ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THANH THỦY PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THANH THỦY PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - 2017 iii Mục lục Mở đầu iv Chương Phương pháp diện tích 1.1 Định lý Pythagore 1.1.1 Tam giác vuông 1.1.2 Hệ tọa độ Descarte vng góc 1.2 Định lý Stewart 1.3 Phương pháp diện tích 1.3.1 Phương pháp diện tích 1.3.2 Định lý Ptolemy mở rộng 1.3.3 Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner 1.4 Định lý Ceva Định lý Menelaus 1.5 Bất đẳng thc Erdăos-Mordell cho a giỏc 2 13 13 15 22 24 29 35 35 35 36 42 Chương Phương pháp thể tích 2.1 Phương pháp thể tích 2.1.1 Phương pháp thể tích 2.1.2 Thể tích qua định thức 2.2 Quan hệ bán kính mặt cầu ngoại-nội tiếp Chương Vận dụng giải thi học sinh giỏi 46 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iv Mở đầu Hình học phân nhánh Toán học xuất sớm nhân loại Nhiệm vụ hình học mô tả ngắn gọn trả lời cho câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính chất khơng gian Các phương pháp giải tốn hình học sơ cấp vốn vô phong phú đa dạng Điều hồn tồn dễ hiểu hình học môn học truyền thống nhà trường phổ thông trường đại học sư phạm Dưới hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, tác giả luận văn có mục đích trình bày phương pháp diện tích thể tích hình học thảo luận thi học sinh giỏi, nhằm làm phong phú lý thuyết vừa trình bày tạo nhìn đa chiều nhiều khía cạnh cho giải tốn hình học Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Chỉ mục, nội dung luận văn trình bày ba chương: • Chương Phương pháp diện tích Chương trình bày kết phương pháp diện tích ứng dụng vào giải tốn hình học sơ cấp Các chủ đề thảo luận Định lý Pythagore, Định lý Stewart, Ceva, Menelaus v Bt ng thc Erdăos-Mordell cho đa giác • Chương Phương pháp thể tích Chương dành để trình bày phương pháp thể tích hình học, đặc biệt lưu ý đến thể tích qua định thức quan hệ liên quan đến bán kính mặt cầu nội ngoại tiếp • Chương Vận dụng giải thi học sinh giỏi Chương trình bày lời giải số thi học sinh giỏi điển hình liên quan đến phương pháp diện tích thể tích Chương Chương v Tác giả hi vọng rằng, luận văn làm tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến Hình học sơ cấp ứng dụng Nó có ích việc bồi dưỡng giáo viên, học sinh giỏi, quan tâm đến toán sơ cấp muốn mở rộng nhãn quan nói chung Luận văn tác giả đầu tư nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ nhiều lí do, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận nhiều đóng góp q Thầy Cơ, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Phạm Thị Thanh Thủy Chương Phương pháp diện tích Hình học sơ cấp phát triển dựa nhiều kết toán học cao cấp Ví dụ đơn giản để đo độ dài đoạn thẳng hay diện tích hình vng theo đoạn thẳng chọn làm đơn vị đo ta phải sử dụng kết giới hạn, liên tục tích phân xác định Vấn đề lý giải trình hình thành kết qua toán cao cấp cần thiết thường sử dụng tỷ số đoạn thẳng diện tích chứng minh Từ ta phát nhiều kết 1.1 1.1.1 Định lý Pythagore Tam giác vuông Dựa vào tiên đề số đo độ dài đoạn thẳng nhiều kết lý thuyết giới hạn ta sử dụng mệnh đề để tính diện tích hình vng cạnh a Mệnh đề 1.1.1 Diện tích hình vng ABCD với độ dài cạnh AB = a (đơn vị dài) a2 đơn vị diện tích Chứng minh Dựng hệ tọa độ Axy : A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a) Khi a a a dx = ax = a2 SABCD = 0 Như vậy, diện tích hình vng ABCD cạnh a a2 đơn vị diện tích Mệnh đề 1.1.2 Tam giác vng ABC có độ dài cạnh a = BC, b = CA, c = AB ∠BAC = 900 Hạ đường cao AH ⊥ BC Đặt h = AH diện tích tam giác qua S Khi ta có đồng thức (1) a2 = b2 + c2 [Pythagore] (2) b2 = a.BH c2 = a.CH (3) a.h = b.c, h2 = BH.CH 1 = + h2 b2 c (4) 2S = a.h = b.c Chứng minh Dựng hình vng ABCD với cạnh AB = a Dựng vào bên hình vng ABCD bốn tam giác vng ABA1 , BCB1 , CDC1 DAD1 tam giác vuông ABA1 Khi ta có hình vng A1 B1C1 D1 với A1 B1 = |b − c| Ta có SABCD tổng diện tích bốn tam giác vng ABA1 , BCB1 , CDC1 , DAD1 hình vng A1 B1C1 D1 Vậy, ta có hệ thức a2 = b.c + (b − c)2 = b2 + c2 Các kết lại hiển nhiên Hệ 1.1.1 Với biểu diễn b = a sin B, c = a cos B tam giác vuông ABC ta có sin2 B + cos2 B = Chứng minh Từ a2 = b2 + c2 = a2 (sin2 B + cos2 B) theo Định lý 1.1.2 ta nhận hệ thức sin2 B + cos2 B = Hệ 1.1.2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d d ′ Lấy A, B thuộc d C, D thc d ′ Khi d ⊥ d ′ AC2 + BD2 = AD2 + BC2 Chứng minh Kết suy từ Định lý Pythagore Hệ 1.1.3 (Steiner) Cho tam giác ABC Lấy M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB, tương ứng Dựng đường thẳng mM ⊥ BC, nN ⊥ CA pP ⊥ AB Ba đường thẳng mM, nN pP đồng quy điểm MC2 + NA2 + PB2 = MB2 + PA2 + NC2 Chứng minh Kết suy trực tiếp từ Định lý Pythagore Ví dụ 1.1.1 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC,CA, AB, tương ứng Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vuông BCA1A2 , CAB1 B2 , ABC1C2 Gọi A0 , B0,C0 trung điểm A1 A2 , B1 B2 ,C1C2 , tương ứng dựng đường thẳng mM ⊥ B0C0 , nN ⊥ C0 A0 pP ⊥ A0 B0 Chứng minh rằng, ba đường thẳng mM, nN, pP đồng quy điểm Bài giải Đặt α = ∠ABC0 a = BC, b = CA, c = AB, S = SABC Theo Định lý 4c2 + b2 4b2 + c2 2 + 2S MB0 = + 2S Ta nhận Côsin ta có MC0 = 4 MB20 − MC02 = (b2 − c2 ) Hoàn toàn tương tự, ta có hai kết NC02 − NA20 = (c2 − a2 ) PA20 − PB20 = (a2 − b2 ) Ta có MB20 − MC02 + NC02 − NA20 + PA20 − PB20 = Vậy, ba đường thẳng mM, nN, pP đồng quy điểm theo hệ Ví dụ 1.1.2 Cho tam giác ABC đường cao AA1 , BB1 ,CC1 Dựng đường thẳng AM ⊥ B1C1 , BN ⊥ C1 A1 CP ⊥ A1 B1 Chứng minh AM, BN,CP đồng quy Bài giải Ta có MB21 − MC12 = AB21 − AC12 = (AB2 − BB21 ) − (AC2 − CC12 ) Hồn tồn tương tự ta có NC12 − NA21 PA21 − PB21 Từ suy AM, BN,CP đồng quy theo ví dụ Ví dụ 1.1.3 Tam giác ABC có ∠A = 900 đường cao AH = h Giả sử M điểm tùy ý tam giác khoảng cách từ M đến BC,CA, AB x, y, z Xác định giá trị nhỏ tổng T = x2 + y2 + z2 Bài giải Hạ MI ⊥ AH, I ∈ AH Vì y2 + z2 = MA2 nên ta đánh sau: T = MA2 + x2 AI + x2 = (h − x)2 + x2 = 2x2 − 2hx + h2 Vậy T = x− Tnn = h 2 + h2 h2 h h2 x = hay M trung điểm đường cao AH 2 Ví dụ 1.1.4 (Bulgarian MO and TST 2013) Cho tam giác nhọn ABC Lấy điểm M, N, P thuộc cạnh BC,CA, AB, tương ứng, cho tam giác APN, BMP, CNM nhọn ký hiệu Ha , Hb , Hc trực tâm chúng Chứng minh rằng, ba đường thẳng AHa , BHb ,CHc đồng quy ba đường thẳng MHa , NHb , PHc đồng quy Bài giải Ký hiệu A1 , B1 ,C1 hình chiếu vng góc A, B,C lên NP, PM, MN, tương ứng Vì đường thẳng AHa , BHb ,CHc đồng quy điểm nên ta có hệ thức (NC12 − MC12 ) + (MB21 − PB21 ) + (PA21 − NA21 ) = Vậy = CN −CM + BM − BP2 + AP2 − AN = CN − AN + AP2 − BP2 + BM −CM Ta suy ba đường thẳng vng góc hạ từ M, N, P xuống cạnh BC,CA, AB, tương ứng, đồng quy điểm K Vì tứ giác KMHc N KMHb P hình bình hành nên tứ giác PHb Hc N hình bình hành Khi hai đường chéo PHc , NHb cắt điểm T, trung điểm đường Tương tự, MHa nhận T làm trung điểm hay ba đường thẳng MHa , NHb , PHc đồng quy điểm T Ví dụ 1.1.5 Với hai số dương a, b xét ABCD độ dài cạnh AB = a + b Lấy M thuộc cạnh AB với AM = a, BM = b Giả sử N chạy cạnh BC P thuộc cạnh AD cho NM ⊥ MP Xác định giá trị nhỏ tam giác MNP Bài giải Đặt x = BN, y = AP Từ điều kiện MN ⊥ MP ta suy MN +MP2 = NP2 ax + by √ abxy = ab Vậy, giá trị nhỏ suy xy = ab Khi SMNP = SMNP ab x = b, y = a Ví dụ 1.1.6 Coi bốn xã bốn đỉnh hình vng ABCD với độ dài cạnh AB = 10 km Chứng minh rằng, xây mạng đường nối bốn xã với tổng độ dài nhỏ 28 km Bài giải Gọi O tâm hình vng Lấy I, J trung điểm đoạn AO, BO, tương ứng Mạng đường nối bốn xã AI, IJ, JB, ID, JC Tổng độ dài mạng đường √ √ d = + + 10 < 28, (đúng) 1.1.2 Hệ tọa độ Descarte vng góc Trước trình bày hệ tọa độ Carte vng góc chứng minh lại Định lý Thales nhắc lại khái niệm số đo đoạn thẳng Giả sử ta chọn đoạn AB làm đơn vị đo Theo tiên đề số đo, ứng với đoạn thẳng MN ln có số thực x để MN = |x|.AB MN = x.AB Từ ta định nghĩa tỷ số hai đoạn thẳng: Giả sử MN = |x|.AB, PQ = |y|.AB với y = Tỷ số hai đoạn định nghĩa sau: MN MN |x| x := := PQ |y| y PQ Định lí 1.1.1 (Thales’s Theorem) Với hai đường thẳng d, d ′ ba đường thẳng AB A′ B′ = song song a, b, c cắt d, d ′ A, B,C A′ , B′ ,C′ , tương ứng, ta ln có BC B′C′ ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THANH THỦY PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số:... minh 1.3 Phương pháp diện tích 1.3.1 Phương pháp diện tích Phương pháp diện tích phương pháp giải tốn hình mặt phẳng qua diện tích miền phẳng Để giải tốn cho ta chọn miền phẳng (D) với diện tích. .. Torricelli ∆ABC 56 Kết luận Những kết đạt Luận văn ? ?Phương pháp diện tích thể tích hình học sơ cấp? ?? đạt kết sau: Trình bày phương pháp diện tích hình học Những vấn đề trình bày liên quan đến Định