Bài toán bat đang thÉc bien phân
Kien thÉc chuan b%
1.1.1 H®i tn manh và yeu trong không gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá su H là không gian tuyen tính thnc, vái MQI x ∈ H xác đ%nh mđt so GQI là chuan cua x ( kớ hiắu ||x||) thúa món ba tiờn đe sau:
1.Xác đ%nh dương:∀x ∈ H||x|| = 0 ⇔ x = 0 2.Thuan nhat ||x|| ≥ 0; dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R ||λx|| = |λ| ||x||.
3.Bat đang thúc tam giác: ∀x, y ∈ H ||x + y|| ≤ ||x|| + || y||. Đ%nh nghĩa 1.1.2 Giỏ su H là khụng gian tuyen tớnh thnc, cắp (H,
(x, y) ›→ x, yΣ thúa món cỏc đieu kiắn:
∀x, y, z ∈ H. đưac GQI là không gian tien Hilbert.
Khụng gian tien Hilbert, đay đu đưac GQI là khụng gian Hilbert, kớ hiắu là H.
1 H = Rchuan trờn R n ; x = (x n đưoc xỏc đ%nh boi1 , x 2 , ã ã ã , x n ); y = (y 1 n , y 2 , ã ã ã , y n ) ∈ H tớch vụ hưúng và x, y = ∑ x i y i , i=1
2 H = Chưóng chuan đưoc xác đ%nh boi[a,b] là không gian các hàm liên tnc Khi đó vói MQI x, y ∈ H tích vô
Kớ hiắu ϕ f : H → R là cỏc phiem hàm tuyen tớnh ϕ f (x) = f (x) Khi f chay khap H ∗ Gia su H là không gian Hilbert thnc, H ∗ là không gian đoi ngau cua H và f
∈ H ∗ ta có m®t HQ ánh xa (ϕ f ) f ∈H ∗ Đ%nh nghĩa 1.1.3 Tô pô yeu trên H đưac đ%nh nghĩa bái tô pô sinh bái HQ ánh xa
Tập hợp các điểm yếu σ (H, H ∗) là tập hợp yếu nhất trên H, đảm bảo rằng tất cả các hàm phiếm f ∈ H ∗ đều liên tục Định nghĩa 1.1.4.1 cho biết rằng chuỗi {x k} hội tụ mạnh đến x (ký hiệu x k → x) nếu giới hạn ||x k − x|| = 0.
2) Dóy {x k } hđi tn yeu đen x ( kớ hiắu x k ~ x) neu {x k } hđi tn ve x theo tụ pụ yeu σ túc là
Mắnh đe 1.1.1 Giỏ su {x k } ⊂ H và { f k } ⊂ H ∗ Khi đú a) x k ~ x ⇔ x k , yΣ
, ∀y ∈ H. b) Neu x k → x thì x k ~ x. c) Neu x k ~ x thỡ {x k } b% chắn và ||x|| ≤ lim k→∞ ||x k ||. d) Neu x k ~ x và lim ||x k || ≤ ||x|| thì x k → x. e) Neu x k ~ x và f k → f thì f k (x k ) → f (x).
Khi H là không gian hữu hạn chiều, thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H sẽ trùng nhau Đặc biệt, mối quan hệ này xảy ra mạnh mẽ khi và chỉ khi nó là tô pô yếu.
1.1.2 Toán tE chieu Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho H là mđt khụng gian Hilbert thnc, tắp C ⊆ H đưac GQI là
• nún loi neu nú vựa là mđt nún vựa là mđt tắp loi.
Hỡnh 1.1: tắp loi, nún, nún loi
Mắnh đe 1.1.2 Giỏ su A, B là cỏc tắp loi trong khụng gian Hilbert thnc H, thỡ cỏc tắp sau là tắp loi:
A× B :={x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B}. Đ%nh nghĩa 1.1.6 Siờu phang trong khụng gian Hilbert thnc H là mđt tắp hap cỏc điem có dang
{x ∈ H | a(x) = α}, trong đó a ∈ H ∗ là m®t phiem hàm tuyen tính và α ∈ R.
M®t siêu phang chia không gian thành hai nửa, với nửa không gian được định nghĩa như sau: Cho a ∈ H là một điểm thuộc hàm tuyến tính và α ∈ R.
{x | a(x) ≥ α}, đưac GQI là nua khụng gian đúng và tắp
GQI là nua không gian má. Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho hai tắp C và D khỏc rőng, ta núi siờu phang a(x) = α tách C và D neu a(x) ≤ α ≤ a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D.
Ta núi siờu phang a(x) = α tỏch chắt C và D neu a(x) < α < a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D.
Ta nói siêu phang a(x) = α tách manh C và D neu sup a(x) < α < inf a(y). x∈C y∈D gian Hilbert thnc H sao cho C ∩D = 0/ Khi đó có m®t siêu phang tách C và D Đ
Định lý 1.1.1 nêu rằng cho C và D là hai tập con rỗng trong không gian Hilbert H với C ∩ D = ∅, nếu có một tập compact thì sẽ có sự phân tách Định lý 1.1.2 tiếp tục khẳng định rằng nếu C và D là hai tập con đúng rỗng trong C và D, thì chúng có thể được phân tách mạnh bởi một siêu phẳng Cuối cùng, Định nghĩa 1.1.9 xác định rằng nếu C là một tập con rỗng trong không gian Hilbert, thì nó sẽ có những tính chất đặc biệt.
1.Nún phỏp tuyen (ngoài) cua C tai x 0 kớ hiắu là N C (x 0 ) đưac đ%nh nghĩa bỏi:
Tắp −N C (x 0 ) đưac GQI là nún phỏp tuyen (trong) cua C tai x 0
2.Nón pháp tuyen ε cua C tai x 0 đưac đ%nh nghĩa bái:
Hien nhiên 0 ∈ N C (x 0 ) và tùy định nghĩa trên, N C (x 0 ) là một nón lồi đóng Định nghĩa 1.1.10: Giả sử C ƒ= 0/ (không nhất thiết lồi) là một tập con của không gian Hilbert H và y là một véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C được định nghĩa bởi d C (y) := inf ||x −y||.
Neu ton tai π ∈ C sao cho d C (y) := ||π −y||, thì ta nói π là hình chieu (khoáng cỏch) cua y trờn C, kớ hiắu π = p C (y).
Hình 1.2: Hình chieu khoang cách
Theo đ%nh nghĩa, ta thay rang hỡnh chieu p C (y) cua y trờn C se là nghiắm cua bài toán toi ưu min 1
Hàm toàn phương ||x−y||² trên tập C có đặc điểm quan trọng là nếu C ƒ = 0, thì khoảng cách dC(y) sẽ có hình chiếu khác, cho phép tìm hình chiếu khoảng cách của y trên C Điều này dẫn đến việc 0 ≤ dC(y) ≤ ||x−y|| cho mọi x thuộc C, cho thấy mối quan hệ giữa khoảng cách và các điểm trong tập hợp.
Mắnh đe 1.1.3 Cho C là mđt tắp loi đúng khỏc rőng Khi đú:
1.Vái m QI y ∈ H, π ∈ C hai tính chat sau là tương đương: a)π = p C (y), b) y−π ∈ N C (π).
2.Vái MQ i y ∈ H, hình chieu p C (y) cua y trên C luôn ton tai và duy nhat. x∈
3.Neu y ∈/ C, thì p C (y) − y, x − p C (y) = 0 là siêu phang tna cua C tai p C (y) và tách han y khói C, túc là
4.Ánh xa y ›→ p C (y) có các tính chat sau: a)||p C (x) − p C (y)|| ≤ ||x −y||∀x, ∀y (tính không giãn), b) p C (x) − p C (y), x−y ≥ ||p C (x) − p C (y)|| , (tính đong búc).
1.gia su π = p C (y) Lay x ∈ C và λ ∈ (0, 1) Đắt x λ := λx + (1 −λ )π.
Do x, π ∈ C và C loi, nên x λ ∈ C Hơn nua do π là hình chieu cua y nên
Khai trien ve phai, ưóc lưoc và chia hai ve cho λ > 0, ta có λ ||x− π|| 2 + 2. π −y, x− πΣ
≥ 0. Đieu này đúng vói MQI x ∈ C và λ ∈ (0, 1) Do đó khi cho λ → 0, ta đưoc
Gia su ngưoc lai y− π ∈ N C (π) Vói MQI x ∈ C, có
Dùng bat đang thúc Cauchy- Schwarz ta có:
Suy ra ||y −π|| ≤ ||y −x|| ∀x ∈ C, và do đó π = p C (y.)
2.Sn ton tai Do dđỳng, ton tai mđt dóy x C (y) := inf k ∈ C sao cho x∈C ||x−y||, nờn theo đ%nh nghĩa cua cắn dưúi lim ||x k −y|| = d C (y) < +∞.
Vắy dóy {x k } b% chắn, do đú nú cú mđt dóy con {x k j } hđi tn yeu đen mđt điem π nào đú Do C loi, đúng, nờn π ∈ C Vắy
Chúng to π là hình chieu cua y trên C.
Tính duy nhat Gia su π và π 1 là hình chieu cua y trên C, thì y−π ∈ N C (π), y−π 1 ∈ N C (π 1 ).
C®ng hai ve cua đang thúc này ta suy ra ||π −π 1 || 2 ≤ 0, và do đó π = π 1
Vắy π −y, x = π −y, π là mđt siờu phang tna cua C tai π Siờu phang này tách y khoi C vì y ƒ= π, nên
4.Theo phan (2) ánh xaN C (p C (z)) vói MQI z, nên áp dnng vói z = x và z = y, ta có:x ›→ p C (y) xác đ%nh khap nơi Do z− p C (z) ∈ x− p C (x), p C (y) − p C (x)Σ
C®ng hai bat đang thúc lai ta đưoc
Theo bat đang thúc Cauchy- Schwarz ta suy ra
||p C (x) − p C (y)|| ≤ ||x −y||. Đe chúng minh tính đong búc, áp dnng tính chat (b) cua (1), lan lưot vói p C (x) và p C (y), ta có: p C (x) −x, p C (x) − p C (y) ≤ 0, y− p C (y), p C (x) − p C (y) ≤ 0.
C®ng hai bat đang thúc ta đưoc p C (x) − p C (y) + y−x, p C (x) − p C (y)
Suy ra đieu phai chúng minh Q
Hắ qua 1.1.1 Cho C ⊂ H là mđt tắp loi, đúng Vỏi x ∈ H và y ∈ C bat kỳ,
ChÉng minh Cho x ∈ H và y ∈ C, ta có
Hắ qua đưoc chỳng minh Q
Toán tuỳ chỉnh là một phương pháp hữu hiệu trong việc giải quyết các bài toán cân bằng và các trường hợp đặc biệt như bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất định, và bài toán điểm yên ngựa Trong văn bản này, chúng ta sẽ tập trung vào việc giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân gia đơn điệu mạnh.
1.1.3 Tính liên tnc cua hàm loi
Cho C ⊆ H là tắp loi và f : C → R ∪{+∞}, ta se kớ hiắu: dom f := {x ∈ C : f (x) < +∞}.
Tắp dom f đưoc GQI là mien huu dnng cua tắp f Tắp epi f := {(x, à) ∈ C ì R : f (x) ≤ à}, đưoc GQI là trên đo th% cua hàm f.
Hàm f GQI được định nghĩa là hàm có miền xác định dom f = ƒ= 0 và f(x) > −∞ với mọi x thuộc miền xác định Hàm f được coi là hàm lồi nếu đồ thị epi f là một mặt phẳng lồi Ngược lại, hàm f là hàm lõm nếu −f là hàm lồi Nếu hàm f vừa lồi vừa lõm, ta nói f là hàm afin.
Tính chất 1.1.1 cho C ⊂ H là một tập hợp lồi, khác rỗng Hàm f: H → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu thỏa mãn điều kiện: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C nếu: f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y) với mọi x, y ∈ C, x ≠ y và λ ∈ (0, 1) Cuối cùng, hàm f được gọi là lồi mạnh trên C nếu thỏa mãn: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − 1/βλ(1 − λ)||x − y||² với β > 0, cho mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1].
Mắnh đe 1.1.4 Cho C là mđt tắp loi trong khụng gian Hilbert thnc H Khi đú:
1.Neu f và g là cỏc hàm loi trờn C thỡ f + g cũng là hàm loi trờn C Neu f hoắc g là hàm loi thnc sn thỡ f + g cũng là hàm loi thnc sn.
2.Neu f là hàm loi (loi thnc sn) trên C, λ là m®t so thnc dương thì λ f là m®t hàm loi (loi thnc sn) trên C.
Hàm f là hàm liên tục trên C, và B là tập con của C thì hàm f | B cũng là một hàm liên tục trên C Một điểm x ∈ C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó là điểm trong của C theo tập hợp con sinh bởi aff(C), tập hợp affine nhỏ nhất chứa C Tập hợp các điểm trong tương đối của C được ký hiệu là riC Cho hàm f: H → R, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x₀ ∈ H nếu
Hàm f được gọi là liên tục dưới trên D ⊆ H nếu nó liên tục dưới tại mọi điểm MQI x ∈ D Hàm f là liên tục trên nếu -f là liên tục dưới Nếu hàm f vừa liên tục trên vừa liên tục dưới, thì nó sẽ liên tục Định nghĩa 1.1.14: Mật độ hàm số thực f được gọi là GQI nếu MQI số thực β là mật độ dưới.
{x ∈ C | f (x) ≤ β} loi Tương tn, hàm f là tna lõm trên C neu − f là hàm tna loi trên C.
Neu f tna loi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 −λ )y) ≤ max( f (x), f (y)).
Tương tn, neu f tna lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 −λ )y) ≥ min( f (x), f (y)).
Giá trị hàm số f tại điểm x₀ thuộc H được xác định theo định lý 1.1.3 Các khẳng định tương đương bao gồm: a) Hàm f liên tục tại điểm x₀; b) Hàm f bị chặn trên miền lân cận của x₀; c) Tích phân của hàm f trên miền bao (epi f) bằng 0; d) Tích phân của hàm f trên miền xác định (dom f) bằng 0 và hàm f liên tục trong miền xác định Trong đó, intC là khối hình phẳng trong của tập C.
1.1.4 Đao hàm và dưéi vi phân cua hàm loi
Tính khả vi của hàm lợi đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp tối ưu hóa Các lớp hàm lợi sở hữu những tính chất độc đáo mà các lớp hàm khác không có Giả sử f: H → R là hàm lợi, ta có thể xác định vectơ ω ∈ H* là đạo hàm của f tại điểm x0 ∈ H nếu thỏa mãn điều kiện: ω, x - x0 ≤ f(x) - f(x0), với mọi x ∈ H.
Tắp hap tat cỏ cỏc dưỏi đao hàm cua hàm f tai x 0 đưac GQI là dưỏi vi phõn cua hàm f tai x 0 , kớ hiắu là
Hàm f đưac GQI là khá dưái vi phân tai x 0 neu ∂ f (x 0 ) ƒ= 0/ Đ%nh nghĩa 1.1.16 Cho ε > 0, m®t vectơ ω ∈ H ∗ đưac GQI là ε-dưái đao hàm cua f tai x 0 ∈ H neu: ω, x−x 0 ≤ f (x) − f (x 0 ) + ε, ∀x ∈ H.
Tắp hap tat cỏ cỏc ε-dưỏi đao hàm cua hàm f tai x 0 đưac GQI là ε-dưỏi vi phõn cua hàm f tai x 0 , kớ hiắu là
Hàm f đưac GQI là ε-khá dưái vi phân tai x 0 neu ∂ ε f (x 0 ) ƒ= 0/
2.Giá su f là m®t hàm loi, h(x) = f (Ax + b) Khi đó
Mắnh đe 1.1.6 (Đ%nh lý Moreau-Rockafellar) Cho f i , i = 1, 2, ã ã ã , n là cỏc hàm loi chính thưàng trên H Khi đó n n
∑ ∂ f i (x) = ∂ ( ∑ f i (x)), ∀x ∈ H. i=1 i=1 Đ%nh nghĩa 1.1.17 Giá su x ∈ H, d ∈ H\{0}, hàm f đưac GQI là: a) Khá vi Frechet tai x 0 neu ton tai ω ∈ H ∗ sao cho x→x lim 0 f (x) f (x 0 ) ω, x x 0
Mỗi điểm \( x_0 \) trong miền xác định của hàm \( f \) có thể có đạo hàm nếu tồn tại giới hạn \(\lim_{t \to 0+} \frac{f(x_0 + td) - f(x_0)}{t}\) Đạo hàm theo hướng \( d \) tại \( x_0 \) được ký hiệu là \( f_J(x_0, d) \) Nếu \( f \) là hàm lồi chính thức trên không gian Hilbert \( H \) và \( x \in \text{dom } f \), thì \( f \) có đạo hàm theo nghĩa quang học tại \( x \), với \( f_J(x, d) = \inf_{\lambda > 0} \frac{f(x + \lambda d) - f(x)}{\lambda} \) Điều kiện \( x^* \in \partial f(x) \) tương đương với việc \( f_J(x, d) \geq \langle x^*, d \rangle, \forall d \in H \) Ngoài ra, nếu \( \partial f(x) = \emptyset \), thì \( f \) là liên tục dưới tại \( 0 \), và nếu \( f \) khả vi tại \( x \in H \), thì \( \partial f(x) = f_J(x) \).
Bài toán bat đang thÉc bien phân
1.2.1 Cỏc khỏi niắm Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho K ⊂ H là mđt tắp đúng, khỏc rőng, F : K → H là mđt ánh xa đơn tr% Bài toán bat đang thúc biên phân (đơn tr%) là bài toán
Tập nghiệm của bài toán kỷ hà được ký hiệu là S(K, F) Giả sử K là một tập con của H, là một tập lồi đúng, khác rời và toàn tu F: K → H, được gọi là GQI Điều kiện cần thiết là tồn tại γ > 0 sao cho
≥ 0∀x, y ∈ K, c) giỏ đơn điắu manh trờn K neu ton tai γ > 0 sao cho
≥ γ||y−x|| 2 ∀x, y ∈ K, d) giỏ đơn điắu trờn K neu
Theo đ%nh nghĩa trên các kéo theo (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d), là hien nhiên.
Chỳ ý rang mđt toỏn tu gia đơn điắu manh cú the khụng đơn điắu.
Cho 0 < r < R, đắt K = B(r) := {x ∈ H : ||x|| ≤ r} và F đưoc cho boi
Trong đó K và G thoa mãn các đieu sau:
Σ Σ Σ i) K(x), y−x ≤ 0, ∀x, y ∈ K và G là β−đơn điắu manh trờn K, ii) y K(0), y 0 + K(y 0 ), y 0 = 0
Gia su F(x), y x 0, do K(x), y x 0 nên ta có: G(x), y x 0 Suy ra
G(y), x y β y x 2 (do G là đơn điắu manh) Theo đ%nh nghĩa cua
Suy ra F gia đơn điắu manh trờn K Hơn nua theo (ii) ta cú:
Do đú F không đơn điệu Định nghĩa 1.2.3 Giá trị toàn tu F là toàn tu giá đơn điệu mạnh thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân giá đơn điệu mạnh Ký hiệu là VI(K, F).
Mắnh đề 1.2.1 cho K ⊂ H là một tập hợp đúng và toàn túc F : K → H liên tục Nếu F là một hàm đơn điệu mạnh, thì VI(K, F) sẽ có duy nhất một điểm nghẽn Ngược lại, nếu F là hàm đơn điệu, thì S(K, F) sẽ là một tập hợp đúng.
Chẫng minh Gia su F là toỏn tu gia đơn điắu manh và u ∗ , v ∗ ∈ S(K, F), thỡ
Để chứng minh rằng S(K, F) là một mật độ tắp lồi, ta cần xem xét các điều kiện F(v ∗ ), u ∗ − v ∗ ≥ 0 và F(v ∗ ), v ∗ − u ∗ ≥ γ||v ∗ − u ∗ || Nếu γ||v ∗ − u ∗ || ≤ 0, điều này dẫn đến việc u ∗ = v ∗ Từ đó, ta có thể kết luận rằng điều kiện này thỏa mãn tính chất của mật độ tắp lồi.
Thắt vắy, neu u ∗ S(K, F) thỡ F(u ∗ ), u u ∗ 0 vúi MQI u K Do hàm F gia đơn điắu nờn
≥ 0 vúi MQIthỳc u ∈ K Do vắy u ∗ thuđc ve phai cua đang
∈ trên Ngưoc lai, gia su u ∗ ∈ {u ∗ ∈ K : F(u), uưu ∗ ≥ 0} Cho u ∈ K tùy ý, vectơ u = τu ∗ + (1 − τ)v ∈ K vói M ∈ QI τ ∈ (0, 1), u ∗ , v ∈ K Do đó, ta có:
Cho τ 1 thỡ F(u ∗ ), u u ∗ 0 Do đú, u ∗ S(K, F) Vỡ vúi mői u K, tắp {u ∗ ∈ K : F(u), uưu ∗ ≥ 0} là loi và giao cua cỏc tắp loi là mđt tắp loi nờn S(K,
F) là mđt tắp loi Mắnh đe đưoc chỳng minh Q Đ%nh nghĩa 1.2.4 Ánh xa F đưac GQI là liên tnc Lipschitz trên K neu ton tai hang so
P K (.) là m®t ánh xa liên tnc Lipschitz vói hang so Lipschitz L=1.
1.2.2 Các ví dn minh HQA
Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý, cũng như các vấn đề trong kinh tế, kỹ thuật và quan hệ thương mại đều có thể được mô tả dưới dạng bài toán bất đẳng thức phi tuyến.
Ví dn 1.2.2 (Bài toán cân bang giao thông đô th%)
Xét m®t mang giao thông đưoc cho boi m®t luong mang huu han GQI
+ I là tắp hop cỏc phương tiắn giao thụng,
+ P là tắp hop cỏc điem nỳt giao thụng,
E là tập hợp các cạnh (tuyến đường) Giả sử A ⊆ P và B ⊆ P, sao cho A ∩ B ≠ 0 Mỗi phần tử thuộc A GQI là một điểm nguồn, trong khi mỗi phần tử thuộc B GQI là một điểm đích Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (tuyến đường).
+ f i là mắt đđ giao thụng cua phương tiắn i trờn đoan đưũng e ∈ E Đắt f là vectơ có các thành phan là f i vói i ∈ I, và e ∈ E.
+ c i là chi phớ su dnng phương tiắn giao thụng i trờn đoan đưũng E Đắt c là vectơ cú các thành phan là c i vói i ∈ I, và e ∈ E.
+ d i là nhu cau su dnng loai phương tiắn i trờn tuyen đưũng ω = (A, B).Đắt d là vectơ có các thành phan là d i vói i ∈ I, và ω ∈ A× B.
Gia su chi phí giao thông phn thu®c vào lưu lưong, túc là c = c( f ) là m®t hàm cua f
+ λ i là mỳc đđ chi phớ trờn tuyen đưũng ω cua phương tiắn giao thụng i.
+ x i : là mắt đđ giao thụng cua phương tiắn i ∈ I trờn tuyen đưũng ω = (A, B)
Gia su trong mang trên, phương trình cân bang sau đưoc thoa mãn: i = p∈P ∑ ω x i , ∀i ∈ I, ω ∈ A× B (1.1)
Trong hệ thống giao thông, P ω kớ hiắu đại diện cho các tuyến đường nối A (điểm nguồn) và B (điểm đích) Theo phương trình (1.1), nhu cầu sử dụng phương tiện giao thông trên tuyến đường ω được xác định bởi mật độ giao thông của phương tiện đó trên tuyến đường giữa hai điểm A và B.
1 khi e ∈ P Vúi mői tuyen đưũng p noi mđt điem nguon và mđt điem đớch, đắt i = e∈E ∑ c i δ ep
Như vắy, c i là chi phớ su dnng phương tiắn i trờn tuyen đưũng p Mői cắp (d ∗ , f ∗ ) thoa mãn (1.1) và (1.2) đưoc GQI là điem cân bang mang giao thông neu: c i i i p
Theo định nghĩa, tại điểm cân bằng đối với một loại phương tiện giao thông và một tuyến đường P, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông tối ưu trên tuyến đó Ngược lại, nếu lưu lượng không đạt yêu cầu, chi phí sẽ không còn là thấp nhất Tập hợp Đắt K được xác định bởi các cặp (f, d) sao cho tồn tại x ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện trong (1.1) và (1.2).
Trong bài toán bất động thức biến phân, định lý 1.2.1 khẳng định rằng mỗi cặp vectơ (f ∗, d ∗) thuộc tập K là một điểm cân bằng của mạng giao thông Điều này chỉ xảy ra khi nó là nghiệm của bài toán đang được xem xét.
Ví dn 1.2.3 (Bài toán cân bang di trú)
Bài toỏn cõn bang di trỳ bao gom mđt tắp huu han cỏc điem X Vúi mői i, j ∈ X,
+ b i là mắt đđ co đ%nh tai v% trớ i,
+ h i j là TRQNG so cua dòng di trú tù v% trí đau i đen đích j,
+ x i là mắt đđ hiắn tai tai v% trớ i,
+ u i là tiắn ớch di trỳ,
+ c i j là chi phí di trú. Đắt x = {x i | i ∈ X } và h = {h i j | i, j ∈ X , i ƒ= j}, ta đ%nh nghĩa
Tù ràng bu®c iƒ= j iƒ= j h > 0, ∑ h i j ≤ b i , i=ƒ j nhung luong h là b% chắn Do đú, mắt đđ x i = b i + ∑ h ji − ∑ h i j , i ∈ X, là b% chắn nờn X b% chắn. iƒ= j iƒ= j
Quy luật trong phần phản ánh sản bao toàn của dòng và ngăn cản dòng di trú Rõ ràng, các dòng di trú là không âm Giả sử rằng tính toán ở phần thu được mắt đến, nghĩa là u i = u i (x), và điều kiện không âm cho mô hình di trú vụ hưởng là phức tạp hơn mô hình còn phí di trú phụ thuộc và dòng di trú, nghĩa là c i j = c i j (h) Chúng ta nói rằng cặp (x ∗ , h ∗ ) ∈ X là cân bằng nếu.
(1.5) s i đang thỳc bien phõn Tỡm mđt cắp (x ∗ , h ∗ ) sao cho
Tắp cỏc đieu kiắn cõn bang (1.4), (1.5) cú the đưoc viet lai tương đương vúi bat
Ngoài những vấn đề thách thức trong toán học, như hai bài toán đã đề cập liên quan đến bài toán bắt đang thúc biến phân, còn nhiều bài toán điển hình khác cũng được đưa vào nghiên cứu trong lĩnh vực này.
Ví dn 1.2.4 Bài toán điem bat đ®ng Brouwer
Cho K là mđt tắp loi, đúng, khỏc rőng, compăc yeu trong H và ỏnh xa T : K → K là ánh xa liên tnc Bài toán điem bat đ®ng đưoc phát bieu như sau
Bài toán điem bat đ®ng đưoc đưa ve bài toán bat đang thúc bien phân (VIP) thông qua mắnh đe sau
Mắnh đe 1.2.2 Giỏ su ỏnh xa F đưac xỏc đ%nh bỏi
Khi nghiên cứu về bài toán điểm bất động, cần chú ý đến mối liên hệ với bài toán bất động thúc biên phân (VIP) Cụ thể, bài toán VIP tương đương với bài toán điểm bất động, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa hai loại bài toán này trong lĩnh vực tối ưu hóa.
Chẫng minh Gia su x ∗ là nghiắm cua bài toỏn bat đang thỳc bien phõn (VIP) và
Do T (x ∗ ) ∈ K nên thay x o trên boi T (x ∗ ) thì
Hay −||x ∗ −T (x ∗ )|| ≥ 0 Tù đó, ta đưoc x ∗ = T (x ∗ ).
Ngưoc lai, gia su x ∗ là nghiắm cua bài toỏn điem bat đđng Khi đú x ∗ = T (x ∗ ).
Suy ra đieu phai chúng minh Q
Ví dn 1.2.5 Bài toán bù phi tuyen
Trước khi phát biểu bài toán, chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa bài toán tối ưu (VIP) và nút pháp tuyến của một tập hợp lồi Nghiệm của bài toán bất động thức biến phân (VIP) tồn tại khi và chỉ khi F(x*) thuộc.
Mắnh đe 1.2.3 Cho K ⊂ H là mđt tắp loi, đúng, khỏc rőng và ỏnh xa F : K → H, x ∗ nón pháp tuyen cua K tai x ∗ , túc là x ∗ ∈ S(K, F) ⇔ −F(x ∗ ) ∈ N K (x ∗ ).
Núi cỏch khỏc, x ∗ là nghiắm cua bài toỏn bat đang thỳc bien phõn khi và chi khi
ChÉng minh Theo đ%nh nghĩa ta có x ∗ ∈ S(K, F) ⇔
Suy ra đieu phai chúng minh Q Đ%nh nghĩa 1.2.5 Cho K ⊂ H là mđt tắp loi, đúng, khỏc rőng, nún đoi ngau cua
K, kớ hiắu là K ∗ , là mđt tắp đưac đ%nh nghĩa bỏi
Ve mắt hống HQC, K ∗ là tập hợp bao gồm tất cả các vectơ y ∈ H tạo thành một góc không tù với mọi vectơ x ∈ K Bài toán bù phi tuyến được phát biểu như sau: Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và K ∗ là nút đối ngẫu của K, ánh xạ F: K → H Bài toán bù phi tuyến là bài toán cần giải quyết.
Tìm x ∗ ∈ K : F(x ∗ ) ∈ K ∗ ; x ∗ , F(x ∗ ) = 0 (NCP) Tắp cỏc nghiắm cua bài toỏn (NCP) kớ hiắu là S ∗ (K, F).
Moi quan hắ giua bài toỏn (VIP) và bài toỏn (NCP) đưoc the hiắn qua mắnh đe sau:
(NCP) và bài toán (VIP) là trùng nhau, túc là: S ∗ (K, F) = S(K, F)
Mắnh đe 1.2.4 Neu K là mđt nún loi, đúng trong H thỡ tắp nghiắm cua bài toán ChÉng minh Gia su x ∗ ∈ S(K, F) Theo đ%nh nghĩa, ta có:
Bang cách lay x = 0 ∈ K, suy ra
Bang cách lay x = 2x ∗ ∈ K, suy ra
Tù đó, ta thu đưoc
Mắt khỏc, tự đ%nh nghĩa ta có:
Ngưoc lai, gia su x ∗ ∈ S ∗ (K, F) Theo đ%nh nghĩa, ta có:
Mắt khỏc, vỡ F(x ∗ ) ∈ K ∗ , nờn vúi MQI x ∈ K ta cú:
Suy ra đieu phai chúng minh Q
Phương pháp chieu giai bài toán bat đang thÉc bien phân gia đơn điắu manh
Phương pháp chieu dưéi đao hàm tăng cưèng
Thuắt toỏn 2.1.1 CHQN mđt điem đau u 0 ∈ K và mđt dóy cỏc đđ dài bưúc
Bưộc 3: Neu u k = u k thỡ dựng lai Ngưoc lai thỡ đắt k + 1 = k và quay lai bưúc 2.
Neu thuắt toỏn dựng o bưúc thỳ k, thỡ ta đắt u k J = u k vúi MQI k J ≥ k + 1 Vỡ the,
Thuắt toỏn 2.1.1 tao ra mđt dóy lắp vụ han. Đ%nh lý 2.1.1 Cho K là mđt tắp loi, đúng, khỏc rőng trong khụng gian Hilbert thnc
H Giỏ su F : K → H là liờn tnc Lipschitz và giỏ đơn điắu manh trờn K, thỡ dóy lắp {u k } đưac tao bỏi Thuắt toỏn 2.1.1 hđi tn manh tỏi nghiắm u ∗ cua bài toỏn Hơn nua, ton tai m®t chi so k 0 ∈ N sao cho γλ k < 1 vái MQI k ≥ k 0 và k+1 ∗ ‚., k k ∗ trong đú γ > 0 là hang so giỏ đơn điắu manh cua F Ngoài ra, lim ‚.
ChÉng minh Do F liên tnc Lipschitz nên ton tai L > 0 sao cho
Theo Hắ qua 1.1.1 ta cú:
Thay v = u ∗ ∈ K, u = u k − λ k F(u k ) và u k+1 = P K (u k − λ k F(u k )) vào bat đang thúc trên ta đưoc
Vì u ∗ S(K, F), nên F(u ∗ ), u u ∗ 0, vói MQI u K Theo tính chat gia đơn điắu manh cua F ta cú F(u), u u ∗ γ u u ∗ 2 vúi MQI u K Cho u = u k
K, ta đưoc bat đang thúc mói
Cho λvói k ≥ k k → 0, khi đó ton tai k 0, ta có γλ k 1 10 ∈ N sao cho 2γλλ 2 L 2 < 1 và k ≤ 1 − λ 2 L 2 vói MQI k ≥ k 0 Do đó
Lay tong cua các bat đang thúc ||u k+1 −u ∗ || 2 ≤ ||u k −u ∗ || 2 − γλ k ||u k −u ∗ || 2 tù k 0 tói n Ta đưoc
= +∞ và γ > 0 nên lim ||u n − u ∗ || = 0 Do đó dãy {u k } h®i tn theo chuan k k k k
Tiep theo ta.se c hún g minh ton tai k 0 ∈ N sao cho γλ k < 1 vói MQI k ≥ k 0 và
Mắt khỏc, ta thay rang
−→ 0 khi k −→ ∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh Q
Trong phan tiep theo, ta se chỳng minh gia thiet hàm F là gia đơn điắu manh và
0 λ k = +∞, lim λ k = 0 là can thiet cho khang đ%nh cua Đ%nh lý 2.1.1. k→∞
Vớ dn 2.1.1 Cho K = R và F(u) = u De thay, F là liờn tnc Lipschitz, đơn điắu manh trên K và S(K, F) = {0} C HQN u 0 = 1 ∈ K và đ%nh nghĩa dãy {λ k } bang cỏch đắt λ 1
< +∞, và dóy lắp {u k } đưoc tao boi Thuắt toỏn 2.1.1 đưoc cho boi u k+1 = P K (u k −λ k F(P K (u k −λ k F(u k ))))
Do đó, {u k } là dãy giam và b
% chắn dưúi nờn nú hđi tn. lim u k ≥ lim k + 2
1 Do vắy, dóy {u k } khụng hđi tn túi nghiắm duy nhat cua bài toán VI(K, F) k ∞ j=
Cho K, F, u 0 như trong Ví dn 2.1.1 và λ k
Tuy nhiên như đã tính toán o trên u k
MQI k ∈ N Do vắy lim u k = 1 không h®i tn túi nghiắm duy nhat cua bài toán.
Lipschitz và đơn điắu trờn
K, và nghiắm cua bài toán
= 0 λ k = +∞, lim λ k = 0 Đe chúng minh F không gia đơn điắu manh trờn
Dóy lắp {u k } đưoc tao boi Thuắt toỏn 2.1.1 đưoc cho boi
Do đú, {u k } khụng hđi tn đen nghiắm duy nhat cua bài toỏn VI(K, F) Ta se chỳng minh tắp hop cỏc điem tn cua dóy {u k } là đưũng tròn
Với m ∈ N, cho z_k = u_k + iu_k là số phức được tạo bởi u_k Để chứng minh tập hợp các điểm t_n của {u_k} là đúng tròn, chúng ta chỉ cần chứng minh tập hợp các điểm t_n của {z_k} là đường tròn.
S := {z ∈ C : |z| = à|z 0 |} trong mắt phang phỳc Ta cú
1 2 Đắt a = 1 − − , ta cú z k+1 = a z k = k a Σ z 0 Vúi mői k ≥ 1 ta viet i 1 k k + (k +
1) 2 k j a k dưói dang hàm mũ a k = r k e iθ k , trong đó r k = |a k | = 1 − 1
= ∑ θ j j=1 và θ ∈ (−π, π] là argument chính cua z 0 Vì θ k = arctan −(k + 1) −1
Cho z = a 0 à|z 0 |e iθ là mđt điem tựy ý trờn S Vúi MQI m ∈ N, ton tai duy nhat k m ∈ N sao cho ω km ≤ θ −θ − 2mπ < ω km −1 Do đó
Vì θ km → 0, ta có ω km − (θ − θ − 2mπ) → 0 khi m → ∞ Nghĩa là ω km + 2mπ → θ −θ khi m → ∞ Do vắy lim e ω km i = lim e (ω km +2mπ)i = e (θ−θ )i
Ta đó chỳng minh đưoc tắp tat ca cỏc điem túi han cua {z k } là đưũng trũn S.
Qua các ví dụ trên, nếu bỏ đi bất kỳ một trong ba điều kiện trên thì sẽ dẫn đến việc không hoàn thành bài toán VI(F, K).
Phương pháp chieu cơ ban cai biên
Thuắt toỏn 2.2.1 Cho trưúc u 0 ∈ K và {λ k } ⊂ (0, +∞).
Bưéc 2: Tính uthì chuyen sang bưóc tiep theo J k = P K (u k − λ k F(u k )), neu u J k = u k thì dùng lai Neu không
Bưộc 3: Đắt u k+1 = u J k , sau đú quay lai bưúc 2.
Neu thuắt toỏn cham dỳt o bưúc thỳ k, thỡ ta đắt u k J = u k vúi MQI k J ≥ k + 1.
Như vắy, đoi vúi mđt dóy cỏc đđ dài bưúc thay đoi {λ k } ⊂ (0, +∞), Thuắt toỏn
2.2.1 tao ra cho mői điem ban đau u 0 ∈ K mđt dóy lắp vụ han {u k }.
Cho K là một tập hợp lồi, đúng, khác rỗng trong không gian Hilbert H và ánh xạ F: K → H là giả đơn điệu mạnh trên K với mụ-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với hằng số L Giả sử {u_k} là dãy lắp đặp được tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1 và u* là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F), thì
Chẫng minh Ta cú u k+1 = P K (u k −λ k F(u k )), theo Mắnh đe 1.1.3(3)
Thay u = u ∗ ∈ K ta thu đưoc bat đang thúc
Từ đó, ta có thể suy ra F(u∗) với u u∗ 0, trong khi đảm bảo MQI u K Nhờ vào tính chất gia đơn điệu mạnh của F, ta có F(u) với u − u∗ ≥ γ||u − u∗||² khi u thuộc K Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính liên tục Lipschitz của F, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng.
= ||u k −u k+1 || 2 + ||u k+1 −u ∗ || 2 − ||u k −u ∗ || 2 (2.3) Ket hop (2.1) vói (2.2) và (2.3) ta đưoc
Suy ra đ%nh lý đưoc chúng minh Q
Bài toán VI(K, F) luôn có duy nhất một nghiệm, và nó được tạo bởi Thuật toán 2.2.1, với độ dài bước được chọn từ một khoảng đóng của các số thực dương, dẫn đến nghiệm duy nhất đó Hơn nữa, ta có định lý sau: Định lý 2.2.1 Cho K là một tập hợp rời rạc trong không gian Hilbert H, F: K → H là ánh xạ giá trị đơn điệu mạnh trên K với mô đun γ và liên tục Lipschitz trên K với hằng số L.
Trong bài toán L2, các tham số b là các hằng số dương Dãy {u_k} được xây dựng thông qua thuật toán 2.2.1, trong đó dãy {u_k} hoạt động theo tuyến tính, dẫn đến nghiệm duy nhất u* của bài toán Hơn nữa, các sai số tiềm năng và hậu nghiệm được xác định là k+1 và k+1 1 0.
Theo Mắnh đe 2.2.1 ta cú
Ta cú à ∈ (0, 1) nờn à k+1 −→ 0 Suy ra ||u k+1 − u ∗ || −→ 0.Đieu này chỳng to {u k } h®i tn tuyen tính tói u ∗
Suy ra đ%nh lý đưoc chúng minh Q
Chỳ ý 2.2.1 Khi a = b = λ , đđ dài bưúc là co đ%nh Do đú phương phỏp chieu cơban cai biờn tro thành phương phỏp chieu cơ ban và à tro thành 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét giá trị λ thuộc khoảng (0, 2γ) của tập Σ Các ứng tính sai số là cực tiểu khi λ đạt giá trị nhỏ nhất Qua việc phân tích hàm số của λ trong khoảng này, chúng ta tìm ra giá trị nhỏ nhất của hàm số tại điểm λ, ký hiệu là a∗ = L.
Chỳ ý 2.2.2 Ngoài ra giỏ tr% à cú the đưoc xem như mđt hàm à = à(a, b) cua bien
(a, b) ∈ R 2 : 0 < a ≤ b < 2γ Σ Đắt b = ta, vúi t ∈ [1, + ∞) co đ%nh, tương tn như trờn ta tớnh đưoc hàm à a, b) = à(a, ta) đat giỏ tr% nho nhat là 1 tai a = γ
Do đú, giỏ tr% nho nhat cua à là à ∗ = L
L 2 + γ 2 đat đưoc tai điem duy nhat (a ∗ , b ∗ ) ( γ
Chỳ ý 2.2.3 Ưúc lưong sai so trong Đ%nh lý 2.2.1 là huu ớch trong viắc ỏp dnng
Thuắt toỏn 2.2.1 đe giai bài toỏn bat đang thỳc bien phõn gia đơn điắu manh.Vớ dn, công thúc
−u 0 || cho phép chúng ta ưóc tính so lưong bưúc lắp can đe đat đưoc mđt đđ chớnh xỏc nhat đ%nh Cn the, vúi ε > 0 bat kỳ, neu à
Trong các kết quả của Định lý 2.2.1, nếu F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên K, thì dãy {u_k} được tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) và các ước tính sai số nêu trên đều được thỏa mãn.
Ví dụ 2.2.1 cho không gian Hilbert H = l², trong đó các thành phần là các dãy bình phương khả tổng của các vectơ hữu hạn Với H = {u = (u₁, u₂, , uᵢ, ), v = (v₁, v₂, , vᵢ, )}, chuẩn của hai vectơ u và v trên H được xác định.
∈ H bat kỳ Cho α, β ∈ R sao cho β > α > β
K α = {u ∈ H : ||u|| ≤ α},F β (u) = (β −||u||)u, trong đó α, β là các tham so De thay S(K α , F β ) = {0} Hàm F β là liên tnc
Lipschitz và gia đơn điắu manh trờn K α Thắt vắy, vúi u, v ∈ K α bat kỳ,
.u, uΣ là tích vô hưóng và
Do đó F β là liên tnc Lipschitz trên K α vói hang so Lipschitz L := β + 2α Cho u, v ∈ K α sao cho F β (u), v − u ≥ 0 Theo gia thiet ||u|| ≤ α < β Suy ra u, v − u ≥ 0 Do đó
= γ||u−v|| 2 , o đõy γ := β −α > 0 Suy ra F β là gia đơn điắu manh trờn K α Hơn nua F β khụng the đơn điắu manh cũng khụng the đơn điắu trờn K Thắt vắy, ta c HQN u = , 0, , 0, , v 2 (α, 0, ã ã ã , 0, ã ã ã ) ∈ K α
Lay u 0 ∈ K α bat kỳ, và λ ∈ 0, 2γ Σ = 0, 2(β − α ) Σ tựy ý, đắt λ k = λ vúi MQI k ∈ N Theo Đ%nh lý 2.2.1, dóy {u k } đưoc tao boi Thuắt toỏn 2.2.1 hđi tn tuyen tính tói 0 Hơn nua, k+1 à k+1 1 0 k+1 à k+1 k
Theo Chỳ ý 2.2.1 giỏ tr% nho nhat cua à là à ∗ β + 2 α
Neu các đ® dài bưóc tao thành m®t dãy không kha tong cua các so thnc dương thì
Thuật toán 2.2.1 tạo ra một mô hình duy nhất cho bài toán, với định lý 2.2.2 khẳng định rằng K là một mô hình tập hợp các lời đúng trong không gian Hilbert.
H và F : K → H là mđt ỏnh xa giỏ đơn điắu manh trờn K vỏi mụ-đun γ và liờn tnc
Lipschitz trên K vái hang so L Giá su {λ k } là m®t dãy các vô hưáng dương vái
Dãy lắp {u_k} được tạo thành từ thuật toán 2.2.1 sẽ hội tụ mạnh tới u* là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k_0 ∈ N sao cho với mọi k ≥ k_0, điều kiện λ_k (2γ − λ_k L^2) > 0 và ||u_{k+1} − u*|| ≤ 1 được thỏa mãn.
||u k 0 −u ∗ ||. || k i=k 0[1 + λ i (2γ −λ i L 2 ] ChÉng minh Vì λ k → 0, nên ton tai k 0 ∈ N sao cho λ k L 2 < λ vói MQI k ≥ k 0.
Do đó λ k (2γ −λ k L 2 ) > λ k (2γ −γ) = γλ k > 0, vói MQI k ≥ k 0 Vì the, tù [1 + λ k (2γ − λ k L 2 )] ||u k+1 −u ∗ || 2 ≤ ||u k −u ∗ || 2 , suy ra u k+1 u ∗ 2 1 u k u ∗ 2
Tiep theo, ta se chỳng minh dóy {u k } hđi tn theo chuan túi u ∗ Vúi mői k ∈ N, đắt α k = λ k (2γ −λ k L 2 ) và viet lai công thúc (2.6), ta đưoc u k+1 −u ∗ || ≤ 1
0, hay dãy {u k } h®i tn theo chuan tói u ∗ Đ%nh lý đưoc chúng minh.
Cho F là đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với một hằng số L Dãy {u k } được tạo ra từ Thuật toán 2.2.1 sẽ hội tụ theo chuẩn tối nghiêm ngặt của bài toán VI(K).
F) và ton tai m®t chi so k 0 ∈ N sao cho u k+1 −u ∗ || ≤ 1
|) u, tr on gđ óα , β là cá ct ha m so , v àλ k
Cho {u k } là m®t dóy lắp đưoc tao boi Thuắt toán 2.2.1
Suy ra dãy {u k } h®i tn manh tói 0 là nghiắ m duy nhat cua bài toán VI(K α
C h ú n g t a s e x é t x e m đ i e u g ì s e x a y r a n e u b o đ i e u kiắn (2.4) và (2.5) lan lưot đưoc đưa ra o Đ%nh lý 2.2.1 và Đ%nh lý 2.2.2 thông qua ví dn sau:
Vớ dn 2.2.3 Đắt K = R và F(u) = u Rõ ràng F liên tnc Lipschitz, đơn điắu manh trờn K và S(K, F) = 0 C HQN u 0 1 ∈ K và λ k = 1
0 λ k < +∞, ca hai đieu kiắn (2.4) và (2.5) đeu b% lưoc bo Dóy lắp u k đưoc tao boi Thuắt toỏn 2.2.1 vúi u 0 = 1 đưoc cho boi u k+1 = P K (u k −λ k F(u k )) = u k −λ k u k = (1 −λ k )u k
Nghĩa là {u k } khụng hđi tn đen nghiắm duy nhat cua bài toán V
K, F) Vắy cỏc đieu kiắn (2.4) và (2.5) khụng the bo đi, neu khụng dóy lắp se khụng hđi tn túi nghiắm cua bài toán can tìm.
Ví dn 2.2.4 Cho K = R và F(u) = u, và u 0 ∈ R\{0} Cho λ k ⊂
= 0 và λ k ƒ= 1, ∀k ∈ N Khi đú dóy lắp {u k } tro thành u k+1 = P K (u k −λ k F(u k )) = u k −λ k u k = (1 −λ k )u k Đe chúng minh {u k } h®i tn tuyen tính đen 0, ta can chúng minh:
Vì lim λ k = 0 và u k = 0 vói MQI k
Vắy {u k } khụng h®i tn tuyen tính túi nghiắm duy n h a t c u a b à i t o á n V I(
Trong bài toán VI(K, F), dãy {u_k} được xem xét theo Định lý 2.2.2, cho thấy không tồn tại nghiệm duy nhất So với Định lý 2.2.1, công thức trong Định lý 2.2.2 có tốc độ hội tụ nhanh hơn Tuy nhiên, bên cạnh những ưu điểm này, phương pháp chiếu cải biên cũng tồn tại nhược điểm về tốc độ hội tụ.
Sau khi đưoc Hatman và Stampacchia giúi thiắu lan đau vào năm 1966, trai qua
Trong 50 năm phát triển không ngừng, bài toán bắt đang thúc biến phân đã trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải quyết các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều lĩnh vực khác Gần đây, các bài toán này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, dẫn đến nhiều kết quả quan trọng Các nhà nghiên cứu đã phát triển nhiều phương pháp để giải quyết bài toán bắt đang thúc biến phân, mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng trong thực tiễn.
Bài viết này tập trung vào việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Đầu tiên, chúng tôi sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản về Giải tích hàm và Giải tích lồi, đồng thời trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân với các ví dụ minh họa cụ thể Tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích tính tồn tại và duy nhất của bài toán này Cuối cùng, bài viết sẽ giới thiệu hai phương pháp toán chiều để giải quyết bài toán, đồng thời xem xét tính hiệu quả của các phương pháp trong không gian Hilbert.
1 Hoàng Tny (2005), Hàm thnc và giái tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i.
2 Lê Dũng Mưu, Nguyen Văn Hien, Nguyen Huu Đien (2015), Giái tích loi úng dnng, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i.
3 Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long (2001), Hàm thnc và giái tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i.
4 D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational
In- equalities and Their Applications, Academic Press, New York.
5 Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications In: Shisha O (Ed):
In- equalities, Academic Press, New York.
6 Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational
7 Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly pseudomono- tone variational inequalities”, Submitted.
8 Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global
9 Phung M Duc, Le D Muu, and Nguyen V Quy (2014), ”Solution - existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilib- rium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J Mathematics, To appear.