Phép tính vi phân trong không gian tuyen tính đ%nh chuan
M®t so không gian đ%nh chuan
1.Không gian R n vói x = (x 1 , x 2 , , x n ) và chuan ǁxǁ p n i= 1
|x i | Σ 1/p trong đó p là m®t so thnc bat kì: 1 ≤ p < +∞.
2.Không gian các dãy so l p vói phan tu x = (x 1 , x 2 , , x n , ) và chuan ǁxǁ p ∞ i=
3.Không gian các hàm L p [a, b] trong đó moi phan tu là các hàm đo đưoc x(s) có x p (s) kha tích vói chuan đưoc xác đ%nh như sau ǁxǁ L p
4.Không gian các hàm x(s) liên tuc trên [a, b] và x C[a,b] = max x(s) s∈[a,b] p
Cho Ω là mien giói n®i trong R n và x ∈ C l (Ω) là hàm kha vi liên tuc đen
1 cap l Vì Ω là compact, cho nên vói moi l = 0, 1, 2, ta có C l (Ω) ⊂ L p (Ω).
Do đó ta xác đ%nh đưoc chuan ǁxǁ W l (Ω) Σ ǁD xǁ p
Không gian Sobolev W l,p (Ω) là không gian C l (Ω) đưoc làm đay đn trong chuan trên Ta có
Mđt so khỏi niắm liờn quan
Không gian Banach X thnc được định nghĩa với L(X, R) là tập hợp tất cả các hàm số tuyến tính trên X, ký hiệu là X ∗ GQI là không gian đối ngẫu của X với chuẩn tương ứng ǁfǁ X ∗ = ǁfǁ L(X,R) Nếu X là không gian Banach thnc, thì X GQI là phần xa nếu tồn tại một đồng cấu giữa X và X ∗∗ Định lý 1.1.1 (Định lý biểu diễn Riesz) khẳng định rằng với MQI không gian Hilbert H, ta có
H ∗ c H Do đó MQI không gian Hilbert đeu là không gian phan xa. Đ%nh nghĩa 1.1.3 Toán tu đa tr% F : X → 2 X ∗ đưac GQI là toán tu đơn điắu neu
Tắp xỏc đ%nh cua F là D(F ) = {x ∈ F : F (x) ƒ= ∅}.
(i)Cho H là không gian Hilbert thnc và F : H → H ∗ ≡ H là ánh xa tuyen tớnh, khi đú F đơn điắu neu và chi neu nú là toỏn tu dương: (F (x), x) ≥
Chương 1 M®t so kien thúc chuan b
(ii) Cho D là tắp con khỏc rong cna R Hàm so ϕ : D → R ∗ ≡ R là mđt toỏn tu đơn điắu neu và chi neu ϕ là đơn điắu khụng giam, tỳc là,
[ϕ(t 2) − ϕ(t 1)](t 2 − t 1) ≥ 0 ∀t 1 , t 2 ∈ D neu và chi neu ϕ(t 1) ≤ ϕ(t 2) ∀t 1 < t 2 Đ%nh nghĩa 1.1.4 Toán tu F : D(F ) ⊂ X → X đưac GQI là toán tu accretive neu ǁx − yǁ ≤ ǁ(x − y) + λ(Fx − Fy)ǁ ∀x, y ∈ D(F ), λ ≥ 0.
Đao hàm Fréchet
Cho X, Y là hai không gian đ%nh chuan F : X → Y, x 0 ∈ X, h ∈ X. Đ%nh nghĩa 1.1.5 Toán tu F kha vi (theo nghĩa Fréchet) tai x 0 neu ton tai m®t ánh xa tuyen tính liên tnc A(x 0) : X → Y sao cho
F (x 0 + h) − f (x 0) = A (x 0) [h] + φ (x 0 , h) trong đó lim ǁhǁ→0 ǁ φ ( ǁhǁ x 0 ,h)ǁ = 0.
(i) A(x 0)[h] GQI là vi phõn Frộchet cua toỏn tu F tai x 0 Kớ kiắu là dF (x 0 , h) A(x 0)[h].
Toán tử A(x₀): X → Y xác định bậc h → A(x₀)[h] GQI là đạo hàm Fréchet của toán tử F tại x₀ Khi đó, F J (x₀) = A, và dF (x₀, h) = F J (x₀)[h] Định lý 1.1.2 liên quan đến toán tử xác định trên một tập con mở của không gian.
Banach là kha vi Fréchet tai m®t điem thì nó liên tnc tai điem đó.
Chỳng minh Cho A là mđt tắp mo trong khụng gian Banach X Toỏn tu F :
A → Y Lay x ∈ A và ε > 0 thoa mãn x + h ∈ A, ǁhǁ < ε thì ǁF (x + h) − F (x 0)ǁ = ǁAh + φ(x, h)ǁ → 0 khi ǁhǁ → 0.
Suy ra F liên tuc tai x. Đ%nh lí 1.1.3 (Tính duy nhat cua đao hàm Fréchet ) Đao hàm cua m®t toán tu neu có là duy nhat.
Chúng minh Gia su A, B là 2 toán tu tuyen tính liên tuc, cùng là đao hàm cna toán tu F : X → Y tai X, nghĩa là:
Khi ε → 0, ta có B(εk) ǁεkǁ → 0, dẫn đến ve phai → 0, từ đó suy ra A(k) = B(k) với ∀k ∈ X, nghĩa là A ≡ B Định lý 1.1.4 cho biết rằng nếu X và Y là hai không gian Banach, và G: X → Y là hàm khả vi Fréchet tại x ∈ X, cùng với F: Y → Z khả vi Fréchet tại y = G(x), thì phép biến đổi φ F ◦ G cũng khả vi Fréchet tại x, với đạo hàm φ J(x) = F J(G(x)) G J(x).
Do ǁφ (x + h) − φ (x) − F J (y) dǁ = O (ǁdǁ), trong bieu dien cna ǁd − G J (x) hǁ O (ǁhǁ) Ta có φ (x + h) − φ (x) − f J (y) G J (x) h= O (ǁhǁ) + O (ǁdǁ) Khi đó g liên tuc tai x, theo Đ%nh lí 1.3.1 ta có ǁdǁ = O (ǁhǁ) ⇒ φ J (x) h = F J [G (x)] G J (x) h.
Neu F : R → R thỡ đao hàm, vi phõn Frộchet trựng vúi khỏi niắm đao hàm và vi phân theo nghĩa thông thưòng.
Vi phân Fréchet cna F tai x 0 là:
Vi phân Fréchet cna f tai x 0 là:
J F (x 1 , x 2 , , x n )(x 0 )[h] = A Nếu F : X → Y khả vi Fréchet trên tập mỏ A ⊂ X và F J khả vi Fréchet tại x ∈ A, thì F được gọi là khả vi Fréchet cấp hai tại x Đạo hàm Fréchet của F J tại x GQI là đạo hàm Fréchet cấp hai của F, ký hiệu là F JJ (x).
Fréchet cap 2 cna f tai x 0 là: Σ
M®t so ket qua ve phương trình Volterra
Trong phan này, dna vào bài bỏo [14] ta trỡnh bày mđt so khỏi niắm và ket qua liên quan tói phương trình Volterra như sau.
Xét phương trình Volterra vô hưóng
0, f (t) ∈ L 1 (0, ∞), g(x) ∈ C(−∞, ∞). Đắt Π = {s ∈ C : Re s > 0} và xỏc đ%nh
+ ∞ Re aˆ(σ + iη), tương tn tai τ = −∞, ta xác đ%nh U 0(iτ ) = lim inf Re aˆ(σ + iη). σ→0 + Đ%nh nghĩa 1.1.7 M®t hàm thnc a(t) ∈
0 t v(τ )a(t − τ )dτdt ≥ 0 (1.2) vái MQI v ∈ C[0, ∞) và vái MQI T > 0. Đ%nh nghĩa 1.1.8 M®t hàm thnc a(t) ∈
(0, ∞) là dương manh neu ton tai m®t hang so η > 0 sao cho b(t) = a(t) − ηe −t là dương. Đ%nh lớ 1.1.5 Cỏc mắnh đe sau là tương đương
Hắ qua 1.1.1 Nhõn a(t) là dương manh neu và chs neu a(t) là dương và ton tai η > 0 sao cho η
Hắ qua 1.1.2 Cho a(t) ∈ L 1 (0, ∞) khỏc hang so, khụng õm, khụng tăng, loi và da J (t) không phai là đ® đo kỳ d% Khi đó a(t) là dương manh.
Khỏi niắm bài toỏn đắt chinh và bài toỏn đắt khụng chinh
Xét phương trình toán tu
F (u) = f, (1.4) trong đó F : X → Y là m®t toán tu tù không gian Banach X vào không gian Banach Y Bài toỏn (1.4) GQI là đắt chinh neu thoa món cỏc đieu kiắn:
(i)Vúi ∀f ∈ Y phương trỡnh (1.4) cú nghiắm
(ii)Nghiắm u o trờn là duy nhat.
(iii) Nghiắm u phu thuđc liờn tuc vào f
Bài toỏn (1.4) GQI là đắt khụng chinh neu ớt nhat mđt trong ba đieu kiắn trờn không thoa mãn.
Vớ dn 1.2.1 (Hắ đai so tuyen tớnh vúi ma trắn đieu kiắn xau).
Au = f, (1.5) là mđt hắ đai so tuyen tớnh trong R n , u, f ∈ R n , A = (a ij ) nìn là ma trắn đieu kiắn xau, tỳc là so đieu kiắn K(A) = ǁAǁ.ǁA −1 ǁ lún Neu A suy bien, N
(A) ƒ= {0} Khi đú K(A) = ∞ vỡ ǁA −1 ǁ = ∞ Thắt vắy, ǁA −1 sup f
= ∞, lo c ǁ ǁ vì neu N (A) ƒ= {0} thì se ton tai u ƒ= 0 đe Au = 0.
Bài toỏn (1.5) là "thnc te đắt khụng chinh" neu N (A) ƒ= {0} nhưng K(A) 1
Ma trận Hilbert là một loại ma trận đặc biệt với các phần tử a_ij = 1/(i+j-1), trong đó i và j là chỉ số hàng và cột Khi áp dụng điều kiện kề cận, ma trận này có thể gây ra sai số lớn trong các phép toán số học Việc hiểu rõ cấu trúc và tính chất của ma trận Hilbert là rất quan trọng để giảm thiểu sai sót trong tính toán.
0, , n cú so đieu kiắn K(A) = O(e n ) rat lún khi n lún.
Ví dn 1.2.2 (Bài toán cnc tieu hóa).
Gia su f (u) ≥ m > −∞ là m®t phiem hàm liên tuc trong không gian Banach
X Xét bài toán tìm điem cnc tieu toàn cuc m = inf f (u). u
Gia su điem cnc tieu toàn cuc y ton tai duy nhat f (y) = m Khi đó bài toán tỡm cnc tieu toàn cuc y là đắt khụng chinh Thắt vắy, xột f δ (u) = f (u) + g δ (u), trong đó
Ta có sup g δ (u) δ. u∈X inf[f (u) + g δ (u)] ≤ inf f (u) + sup g δ (u) ≤ m + δ, u u và m − δ ≤ inf f (u) − sup |g δ | ≤ inf[f (u) + g δ (u)]. u u
Hàm f(x) = -cos x + εx²e^(-x²) có thể có nhiều điểm cực tiểu, tuy nhiên, việc xác định các điểm này cần xem xét kỹ lưỡng Mặc dù hàm số này có thể chứa nhiều điểm cực tiểu, nhưng nó cũng có thể gây ra những khó khăn trong việc tìm ra các điểm này Việc phân tích hàm f là cần thiết để hiểu rõ hơn về các đặc điểm của nó trong không gian số thực R.
Để giải quyết bài toán tối ưu, cần xác định rằng tại điểm x ∗, giá trị của hàm f (x) đạt cực tiểu toàn cục với điều kiện sup{|g δ (x)| : x ∈ R ≤ δ} và g δ (0) > 0 Hàm g δ (x) là hàm liên tục, đảm bảo rằng khoảng cách giữa cực tiểu toàn cục f (x) và điểm x ∗ có thể được điều chỉnh tùy ý.
Phương phỏp hiắu chinh Tikhonov và Lavrent’ev
Phương phỏp hiắu chinh Tikhonov
Xét phương trình toán tu
A(x) = y, (1.6) Đ%nh nghĩa 1.3.1 Toán tu đa tr% R(y, α) : Y × R + → 2 X đưac GQI là toỏn tu hiắu chsnh cho phương trỡnh (1.6) trong lõn cắn y đ neu:
(i)Ton tai δ > 0 sao cho ∀α > 0, ∀y ∈ B[y đ , δ], δ ≤ δ 1 thì R(y, α) ƒ= ∅.
(ii) Ton tai α = α(δ) : ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ 1 sao cho y δ ∈ B[y đ , δ] Khi đó
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm số α ∈ R(y δ , α(δ)) với điều kiện ta có d(x α , x đ ) ≤ ε, trong đó x đ là nghiệm đúng của phương trình (1.6) khi y = y đ Định nghĩa 1.3.2 chỉ ra rằng hàm phiếm Ω(x) ≥ 0 xác định trên tập X 0 ⊂ X, với X 0 = X được đưa ra bởi GQI, là một hàm phiếm ổn định.
(ii)∀r > 0, X 0,r = {x ∈ X 0 : Ω(x) ≤ r} là tắp compact. Đ%nh nghĩa 1.3.3 Phiem hàm M α [x, y] = d 2 (A(x), y) + αΩ(x) gom hai thành phan
(ii) Ω(x): thành phan őn đ%nh hóa, đưac GQI là phiem hàm làm trơn.
Ta xõy dnng toỏn tu hiắu chinh
{ ∈} Đ%nh lí 1.3.1 Gia su A : X → Y là toán tu liên tnc Khi đó
M α [x, y] và {x α } ⊂ X 0 là dãy cnc tieu, túc là
M α hđi tu nờn b% chắn Do đú Ω(x α ) ≤ r Suy ra dóy {x α } compact.
Tù đó ta trích đưoc dãy con h®i tu Không giam tőng quát coi x α → x α ∈ X 0,r
Trong bài viết này, chúng ta xem xét định nghĩa về hàm Dini, trong đó D δ 1 là tập hợp các hàm liên tục, không âm và không bị chặn trên khoảng [0, δ 1] Định lý 1.3.2 chỉ ra rằng nếu A: X → Y là một ánh xạ một – một liên tục với x đ là nghiệm duy nhất của phương trình (1.6), thì y = y đ tương ứng với δ 2.
Chúng minh Ta có M α [x˜ α , y˜] = min M α [x, y˜] M α [x đ , y˜]. x∈X 0
Theo Bő đe Tikhonov A : X 0,r → A(X 0,r ) là ánh xa 1-1, liên tuc còn X 0,r là compact thì A −1 : A(X 0,r ) → X 0,r là liên tuc. Đắt y˜ α = A(x˜ α ) Ta cú d 2 (y˜ α , y˜) = d 2 (A(x˜ α , y˜) ≤ M α [x˜ α , y˜] ≤ M [ x đ , y˜] = d 2 (A(x đ ), y˜) + αΩ(x đ )
Ta có ψ ∈ D δ 1 và ψ(0) = 0 Cuoi cùng ta thay d(x˜ α , x đ ) = d(A −1 (y˜ α ), A −1 (y đ )) → 0 khi δ → 0.
(δ)] là tham so hiắu chsnh đưac CHQN tiờn nghiắm.
Cú the CHQN tham gia hiếu chỉnh một cách hiệu quả theo nguyên lý cơ bản của Morozov Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các chương sau của luận văn.
Khi A là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H, hàm làm trơn M α [x, y] được định nghĩa là M α [x, y] = ǁAx−yǁ² + αǁxǁ² Mặc dù hàm Ω(x) = ǁxǁ² không phải là một hàm liên tục, nhưng có thể chứng minh rằng x α là điểm cực tiểu của hàm làm trơn M α [x, y] nếu nó thỏa mãn phương trình Euler.
Neu A là toỏn tu đoi xỳng khụng õm thỡ nghiắm hiắu chsnh theo phương pháp Lavrent’ev tìm đưac tù phương trình đơn gian hơn:
Phương phỏp hiắu chinh Lavrent’ev
Cho F : D(F) ⊆ X ›→ X là toán tử đơn điệu phi tuyến xác định trong không gian Hilbert thỏa mãn tính chất hưóng (ã, ã) và chuẩn ǁ ã ǁ Chú ý rằng F là toán tử (đơn tr) đơn điệu nếu nó thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Ta can tỡm nghiắm xap xi őn đ%nh cho phương trỡnh toỏn tu đắt khụng chinh phi tuyen
F (x) = y, (1.7) khi du liắu y khụng biet chớnh xỏc Hơn nua ta gia thiet rang:
(i)Thay vỡ cú ve phai chớnh xỏc y, ta chi biet đưoc du liắu cú nhieu y δ ∈ X, sao cho ǁy − y ǁ ≤ δ, (1.8) trong đó δ là cap đ® nhieu đã biet.
(ii) Phương trỡnh (1.7) cú mđt nghiắm xˆ (khụng nhat thiet là duy nhat).
(iii) Toỏn tu F cú đao hàm Frộchet b% chắn đeu đ%a phương F J (ã) trong B r 0 (xˆ) ⊆
D(F ), r 0 ≥ ǁx 0 − xˆǁ và x 0 là nghiắm thụ tỳc là xap xi nghiắm.
Vỡ F là đơn điắu, ta su dung phương phỏp hiắu chinh Lavrent’ev đe giai (1.7).
Trong phương phỏp này nghiắm hiắu chinh x δ thu đưoc tù phương trình toán tu
Phương trỡnh (1.9) cú duy nhat nghiắm x δ ∈ B r (xˆ) ⊆ D(F ), r 0 = ǁx 0 − xˆǁ + vúi MQI tham so hiắu chinh α > 0, và x 0 là ưúc lưong ban đau cna nghiắm x δ Phương phỏp hiắu chinh lắp Bakushinski: x δ = x δ − (A δ + α k I) −1 (F (x δ ) − y δ + α k (x δ − x 0)), (1.10) δ α α δ α
Trong nghiên cứu của Bakushinsky và Smirnova, họ xem xét nguyên lý đệ quy khi k tiến tới vô cực, với điều kiện rằng dãy (α k ) là dãy số dương và giới hạn của nó tiến tới 0 Đối với mỗi x δ, giá trị A δ được định nghĩa là F J (x δ ) Họ đưa ra một bất đẳng thức cho thấy rằng độ lớn của sự khác biệt giữa F (x k δ ) và y được giới hạn bởi ρδ, nhỏ hơn độ lớn của F (x k ).
, 0 ≤ k < k δ , (1.11) ρ > 1 đe c HQN chi so dùng k δ và chi ra x δ → xˆ khi δ → 0 dưói các gia thiet sau: (i)Ton tai L > 0 sao cho ǁF J (x) − F J (y)ǁ ≤ Lǁx − yǁ vói MQI x, y ∈ D(F ).
(ii) Ton tai p > 0 sao cho α k − α k+1 α k α k+1
(iii) (2 + Lσ)ǁx 0 − xˆǁtd ≤ σ − 2ǁx 0 − xˆǁt ≤ dα 0, trong đó σ := (√ ρ − 1) 2 , t
Gia thiet 1.3.1 Ton tai r > 0 sao cho B r (xˆ) ⊆ D(F ) và F kha vi
Gia thiet 1.3.2 Ton tai hang so k 0 > 0 sao cho vái MQI x, u ∈ B r (xˆ) và v
∈ X, ton tai phan tu Φ(x, u, v) ∈ X thóa mãn
[F J (x) − F J (u)]v = F J (u)Φ(x, u, v), ǁΦ(x, u, v)ǁ ≤ k 0 ǁvǁǁx − uǁ, (1.13) vái MQI x, u ∈ B r (xˆ) và v ∈ X.
Gia thiet 1.3.3 Ton tai hàm liờn tnc, đơn điắu tăng thnc sn ϕ : (0, a] → (0, ∞) trong đó a ≥ ǁF J (x)ǁ thóa mãn lim ϕ(λ) = 0 và v ∈ X trong đó ǁvǁ ≤ 1 sao cho x 0 − xˆ = ϕ(F J (xˆ))v (1.14) và αϕ(λ) sup λ≥0 λ + α ≤ c ϕ ϕ(α),∀λ ∈ (0, a] (1.15)
Gia thiet 1.3.4 Ton tai dãy các so thnc dương (α k ) sao cho lim α k = 0 và ton k→∞ k k δ δ 2 δ δ 2 k
Vói các gia thiet trên, trong [13] Mahale và Nair chúng minh rang x δ δ → xˆ khi δ → 0 và đat đưoc ưóc lưong sai so toi ưu cho ǁx δ − xˆǁ. k k
Lavrent’ev giai phương trình vái toỏn tE gan đơn điắu
Phương pháp Lavrent’ev, hay còn gọi là GQI, là một kỹ thuật hiệu quả cho các phương trình Volterra loại mđt Ưu điểm nổi bật của phương pháp này là khả năng bảo toàn cấu trúc tiến hóa tự nhiên của các phương trình Volterra, từ đó dẫn đến các thủ tục số đơn giản và hội tụ nhanh.
Nhieu nhà toán HQ c như Denisov, Asanov, Srazhidinov, Lamm, Gorenflo, Yammato, Gerlach, Wolfersdorf và Plato đã nghiên cúu phương pháp
Lavrent’ev và cỏc kĩ thuắt bao toàn cau trỳc cho cỏc phương trỡnh Volterra tuyen tính loai m®t.
Srazhidinov đã nghiên cứu phương pháp Lavrent’ev cho các phương trình Volterra chứa phi tuyến, trong khi Kabanikhin, Janno và Wolfersdorf tập trung vào các phương trình đặc biệt trong toán học phi tuyến Asanov cũng nghiên cứu các phương trình Volterra phi tuyến Việc chứng minh sự tồn tại trong các trường hợp này đều dựa trên ý tưởng phân chia đúng cách thông qua việc tách phân tùng phương trình kiểu Volterra.
Mđt kĩ thuất khác có thể sử dụng để nghiên cứu dòng điện của phương pháp Lavrent'ev là tính đơn điệu Định lý hội tụ của phương pháp này giúp đảm bảo tính chính xác trong việc giải quyết các bài toán liên quan.
Lavrent’ev giai bài toỏn vúi toỏn tu đơn điắu phi tuyen trong khụng gian Hilbert đưoc thiet lắp trong [12].
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày cách thiết lập ước lượng sai số cho phương pháp Lavrent’ev nhằm giải quyết các bài toán đất không chính trong không gian Hilbert Chúng tôi sẽ xem xét các toán tử phi tuyến gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet, đảm bảo tính chính xác là accretive Cuối cùng, chúng tôi áp dụng kết quả này cho phương trình Volterra trong bối cảnh phi tuyến.
2.1 Phương phỏp hiắu chinh và ưỏc lưang sai so
Cho X là khụng gian Hilbert trờn trưũng vụ hưúng R hoắc C đưoc trang b% mđt tớch vụ hưúng (ã, ã) và chuan tương ỳng ǁxǁ = (ã, ã) 2
Ta xột bài toỏn đắt khụng chinh
F (x) = y 0 (2.1) vói toán tu F : X → X và m®t phan tu cho trưóc y 0 ∈ X Gia su rang ve phai y 0 đưoc cho gan đúng, nghĩa là ta chi biet xap xi y δ ∈ X sao cho ǁy δ − y 0 ǁ ≤ δ (2.2)
Ta hiếu chỉnh phương trình nhiều biến dạng như αx + F(x) = yδ + αx*, trong đó α > 0 là tham số hiếu chỉnh và x* là phần tử trong tập X Trong thực tế, x* thường được coi là giá trị tối ưu cho bài toán này.
Trưúc het, ta giúi thiắu mđt so kớ hiắu và chỳng minh mđt ket qua bő tro.
Ta kớ hiắu hỡnh cau đúng trong X boi
Bo đe 2.1.1 Cho x 0 ∈ X, r > 0, toán tu F kha vi Fréchet trong hình cau B[x 0 , r] và ton tai K ≥ 0 sao cho
Chương 2 Phương phỏp hiắu chsnh Lavrent’ev giai phương trỡnh vỏi toỏn tu gan đơn
Chương 2 Phương phỏp hiắu chsnh Lavrent’ev giai phương trỡnh vỏi toỏn tu gan đơn
Khi đó ton tai v, sao cho phan dư
R(x 0 , v) = F (x 0 + v) − F (x 0) − F J (x 0)v (2.5) cua đao hàm Fréchet F J (x 0) thóa mãn ưác lưang ǁR(x 0 , v)ǁ ≤ K
, (2.6) ǁR(x 0 , v 1) − R(x 0 , v 2)ǁ ≤ K max{ǁv 1 ǁ, ǁv 2 ǁ}ǁv 1 − v 2 ǁ (2.7) vái MQI v, v 1 , v 2 ∈ B[0, r].
Chúng minh Áp dung công thúc Newton-Leibnitz, ta có
0 (F J (x 0 + tv 1 + (1 − t)v 2) − F J (x 0))(v 1 − v 2)dt và ỏp dung (2.4), ta thiet lắp đưoc (2.6),(2.7).
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh một định lý liên quan đến phương pháp (2.3) Định lý 2.1.1 khẳng định rằng bài toán (2.1) có nghiệm x = x0, trong đó toán tử F thỏa mãn các tính chất sau.
(i) F là kha vi Fréchet trong X và F J là liên tnc Lipschitz đ%a phương trong lân cắn cua x 0 tỳc là ton tai K ≥ 0, r > 0 sao cho ǁF J (x 1) − F J (x 2)ǁ ≤ Kǁx 1 − x 2 ǁ vái MQI x 1 , x 2 ∈ B[x 0 , r] (2.8)
(ii)F J (x 0) là accretive, túc là
Hơn nua, ton tai x ∗ sao cho x ∗ − x 0 thúa món đieu kiắn nguon.
(iii) x ∗ − x 0 = F J (x 0)ω vái phan tu ω thóa mãn ǁωǁ < 1
(2K) −1 − ǁωǁ và c ≤ √ δ (2.10) thỡ phương trỡnh hiắu chsnh (2.3) cú nghiắm duy nhat x = x δ trong hỡnh cau B[x 0 , cˆ√ δ], vái cˆ = c
Chúng tôi viết lại phương trình (2.3) dưới dạng toán tử x = Gx (2.12) với Gx = [αI + F J (x 0)] −1 [y δ − y 0 + α(x ∗ − x 0) − R(x 0 , x − x 0)] + x 0 (2.13) và áp dụng nguyên lý ánh xạ cho phương trình (2.12) trong hình cầu B[x 0 , cˆ√ δ] Bởi tính chất (ii), ta có các ước lượng cho tính giải được của cna F J (x 0) (tham khảo [15]) ǁ(αI +.
Hơn nua, ưóc lưong Gx − x 0 tù (2.13) tính boi (2.14),(2.2),(2.6) và (iii) ta thu đưoc bat đang thúc δ K 2 ǁGx − x 0 ǁ ≤ α + αǁωǁ +
(2.15) Đắt x ∈ B[x 0 , cˆ√ δ] Tự đ%nh nghĩa (2.11) và cỏc quan hắ trong (2.10) ta cú cˆ√ δ < c √ δ r (2.16)
Trong trường hợp vỡ vắy, với x ∈ B[x 0 , r], điều kiện (2.15) áp dụng cho Gx − x 0 Chúng ta có thể ước lượng độ sai khác ||x − x 0|| bằng cˆ√ δ Thay thế các hằng số α và cˆ trong biểu thức (2.15) bằng các công thức (2.9) và (2.11), ta nhận được kết quả ||Gx − x 0|| ≤ cˆ√ δ Cần phải chỉ ra điều này.
≤ Đắt x 1 , x 2 ∈ B[x 0 , cˆ√ δ] và ưúc lưong hiắu Gx 1 − Gx 2 Su dung đỏnh giỏ (2.14) trong (2.13) ta có
Tù (2.7) suy ra ǁGx 1 −Gx 2 ǁ ≤ Kcˆ √ δ ǁx 1 −x 2 ǁ Do α = c√ δ và (2.16) nên Kcˆ √ δ < 1. α α
Do đó, ǁGx 1 − Gx 2 ǁ ≤ qǁx 1 − x 2 ǁ vói MQI x 1 , x 2 ∈
B[x 0 , cˆ√ δ] (2.18) vúi q < 1 nào đú Tự (2.17) và (2.18) ta suy ra (2.12) cú duy nhat nghiắm trong hình cau B[x 0 , cˆ√ δ] Suy ra đieu phai chúng minh.
Chú ý 2.1.1 Gia thiet (i) - (iii) không suy ra tính duy nhat toàn cnc, túc là tớnh duy nhat trong toàn bđ khụng gian X cua nghiắm cua phương trỡnh xap xs
(2.3) Do đú, CHQN tham so α theo quy tac tiờn nghiắm (2.9), (2.10), tớnh hđi tn và ưác lưang sai so ǁx δ − x 0 ǁ ≤ cˆ√ δ, núi chung chs đỳng cho nghiắm riêng x δ cua (2.3).
Chú ý 2.1.2 Neu F J là liên tnc Lipschitz đeu trong X khi đó ta có the đắt r = ∞ trong Đ%nh lớ 2.1.1 và hắ so c chs phai thúa món bat đang thỳc đau trong (2.10).
Kỹ thuật chứng minh định lý 2.1.1 không còn đúng nếu thiếu điều kiện nguồn (iii) Trong tài liệu [14], người ta đã chứng minh định lý này trong trường hợp hàm toán tử F là đơn điệu.
M®t ví du cna phương trình Volterra phi tuyen loai m®t là phương trình tn chắp
Phương trình này xuất hiện trong nhiều bài toán kỹ thuật, chẳng hạn như trong quang phổ học, nơi mắt đê có thể quan sát sự phân bố ánh sáng trong các vật thể Phương trình này cũng được áp dụng trong lý thuyết xác suất, trong đó hàm mật độ có thể được khôi phục bởi các biến ngẫu nhiên Gần đây, việc giải quyết bài toán này đã được nghiên cứu bằng nhiều kỹ thuật khác nhau.
Bài toỏn (2.19) là bài toỏn đắt khụng chinh Ta chi ra khang đ%nh này qua vớ du sau:
1] Khi đó tù (2.19) ta tính đưoc n + n 3 vói t ∈ (1 − n , 1]
Như vắy nghiắm x cna (2.19) khụng phu thuđc liờn tuc vào y Do đú, (2.19) là bài toỏn đắt khụng chinh.
Ta xét phương trình (2.19) trong không gian Hilbert thnc X = L 2[0, T ] o đây
T < ∞ Ta trang b% cho L 2[0, T ] tích vô hưóng có TRQNG (x, y) σ = ∫ T e −2σt x(t)y(t)dt và tương úng vói chuan TRQNG so ǁxǁ σ [ ∫ T e x n (t) 1
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về tich phân và các tham số liên quan, đặc biệt là tham số σ không âm Việc xác định các điều kiện cần thiết để giảm nhẹ ảnh hưởng lên đạo hàm Fréchet F J là rất quan trọng Các điều kiện này sẽ được trình bày chi tiết trong phần tiếp theo.
Chú ý rang ǁxǁ σ tương đương vói chuan ǁxǁ 0 e −σT ǁ ã ǁ 0 ≤ ǁ ã ǁ σ ≤ ǁ ã ǁ 0 , σ ≥ 0 (2.20)
Gia su rang thay cho giá tr% y 0 chính xác o ve phai, ta chi biet xap xi y δ ∈
Trong không gian L²[0, T], điều kiện ǁy δ − y 0 ǁ 0 ≤ δ cho thấy rằng sự hội tụ y δ → y 0 không nhất thiết dẫn đến sự hội tụ tương ứng trong bài toán (2.19) Để hiểu rõ hơn về bài toán (2.19), chúng ta cần xem xét nó dưới góc độ của phương trình loại hai.
∫ t o đõy α > 0 và x ∗ thuđc L 2[0, T ] (là xap xi ban đau cna nghiắm cna (2.19)) Phương trỡnh (2.21) cú duy nhat nghiắm trong X vúi MQI α > 0 và
Mục đích của chúng ta là sử dụng định lý 2.1.1 để nghiên cứu sản phẩm từ phương pháp (2.21) Đầu tiên, chúng ta thiết lập điều kiện (i) và (ii) cho toàn tử F và giải thích điều kiện (iii) Toàn tử F là khả vi Fréchet khắp nơi trong L²[0, T] và đạo hàm F J là
Hơn nua, su dung các bat đang thúc Young và H¨older, có the chi ra F J là liên tuc Lipschitz đeu trong L 2[0, T ], túc là, ǁF J (x 1) − F J (x 2)ǁ σ ≤ 2√
Vỡ vắy, gia thiet (i) cna Đ%nh lớ 2.1.1 thoa món vúi r = ∞ và K = 2√
T Đe thiet lắp cỏc đieu kiắn đn cho (ii) ta phai chỳng minh mđt so Bő đe sau.
Bo đe 2.2.1 Cho a ∈ L 1(0, T ) và a là hàm loi, không tăng, không âm Khi đó toán tu Kx(t) ≡ ∫ t a(t − τ )x(τ )dτ là accretive vỏi tớch vụ hưỏng (ã, ã) σ , σ ≥ 0.
Chỳng minh Trưũng hop σ = 0 tớnh accretivity đưoc suy ra tự Hắ qua 1.1.2 Trưòng hop σ > 0 ta can chúng minh
0 0 0 0 vói MQI x ∈ L 2[0, T ] Đieu này tương đương vói
Như vắy, can phai chỳng minh (2.24) là đỳng Chỳ ý rang (2.24) cú tớnh accretiv- ity vúi tớch vụ hưúng (ã, ã) 0 cna toỏn tu K vúi nhõn a(t) thay boi a[σ](t)
= e −σt a(t) Vì các gia thiet cna Bő đe đưoc thoa mãn cho nhân a[σ] và Bő đe đưoc chỳng minh trong trưũng hop tớch vụ hưúng (ã, ã) 0 nờn suy ra (2.24) là đúng.