng nào Để giữ tính tổng quát, chúng ta sẽ xem xét biến phân của quỹ đạo trong một khoảng xác định.
[ 0,1 ] Cố định ω và xác định v n ( ω ) = ∑ w k ( ω ) − w k − 1 ( ω ) Chắc chắn v n ≤ v n + 1 và k =1 2 n 2 n ta phải xác định v ( ω ) = lim vn ( ω ) Điều kiện đủ là ta chứng minh v =∞ h.c. c hoặc
Ee −v = 0 Chú ý rằng, các biến ngẫu w ( ω ) − w ( ω ) , 0 ≤ k <
2 n 2 n và cùng phân phối Do vậy, theo định lý hội tụ trội của Lebesgue, ta có
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
Một trong những đặc điểm quan trọng của chuyển động Brown là hầu hết các quỹ đạo của nó không thể quan sát được Điều này được suy ra từ kết luận giới nội Định nghĩa 1.10: Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất, họ các σ-đại số Ft, t ≥ 0 của các tập đo được xác định bởi F t ⊂ F t + h ⊂ F với ∀t, h ≥ 0, được gọi là bộ lọc.
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
X t ,t ≥ 0 được gọi là martingale tương ứng với bộ lọc F t ,t ≥ 0 k h i v à c h ỉ k h i
≥ 0 là m ar ti n g al e ứ n g v ới b ộ lọ c
Chuy ển động Brow n là một marti ngale vớith t ời gian liên tục
− t là martingale Ta công nhận định lý sau đây: Định lý
0 với quỹ đạo liên tục và w
− t là một martingale, sẽ là chuyển động
1.2.2.Tích phâ n ngẫu nh iên
Tr on g mụ c nà y, ta cố địn h ch uy ển độ ng Br ow n w
) Ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về tích phân Ito
Hàm tích phân trong tích phân Ito là một quá trình x = x(t, ω) có tính khả tích và không phụ thuộc vào tương lai Để áp dụng phương pháp này, cần đảm bảo các yêu cầu nhất định.
3 x là đo được lũy tiến theo nghĩa sau: với
A∈M ( [ a,b ] ) × F được gọi là đo được lũy tiến nếu
Tập hợp I bao gồm các tập đo được lũy tiến, tạo thành một ο-đại số Đồng thời, quá trình x được coi là đo được lũy tiến khi và chỉ khi nó đáp ứng các tiêu chí đo lường cụ thể.
I Thật vậy, theo định nghĩa x là đo được lũy tiến khi và chỉ khi với ∀t
( [ a,b ] ) × F t đo được Điều này nghĩa là
⇔ x−1 ( A ) ∈I ,∀A∈M ( R ) , và đẳng thức cuối cùng chứng tỏ x là I đo được. Định nghĩa 1.11: Một quá trình được gọi đơn giản nếu tồn tại n ≥1, phân hoạch a t < t < < t
Ta chú ý rằng quá trình đơn giảnsẽ bình phương khả tích được Thật vậy, x () ω x 2 1
Ta khẳng định: quá trình đơn giản tạo nên một tập con trù mật trong minh ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề: Xét không gian L 2 [ a,b ] gồm các hàm nhận giá trị thực, bình phương khả tích được trên đoạn [ a,b ] , và các toán tử
≥ 1 trong không gian này xác định bởi
( s ) ds ∫ 12 ds (BĐT Cauchy – Schwartz) i = 0 n t i t i n−2 b − a t i +1
≤ 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi lấy xn ( t ) =
) ( t ) Để chứng minh đẳng thức còn lại, chú ý rằng nếu x
1 [ a,b ] và theo định lý hội tụ trội Lebesgue thì T n x hội tụ đến x khi n →∞ Vì tập con các hàm dạng tuyến tính như x trù mật trong đpcm.
L 2 [ a,b ] nên ta có Bây giờ, ta chứng minh khẳng định vừa nêu trên Thật vậy, ta lấy x từ không gian
Với hầu hết các ω, ta có xω(t) = x(t, ω) thuộc L² Điều này cho phép chúng ta sử dụng các toán tử Tn từ bổ đề trước để xác định quá trình đơn giản xn(t, ω) và Tnxω.
( t ) với ω như vậy và đặt bằng 0 trong các trường hợp còn lại Bây giờ, ta có x − x = b ( T x ( t, ω ) − x ( t, ω ) ) 2 dtd P ( ω ) = T x
Theo bổ đề, hàm dưới dấu tích phân này hội tụ đến và bị chặn bởi 4 x ω
∞ p nên tích phân đó hội tụ đến 0 (đpcm). Đẳng cự Itô: Với quá trình đơn giản x ta đặt
Ta sẽ chứng minh cự Itô.
Chú ý: ta sử dụng kết quả w ( t ) ,t ≥ 0 và w 2 ( t ) − t,t ≥ 0 là các martingale.
Bước 2: Ta chứng minh được x t δ i bình phương khả tích được, trong đó δ w
Chú ý rằ ng x 2 1 δ 2 ≤ kδ 2 , k ∈N là hàm khả tích được và là F đo đ ư ợ c
Bây giờ, ta có I ( x ) 2 = ∑ Ex 2 δ 2 + 2 ∑ Ex x δ δ
0≤i< j≤n−1 Định nghĩa 1.12: Cho quá trình đơn giản x Tích phân Itô của quá trình x được kí b hiệu và xác định bởi I ( x ) = a ∫ xd ω
Tích phân Itô là một martingale.Thật vậy, dễ dàng thấy với a < b < c và b c x ∈ L 2
= a ∫ a x1 [ a, b ] ×Ω dω Theo tính chất tuyến tính:
∫ a xd ω = a ∫ xd ω + b ∫ xd ω với mọi quá trình đơn giản, do đó nó cũng đúng với mọi quá trình x ∈
vì E là hàm tuyến tính bị chặn trên L2
= 0 trong đó F b = σ ( w ( s ) ,0 ≤ s ≤ b ) Thật vậy, nếu x là quá trình
≤ i ≤ n −1 và do đó ta có điều phải chứng minh
0 , khi đó ta có thể xác định y
≥ 0 l à m ộ t m a r t i n g a l e v ớ i thời gian liên tục đối với lọc
≥ 0 , được kế thừa từ chuyển động Brown Thật vậy,
0 được cũng là giới hạn của hàm
KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU VÀ SỰ HỘI TỤ THEO XÁC SUẤT 2.1 Một số kết quả trong giải tích hàm
Định lý Hahn – Banach
Tập S được gọi là được sắp một phần theo thứ tự nếu tồn tại một quan hệ R trong S, với R là một tập con của S × S, thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, nếu (p1, p2) ∈ R và (p2, p1) ∈ R thì p1 phải bằng p2 Thứ hai, nếu (p1, p2) ∈ R và (p2, p3) ∈ R thì (p1, p3) cũng phải thuộc R.
Ta có thể viết p 1 ≤ p 2 thay thế cho ( p1, p2 ) ∈ R Ta nói tập S được sắp một phần theo thứ tự là tập được sắp tuyến tính nếu với mọi p 2 ≤ p 1 p 1 , p 2 ∈
S được gọi là cận trên của tập S′ ⊂
S được gọi là tối đại trong S′ nếu với mọi p′∈ S′ và p m ≤ p′ ⇒ p m = p′
Bổ đề 1 (Kuratowski – Zorn) khẳng định rằng nếu S là một tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có ít nhất một phần tử tối đại Định nghĩa 2.2 nêu rõ rằng nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn, thì không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào R được gọi là không gian các phiếm hàm tuyến tính Không gian con đại số của nó, bao gồm các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X, được gọi là không gian đối ngẫu của X và được ký hiệu là X*.
Ký hiệu các phần tử của không gian định chuẩn X là F, G, Giá trị của phiếm hàm F tại véc tơ x được ký hiệu là Fx hoặc F, x Định lý 2.1.1 khẳng định rằng F là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian định chuẩn X.
L = { x ∈ X : Fx = 0} Khi đó, các điều kiện sau tương đương: a) F bị chặn b) F liên tục c) L đóng d) hoặc L = X hoặc tồn tại y ∈ X và r > 0 sao cho Fx ≠ 0, với ∀x : x − y
Y là kh ôn g gia n co n đại số củ a không gian định chuẩn
X Giả sử F là phiếm hàm tuyến tính trên Y thỏa mãn
Khi đó tồn tại một phiế m h à m t u y ế n t í nh
Chứng minh: Để chứng minh định lý này ta cần sử dụng 2 bổ đề sau đây:
Bổ đề 2: Giả sử X là không gian định chuẩn, Y là không gian con đại số của nó và x ∉ Y Đặt Z = { z ∈ X : z = y + tx ∀y
Khi đó Z là không gian con của X , và nó bị đóng khi Y đóng Biểu diễn z = y + tx của phần tử thuộc Z là duy nhất.
Bổ đề 3: Với ký hiệu như trên, giả sử tồn tại phiếm hàm tuyến tính
Trở lại chứng minh định lý :
X = Y thì định lý trở nên tầm thường, do đó ta giả sử
S với quan hệ này là một tập được sắp một phần.
Giả sử hiện tại ta chứn g minh được tồn tại m ộ t p h ầ n t ử t ố i đ ạ i ( Z m, Fm ) c ủ a
Z m = X , mặt khác theo bổ đề 3 ta có thể mở rộng
F m đế n mộ t kh ôn g gia n c o n c h ứ a
. như là một tập con thực sự, mâu thuẫn với tính tối đại của phần tử
Do đó theo bổ đề Kuratows ki – Zorn t h ì c h ỉ c ầ n c h ứ n g m i n h m ọ i t ậ p c o n đ ư ợ
′ là tậ p đư ợc sắ p tu yế n tín h nê n ho ặc
thuộc Z u hoặc Z v ⇒ x, y ∈ Z b Vì vậy, một tổ hợp tuyến tính các phần tử của Z b thuộc tập
Z b là không gian con đại số của X
Tương tự người ta chứng minh được rằng nếu z ∈ Z Z u v với mọi u,v
F u z = F v z Điều này cho phép ta định nghĩa hàm F b trên
Định nghĩa Fb(z) = Fu(z) cho mọi z thuộc Z u cho thấy rằng nó không phụ thuộc vào cách chọn phần tử u Kết luận này chứng minh rằng F b là một phiếm hàm tuyến tính Hơn nữa, cặp (Z b, Fb) trên của S' thỏa mãn điều kiện (a).
+ Dưới đây là một vài ứng dụng của định lý Hahn – Banach:
Tách các véc tơ từ không gian con là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết không gian Banach Giả sử Y là một không gian con của không gian Banach X và x không thuộc Y Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính bị chặn F trên X, cho phép chúng ta phân tách các véc tơ trong không gian này một cách hiệu quả.
Ta định nghĩa hàm F trên Z từ bổ đề 2 xác định bởi
Theo bổ đề 3 thì F là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
Theo định lý Hahn-Banach, phiếm hàm Fz thỏa mãn điều kiện Fz ≤ z với mọi z thuộc Z và Fx khác 0 có thể được mở rộng đến toàn bộ không gian X sao cho F* ≤ 1 Định lý 2.1.3, được biết đến là Giới hạn Banach, trình bày rằng L là phép tịnh tiến trái L(ξn).
X trong l ∞ và cho e là một phần tử của l ∞ với tất cả các tọa độ đều bằng 1
Khi đó, tồn tại một phiếm hàm B trên l ∞ sao cho
∞ nế u gi ới h ạ n n ày tồ n tạ i.
+ Cấu trúc của phi ếm hà m tuy ến tính tro ng khô ng gia n Ban ach : Đ ị n h l ý 2 1 4
= 0 n ≥ 1 n ≥ 1 n ( n đượ c tran g bị chuẩ n supr emu m F là phiế m hàm trên
X khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một dãy
+∞ trong đó chuỗi ∑ n=1 ξ n α n hội tụ đều Mặt khác
* đẳng cấu với l 1 ) Định lý 2.1.5: Cho một dãy ( α ) ∈l ∞ X = l
1 F là phiếm hàm trên X khi và chỉ khi tồn tại duy nhất sao cho
+∞ n n n n ≥ 1 trong đó chuỗi ∑ n = 1 ξ n α n hội tụ đều Mặt khác
( ( l 1 ) * đẳng cấu với l ∞ ) Định lý 2.1.6:
Cho X = C [ 0;1 ] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [ 0;1 ] F là phiếm hàm tuyến tính trên X khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một độ đo có dấu Borel à trờn [ 0;1 ] sao cho
Định lý 2.1.7 (Riesz) khẳng định rằng trong không gian tôpô compact địa phương S, C0(S) là không gian các phiếm hàm liên tục và triệt tiêu tại các điểm vô hạn F được xác định là một phiếm hàm trên C0(S).
) khi và chỉ khi tồn tại một độ đo (có dấu) hữu hạn trên S sao cho
* bằng tổng cỏc biến phõn của à
Hệ quả 1:Với phiếm hàm tuyến tính bất kỳ trên
C ( S tồn tại duy nhất một độ đo Borel à trờn R và duy nhất 2 số thực a và b sao cho
Hệ quả 2: Nếu T là một toán tử trên C0
R là không gian giao hoán với tất cả các phép tịnh tiến T_t (t ≥ 0) được định nghĩa bởi T_t x (τ) = x(t + τ) Trong không gian này, tồn tại duy nhất một độ đo Borel trên R sao cho Tx(τ) = ∫ x(τ + ς) dς Định lý 2.1.8 khẳng định rằng cho (Ω, F, ).
) là không gian độ đo σ− hữu hạn F là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X = L1
( Ω, F, à ) khi và chỉ khi tồn tại một hàm y ∈ L∞
Trong trường hợp này thỡ F = y L ∞ ( Ω ,F , à )
Toán tử đối ngẫu
Định nghĩa 2.3: Cho X và Y là các không gian Banach, và A∈ L ( X,Y ) là toán tử.
Cho phiếm hàm F bất kỳ trên Y , ánh xạ F A là một phiếm hàm tuyến tính trên X
A * - là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ Y * v à o
A * được gọi là toán tử đối ngẫu hoặc toán tử liên hợp của toán tử A
Ngoài ra, ta nhận thấy A * là toán tử liên hợp của
Chú ý: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert là toán tử tự liên hợp nếu
Neumann): Nếu U là toán tử unita thì lim1 n n
∈ H , trong đó P là phép chiếu trên không gian con
Toán tử bị chặn U trong không gian Hilbert H được định nghĩa là toán tử unita nếu tồn tại toán tử nghịch đảo của nó, cả bên trái và bên phải, và được ký hiệu là U*.
Chú ý U là toán tử unita ⇔ ( Ux,Uy ) =
( x, y ) biệt các toán tử unita đẳng cấu với nhau trong H
Tôpô yếu và Tôpô yếu*
Các tập xác định tính hội tụ: Cho Y là không gian Banach
Tập xác định tính hội tụ, ký hiệu là Λ, được định nghĩa là tập hợp các điểm trong Y mà có thể tách biệt Cụ thể, với mọi điểm y thuộc Z*, tồn tại một phiếm hàm F trong Λ sao cho giá trị của phiếm hàm tại y là khác nhau, tức là Fy ≠ Fy Để đảm bảo tính chính xác, U được xem là tôpô nhỏ nhất.
∑ trong Y với F ∈Λ liên tục Họ các tập con của Y có dạng:
Trong không gian tôpô, 0 ∈ Y, F ∈ Y và ε > 0 được xác định là một cơ sở con U A là một không gian tôpô Hausdorff, trong đó Λ có khả năng tách biệt các điểm của Y Theo định nghĩa, U A là một tôpô mạnh hơn trong Y Ngoài ra, U (y0, F, ε) cũng được đề cập trong bối cảnh này.
) bất kỳ tồn tại số δ sao cho hình cầu mở B ( y 0 ,ε ) ⊂ U ( y 0 , F,ε )
Dãy y n hội tụ đến y ∈ Y trong tôpô U A khi và chỉ khi lim Fy = Fy n→∞ với mọi
Dãy F ∈ Λ có tính chất đặc biệt, được gọi là lưới Vì Λ phân tách các điểm của Y, nên tồn tại duy nhất một y Thực tế cho thấy rằng lim y = y khi n tiến đến vô cùng trong tôpô mạnh, dẫn đến lim y = y khi n tiến đến vô cùng trong U A Điều này có thể được xác minh qua công thức: ∀F ∈ U A, Fy n − Fy ≤ F y n − y.
Tất cả các tôpô như vậy có dạng là tôpô yếu Ta đi nghiên cứu 2 loại tôpô quan trọng đó là: tôpô yếu và tôpô yếu*
+ Tôpô yếu:Theo định lý Hahn – Banach, Y * là tập xác định tính hội tụ Theo kết quả trên, tôpô U A trong Y được gọi là tôpô yếu.
Sự hội tụ mạnh dẫn đến sự hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng Xét dãy e k = ( δ n,k ) trong c 0, ta có thể khẳng định rằng e k − e l không hội tụ.
= 1 ∀k ≠ l và e k không hội tụ trong tôpô mạnh khi k →∞ Tuy nhiên, F ∈ c * bất kỳ có dạng xác định như trong định lý 2.1.4, do đó
Fe = α k →∞ →0 , điều này chứng tỏ dãy e hội tụ yếu đến phiếm hàm 0.
Giả sử y_n là một dãy số bất kỳ và F(y_n) hội tụ, nhưng điều này không đủ để khẳng định rằng dãy y_n hội tụ yếu Cụ thể, Y tương đương với tôpô yếu không đảm bảo rằng dãy y_n sẽ hội tụ yếu khi n ≥ 1.
Để làm rõ vấn đề, chúng ta xem xét một ví dụ về không gian C(S) gồm các hàm liên tục trên không gian compact Giả sử rằng có một dãy các phiếm hàm bị chặn thực sự yn ∈ C(S).
0 Tồn tại một tổ hợp tuyến tính
F i của các phần tử của
= 1 y Tất nhiên limGy = Gy Cho n đủ lơn sao cho G ( y
F, à ) là không gian đo được σ− hữu hạn Dãy y n gồm các phần tử thuộ c
) , p > 1 là dãy hội tụ yếu khi và chỉ khi: a) y n bị chặn b) D ã y ∫ y n d à A hội tụ với mọi tập A đo được với độ đo hữu hạn.
Chứng minh: Điều kiện cần: a) đã được thảo luận ở trên, b) được suy ra từ: tập A đo được với độ đo hữu hạn
A là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
A Để chứng minh điều kiện đủ, ta chú rằng tập các hàm chỉ tiêu 1 A trong đó
A là tập đođược hữu hạn là tập trù mật tuyến tính trong
Do đó, theo như mệnh đề ở trên người ta chỉ ra rằng dóy ∫ xy n d à h ộ i t ụ v ớ i
H x li m xy d à Rõ rà ng ,
∫ x k sao cho xyd à= lim xy d à n→∞
Ví dụ 2.4: Trong không gian l 1 tôpô yếu và tôpô mạnh tương đương với nhau.
Theo tính tuyến tính, để chứng minh rằng dãy \( x_k \) hội tụ mạnh đến 0, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu dãy \( x_k \) (với \( k \geq 1 \)) là các phần tử của \( l_1 \) hội tụ yếu đến 0, thì nó cũng hội tụ mạnh Giả sử điều này không đúng, tức là \( x_k \) không hội tụ đến 0 Dãy các số không âm không hội tụ đến 0 sẽ chứa dãy con các số dương hội tụ đến một số dương nào đó Hơn nữa, dãy con của dãy hội tụ yếu vẫn là dãy hội tụ yếu Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng \( \lim x_k = r > 0 \) và \( x_k \neq 0 \) Nếu lấy \( y = x_k \), thì dãy này sẽ chứa dãy \( y = (\eta_{k,n}) \) hội tụ khi \( k \to \infty \) đến 0 và thỏa mãn \( y_k = \sum_{n=1}^{\infty} \eta_{k,n} = 1 \) Ta sẽ chứng minh rằng dãy này không tồn tại.
∫ n≥1 ta có lim ∑ α n η k ,n = 0 Đặc n=1 biệt, lấy α n = δ l ,n , n ≥ 1,l ≥ 1 ta nhận thấy limη k ,l = 0, l ≥ 1 k
Ta sẽ xác định hai dãy với chỉ số nguyên k i
, i ≥ 1 như sau: đặt k 1 = 1 và chọn n 1 sao cho
Theo trên, ta chọn được k
5 i và n i thì ta có thể chọn k i+1 đủ lớn thỏa mãn k i+1 > k i ,
1 nên ta có thể chọn n 1 i+ để có n i+1 n=n i +1 η k i
Hiện tại, đặt α n = signη k,n với n thuộc A i := { n i − 1 +1, , n i } trong đó n 0 = 0 F là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l ∞ có liên quan đến dãy bị chặn này.
∑ i k mâu thuẫn với dãy x k i hội tụ yếu đến 0 khi i
Tôpô yếu* là một cấu trúc trong không gian Y, trong đó tất cả các phần tử đều là các phiếm hàm xác định trên X Chúng ta có thể xem xét các phiếm hàm trên Y có dạng y → y(x) với x ∈ X cố định Theo định lý Hahn – Banach, tập hợp này xác định tính hội tụ Tôpô được xây dựng theo cách này trong Y được gọi là tôpô yếu* Hãy lưu ý rằng các tập U_y,x,ε = { y ∈
Y y ( x ) − y 0 ( x ) < ε } có dạng cơ sở của tôpô yếu*
Dãy y n hội tụ đến y trong tôpô này khi và chỉ khi lim y n ( x ) = y ( x ) ,∀x ∈ X Một ví dụ quan trọng của tôpô như vậy là trường hợp
) với S là không gian compact nào đó
Y = X * là không gian các độ đo
S và à n ∈ Y hội tụ đến à khi và chỉ khi lim∫ xd à n ∫ lim xd à n , ∀x
Chú ý tôpô yếu* yếu hơn tôpô yếu, để minh chứng điều đó ta xét ví dụ: Nếu p n
0 n→∞ thì δ hội tụ đến n δ p trong tôpô yếu* nhưng không hội tụ trong tôpô mạnh cũng như tôpô yếu.
Sự hội tụ yếu của một dãy số liệu xác suất được coi là hội tụ đơn giản khi giới hạn của nó là một độ đo tập trung tại một điểm n.
∞ s 0 , trong trường hợp này điều kiện đủ để chứng minh là: lim à n→∞ ( V C
) = 0 với mọi lân cận V của điểm s 0
Chứng minh: Với x là phiếm hàm liên tục bất kỳ trên S , cho ε
0 ta có chọn một lân cận V
) < ε , ∀p ∈V Với n đủ lớn, ta 2 cúà ( với mọi V C ) ≤ ε n : Vỡ xd = δ = x x ( ( p p ) ) à ( p d ) nờn ta cú n
Vậy dóy à n hội tụ yếu* đến độ đo Dirac tại 1 điểm.
2.6: Cho X n là các biến ngẫu nhiên hình học với các tham số p n tương ứng.
0 t h ì h à m p h â n b ố à n c ủ a n h ộ i t ụ đ ế n p h â n phối mũ trong tôpô yếu*.
∞ k ∞ [ nt ] [ K hi nt ] đó xd à = ∑ x p q k = np x
q dt trong đó [ nt ] ký hiệu là phần
) nt − 1 n n n và số hạng cuối cùng trong BĐT này hội tụ đến e − a t
→e −1 ) nên suy ra sự hội tụ của
Tích phân hội tụ theo từng điểm đến ae −at x (t) được chứng minh thông qua BĐT bên phải Sự hội tụ này được làm trội, và từ đó, định lý Lebesgue có thể được áp dụng để khẳng định tính chất của sự hội tụ.
Chúng ta có một bổ đề quan trọng, được sử dụng để thiết lập định lý giới hạn trung tâm, mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong phần tiếp theo.
4: Dãy các độ đo xác suất à n trên R hội tụ đến độ đo xác suất à trong tôpô yếu* khi và chỉ khi các toán tử tương ứng T n
Chứng minh: ⇒ chứng minh dễ dàng trong C
[ −∞,∞ ] và ∀ τ ∈ ( −∞,∞ ) đều tồn tại giới hạn: lim y n ( τ ) = lim ∫ x ( τ − σ ) à n ( d σ
( ±∞ ) Ta sẽ chứng minh y n hội tụ đều đến y tức là hội tụ mạnh trong C
T a k h ẳ n g đị n h r ằ n g y n bị chặn (theo x ) và liên tục tr ê n
Để thỏa mãn các giả thiết của định lý Arzelà-Ascoli, cần chọn một dãy con sao cho khoảng cách từ điểm y đến dãy con đó lớn hơn ε Điều này cho thấy giả thiết y không hội tụ mạnh đến y.
0 nào đó Theo định lý Arzela – Ascoli, tồn tại một dãy con của dãy con của chúng ta hội tụ đều đến z ∈C
Theo cách chọn từ dãy y n th ì d ã y con này cũng hội tụ đến y , suy ra z
∀τ ∈ R và h< δ ta có: à n→∞ y n ( τ + h ) − y n ( τ ) ≤ ∫ x R ( τ + h − σ ) − x ( τ − σ ) à ( d σ ) < ε Điều này chứng tỏ y n
, n ≥ 1 liên tục tại τ ∈ R Để chứng minh nó liên tục tại ∞ , đầu tiên ta lấy T > 0 và x k ∈C [ −∞,∞ ] , k ≥ 1 với x k ( τ )
Khi đó, lim x k ( τ ) = 1 [ T , ∞ ) ( τ ) , τ ∈ R Do đó: limsup à n [ T , ∞ ) ≤ lim ∫ x k d à n = ∫ x k d à n k →∞ → à[ T , ∞ ) n→∞ n→∞
Suy ra, cho trước ε> 0 ta có thể chọn T >
0 sao cho à n [ T ,∞ ) < ε với n đủ lớn Vì
T như vậy có thể được chọn với mỗi n ≥ 1 và x ∈C
[ −∞,∞ ] nên ta có thể chọn T sao cho à n [ T ,∞ ) < ε , ∀n ≥ 1 và x ( τ ) − x ( ∞ ) < ε , ∀ τ > T Với τ > 2T , ta có: y n ( ∞ ) − y n ( τ )
1 liên tục tại ∞ Trường hợp liên tục tại −∞ ta chứng minh hoàn toàn tương tự.
Hệ quả: Cho 2 dãy độ đo xác suất à n , n ≥ 1 và ν n , n ≥ 1 trờn R hội tụ yếu đến độ đo xác suất à, ν tương ứng Khi đú, dóy độ đo à n *ν n hội tụ yếu đến à*ν
Tính compact của không gian
Định nghĩa 2.4: Ta nói rằng một phủ mở vô hạn của không gian tôpô S infinite nếu nó không chứa 1 phủ con hữu hạn nào đó. là truly k
Bổ đề 5 (Alexandrov): Cho là cơ sở con trong S Nếu có một phủ mở vô hạn thực sự của của
S thì cũng có một phủ mở thực sự của S được xây dựng từ các phần tử
Chứng minh rằng tập các phủ con vô hạn thực sự của S không rỗng và được sắp xếp theo quan hệ bao hàm Hơn nữa, tập con C t, với t thuộc T (T là tập chỉ số khác rỗng), có cận trên.
Để chứng minh rằng C b không phải là phủ vô hạn thực sự của S, ta giả sử C b chứa ít nhất một phủ C t nào đó Điều này dẫn đến việc tồn tại số nguyên n và các phần tử U trong tập hợp.
U n của mà nó phủ S Vì C t , t ∈
Từ tính chất của thứ tự tuyến tính, tồn tại một tập hợp U i ∈ C t mà mâu thuẫn với C t là truly infinite, do đó ta có thể chứng minh rằng C b cũng là truly infinite Theo bổ đề Kuratowski – Zorn, có ít nhất một phần tử cực đại trong tập hợp các phủ truly infinite, và ta ký hiệu C m là một phủ như vậy.
(ii) Giả sử có 1 tập mở
G không thuộc C m Khi đó tồn tại n ∈
C m như tập con thực sự và do đó không là một phủ truly infini te
Ngư ợc lại, với phần tử
Do đó, có thể viết một cách đầy đủ ( 2.1 ) dưới dạng các tập mở đặc trưng
Nó suy ra rằng nếu
2 là các tập mở và
(iii)Ta sẽ chứng minh rằng ν ′
S , từ đó suy ra nó là 1 phủ truly infin ite
Theo định nghĩa, tồn tại k
V i i=1 n à o đó phải thuộc C m , các tập còn lại có giao không thuộc C m , và cũng không thuộc U
Do đó ν ′ phủ S Định lý
S t t∈ T bằng định nghĩa mà cơ sở con của nó là các tập có dạng
S t là tập mở Đây là tôp ô yếu
nhất mà làm cho tất cả các ánh xạ sau liên tục: f
S t∈ t ∈ T Định lý Ticho nov nói rằng: nếu S t c o m p a c t t h ì
(i) The o bổ đề Ale xan drov , tồn tại họ ν ′ cá c tậ p co n
U mà nó là phủ trul y i n fi n it e c ủ a
S t Bây giờ, ta cố định t∈T t
t∈T t i i=1 t ,U i điều này mẫu thuẫn với ν ′ là phủ truly infinite.
(ii)Theo (i), với t ∈ T bất kỳ tồn tại p = f ( t ) ∈
S t sao cho p ∉V t ,U với U ∈U t Mặt khác, đã xác định được f là phần tử của ∏
S t t∈T và ν ′ là 1 phủ của không gian này.
Do đó, tồn tại một số t và một tập mở U ∈ S t , U
∈U t sao cho f ∈V t ,U , tức là f ( t ) ∈U Điều này mẫu thuẫn, dẫn tới ∏
S t t∈T phải là tập compact. Định lý 2.1.11 (Alaoglu): Cho X là không gian Banach Hình cầu đơn vị (đóng)
Chứng minh: Theo định lý Tichonov, tất cả các phiếm hàm bị chặn mà có chuẩn không lớn hơn 1 là các phần tử của không gian compact
∏ S x , trong đó S x x∈X là các khoảng compact
− x , x Hơn nữa, tôpô yếu* trong
Tôpô B được thừa hưởng từ ∏ S x, điều này cho thấy x∈X B là tập đóng trong ∏ S x Để hoàn tất, giả sử f thuộc bao đóng của B trong ∏ x∈X S x, chúng ta cần chứng minh rằng f là hàm tuyến tính với chuẩn không vượt quá 1 Xét các phần tử x, y thuộc tập hợp X.
∏ x mà nó thuộc giao của 3 lân cận trên
Vì ε > 0 có thể chọn bất kỳ nên f ( x + y ) f ( x ) + f ( y ) Tương tự, ta có thể chứng minh được
Cuối cùng, f ( x ) ≤ x theo định nghĩa của S x trong Định lý 2.1.12 (Nguyên lý Helly): Mọi dãy { P n, n ≥ 1 } gồm các độ đo xác suất trên
Trong không gian metric, bất kỳ tập con nào của H đều có một dóy con hội tụ đến một độ đo nhất định Theo định lý 2.1.13 (Urysohn), không gian này có khả năng tách biệt và đồng phôi với các tập hợp khác.
S [ 0,1 ] được giới thiệu tổng quát theo cách được mô tả trong định lý 2.1.10, với chuẩn d H tron g H xác định bởi: d ( f , g ) = i=1 2 i f ( i ) − g ( i )
Rõ ràng, nếu d H ( f n , f ) hội tụ đến 0 thì f n ( i ) hội tụ đến f ( i )
Chứng minh: Ta cần chứng minh rằng có ánh xạ đơn ánh Φ : S →
H thỏa mãn với các phần tử p và p n , n ≥
1 bất kỳ của S thì d ( p n , p ) hội tụ đến 0 khi và chỉ khi d H ( Φ ( p n ) ,Φ ( p ) ) hội tụ đến 0 Không mất tính tổng quát, ta giả sử metric d trong
S bị chặn bởi 1, tức là d ( p, p′ ) ≤ 1, ∀p, p′∈ S Thật vậy, trong trường hợp tổng quát, ta đưa vào một metric tương đương d ′ trong S như sau d′ = min{ 1, d } Cho e i ,i ≥
1 trù mật trong S , và Φ( p ) = f là hàm f : N
Theo tính liên tục của metric, lim d p , p = 0 n→∞ kéo theo lim d ( p n ,e i ) = d ( p,e i ) với
N và do đó d H ( Φ ( p n ) ,Φ ( p ) ) hội tụ đến 0 Ngược lại, nếu d ( p,e i
1} trù mật nên với ε > 0 cho trước ta đều tìm được số e i sao cho d ( p, e ) < ε i 3
Tiếp theo, ta có thể tìm được số n 0 ∈
Cuối cùng, như đã thảo luận ta chỉ ra d ( p,e i ) = d ( p′,e i ) , i ∈
N kéo theo d ( p, p′ ) = 0 và do đó p = p′ Định lý 2.1.14 (Arzela – Ascoli): Tập A là compact tương đối trong không gian
C ( S ) khi và chỉ khi nó gồm các hàm đồng liên tục và tồn tại
Nhắc lại: A được gọi là gồm các hàm đồng liên tục khi và chỉ khi
⇒ Để chứng minh định lý này ta cần đến 2 bổ đề sau: x ( p ) − x ( p′ ) ≤ ε
Bổ đề 1: Ta giả sử A ⊂ C ( S
) gồm các phiếm hàm đồng liên tục và thỏa mãn
( 2.2 ) Ta coi A như tập con của p∈∈S ∏ S p trong đó S p = [ −M , M ] , ∀p ∈ S Khi
C ( S đó, bao đóng của A trong không gian này bao gồm các phiếm hàm đồng liên tục và ( 2.3 ) đúng với ∀x ∈clA Đặc biệt, các điểm giới hạn của
Giả sử x_n (với n ≥ 1) là một dãy các phiếm hàm đồng liên tục trên không gian metric compact S, và tồn tại giới hạn lim x_p cho mọi p thuộc S Khi đó, sự hội tụ của dãy này khi n tiến tới vô cùng là hội tụ đều, tức là lim n→∞ (x_n - x) thuộc không gian C(S).
[ 0,t ] gồm các hàm x đồng liên tục thỏa mãn x ( 0 ) ≤
M với hằng số M độc lập với việc chọn x ∈ A
A là tập compact tương đối
Chứng minh: Ta lấy s ∈[ 0,t ] ta có: n >
≤ x ( 0 ) + ∑ x n − x n + x ( s ) − x n ≤ M + [ ns ] +1 ≤ M + [ nt ] +1 k =1 Điều này suy ra ( 2.2 ) đúng với M được thay thế bởi M + [ nt ] +1
Ví dụ 2.7 (Tập compact trong
A ⊂ C ( R + ) là tập compact tương đối khi và chỉ khi nó gồm các hàm số đồng liên tục tại mọi khoảng con của R +
Chứng minh: Điều kiện cần là rõ ràng theo định lý Arzela – Ascoli Để chứng minh điều kiện đủ, với i ∈ N , cho
A i là tập các phần tử y ∈C
[ 0,i ] sao cho có x ∈ A thỏa mãn y = x Nhắc lại rằng x ( 0 ) =
∀x ∈C ( R + ) Vì vậy, theo chú ý trên các tập
Có sự tương ứng 1 – 1 giữa các phần tử của A và dãy ( y i ) i ≥ 1 ∈ ∏
( y i+1 ) [ 0,i ] = y i , i ≥ 1 Ngoài ra, dãy các phần tử x n , n ≥ 1 của C ( R + ) hội tụ trong
) khi và chỉ khi dãy tương ứng ( y
1 không có dãy con hội tụ thì không có dãy con tương ứng của ( y n,i
, n ≥ 1 hội tụ, mâu thuẫn với tính compact của ∏ i∈N A i
Sự hội tụ của dãy các độ đo xác suất
2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm Định lý 2.2.1 (Định lý giới hạn trung tâm):Nếu dãy các biến ngẫu nhiên độc lập , cùng phân bố X n , n ≥ 1 với
m ) hội tụ yếu đến phân phối chuẩn tắc.
Chứng minh:Ta cần đến bổ đề sau đây:
Bổ đề: Cho X bình phương khả tích được với EX = 0 và EX 2 = 1 Cho dãy các số dương a , n ≥ 1 sao cho lim a = 0 Khi đó, với ∀x ∈
D n→∞ tập các hàm x ∈C [ −∞,∞ ] có đạo hàm đến cấp hai với x′′ ∈C [ −∞, ∞ ] , giới hạn của 1 ( T x − x ) tồn tại và không phụ thuộc vào X Thực tế, giới hạn này bằng 1 x′′
Chứng minh: Theo công thức Taylor, với x có đạo hàm đến cấp 2 và các số τ, ς ta có: x ( τ + ς ) = x ( τ ) + ς x′ ( τ ) + ς 2 x ′ ( τ
2 trong đó 0 ≤ θ≤ 1 phụ thuộc vào τ và ς (và x ) Vì vậy, 1 T x ( τ ) − x ( τ
D ta có: n n a n a n và ε> 0 , ta có thể chọn δ sao cho ς< δ⇒ x ′( τ + ς
→0 nên ta có đpcm theo định lý hội tụ trội của Lebesgue.
Quay trở lại định lý, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m = 0, σ 2 = 1 Cho
T n = T 1 n X trong đó X là một biến ngẫu nhiên nào đó của X n , n ≥ 1 Theo giả thiết sự
X k k = 1 = T n và ta cần chỉ ra T n hội tụ mạnh đến T Z trong đó Z là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Tập D các hàm x có đạo hàm cấp 2 với x′′ ∈ C
[ −∞, ∞ ] là tập trù mật trong C [ −∞,∞ ], do đó nó đủ để chỉ ra sự hội tụ với x ∈ D Ta có:
n Z Định lý 2.2.2 (Lindeberg – Feller): Điều kiện Lindeberg đúng khi và chỉ khi max{ σ 2 , , σ 2 } 1 n lim n→∞ 1 n
∑ X k s n k =1 hội tụ yếu đến phân phối chuẩn tắc.
Dãy các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích độc lập X_n, với n ≥ 1, được xem là thỏa mãn điều kiện Lindeberg nếu với mọi δ > 0, giới hạn lim 1/n→∞ s^2_n E đạt được.
X k − à k { Xk −àk >δ sn } 0 trong n k =1 n đó
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng EX n = 0, ∀n ≥ 1 Vì các biến ngẫu nhiên độc lập nhau nên T n 1
Tương tự, ta cũng có thể viết T Z
∑ k n k =1 s n s n với Z có phân phối chuẩn tắc bằng T
1 s Z n T 1 s Z 1 ở đó Z k có phân phối chuẩn chuẩn n n kỳ với vọng bằng 0 và variance bằng ο 2 Bây giờ, ta chứng minh được:
1 và rút gọn để chứng minh với x ∈ D ,
Biến đổi, ta thu được n T x − x − x ′ ≤ ε + x ′ EX 2 1
2 1 k s n k k { Xk >snδ } trong đó ta chọn δ sao cho ς < δ ⇒ x ′( τ + ς ) − x ′ ( τ ) < ε Từ đó suy ra
Theo điều kiện Lindeberg, điều này chứng tỏ T
Z k thỏa mãn điều kiện Lindeberg Chú ý rằng k =1 s n k
EZ 4 = 3σ 4 , và ∑ 2 1 EZ ≤ ∑ EZ 4 ≤ 1 n n n 2 n k =1 k { Zk >sn δ } s 4 ε
2.2.2 Sự hội tụ yếu của dãy các độ đo xác suất trong không gian Metric Định nghĩa 2.5: Cho ( S, d
) là không gian metric, và
BC ( S ) là không gian các hàm liên tục (với metric d tương ứng) trên S Dãy các độ đo xác suất Borel P n
S được gọi là hội tụ yếu đến độ đo xác suất Borel P trên S nếu thỏa mãn: lim∫ xdP n = ∫ xdP,∀x ∈ BC ( S ) trên
Định lý Portmanteau 2.2.3 chỉ ra rằng, với các độ đo xác suất P và Pn (n ≥ 1) trên không gian metric (S, d), các điều kiện sau đây là tương đương: (a) Pn hội tụ yếu đến P, và (b) giới hạn lim xdP = xdP được thỏa mãn với hàm x liên tục Lipschitz trên S khi n tiến đến vô cùng.
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
∫ n trong [ 0,1 ] c) limsup P n ( F ) ≤ P ( F ) , với tập đóng F ⊂ S
, n→∞ d) liminf P n ( G ) ≥ P ( G ) , với tập mở G ⊂ S , e) lim P n ( B ) = P ( B ) , với tập Borel B thỏa mãn à ( ∂B ) = 0
Chứng minh: Ta đã biết ∂B = clB ∩ cl ( S \ B )
Rõ ràng từ a ) ⇒ b ) Giả sử b ) đúng và cho tập đóng F và s ∈ S ta xác định d ( p, F ) = inf d ( p, q ) Chú ý rằngd ( p, F ) − d ( p′, F ) ≤ d ( p, p′ ) , do đó các hàm
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
) ) 1 , k ≥ 1 là liên tục Lipschizt (với hằng số Lipschizt là k ) Ta cũng có, lim x p = 1 nếu p ∈ F k →∞ hoặc lim x p = 0 nếu p ∉ F Ta có: k →∞ limsup P n ( F ) ≤ limsup E n x k = Ex k n
Theo định lý hội tụ Monotone lim Ex = P F k
Bằng cách lấy phần bù, ta thu được c ) ⇔ d ) n→∞ do đó ta thu được c )
Tiếp theo, từ c ) và d ) ta suy ra e ) như sau: limsup P ( B ) ≤ limsup P ( clB ) ≤ P ( clB ) = P ( ∂B ) + P ( clB 0 ) n→∞ n→∞
= P ( clB 0 ) ≤ liminf P ( clB 0 ) ≤ liminf P ( B ) n→∞ n n→∞ n trong đó B
0 := S \ cl ( S \ B ) = clB \ ∂B là tập mở.
Cuối cùng, ta cần chứng minh e )
Định lý a) đã được chứng minh, cho thấy rằng với tính tuyến tính và giả thiết P cùng Pn là các độ đo xác suất, chỉ cần chứng minh rằng giới hạn lim ∫ xdPn = ∫ xdP là đúng với các hàm liên tục nhận giá trị trong đoạn [0,1].
= t } rời nhau, nên các tập
{ t ≥ 0; P { x = t } } là đếm được và có độ đo Lebesgue bằng 0.
E x = ∞ P t } { dt = x > 1 P n { x > t →∞ 1 → } dt P t } { dt = x > ∞ P Ex { x > t } dt = k
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
Nếu S là một không gian tách được, chúng ta có thể xây dựng một metric D trong không gian các độ đo xác suất.
P n hội tụ yếu đến P Một metric nổi tiếng nhất có dạng này là metric
D PL xác định như sau:
) là infimum của các số dương ε thỏa mãn đồng thời
( A ε ) + ε với tập của con S Borel Ở A đó bất kỳ
A ε = { p ∈ S ∃p′ : d ( p, p′ ) < ε } Ta có kết quả: nếuS là không gian Polish thì
( PM ( S ) , D PL )cũng là không gian Polish.
Phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất La Văn Thịnh
Một ví dụ khác của metric này là metric Fortet – Mourier D
∫ xd P # trong đó supremum lấy với ∀x ∈ BC ( S
Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy P_n, với n ≥ 1, các độ đo xác suất trên R hội tụ yếu đến độ đo xác suất P trên R Theo định lý 2.2.3, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng F_n(t) = P_n(-∞, t] hội tụ đến một giá trị xác định.
F ( t ) = P ( −∞,t ] tại các điểm t thỏa mãn
Điều kiện (e) trong định lý 2.2.3 áp dụng cho mọi khoảng (a, b], trong đó a và b là các điểm liên tục của hàm F Gọi I là tập hợp tất cả các khoảng này Dễ dàng chứng minh rằng I có những tính chất đặc biệt.
( ii ) điều kiện ( e ) đúng với mọi hợp hữu hạn các phần tử của I
Trong không gian thực R, với mọi số thực s và mọi ε > 0, tồn tại một khoảng (a, b] thuộc I sao cho s nằm trong khoảng (a, b) và độ dài b - a nhỏ hơn ε Tính chất Lindelof khẳng định rằng mọi phủ mở của một tập con nào đó trong R đều chứa một phủ con đếm được.
Thật vậy, ta xét các khoảng mở với tâm là số hữu tỉ và bán kính 1
Có nhiều khoảng mở mà ta có thể sắp xếp thành dãy Bn với n ≥ 1 Vì các số hữu tỉ là trù mật trong R, nên với mỗi s ∈ R, s thuộc ít nhất một tập trong dãy Bn Giả sử Uγ, γ ∈ Γ là một phủ mở của tập A ⊂ R.
Nếu tồn tại tập U γ với γ∈Γ chứa B n nào đó, thì do có nhiều khoảng đếm được, ta có thể chọn nhiều tập U γ là đếm được Chúng ta sẽ chứng minh rằng hợp của các tập này bao phủ G Với mọi s ∈ G, tồn tại một γ sao cho s thuộc U γ, và vì U γ là tập mở, nên tồn tại n.
0 sao cho s ∈ B n 0 ⊂ G Tập { γ : B n 0 ⊂ G } ≠ ∅ và có
U suy ra khẳng định của ta đúng. được gán với n 0 Ta có s ∈ B ⊂ U
Bây giờ, theo ( iii ) tập mở bất kỳ G là hợp các khoảng ( a,b ) sao cho ( a,b ] ∈I và ( a,b ] ⊂ G Theo tính chất Lindelof, ta có G = ( a k ,b k ) = ( a k ,b k ] với k ≥1
( a k ,b k ]∈ I , k ≥ 1 nào đó Theo giả thiết, với số nguyên l bất kỳ, có k ≥1 γ 0 n liminf P ( G ) ≥ lim P l ( a ,b ] = P l ( a ,b ] n n
Vì với ε> 0 bất kỳ, ta có thể chọn l sao cho P l
Nhưng ε bất kỳ nên ta có kết luận ( d ) trong 2.2.3 đúng Vậy ta có đpcm.
Hoàn toàn tương tự, ta có kết quả hội tụ trong R k , tức là dãy P n , n ≥ 1 các độ đo xác suất trên R k hội tụ yếu đến độ đo xác suất P trên R k
Ví dụ 2.10: Nếu X có phân phối mũ với tham số a thì
= ∑ p q k = q [ nt ] Tương tự như đã làm
k = [ nt ] +1 ở ví dụ 2.6 ta suy ra P 1 n X n
hội tụ đến e − at khi n →∞.
2.2.3 Ứng dụng của tính compact trong xác suất Định nghĩa 2.6: Một họ các độ đo xác suất trên
S được gọi là “ngặt” nếu với
∀ε > 0 đều tồn tại tập compact K sao cho P ( K ) > 1− ε với mọi
Từ kết quả của định lý Alaoglu, định lý Urysohn ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1: Cho S là không gian tôpô, compact, và P n , n ≥
1 là dãy các độ đo xác suất trong S Theo định lý Alaoglu và định lý Riesz, tồn tại một dãy con của
hội tụ đến phiếm hàm tuyến tính F trên C
H ơn nữa, F không âm và F ( 1 S ) = 1 Do đó, với dãy các độ đo xác suất bất kỳ trên
S có tồn tại 1 dãy con hội tụ đến 1 độ đo xác suất trên S
Hệ quả 2: Độ đo dịch chuyển trên S theo Φ giống như độ đo dịch chuyển trên Φ( S
−1 thiết lập quan hệ 1 – 1 giữa độ đo Borel trên S và trên
Dãy các độ đo xác suất P_n (với n ≥ 1) trên S hội tụ yếu đến P khi và chỉ khi dãy tương ứng (P) hội tụ yếu đến P Hơn nữa, các ánh xạ Φ và Φ^−1 từ các tập n Φ compact vào các tập compact cũng cho thấy tính chất "ngặt".
P n , n ≥ 1 là “ngặt” khi và chỉ khi ( P n ) φ , n ≥ 1 Định lý 2.2.4 (Prohorov): Giả sử dãy các độ đo xác suất Borel trên không gian metric, tách được
Theo định lý Urysohn và hệ quả của nó, để chứng minh rằng một dãy “tight” P_n (với n ≥ 1) các độ đo Borel trên tập con S của H là compact tương đối, ta chỉ cần thực hiện một bước đơn giản Cần lưu ý rằng, các tập con Borel của S thường không phải là tập Borel trong H, trừ khi S tự nó là một tập Borel Chúng ta định nghĩa B(S′) = {B ∈ S′ | B = A ∩ S′, A ∈ B(S)} và tiến hành cho trước độ đo Borel.
P trên S xác định độ đo Borel P # trên H theo P # ( A ) = P ( S ∩ A )
P # , n ≥ 1 có một dãy con P # , i ≥ 1 hội tụ đến độ đo xác suất i à trờn H
Theo định lý Portmanteau, ta có
( 2.4 ) limsup P # ( A ) ≤ à ( A ) với mọi tập con đóng
Vì P n , n ≥ 1 là “nghặt” nên có các tập compact K k , k ≥
1 trong S (do đó, cũng compact trong H ) sao cho P ( K ) ≥ 1− 1 , n ≥ 1 Ngoài ra,
K là tập con Borel của
Cuối cùng, nếu B ⊂ S đóng trong
S thì có một tập đóng A ⊂
# ( A ) = P ( B ) và P ( B ) = à ( A ) , ( 2.4 ) chứng tỏ P , i ≥ 1hội i tụ yếu đến P
Ta coi chuyển động Brown giống nhƣ một độ đo: Cho
C ( R + ) là không gian các hàm liên tục x, y ánh xạ từ R + vào R và thỏa mãn x ( 0 ) = 0 Khi đó
n n không gian metric với metric: d ( x, y ) = ∑ 1 ( ) − y ( s ) n=1 2 s∈ [ 0,n ]
Ngoài ra, tập các đa thức với hệ số hữu tỉ là tập trù mật trong
C ( R + ) tách được Thật vậy, cho x ∈ C ( R + ) và ε ∈( 0,1 ) , ta có thể chọn n 0 ∈
2 n 0 −1 và một đa thức y với hệ số hữu tỉ thỏa mãn sup s∈ [ 0,n0 ] x ( s ) − y ( s ) < ε
< ε Tương tự, ta chứng minh rằng n=1 2 2 n=n +1 2 2 2 0 lim d ( x , x ) = 0 ⇔ các hàm x ∈C
) trên các khoảng n→∞ n n con compact của R + là đủ.
Ta sẽ chứng minh σ− đại số B ( C ( R
) ) là σ − đại số được sinh bởi các ánh xạ x ∈C ( R + ) π ( x ) := x ( t
)∈ R, t > 0 Để kết thúc, ta chú tất cả các ánh xạ này đều liên tục, do đó đo được Borel và nó đủ để chứng tỏ
) ) là tập con của σ− đại số vừa được đề cập.
( y ) liên tục Do đó các tập
Ngoài ra, các tập này tạo nên cơ sở của khônggian tôpô trong đại số sinh bởi π t , t >
) là không gian xác suất mà quá trình chuyển động
Không mất tính tổng quát, ta giả sử tất cả các quỹ đạo ω
D o đó ch o tr ướ c ch uy ển độ ng
R + ) đư ợc g ọ i là độ đo
Wi en er, nh ư độ đo tịn h tiế n củ a
W Chú ý rằng , giao của hữu hạn các tập
Do đó, độ đo Wien er được xác định theo các giá trị của nó trên tập giao như vậy
Mặt khác, nó xác định duy nhất theo đ i ề u k i ệ n
Mặt khác, nếu ta có thể xây dựng độ đo
( C ( R + ) ) ) có các tính chất như đã liệt kê ở trên thì họ các biến ngẫu nhiên động Brown. π t
W n Định lý 2.2.5 (Donsker): Ta giả sử rằng { X i , i ≥ 0 } là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối, độc lập nhau với n EXi = 0, VXi =1trên không gian ( Ω, F, P ) Đặt
Với ω ∈Ω và n ∈N bất kì ta xác định một hàm X n ( t ) = X n
Theo phần nêu trên, chúng ta đã chứng minh rằng X_n là ánh xạ đo được từ Ω vào C(R+) Ký hiệu {P, n ≥ 1} là các độ đo dịch chuyển trên C(R+) của các ánh xạ này Định lý Donsker khẳng định rằng
“ Dãy các độ đo trên C ( R + ) ”
P n , n ≥ 1 hội tụ yếu và độ đo giới hạn của nó là độ đo Wiener P W
\Muốn chứng minh định lý này ta cần 2 bổ đề được nêu ra sau đây:
Bổ đề 2: Với 0 ≤ t 1 < t 2 < < t k bất kỳ thì hàm phân bố ( P n ) t1 ,t2 , ,tk hội tụ yếu đến phân bố chuẩn với ma trận covarian t ∨ t i, j=1,2, ,k
2.2.4 Các dạng hội tụ khác của các biến ngẫu nhiên:
Một số khái niệm hội tụ thường được sử dụng: a) X n hội tụ đến X a.s nếu
P { ω lim Xn ( ω ) = X ( ω ) } = 1 , b) X n hội tụ đến X trong chuẩn L 1 limnếu n→∞
X n − X 1 = 0, c) X n hội tụ đến X trong xác suất nếulim P X − X n→∞ > ε} = 0 , d) X n n n n n π
{ hội tụ yếu đến X khi và chỉ khi
P n hội tụ yếu đến P X Định lý 2.2.6 (Scheffe): Cho ( Ω, F,
P ) là không gian độ đo, và cho φ và φ n , n ≥ 1 là các hàm không âm trên Ω sao cho φ n ( ω ) hội tụ đến φ( ω
) a.s và c n = ∫ φ n d à hội tụ đến c = ∫ φ d à Khi đó, ∫ φ n − φ d à hội tụ đến 0 tức là, độ đo à n với mật độ φ n hội tụ mạnh đến độ đo à với mật độ φ
Chứng minh: Cho A n = { φ ≥ φ n } , ta có:
≤ φ , nên theo định lý hội tụ trội Lebesgue ta suy ra định lý được chứng minh.
Chú ý: Phân phối nhị thức với tham số n và p n hội tụ mạnh đến phân phối Poisson với tham số λ trong đó lim np = λ n→∞
Ví dụ 2.11 cho thấy với Ω = N, hàm φ n(i) = δ in và φ(i) = 0, thỏa mãn các yêu cầu của định lý Scheffe ngoại trừ điều kiện liên quan đến tích phân Điều này chỉ ra rằng độ đo Dirac δ n với φ n không hội tụ mạnh đến độ đo 0.
Trong lý thuyết xác suất, khi xét các độ đo xác suất trên tập S với nhiều phần tử đếm được, các điều kiện sau đây là tương đương: (a) độ đo xác suất n hội tụ mạnh đến độ đo xác suất , (b) độ đo xác suất n hội tụ yếu đến độ đo xác suất , (c) độ đo xác suất n hội tụ đến độ đo xác suất trong tụp yếu*, và (d) độ đo xác suất n({p}) hội tụ đến độ đo xác suất ({p}).