Các hàm so lưong giác
Hàm so y = sin x và y = cos x
Đo rađian là đơn vị đo góc, trong đó quy tắc tương ứng với mỗi số thập phân được xác định bởi hàm số sin và cos Cụ thể, với một góc x, hàm sin x cho biết tỉ lệ giữa cạnh đối và cạnh huyền trong tam giác vuông, trong khi hàm cos x thể hiện tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Hàm so y = sin x là hàm so le vì sin(−x) = − sin x vói m Q i x thu®c
• Hàm so y = cos x là hàm so chan vì cos(−x) = cos x vói MQI x thu®c
Ta đã biet, vói moi so nguyên k, so k2π thoa mãn sin(x + k2π) = sin x vói MQI x.
Ngưoc lai, có the chúng minh rang so T sao cho sin(x + T ) = sin x vói MQI x phai có dang T = k2π, k là m®t so nguyên.
Rõ ràng, trong các so dang k2π(k ∈ Z), so dương nho nhat là 2π.
Vắy đoi vúi hàm so y = sin x, so T = 2π là so dương nho nhat thoa món sin(x + T ) = sin x vói MQI x.
Hàm so y = cos x cũng có tính chat tương tn.
Ta nói hai hàm so đó là nhung hàm so tuan hoàn vói chu kì 2π. c) Tẳp giỏ tr% và tẳp xỏc đ%nh
- Hàm so y = sin x, y = cos x xỏc đ%nh vúi MQI x ∈ R nghĩa là tắp xác đ%nh cna hàm so y = sin x, y = cos x là D = R.
Khi x thay đổi, giá trị của hàm số y = sin x và y = cos x nằm trong khoảng [-1; 1] Do đó, ta có thể nói rằng giá trị của hai hàm số này đều thuộc đoạn [-1; 1] Một số giá trị đặc biệt của x có thể được xem xét.
Hàm so y = tan x và y = cot x
• Vói moi so thnc x mà cos x ƒ= 0, túc là x
2 + kπ (k ∈ Z), ta xác đ%nh đưoc so thnc tan x = sin x
Quy tac đắt tương ỳng moi so x ∈
D 1 vói so thnc tan x = sin x cos x π
2 đưoc GQI là hàm so tang, kớ hiắu là y = tan x.
• Vói moi so thnc x mà sin x ƒ= 0, túc là x ƒ= kπ (k ∈ Z), ta xác đ%nh đưoc so thnc cot x = cos x
Quy tac đắt tương ỳng moi so x ∈
D 2 vói so thnc cot x = cos x sin x đưoc GQI là hàm so cụtang, kớ hiắu là y = cot x.
• Hàm so y = tan x là hàm so le vì neu x ∈ D 1 thì −x ∈ D 1 và tan x = − tan x.
• Hàm so y = cot x là hàm so le vì neu x ∈ D 2 thì −x ∈ D 2 và cot x − cot x. b) Tính chat tuan hoàn
Có the chúng minh rang T = π là so dương nho nhat thoa mãn tan (x + T ) = tan x vói MQI x ∈ D 1 , và T = π cũng là so dương nho nhat thoa mãn cot (x + T ) = cot x vói MQI x ∈ D 2
Ta nói các hàm so y = tan x và y = cot x là nhung hàm so tuan hoàn vói chu kì π. c) Tẳp xỏc đ%nh
Hàm so Xỏc đ%nh khi Tắp xỏc đ%nh tan x π x ƒ= 2 + kπ
Z} d) Vài giỏ tr% đắc biẳt x
• Khi tan x = 0 thì cot x không xác đ%nh và đao lai:
• Khi cot x = 0 thì tan x không xác đ%nh.
Bài tắp
Bài 1.1.1 Tính sin x, cos x, tan x, cot x vói cung x bang 390 o ,
Để giải bài toán liên quan đến góc x trong khoảng từ -420° đến 810°, ta sử dụng công thức x = x0 + k360° với k ∈ Z và |x0| < 180° Từ đó, ta xác định vị trí góc x và tìm các giá trị lượng giác cần thiết Cụ thể, với x = 390°, ta có thể viết lại dưới dạng 30° cộng với bội số của 360°.
3. b) Ta bieu dien x dưói dang sau: x = −420 o = −60 o − 1.360 o
Bài 1.1.2 Xác đ%nh x (rađian) đe các hàm so sau đưoc xác đ%nh: a) y = 2 tan π
Lài giai a) Hàm so y = 2 tan π
− 2x Σ xác đ%nh khi và chi khi: cos π
− 2x Σ xác đ%nh khi và chi khi x ƒ= −π
3 12 2 b) Hàm so y = cot 2 x + π Σ + 1 xác đ%nh khi và chi khi Hàm so cot x + π Σ đưoc xác đ%nh.
6 Vắy hàm so y = cot 2 x + π Σ + 1 xác đ%nh khi và chi khi x ƒ= −π
Bài 1.1.3 Chúng minh rang các hàm so sau đây là hàm so tuan hoàn, tìm chu kì và xét tính chan le cna moi hàm so: a) y = cos 2 x − sin 2 x; b) y = cos 2 x + sin 2 x.
Lài giai a) Ta có y = cos 2 x − sin 2 x = cos 2x đó là m®t hàm so tuan hoàn vói chu kì π Nó cũng là m®t hàm so chan. b) Ta có y = cos 2 x + sin 2 x = 1 vói m Q i x
Hàm số y là một hàm hàng, do đó với mọi T, ta có cos²(x + T) + sin²(x + T) = cos²x + sin²x, cho thấy x là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ (trong các số T dương không có số T nhỏ nhất) Hàm hàng này là hàm số chẵn.
1.2 Đa thÉc lưang giác Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm so có dang
Hàm số (x) có dạng A(x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + + an cos nx + bn sin nx, trong đó các hệ số an và bn không đồng thời bằng 0 (tức là a2 + b2 > 0), với ai, bj thuộc R và i, j = 0, 1, 2, , n Đây là một hàm đa thức bậc n (n ∈ N*) Khi tất cả các ai = 0 với i = 1, 2, , n, ta có định nghĩa về hàm số có dạng đặc biệt.
S n (x) = b 0 + b 1 sin x + b 2 sin 2x + ã ã ã + b n sin nx (b n ƒ= 0), đưoc GQI là đa thỳc lưong giỏc bắc n theo sin.
Tương tn khi tat ca các b j = 0 vói j = 1, 2, , n ta có Đ%nh nghĩa 1.1.5 Hàm so có dang
C n (x) = a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x + ã ã ã + a n cos nx (a n ƒ= 0), đưoc GQI là đa thỳc lưong giỏc bắc n theo cosin.
Sau đõy ta liắt kờ mđt so tớnh chat đơn gian cna đa thỳc lưong giỏc.
Tính chat 1.1 Tőng cna hai đa thúc lưong giác A n và B m là m®t đa thúc lưong giỏc cú bắc nho hơn hoắc bang max{n, m}. lưong giỏc cú bắc bang n + m
Tính chat 1.2 Tích cna hai đa thúc lưong giác A n và B m là m®t đa thúc
Tính chat 1.3 Neu đa thúc lưong giác n n
A n (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + ã ã ã + a n cos nx + b n sin nx, đong nhat bang 0 vúi MQI x ∈ R thỡ tat ca cỏc hắ so cna nú đeu bang 0, tỳc là a 0 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = ã ã ã = a n = b n = 0.
Ví dn 1.2.1 Chúng minh rang hàm so f (x) = sin 2p x (p là so tn nhiên) là m®t đa thúc lưong giác theo cosin
Lài giai Tù công thúc e ix = cos x + i sin x de dàng suy ra
Do đó sin x ee ix −ix −
2i ; cos x ee ix −ix + 2 suy ra p
Vắy f (x) là mđt đa thỳc lưong giỏc bắc 2p theo cosin
Ví dn 1.2.2 Bieu dien các hàm so sin n x và cos n x dưói dang các đa thúc lưong giác.
Lài giai Gia su z = cos t + i sin t Khi đó z −1 = (cos t + i sin t) −1 = cos t − i sin t.
M®t so loai phương trình lưang giác
• Nhắn xột và phõn tớch đe xem phương trỡnh thuđc loai nào?
• Áp dung các công thúc lưong giác thích hop đe bien đői phương trình đã cho ve dang tích.
• CHQN an so phu thích hop đe bien đői phương trình đã cho ve phương trỡnh đai so thưũng gắp.
• Khi su dung an so phu ta phai tỡm đieu kiắn cna an so phu đú.
• Trong phép bien đői phương trình ta phai su dung phép bien đői tương đương đe khụng làm mat nghiắm hoắc cú nghiắm ngoai lai.
2.1 Phương trình lưang giác cơ ban
2.1.1 Phương trình lưang giác cơ ban a) Phương trình sin x = a
Cỏc trưàng hap đắc biẳt: π f (x) = g(x) + k2π f (x) = π − g(x) + k2π
Z) Cỏc trưàng hap đắc biẳt:
Tong quát: tan f (x) = tan g(x) ⇔ f (x) = g(x) + kπ (k ∈ Z). d) Phương trình cot x = a
Các bưóc giai phương trình lưong giác cơ ban sin X = sin A, cos X
= cos A, tan X = tan A, cot X = cot A như sau:
Bưác 1: Tù phương trình đã cho, tính cos X, sin X, , trong đó X là hàm theo x.
Bưác 2: Su dung phương trình cơ ban: π
Chang han cos X = m vói | m | ™ 1, ta có cos X = cos A.
Bưác 3: Giai phương trình trên đe tính x.
Ví dn 2.1.1 Giai phương trình sau:
Để giải phương trình này, chúng ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình thành phương trình bậc hai Điều kiện cần lưu ý là tan x được xác định khi và chỉ khi cos x khác 0.
Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Suy ra phương trỡnh (2.1) cú nghiắm là:
Ca hai giỏ tr% này đeu thoa món đieu kiắn cos x ƒ= 0 và | cos x| ™ 1.
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:π x = ±
Ví dn 2.1.2 Giai phương trình sau: sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x.
Phương hướng giải phương trình này là sử dụng công thức thích hợp để biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tích A.B =0 Áp dụng công thức hàm bậc hai: cos 2x = 1 + cos 2x.
Nên phương trình đã cho tương đương vói nhung phương trình sau:2
Su dung công thúc bien đői tőng thành tích, đưa phương trình (2.2) ve phương trình tích: cos 7x cos x = cos 11x cos x
⇔ cos x(cos 11x − cos 7x) = 0 cos x = 0 cos 11x = cos 7x.
Giai phương trình cos x = 0 và cos 11x = cos 7x, sau đó ket hop nghiắm, ta đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:
Ví dn 2.1.3 Giai phương trình sau: 2 sin x − √
Lài giai Phương hưóng giai:
Bien đői phương trình ve dang √
• Dùng công thúc cos 2a = 1 − 2 sin 2 a đe bien đői phương trình A B 2 ve phương trỡnh bắc 2 vúi an so sin x.
• Giai phương trỡnh (*) và c HQN nghiắm thoa món đieu kiắn B “ 0.
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:
Vớ dn 2.1.4 Tỡm nghiắm thuđc khoang (0; 2π) cna phương trỡnh sau:
Lài giai Phương hưóng giai:
• Tỡm đieu kiắn xỏc đ%nh cna bài toỏn.
• Áp dung công thúc bien đői tích thành tőng và bien đői tőng thành tích: i) sin a sin b = −1
[cos(a + b) − cos(a − b)]; ii) sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b
• Giai phương trỡnh trờn ket hop vúi đieu kiắn xỏc đ%nh và đieu kiắn bài toỏn đe tỡm nghiắm. Đieu kiắn 1 + 2 sin 2x ƒ= 0.
Vúi đieu kiắn trờn phương trỡnh đó cho tương đương vúi nhung phương trỡnh sau:
5(sin x + 2 sin 2x sin x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)
(1 + 2 sin 2x); 5(sin x + cos x − cos 3x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x); 5(2 sin 2x cos x + cos x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);
Mắt khỏc vỡ nghiắm x thuđc khoang (0; 2π) nờn x π
Ví dn 2.1.5 Cho phương trình:
Tỡm tat ca cỏc giỏi tr% cna m đe phương trỡnh cú và chi cú mđt nghiắm
Lài giai Phương hưóng giai :
• Dựng cụng thỳc cos 2a = 2 cosbắc hai vúi an so cos x 2 a − 1 đe bien đői phương trỡnh
• Giai phương trình nói trên.
• Phương trỡnh cú đỳng mđt nghiắm x ∈ [0, π] khi và chi khi cú đỳng 1 giỏ tr% cna cos x sao cho cos x ∈ [−1, 1]. Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
2(2m − 1) cos 2 x + 5 cos x + m − 3 − 2m + 1 = 0; 2(2m − 1) cos 2 x + 5 cos x − (m + 2) = 0 (2.3) Trưòng hop 1 2m − 1 = 0 ⇔ m = 1
Lúc đó phương trình (2.3) tro thành:
Vắy phương trỡnh này cú mđt nghiắm duy nhat: x ∈ [0, π], do đó x = π
Phương trỡnh (2.3) là phương trỡnh bắc hai cú:
. 3 Vắy phương trỡnh đó cho cú và cú duy nhat mđt nghiắm x ∈
1) Giai các phương trình sau: a)sin x + cos 2x = 1; b)sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
2) Tỡm x thuđc đoan [0;14] nghiắm đỳng phương trỡnh:
3. cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 3) Giai và 0.biắn luắn phương trỡnh: cos 2x −
4) Giai các phương trình sau: a)sin 2 x + 3 cos 2 x + 3 sin x − 4 = 0; b)cot x − tan x + 4 sin
2x 2 ; sin x c) sin 2x cos x + sin x cos x
Phương pháp giai chn yeu cna nhung phương trình loai này như sau:
Bưỏc 1: Kiem tra đieu kiắn đe phương trỡnh cú nghiắm a 2 + b 2 “ c 2
Bưác 2: Chia 2 ve cna phương trình cho √ a 2 + b 2 > 0 roi bien đői ve trái ve dang cos(x + ϕ).
Bưác 4: Giai phương trình cơ ban: cos(x
Ví dn 2.2.1 Giai phương trình sau: c sin 3x − π Σ + cos 3x − π Σ −1.
Lài giai Đieu kiắn: a 2 + b 2 “ c 2 thoa mãn vì 1 + 1 > 1.
Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
2; sin π sin 3x − π Σ + cos π cos 3x − π Σ = − cos π cos π − π Σ ; cos 3x − π Σ = cos 3π
Bang bien đői sơ cap ta tính đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là
Ví dn 2.2.2 Giai phương trình sau: 3
Lài giai Đieu kiắn: sin x ƒ= 1 và sin x ƒ −1
Vúi đieu kiắn trờn phương trỡnh đó cho tương đương vúi cỏc phương trỡnh:
3 sin x = sin 2x + √ cos 2x; 3 cos x + π Σ = cos 2x − π Σ
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắmx = + kπ 12π
Ket hop vúi đieu kiắn ban đau ta đưoc nghiắm x = π
Vớ dn 2.2.3 Tỡm nghiắm trờn khoang [0;π] cna phương trỡnh sau:
Lài giai Phương hưóng giai:2
Su dung công thúc sin 2 a = 1 − cos 2a
• Bien đői linh hoat đe ve phương trình lưong giác cơ ban: cos X = cos A (sin X = sin A).
• Giai phương trỡnh trờn và ket hop vúi đieu kiắn đau bài đe tỡm nghiắm. Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
Bang tớnh toỏn đơn gian ta thu đc nghiắm5 π
Do x ∈ [0; π] nờn ta cú nghiắm cna bài toỏn là : x 1
= 186, x 3 Ví dn 2.2.4 Cho phương trình:
(m − 2) cos 2x + 2m sin x cos x = 3m + 2. a) Giai và biắn luắn phương trỡnh theo tham so m. b) Giai phương trình khi m = 1, khi m = - 1.
Lài giai Phương hưóng giai:
• Dùng công thúc 2 sin a cos a = sin 2a đe bien đői phương trình ve dang: a cos 2x + b sin 2x = c.
Phương trình đã cho tương đương vói:
(m − 2) cos 2x + m sin 2x = 3m + 2 (2.6) a) Đieu kiắn đe phương trỡnh cú nghiắm là:a 2 + b 2 “ c 2
7 hoắc m > 0 ⇒ a 2 + b 2 < c 2 ⇒ phương trỡnh vụ nghiắm. ii)
Phương trình (2.6) tương đương vói: m − 2 m 3m + 2
(m − 2) 2 + m 2 sin 2x ⇔ cos 2x cos ϕ + sin 2x sin ϕ = cos A.
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắm cna (2.6) là: x = ±A + ϕ
2 b) Giai phương trình khi m = 1. m = 1 > 0 ⇒ Phương trỡnh vụ nghiắm.
Khi m = -1 ta có phương trình:
⇔ cos ϕ cos 2x + sin ϕ sin 2x = sin ϕ
(Vì cos ϕ > 0, sin ϕ > 0 nên ta chi can c HQN 0 < ϕ < ).
3 cos 3x − sin 3x = m. a) Chỳng minh rang phương trỡnh trờn luụn cú nghiắm. b) Giai phương trình khi m = 1.
2) Giai phương trình sau: sin 8x − cos 6x = √
3 cos 3x − sin 3x = m. a) Chỳng minh rang phương trỡnh trờn luụn cú nghiắm. b) Giai phương trình khi m = 1
2.3 Phương trình lưang giác đoi xÉng, phan đoi xÉng đoi vái sin x và cos x
2.3.1 Phương pháp giai a) Phương pháp 1
Ta giai phương trình f (sin x ± cos x) = c (1) theo 4 bưóc:
• Bưóc 1: Kiem tra f (sin x ± cos x) = f (± cos x sin x).
Bien đői (1) ve phương trình đai so: f (t) = 0 (3), trong đó (3) là phương trình có cách giai cu the.
• Bưúc 3: Giai phương trỡnh đai so (3) và gia su (3) cú nghiắm t 0 thoa mãn (2).
• Bưúc 4: Dựng cỏc tőng đắc biắt: sin x ± cos x = √
4 4 đe giai m®t trong các phương trình lưong giác cơ ban
4 4 0 ta se cú cỏc HQ nghiắm x 0 cna (1). b) Phương pháp 2
Ta giai phương trình f (sin x ± cos x) = c (1) theo 4 bưóc:
• Bưóc 2: f (sin x; cos x) = 0 ⇔ g(cos y) = 0 (1), trong đó g(t) là đa thỳc bắc n ™ 1.
, tỡm nghiắm t 0 tự (3) thoa món đieu kiắn (2).
• Bưóc 4: Tù (**) ta giai phương trình cơ ban:cos(x
Tìm đưoc các nghiắm x 0 cna phương trình f (sin x; cos x) Nhẳn xột c.
3.1.Trưàng hap đắc biẳt i ) a(sin x +cos x) + bsin x cos x+ c = 0 đưoc phương trìnhđoi xúng vói sin x, cos x GQI là ii) − cos x) +b sin x cosx + c = 0 đưoc phương trìnhphan đoi xúng vói sinx, cos x.a(sin x GQI là
Lài giai Đắt t = sin 2x + cos 2x
Vắy phương trỡnh đó cho tro thành:
Ca 2 đeu thoa món đieu kiắn |t| ™ √
Ví dn 2.3.2 Giai phương trình sau: sin x + sin 2 x + sin 3 x
+ sin 4 x cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x.
Phương trình đã cho tương đương vói phương trình;
(cos x − sin x) + (cos 2 x − sin 2 x) + (cos 3 x − sin 3 x) +
⇔ (cos x − sin x)[1 + (cos x + sin x) + (1 + sin x cos x) + cos x + sin x] cos x − sin x = 0 2(sin x + cos x) + sin x cos x + 2 = 0
⇔ tan x 1 ⇒ x • Giai (2.7) Đắt t sin x + cos x π
t 2 = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x ⇔ sin x cos x 2
Vắy phương trỡnh (2.7) tro thành: t 2
2 nên b% loai Thay t −1 vào phộp đắt ta tớnh đưoc nghiắm cna (2.7) là: x k x k π
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:x = + kπ 1 π
Ví dn 2.3.3 Giai phương trình sau:
Khi đó phương trình đã cho tro thành: Σ1 − 1
√3 b% loai vì không thoa mãn | cos y| ™ 1.
2 Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: π
Ví dn 2.3.4 Cho phương trình: cos 3 x + sin 3 x = m sin x cos x. a) Giai phương trình khi m √2. b) Tỡm m đe phương trỡnh cú nghiắm.
2 vào phương trình ta đưoc: cos 3 x + sin 3 x √2 sin x cos x
2 ⇒ sin x cos x t 2 − 1 2 Thay t vào phương trình (2.8) ta đưoc: t 1 − t 2
2 nên b% loai Thay t vào phộp đắt ta đưoc
2 Vắy nghiắm cna phương trỡnh khi m = 2 là πx
−1 Thay vào phương trình đã cho ta đưoc:2 t 1 − t 2
Do vắy phương trỡnh cú nghiắm thỡ:
1) Giai các phương trình sau: a)3(sin x + cos x) − sin 2x − 3 = 0; b)sin x + sin 2 x + cos 2 x = 0.
2) Giai các phương trình sau: a)2 sin 3 x − sin x = 2 cos 3 x − cos x + cos 2x; b) tan x + cot x + tan 2 x + cot 2 x + tan 3 x + cot 3 x = 6.
2(sin x + cos x) + 2m + 1 = 0. a) Giai phương trình khi m = 1. b) Xỏc đ%nh m đe phương trỡnh cú đỳng 3 nghiắm x ∈ (0; π).
2.4 Phương trình đang cap đoi vái sin x và cos x
Dang tőng quỏt cna phương trỡnh đang cap bắc hai: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d, (a 2 + b 2 > 0) (2.9) a) Phương pháp 1
Dựng cụng thỳc ha bắc đưa phương trỡnh ve bắc nhat đoi vúi sin 2x và cos 2x sin 2 x = 1 − cos 2 x
, sin x cos x = 1 sin 2x. Khi đó:
(2.10) là phương trỡnh bắc I đoi vúi sin 2x và cos 2x. b) Phương pháp 2
• Neu cos x = 0 ⇔ x 2 + kπ, k ∈ Z thì (2.9) tro thành: a sin 2 x = d.
−Neu a ƒ= d thì x 2 π+ kπ, k ∈ Z là khụng là nghiắm cna (2.9).
• Neu cos x ƒ= 0 ⇔ x ƒ 2 + kπ, k ∈ Z thì chia ca hai ve cna (2.9) chocos 2 x ƒ= 0 ta đưoc phương trình: a tan 2 x + b tan x + c = d(1 + tan 2 x)
⇔ (a − d) tan 2 x + b tan x + (c − d) = 0. Đắt tan x = t, ta đưa phương trỡnh ve dang đai so:
• Chỳ ý: Cú the kiem tra x = kπ, k ∈ Z cú là nghiắm cna (2.9) hay khụng. Vói x kπ, chia ca 2 ve cna (2.9) cho sin 2 x, đưa ve phương trình:
• Đoi vúi phương trỡnh đang cap bắc cao cỏch giai tương tn như đoi vúi bắc 2.
Ví dn 2.4.1 Giai phương trình sau: π π π sin 2 x − 10 sin x cos x + 21 cos 2 x = 0.
Lài giai Ta giai phương trình theo 2 cách:
Ta thay cos x = 0 khụng là nghiắm cna phương trỡnh.
Chia hai ve phương trình cho cos 2 x ƒ= 0, ta có phương trình: sin 2 x cos 2 x
⇔ tan x − 10 tan x + 21 = 0 tan x = 3 tan x = 7 i) tan x = 3 = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z). ii) tan x = 7 = tan β ⇔ x = β + k J π (k J ∈ Z).
Cách 2 Áp dung cụng thỳc ha bắc sin 2 x = 1 − cos
2 x phương trình đã cho tro thành:2 và cos 2 x = 1 + cos 2x
10 cos 2x − 5 sin 2x = −11. Đieu kiắn a 2 + b 2 “ c 2 thoa món, chia ca hai ve cho √ a 2 + b 2 = 5√
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: x = ± A
Ví dn 2.4.2 Giai phương trình sau: ϕ
Để giải phương trình này, chúng ta cần sử dụng các công thức về cung liên kết nhằm biến đổi các hàm số lượng giác thành dạng đơn giản nhất.
Vắy phương trỡnh đó cho tương đương vúi phương trỡnh:
Ta có phương trình an so phu t = tan x bang cách chia ca 2 ve cho cos 2 x vói đieu kiắn cos x ƒ= 0:
Giai phương trỡnh lưong giỏc cơ ban ta thu đưoc nghiắm là:3 x = −π
Cách 2: Áp dung công thúc:
Giai phương trỡnh trờn ta thu đưoc nghiắm là: x = −π
Ví dn 2.4.3 Cho phương trình: m sin 2 x − 2 sin 2x + (m + 3) cos 2 x
2) Giai và biắn luắn phương trỡnh theo tham so m.
1) Vói m 1 ta có phươn g trình: sin sin
• D e thay cos x = 0 khụng là nghiắm cna phương trỡnh.
• Chia 2 ve cna phương trình cho cos 2 x(cos x ƒ= 0), ta có: tan 2 x − 4 tan x + 4 = 0 ⇔ (tan x −
2) a) Vói cos x = 0 ⇔ sin x = ±1, thay vào phương trình ta có: m = 0 Vói m = 0, ta có phương trình:
(k, k J ∈ Z). b) Vói cos x ƒ= 0, chia 2 ve cna phương trình cho cos 2 x, ta có phương trình: m tan 2 x − 4 tan x + (m + 3) = 0 (2.11)
• Vúi m < −4 hoắc 1 < m thỡ phương trỡnh vụ nghiắm.
• Vúi m = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiắm : x = + π kπ 2
• Vói m = −4 phương trình đã cho tro thành:
• Vói −4 < m < 1 và m ƒ= 0 thì phương trình (2.11) tương đương vói:
1) Giai các phương trình sau:
2) Giai và biắn luắn phương trỡnh:
2.5 M®t so phương trình lưang giác có cách giai đắc biắt
Khi gắp mđt phương trỡnh lưong giỏc mà ta khụng the giai đưoc bang phương pháp quen thu®c thì thông thưòng ta su dung m®t trong các phương pháp sau:
2.5.1 Tong các hang tE không âm
Bien đői phương trình đã cho ve dang: A 2 + B 2 = 0 ⇔ A = 0B = 0
Ví dn 2.5.1 Giai các phương trình sau: a) 4 sin 2 x − 2√
3 tan x + 3 tan 2 x − 4 sin x + 2 = 0; b) sin 2 x + sin 2 y + sin 2 (x + y) = 9
Lài giai a) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:4
6 Bang cỏch bieu dien cỏc nghiắm trờn đưũng trũn lưong giỏc ta thay cú nghiắm chung là: x = 5π
6 + k2π (k ∈ Z) b) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Giai các phương trình sau:
Lài giai Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:4 sin 2 x + 1 sin 2 3x = sin x sin 2 3x 4
Ket hop lai ta đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: x = kπ x = π
Ví dn 2.5.3 Giai phương trình sau:
Lài giai Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
2.5.2 Phương pháp đánh giá hai ve
Su dung các tính chat cna hàm so lưong giác và bat đang thúc đe đánh giá.
Bài 2.5.4 Giai các phương trình sau: a) cos 3x + √
2 − cos 2 3x 2(1 + sin 2 2x); b) sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x.
Ve trái cna phương trình đưoc đánh giá như sau:
⇒ ve trái cna phương trình nho hơn hoắc bang 2.
Mắt khỏc ta lai thay:
Cho nờn phương trỡnh cú nghiắm khi ca hai ve xay ra dau đang thỳc:
Neu phương trỡnh cú nghiắm thỡ ton tai k, l ∈ Z sao cho hai nghiắm bang nhau: kπ lπ
Khi đú phương trỡnh cú nghiắm là : x = nπ (n ∈ Z). b) sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x Ta luôn có | sin x| ™ 1, | cos x| ™ 1, ∀x nên
Mắt khỏc ta thay 2 − sin 4 x “ 2 − 1 = 1 (Do 0 ™ sin 4 x ™ 1).
Do đó phương trình chi xay ra khi và chi khi: sin 3 x = sin 2 x
Ví dn 2.5.5 Giai phương trình sau: cos 15 x + sin 16 x = 1 (2.14)
Lài giai Ta luôn có | sin x| ™ 1, | cos x| ™ 1, ∀x nên
Do đó (2.14) xay ra khi và chi khi dau bang o (2.16) xay ra khi và chi khi dau bang o (2.15) xay ra Túc là:
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắm cna phương trình đã cho là: πx
Ví dn 2.5.6 Giai các phương trình sau: a) tan x + tan 2x = − sin 3x cos 2x; b) sin 4x cos 16x = 1; c) 2 sin x + π Σ = tan x + cot x.
Lài giai a) Đieu kiắn cos x ƒ= 0 cos 2x ƒ= 0 Phương trình tro thành: sin x sin 2x cos x + cos 2x cos 2x= − sin 3x. sin x cos 2x + sin 2x cos x
⇔ sin 3xcos x cos 2x2x = − sin 3x cos
1 + cos x cos 2 2x = 0 i) sin 3x = 0kπ x 3 (k ∈ Z) là mđt h Q nghiắm, thoa món đieu kiắn ban đau. ii) Giai 1 + cos x cos 2 2x = 0 cos x(1 + cos 4x)
Vắy phương trỡnh đó cho cú thờm nghiắm là: x = π + l2π (l ∈ Z). b) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Ta luôn có | sin 20x| ™ 1, | sin 12x| ™ 1, ∀x nên:
24 Vắy phương trỡnh cú nghiắm: x = 7π
) = tan x + cot x Đieu kiắn sin x ƒ= 0
Ta có tan x + cot x sin x + cos x cos x sin x
sin 2x Suy ra phương trình đã cho tương đương vói phương trình sau:
Ta cú nhắn xột sau: ⇔ sin x
Do đó (2.18) xay ra khi và chi khi sin x + π
Ket hop lai ta đưoc: x = π
Vắy phương trỡnh cú nghiắm là: x Ví dn 2.5.7 Giai phương trình sau:
Lài giai Ve trái cna phương trình đưoc đánh giá như sau:
Mắt khỏc ve phai cna phương trỡnh trờn đưoc đỏnh giỏ:
Do đó (2.19) xay ra khi và chi khi cos 2 x + 1 cos 2 x
Tự đú ta tỡm đưoc nghiắm cna (2.19) là:
M®t so Éng dnng cua lưang giác trong đai so
3.1 Giai phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trình đai so Đỳng trưúc nhung bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh ta cú nhieu hưúng xu lớ như nõng lũy thựa, đắt an phu, dựng đang thỳc, Tuy vắy khụng phai lỳc nào ta cũng ỏp đắt mđt trong nhung phương phỏp nờu trờn đe giai nhung bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh đú Cú nhung hắ phương trỡnh 3 an mà hai phương trỡnh hoắc nhung hắ phương trỡnh cú so mũ rat lún thỡ viắc su dung cỏc phương phỏp thụng thưũng se đưa ta đen ngừ cut Nhưng thắt may man thay mđt so bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh lai cú nhung đieu kiắn bú hep cna bien giúp ta liên tưong đen m®t so công thúc lưong giác, tù đó mà ta tìm đưoc phộp đắt lưong giỏc phự hop.
Mđt so phộp đắt cơ ban:
• Dang 1: Neu bài toỏn chỳa [f (x)] 2 + [g(x)] 2 = 1 thỡ cú the đắt:
• Dang 2: Neu bài toán chúa √ a 2 − x 2 thỡ cú the đắt:
• Dang 3: Neu bài toán chúa √ x 2 − a 2 thỡ cú the đắt: x = | a | , t ∈ [−π
• Dang 4: Neu bài toán chúa √ a 2 + x 2 thỡ cú the đắt:
2 ] hoắc x = |a| cot t, t ∈ [0, π]. Dang 5: Neu bài toán chúa a + x a − x a + x hoắc a − x thỡ cú the đắt: x = a cos 2t.
• Dang 6: Neu bài toán chúa √
(x − a)(b − x) thỡ cú the đắt: x = a + (b − a) sin 2 t.
Ví dn 3.1.1 Giai phương trình: 4x 3 − √
™ 1 Vúi đieu kiắn đú ta đắt x = cos t, t
∈ [0; π] Vắy phương trỡnh đó cho tro thành:
2 − t) (3.1) Giai phương trỡnh (3.1) ket hop đieu kiắn ban đau ⇒ t = π
Vắy phương trỡnh cú 2 nghiắm là x = cos π
Ví dn 3.1.2 Giai phương trình 8 x 3 + √
Lài giai Đieu kiắn 1 − x 2 “ 0 ⇔ −1 ™ x ™ 1 Đắt x = cos t, t ∈ [0, π] ⇒ sin t “ 0, ∀t ∈ [0, π] Khi đó phương trình
(3.2) tro thành: cos 3 t + (1 − cos 2 t) 3 = cos t 2 − 2 cos 2 t
Suy ra cos t là nghiắm cna phương trỡnh x 2 √
• Vói − √ ta có sin t + cos t = 1 − √
Suy ra cos t là nghiắm cna phương trỡnh x 2 −
2 Vắy phương trỡnh (3.2) cú cỏc nghiắm là
Ví dn 3.1.3 Giai phương trình
5 x + 12 x = 13 x Lài giai Chia ca 2 ve cho 13 x , ta đưoc
Khi đó ta có phương trình sin x α + cos x α 1.
De thay x = 2 là nghiắm cna phương trình.
= 2 là nghiắ m duy nhat cn a phư ơng t rình Th ắt vắ y,
⇔ sin x α + co s x α < 1. ắy V phương trình đã cho có nghi ắm duy nhat x = 2
Suy ra phương trình không đưoc nghiắm đúng.
Vớ dn 3.1.4 Giai hắ phương trình
Vúi đieu kiắn đú đắt x = cos α; y = cos β; α, β ∈ [0, π]
Ta cú hắ tương đương vúi hắ sau
cos αsin β+ cos βsin α= 1 (1 −cos α)(1 + cos β) = 2
Suy ra phương trỡnh khụng đưoc nghiắm đỳng.
Vắy nghiắm cna hắ phương trỡnh đó cho là:
Vớ dn 3.1.5 Giai hắ phương trỡnh
Lài giai Nhắn thay hắ khụng cú cỏc nghiắm x = ± √
3 ta cú hắ tương đương: y z x 3 − 3x 3x 2 − y1 3 2 3y
= tan 3t tan 3 3t3t3 tan z 3 tan 3t − 1 tan 3 9t − 3 tan 9t
Tù (3.5) và (3.6) ta đưoc: tan t
(3.7) Vắy hắ cú nghiắm (x; y; z) (tan k π
Ví dn 3.1.6 Vói x, y, z là các so không âm Giai hắ phương trỡnh
x + yz + y + zx + z + xy Lài giai Nhắn thay x, y, z = 0 khụng phai4 là nghiắm hắ.
Viet lai phương trình thú nhat cna (3.8) dưói dang
Phương trình thú hai cna (3.8): x x + yz
Vớ dn 3.1.7 Tỡm m đe bat phương trỡnh sau cú nghiắm
Lài giai Đieu kiắn 0 ™ x ™ 1. Đắt x = cos 2 t, t [0, π
] ta đưoc phương trình 2 sin t + cos t “ m sin t cos t + 1 (3.10)
0(vô lý) Suy r a bat đ ang thú c không có ngh iắm u 1.ii) Neu u ∈ (1, √
Bat phương trình đã cho có nghiắm khi và chi khi bat phương trình (3.10) có ngh iắ m t
√2]. Đieu kiắn can và đn đe xay ra đieu đó là m < sup
Vắy bat phương trình đã cho có nghiắm khi và chi khi m < 1.
Ví dn 3.1.8 Giai bat phương trình sau:
Bat phươn g trình đã cho tro thành
Do đó bat phương trình đã cho tương đương
Vắy bat phương trỡnh đó cho cú nghiắm là:
3) Giai hắ phương trỡnh sau:
4) Giai hắ phương trỡnh sau:
(1 + x)(8 − x) a) Giai phương trình khi m=3. b) Xác đ%nh m đe phương trình có nghiắm.
3.2 ChÉng minh các bài toán đang thÉc và bat đang thÉc
Việc chứng minh đang thúc và bất đang thúc là một công việc rất khó khăn, đòi hỏi người chứng minh phải sáng tạo, khéo léo và biết sử dụng tất cả các kiến thức đã học Để giải thích hợp lý cho các vấn đề này, chúng ta có thể chuyển chúng thành các bài toán lượng giác, giúp việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn Phương pháp lượng giác hóa được đánh giá cao và thường được sử dụng trong các bài chứng minh đang thúc và bất đang thúc khó.
3 và thoa món đieu kiắn x + y + z = xyz
Lài giai Đắt x = tan α, y = tan β, z = tan γ vúi α, β, γ ∈ −π
Do x + y + z = xyz nên tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ Suy ra tan α + tan β = − tan γ (1 − tan α tan β) (3.12)
Thắt vắy, gia su ngưoc lai xy = 1 ta cú x + y + z = z ⇒ x + y = 0 hay x = −y khi đó xy = 1 ⇔ −x 2 = 1 (vô lý).
Vắy xy ƒ= 1 hay tan α tan β ƒ= 1 nờn đang thỳc (3.12) tương đương vúi
Suy ra và do đó hay α + β + γ = kπ, k ∈ Z.
3γ. tan 3α + tan 3β + tan 3γ = tan 3α tan 3β tan 3γ (3.13)
Mắt khỏc tự cụng thúc tan
1 − 3 tan 2 t , thay vào (3.13), ta đưoc đieu phai chúng minh.
Ví dn 3.2.2 Chúng minh rang neu |x| < 1 thì vói mQI so tn nhiên n lón hơn 1 ta có:
Lài giai Vỡ |x| < 1 nờn cú the đắt x = cos t vúi t ∈ (0, π).Bat đang thúc (3.14) đưoc viet thành
Vắy bat đang thỳc (3.16) đưoc chúng minh hay bat đang thúc (3.14) đưoc chúng minh.
2 Lài giai Đắt x = tan α, y tan β, z = tan γ.
Do x, y, z ∈ (0, 1) nên có the cHQN
(3.17) xy + yz + zx = 1 ⇔ tan α tan β
Suy ra tan 2α, tan 2β, tan 2γ là các so dương.
Theo bat đang thúc AM-GM ta có tan 2α + tan 2β + tan 2γ
Tù (3.19) và (3.21) ta suy ra tan 2α tan 2β tan 2γ (3.21) tan 2α + tan 2β + tan 2γ “ 3√ 3 tan 2α + tan 2β + tan 2γ
3 (3.22) Ket hop (3.20) và (3.22) ta có đieu phai chúng minh.
Ví dn 3.2.4 Cho các so thnc x, y không đong thòi bang 0 Chúng minh rang
Vói giá tr% cna x, y như the nào thì dau đang thúc xay ra.
= 0 bat đang thúc cũng đúng.
Gia su x ƒ= 0, y ƒ= 0 thì (3.23) tương đương vói
Vì cos 2 α[4 tan α − 4] = 4 sin α cos α − 4 cos 2 α = 2 sin 2α −
− 2]. nên (3.25) đúng, nghĩa là bat đang thúc (3.23) đúng.
2) Tù các phép bien đői trên đây cho thay: x 2 − (x − 4y) 2 √ π x x 2 + 4y 2 −2 2 − 2 khi sin(2α − 4 ) = −1 vói tan α 2y
Vớ dn 3.2.5 Cho x “ 0, y “ 0, z “ 0 thoa món đieu kiắn sau xy + yz + zx = 1 (3.26)
Lài giai Đắt x = tan α, y = tan β, z = tan γ vúi α, β, γ[0, π
). Khi đó (3.26) có dang 2 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1
⇔ tan α(tan β + tan γ) = 1 − tan β tan γ
∈ tan α = 1 − tan β tan γ tan β tan γ
= tan α ocs α co s β co s γ sin
1) Cho 0 < a, b, c < 1 và a 2 + b 2 + c 2 + 2abc = 1 Chúng minh rang abc + 1 = c√
• Dna vào đieu kiắn bài toỏn lna c HQN kieu đắt thớch hop đe chuyen tự bài toán đai so sang bài toán lưong giác.
• Gai bài toán tìm giá tr% lón nhat và giá tr% nho nhat cna hàm so lưong giác.
Ví dn 3.3.1 Vói x khác y thoa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna bieu thúc
P Lài giai Vói gia thiet x ƒ= y
2 sin t cos t + cos 2 t P 2 sin t cos t +
2 sin 2 t + 1 2 sin 2t + cos 2t + 1 2 sin 2t − 2 cos 2t + 4
Phương trỡnh này cú nghiắm khi và chi khi
Ví dn 3.3.2 Cho các so thnc x,y thay đői thoa mãn x 2 + y 2 = 2 Tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy.
Lài giai Tự gia thiet ta cú the đắt:
2 sin t Khi đó ta có
2(cos t + sin t)(1 − sin t cos t) − 6 sin t cos t. Đắt u = sin t + cos t = √
Ca hai giỏ tr% cna u đeu thoa món.đieu Σkiắn −√
Ví dn 3.3.3 Cho các so thnc dương a, b, c thoa mãn ab + bc + ca = 1
Tìmgiá tr% lón nhat cna bieu thúc:
Bài toán tro thành cho A, B, C là so đo 3 góc cna m®t tam giác.
Tìm giá tr% lón nhat cna M = 1
Rừ ràng vúi phộp bien đői lưong giỏc, viắc tỡm giỏ tr% lún nhat cna bieu thỳc
Dau đang thúc xay ra khi và chi khi
Vắy giỏ tr% lún nhat cna bieu thỳc M bang
Vớ dn 3.3.4 Trong tat ca cỏc nghiắm cna hắ
xt + yz “ 12 (3.27) hóy tỡm nghiắm (x, y, z, t) sao cho (x + z) đat giỏ tr% lún nhat.
Lài giai Theo bài ra ta có
Khi đó (3.27) tro thành cos α sin β + sin α cos β “ 1 sin (α + β)
|x + z| = |4 cos α + 3 cos β| = |4 cos α + 3 sin ϕ| = |5 sin (ϕ + α)| ™ 5, vói sin ϕ = 4
1) Cho các so thnc dương a, b, c thoa mãn abc + a + c = b Tìm giá tr% lón nhat cna bieu thúc N = 2 a 2 + 1
2) Cho x, y là các so thnc thoa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm giá tr% lón nhat cna bieu thúc A = x√
3) Cho hai so thnc x, y dương thoa mãn x + y = 1 Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc Q = xy + 1 xy
4) Cho hai so thnc x, y dương thoa mãn x + y = 1 Tìm giá tr% nho nhat cna x y bieu thúc Q √1 − x + √
3.4 Xác đ%nh công thÉc tong quát cua dãy so
Nhiều dãy số có công thức truy hồi phức tạp có thể chuyển thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gọi là số đen cùng các công thức lượng giác, ta có thể áp dụng phương pháp lượng giác để giải quyết Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dn 3.4.1 Cho dãy so:
Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy(u n ).
Lài giai Tù công thúc truy hoi cna dãy, ta liên tưong đen công thúc nhân đôi cna hàm so côsin
Bang quy nap ta chúng minh
3 i) Vói n = 2 công thúc u n đúng Túc là:
3 (đúng) ii) Ta gia su công thúc u n−1 đúng Túc là:
(đúng) iii) Ta đi chúng minh công thúc u n đúng Túc là ta phai chúng minh u3 n 2 n−1 π cos
Suy ra đieu phai chúng minh.
Tőng quát: Cho dãy so:
u n = 2u 2 − 1∀n “ 2. Đắt u 1 = cos α Cụng thỳc tőng quỏt cna dóy so là: u n = cos 2 n−1 α. n− 1
Ví dn 3.4.2 Cho dãy so:
Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy(u n ).
Bang quy nap ta chúng minh
6 i) Vói n = 2 công thúc u n đúng Túc là:
6 (đúng) ii) Ta gia su công thúc u n−1 đúng Túc là:
(đúng) iii) Ta đi chúng minh công thúc u n đúng Túc là ta phai chúng minh u3 n 3 n−1 π cos
Suy ra đieu phai chúng minh.
Tőng quát: Cho dãy so:
u n = 4u 3 − 3u n−1 ∀n “ 2. Đắt u 1 = cos α Cụng thỳc tőng quỏt cna dóy so là: u n = cos 3 n−1 α.
Ví dn 3.4.3 Cho dãy so:
Lài giai Ta có: tan π
Bang quy nap ta chúng minh đưoc u = tan Σ π
= √ Chú ý: Đe tìm công thúc tőng quát cna dãy: 3. n− 1
u 1 Ta đắt tan α = a, tan β = b khi đú ta chỳng minh đưoc u n = tan [α
Ví dn 3.4.4 Cho 2 dãy so aa + b n , b n như sau: vói a < b cho trưóc,√ a = , b = b.a , a = a 1 + b 1
Bang quy nap ta se de dàng có
α b sin α cos α α b n = b cos cos α α ã ã ã cos cos b sin α
Ví dn 3.4.5.(Đe thi HSG Quoc Gia - 1993) Cho a 0 = 2, b 0
= 1 Lắp hai dóy so a n , b n vói n = 0, 1, 2, theo quy tac sau a n+1 = 2 ab n n a n
Chúng minh rang các dãy a n , b n có cùng m®t giói han khi n → ∞ Tìm giói han đó?
6Tù đó bang quy nap ta chúng minh rang: a π c o s ã ã ã cos π cos 2 π Σ−1 b
Tù (3.27) và (3.28) suy ra ton tai lim n→∞
Vắy hai dóy a n , b n cú cựng mđt giói han khi n → ∞ và bang
Ví dn 3.4.6 Cho dãy {u n } xác đ
Lài giai 1 Ta chúng minh u n
Gia su u k > 0, ∀k “ 3 Ta có u k+1 Vắy: u n > 0, ∀n ∈ Z +
™ e và là hàm đong bien trên R Suy ra đieu phai chúng m i n h
Mắt khác ta lai có:
Trong khóa luận này, em trình bày một mô hình so sánh kiến thức cơ bản về lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, phân loại và giải các phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng Nội dung chính của khóa luận bao gồm việc phân tích và ứng dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác, giúp nâng cao hiểu biết và kỹ năng trong lĩnh vực toán học.
1Kien thúc cơ ban cna các hàm so lưong giác, đa thúc lưong giác và các ví du.
2Phõn loai đưoc mđt so phương trỡnh lưong giỏc thưũng gắp.
Bài viết này trình bày về các bài toán vui với mức độ khó khác nhau, đặc biệt là phần cuối cùng, nơi tác giả đưa ra một so sánh giữa toán cao cấp và giải tích bằng phương pháp lượng giác Đồng thời, tác giả cũng minh họa bằng một số bài tập tiêu biểu từ các đề thi Olympic toán khu vực VNC và quốc tế, nhằm làm nổi bật sự đa dạng và tính ứng dụng của các phương pháp toán học trong giải quyết vấn đề.
Tuy nhiên, do thời gian hạn chế, văn bản không nhiều và vẫn còn một số sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và ban ĐQ để cải thiện nội dung.
Phương trình lưong giác cơ ban
Các ví du
Các bưóc giai phương trình lưong giác cơ ban sin X = sin A, cos X
= cos A, tan X = tan A, cot X = cot A như sau:
Bưác 1: Tù phương trình đã cho, tính cos X, sin X, , trong đó X là hàm theo x.
Bưác 2: Su dung phương trình cơ ban: π
Chang han cos X = m vói | m | ™ 1, ta có cos X = cos A.
Bưác 3: Giai phương trình trên đe tính x.
Ví dn 2.1.1 Giai phương trình sau:
Để giải phương trình này, chúng ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi nó thành phương trình bậc hai Điều kiện để tan x được xác định là khi cos x khác 0.
Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Suy ra phương trỡnh (2.1) cú nghiắm là:
Ca hai giỏ tr% này đeu thoa món đieu kiắn cos x ƒ= 0 và | cos x| ™ 1.
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:π x = ±
Ví dn 2.1.2 Giai phương trình sau: sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x.
Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức thích hợp để biến đổi phương trình đã cho thành dạng tích A.B =0 Áp dụng công thức hàm bậc hai: cos 2x = 1 + cos 2x.
Nên phương trình đã cho tương đương vói nhung phương trình sau:2
Su dung công thúc bien đői tőng thành tích, đưa phương trình (2.2) ve phương trình tích: cos 7x cos x = cos 11x cos x
⇔ cos x(cos 11x − cos 7x) = 0 cos x = 0 cos 11x = cos 7x.
Giai phương trình cos x = 0 và cos 11x = cos 7x, sau đó ket hop nghiắm, ta đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:
Ví dn 2.1.3 Giai phương trình sau: 2 sin x − √
Lài giai Phương hưóng giai:
Bien đői phương trình ve dang √
• Dùng công thúc cos 2a = 1 − 2 sin 2 a đe bien đői phương trình A B 2 ve phương trỡnh bắc 2 vúi an so sin x.
• Giai phương trỡnh (*) và c HQN nghiắm thoa món đieu kiắn B “ 0.
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:
Vớ dn 2.1.4 Tỡm nghiắm thuđc khoang (0; 2π) cna phương trỡnh sau:
Lài giai Phương hưóng giai:
• Tỡm đieu kiắn xỏc đ%nh cna bài toỏn.
• Áp dung công thúc bien đői tích thành tőng và bien đői tőng thành tích: i) sin a sin b = −1
[cos(a + b) − cos(a − b)]; ii) sin a + sin b = 2 sin a + b cos a − b
• Giai phương trỡnh trờn ket hop vúi đieu kiắn xỏc đ%nh và đieu kiắn bài toỏn đe tỡm nghiắm. Đieu kiắn 1 + 2 sin 2x ƒ= 0.
Vúi đieu kiắn trờn phương trỡnh đó cho tương đương vúi nhung phương trỡnh sau:
5(sin x + 2 sin 2x sin x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)
(1 + 2 sin 2x); 5(sin x + cos x − cos 3x + cos 3x + sin 3x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x); 5(2 sin 2x cos x + cos x) = (cos 2x + 3)(1 + 2 sin 2x);
Mắt khỏc vỡ nghiắm x thuđc khoang (0; 2π) nờn x π
Ví dn 2.1.5 Cho phương trình:
Tỡm tat ca cỏc giỏi tr% cna m đe phương trỡnh cú và chi cú mđt nghiắm
Lài giai Phương hưóng giai :
• Dựng cụng thỳc cos 2a = 2 cosbắc hai vúi an so cos x 2 a − 1 đe bien đői phương trỡnh
• Giai phương trình nói trên.
• Phương trỡnh cú đỳng mđt nghiắm x ∈ [0, π] khi và chi khi cú đỳng 1 giỏ tr% cna cos x sao cho cos x ∈ [−1, 1]. Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
2(2m − 1) cos 2 x + 5 cos x + m − 3 − 2m + 1 = 0; 2(2m − 1) cos 2 x + 5 cos x − (m + 2) = 0 (2.3) Trưòng hop 1 2m − 1 = 0 ⇔ m = 1
Lúc đó phương trình (2.3) tro thành:
Vắy phương trỡnh này cú mđt nghiắm duy nhat: x ∈ [0, π], do đó x = π
Phương trỡnh (2.3) là phương trỡnh bắc hai cú:
. 3 Vắy phương trỡnh đó cho cú và cú duy nhat mđt nghiắm x ∈
Bài tắp ỏp dung
1) Giai các phương trình sau: a)sin x + cos 2x = 1; b)sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
2) Tỡm x thuđc đoan [0;14] nghiắm đỳng phương trỡnh:
3. cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 3) Giai và 0.biắn luắn phương trỡnh: cos 2x −
4) Giai các phương trình sau: a)sin 2 x + 3 cos 2 x + 3 sin x − 4 = 0; b)cot x − tan x + 4 sin
2x 2 ; sin x c) sin 2x cos x + sin x cos x
Phương trình a cos x ± b sin x = c
Phương pháp giai
Phương pháp giai chn yeu cna nhung phương trình loai này như sau:
Bưỏc 1: Kiem tra đieu kiắn đe phương trỡnh cú nghiắm a 2 + b 2 “ c 2
Bưác 2: Chia 2 ve cna phương trình cho √ a 2 + b 2 > 0 roi bien đői ve trái ve dang cos(x + ϕ).
Bưác 4: Giai phương trình cơ ban: cos(x
Các ví du
Ví dn 2.2.1 Giai phương trình sau: c sin 3x − π Σ + cos 3x − π Σ −1.
Lài giai Đieu kiắn: a 2 + b 2 “ c 2 thoa mãn vì 1 + 1 > 1.
Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
2; sin π sin 3x − π Σ + cos π cos 3x − π Σ = − cos π cos π − π Σ ; cos 3x − π Σ = cos 3π
Bang bien đői sơ cap ta tính đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là
Ví dn 2.2.2 Giai phương trình sau: 3
Lài giai Đieu kiắn: sin x ƒ= 1 và sin x ƒ −1
Vúi đieu kiắn trờn phương trỡnh đó cho tương đương vúi cỏc phương trỡnh:
3 sin x = sin 2x + √ cos 2x; 3 cos x + π Σ = cos 2x − π Σ
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắmx = + kπ 12π
Ket hop vúi đieu kiắn ban đau ta đưoc nghiắm x = π
Vớ dn 2.2.3 Tỡm nghiắm trờn khoang [0;π] cna phương trỡnh sau:
Lài giai Phương hưóng giai:2
Su dung công thúc sin 2 a = 1 − cos 2a
• Bien đői linh hoat đe ve phương trình lưong giác cơ ban: cos X = cos A (sin X = sin A).
• Giai phương trỡnh trờn và ket hop vúi đieu kiắn đau bài đe tỡm nghiắm. Phương trình đã cho tương đương vói các phương trình:
Bang tớnh toỏn đơn gian ta thu đc nghiắm5 π
Do x ∈ [0; π] nờn ta cú nghiắm cna bài toỏn là : x 1
= 186, x 3 Ví dn 2.2.4 Cho phương trình:
(m − 2) cos 2x + 2m sin x cos x = 3m + 2. a) Giai và biắn luắn phương trỡnh theo tham so m. b) Giai phương trình khi m = 1, khi m = - 1.
Lài giai Phương hưóng giai:
• Dùng công thúc 2 sin a cos a = sin 2a đe bien đői phương trình ve dang: a cos 2x + b sin 2x = c.
Phương trình đã cho tương đương vói:
(m − 2) cos 2x + m sin 2x = 3m + 2 (2.6) a) Đieu kiắn đe phương trỡnh cú nghiắm là:a 2 + b 2 “ c 2
7 hoắc m > 0 ⇒ a 2 + b 2 < c 2 ⇒ phương trỡnh vụ nghiắm. ii)
Phương trình (2.6) tương đương vói: m − 2 m 3m + 2
(m − 2) 2 + m 2 sin 2x ⇔ cos 2x cos ϕ + sin 2x sin ϕ = cos A.
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắm cna (2.6) là: x = ±A + ϕ
2 b) Giai phương trình khi m = 1. m = 1 > 0 ⇒ Phương trỡnh vụ nghiắm.
Khi m = -1 ta có phương trình:
⇔ cos ϕ cos 2x + sin ϕ sin 2x = sin ϕ
(Vì cos ϕ > 0, sin ϕ > 0 nên ta chi can c HQN 0 < ϕ < ).
Bài tắp ỏp dung
3 cos 3x − sin 3x = m. a) Chỳng minh rang phương trỡnh trờn luụn cú nghiắm. b) Giai phương trình khi m = 1.
Phương trình lưong giác đoi xúng, phan đoi xúng đoi vói sin x
Phương pháp giai
Ta giai phương trình f (sin x ± cos x) = c (1) theo 4 bưóc:
• Bưóc 1: Kiem tra f (sin x ± cos x) = f (± cos x sin x).
Bien đői (1) ve phương trình đai so: f (t) = 0 (3), trong đó (3) là phương trình có cách giai cu the.
• Bưúc 3: Giai phương trỡnh đai so (3) và gia su (3) cú nghiắm t 0 thoa mãn (2).
• Bưúc 4: Dựng cỏc tőng đắc biắt: sin x ± cos x = √
4 4 đe giai m®t trong các phương trình lưong giác cơ ban
4 4 0 ta se cú cỏc HQ nghiắm x 0 cna (1). b) Phương pháp 2
Ta giai phương trình f (sin x ± cos x) = c (1) theo 4 bưóc:
• Bưóc 2: f (sin x; cos x) = 0 ⇔ g(cos y) = 0 (1), trong đó g(t) là đa thỳc bắc n ™ 1.
, tỡm nghiắm t 0 tự (3) thoa món đieu kiắn (2).
• Bưóc 4: Tù (**) ta giai phương trình cơ ban:cos(x
Tìm đưoc các nghiắm x 0 cna phương trình f (sin x; cos x) Nhẳn xột c.
3.1.Trưàng hap đắc biẳt i ) a(sin x +cos x) + bsin x cos x+ c = 0 đưoc phương trìnhđoi xúng vói sin x, cos x GQI là ii) − cos x) +b sin x cosx + c = 0 đưoc phương trìnhphan đoi xúng vói sinx, cos x.a(sin x GQI là
Các ví du
Lài giai Đắt t = sin 2x + cos 2x
Vắy phương trỡnh đó cho tro thành:
Ca 2 đeu thoa món đieu kiắn |t| ™ √
Ví dn 2.3.2 Giai phương trình sau: sin x + sin 2 x + sin 3 x
+ sin 4 x cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x.
Phương trình đã cho tương đương vói phương trình;
(cos x − sin x) + (cos 2 x − sin 2 x) + (cos 3 x − sin 3 x) +
⇔ (cos x − sin x)[1 + (cos x + sin x) + (1 + sin x cos x) + cos x + sin x] cos x − sin x = 0 2(sin x + cos x) + sin x cos x + 2 = 0
⇔ tan x 1 ⇒ x • Giai (2.7) Đắt t sin x + cos x π
t 2 = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x ⇔ sin x cos x 2
Vắy phương trỡnh (2.7) tro thành: t 2
2 nên b% loai Thay t −1 vào phộp đắt ta tớnh đưoc nghiắm cna (2.7) là: x k x k π
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là:x = + kπ 1 π
Ví dn 2.3.3 Giai phương trình sau:
Khi đó phương trình đã cho tro thành: Σ1 − 1
√3 b% loai vì không thoa mãn | cos y| ™ 1.
2 Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: π
Ví dn 2.3.4 Cho phương trình: cos 3 x + sin 3 x = m sin x cos x. a) Giai phương trình khi m √2. b) Tỡm m đe phương trỡnh cú nghiắm.
2 vào phương trình ta đưoc: cos 3 x + sin 3 x √2 sin x cos x
2 ⇒ sin x cos x t 2 − 1 2 Thay t vào phương trình (2.8) ta đưoc: t 1 − t 2
2 nên b% loai Thay t vào phộp đắt ta đưoc
2 Vắy nghiắm cna phương trỡnh khi m = 2 là πx
−1 Thay vào phương trình đã cho ta đưoc:2 t 1 − t 2
Do vắy phương trỡnh cú nghiắm thỡ:
Phương trình đang cap đoi vói sin x và cos x
Phương pháp chung
Dang tőng quỏt cna phương trỡnh đang cap bắc hai: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d, (a 2 + b 2 > 0) (2.9) a) Phương pháp 1
Dựng cụng thỳc ha bắc đưa phương trỡnh ve bắc nhat đoi vúi sin 2x và cos 2x sin 2 x = 1 − cos 2 x
, sin x cos x = 1 sin 2x. Khi đó:
(2.10) là phương trỡnh bắc I đoi vúi sin 2x và cos 2x. b) Phương pháp 2
• Neu cos x = 0 ⇔ x 2 + kπ, k ∈ Z thì (2.9) tro thành: a sin 2 x = d.
−Neu a ƒ= d thì x 2 π+ kπ, k ∈ Z là khụng là nghiắm cna (2.9).
• Neu cos x ƒ= 0 ⇔ x ƒ 2 + kπ, k ∈ Z thì chia ca hai ve cna (2.9) chocos 2 x ƒ= 0 ta đưoc phương trình: a tan 2 x + b tan x + c = d(1 + tan 2 x)
⇔ (a − d) tan 2 x + b tan x + (c − d) = 0. Đắt tan x = t, ta đưa phương trỡnh ve dang đai so:
• Chỳ ý: Cú the kiem tra x = kπ, k ∈ Z cú là nghiắm cna (2.9) hay khụng. Vói x kπ, chia ca 2 ve cna (2.9) cho sin 2 x, đưa ve phương trình:
• Đoi vúi phương trỡnh đang cap bắc cao cỏch giai tương tn như đoi vúi bắc 2.
Các ví du
Ví dn 2.4.1 Giai phương trình sau: π π π sin 2 x − 10 sin x cos x + 21 cos 2 x = 0.
Lài giai Ta giai phương trình theo 2 cách:
Ta thay cos x = 0 khụng là nghiắm cna phương trỡnh.
Chia hai ve phương trình cho cos 2 x ƒ= 0, ta có phương trình: sin 2 x cos 2 x
⇔ tan x − 10 tan x + 21 = 0 tan x = 3 tan x = 7 i) tan x = 3 = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z). ii) tan x = 7 = tan β ⇔ x = β + k J π (k J ∈ Z).
Cách 2 Áp dung cụng thỳc ha bắc sin 2 x = 1 − cos
2 x phương trình đã cho tro thành:2 và cos 2 x = 1 + cos 2x
10 cos 2x − 5 sin 2x = −11. Đieu kiắn a 2 + b 2 “ c 2 thoa món, chia ca hai ve cho √ a 2 + b 2 = 5√
Vắy nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: x = ± A
Ví dn 2.4.2 Giai phương trình sau: ϕ
Để giải phương trình này, phương hướng chính là sử dụng các công thức về cung liên kết nhằm biến đổi các hàm số lượng giác trong phương trình thành dạng đơn giản nhất.
Vắy phương trỡnh đó cho tương đương vúi phương trỡnh:
Ta có phương trình an so phu t = tan x bang cách chia ca 2 ve cho cos 2 x vói đieu kiắn cos x ƒ= 0:
Giai phương trỡnh lưong giỏc cơ ban ta thu đưoc nghiắm là:3 x = −π
Cách 2: Áp dung công thúc:
Giai phương trỡnh trờn ta thu đưoc nghiắm là: x = −π
Ví dn 2.4.3 Cho phương trình: m sin 2 x − 2 sin 2x + (m + 3) cos 2 x
2) Giai và biắn luắn phương trỡnh theo tham so m.
1) Vói m 1 ta có phươn g trình: sin sin
• D e thay cos x = 0 khụng là nghiắm cna phương trỡnh.
• Chia 2 ve cna phương trình cho cos 2 x(cos x ƒ= 0), ta có: tan 2 x − 4 tan x + 4 = 0 ⇔ (tan x −
2) a) Vói cos x = 0 ⇔ sin x = ±1, thay vào phương trình ta có: m = 0 Vói m = 0, ta có phương trình:
(k, k J ∈ Z). b) Vói cos x ƒ= 0, chia 2 ve cna phương trình cho cos 2 x, ta có phương trình: m tan 2 x − 4 tan x + (m + 3) = 0 (2.11)
• Vúi m < −4 hoắc 1 < m thỡ phương trỡnh vụ nghiắm.
• Vúi m = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiắm : x = + π kπ 2
• Vói m = −4 phương trình đã cho tro thành:
• Vói −4 < m < 1 và m ƒ= 0 thì phương trình (2.11) tương đương vói:
Bài tắp ỏp dung
1) Giai các phương trình sau:
2) Giai và biắn luắn phương trỡnh:
2.5 M®t so phương trình lưang giác có cách giai đắc biắt
Khi gắp mđt phương trỡnh lưong giỏc mà ta khụng the giai đưoc bang phương pháp quen thu®c thì thông thưòng ta su dung m®t trong các phương pháp sau:
2.5.1 Tong các hang tE không âm
Bien đői phương trình đã cho ve dang: A 2 + B 2 = 0 ⇔ A = 0B = 0
Ví dn 2.5.1 Giai các phương trình sau: a) 4 sin 2 x − 2√
3 tan x + 3 tan 2 x − 4 sin x + 2 = 0; b) sin 2 x + sin 2 y + sin 2 (x + y) = 9
Lài giai a) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:4
6 Bang cỏch bieu dien cỏc nghiắm trờn đưũng trũn lưong giỏc ta thay cú nghiắm chung là: x = 5π
6 + k2π (k ∈ Z) b) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Giai các phương trình sau:
Lài giai Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:4 sin 2 x + 1 sin 2 3x = sin x sin 2 3x 4
Ket hop lai ta đưoc nghiắm cna phương trỡnh đó cho là: x = kπ x = π
Ví dn 2.5.3 Giai phương trình sau:
Lài giai Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
2.5.2 Phương pháp đánh giá hai ve
Su dung các tính chat cna hàm so lưong giác và bat đang thúc đe đánh giá.
Bài 2.5.4 Giai các phương trình sau: a) cos 3x + √
2 − cos 2 3x 2(1 + sin 2 2x); b) sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x.
Ve trái cna phương trình đưoc đánh giá như sau:
⇒ ve trái cna phương trình nho hơn hoắc bang 2.
Mắt khỏc ta lai thay:
Cho nờn phương trỡnh cú nghiắm khi ca hai ve xay ra dau đang thỳc:
Neu phương trỡnh cú nghiắm thỡ ton tai k, l ∈ Z sao cho hai nghiắm bang nhau: kπ lπ
Khi đú phương trỡnh cú nghiắm là : x = nπ (n ∈ Z). b) sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x Ta luôn có | sin x| ™ 1, | cos x| ™ 1, ∀x nên
Mắt khỏc ta thay 2 − sin 4 x “ 2 − 1 = 1 (Do 0 ™ sin 4 x ™ 1).
Do đó phương trình chi xay ra khi và chi khi: sin 3 x = sin 2 x
Ví dn 2.5.5 Giai phương trình sau: cos 15 x + sin 16 x = 1 (2.14)
Lài giai Ta luôn có | sin x| ™ 1, | cos x| ™ 1, ∀x nên
Do đó (2.14) xay ra khi và chi khi dau bang o (2.16) xay ra khi và chi khi dau bang o (2.15) xay ra Túc là:
Tự đú ta tớnh đưoc nghiắm cna phương trình đã cho là: πx
Ví dn 2.5.6 Giai các phương trình sau: a) tan x + tan 2x = − sin 3x cos 2x; b) sin 4x cos 16x = 1; c) 2 sin x + π Σ = tan x + cot x.
Lài giai a) Đieu kiắn cos x ƒ= 0 cos 2x ƒ= 0 Phương trình tro thành: sin x sin 2x cos x + cos 2x cos 2x= − sin 3x. sin x cos 2x + sin 2x cos x
⇔ sin 3xcos x cos 2x2x = − sin 3x cos
1 + cos x cos 2 2x = 0 i) sin 3x = 0kπ x 3 (k ∈ Z) là mđt h Q nghiắm, thoa món đieu kiắn ban đau. ii) Giai 1 + cos x cos 2 2x = 0 cos x(1 + cos 4x)
Vắy phương trỡnh đó cho cú thờm nghiắm là: x = π + l2π (l ∈ Z). b) Phương trình đã cho tương đương vói phương trình:
Ta luôn có | sin 20x| ™ 1, | sin 12x| ™ 1, ∀x nên:
24 Vắy phương trỡnh cú nghiắm: x = 7π
) = tan x + cot x Đieu kiắn sin x ƒ= 0
Ta có tan x + cot x sin x + cos x cos x sin x
sin 2x Suy ra phương trình đã cho tương đương vói phương trình sau:
Ta cú nhắn xột sau: ⇔ sin x
Do đó (2.18) xay ra khi và chi khi sin x + π
Ket hop lai ta đưoc: x = π
Vắy phương trỡnh cú nghiắm là: x Ví dn 2.5.7 Giai phương trình sau:
Lài giai Ve trái cna phương trình đưoc đánh giá như sau:
Mắt khỏc ve phai cna phương trỡnh trờn đưoc đỏnh giỏ:
Do đó (2.19) xay ra khi và chi khi cos 2 x + 1 cos 2 x
Tự đú ta tỡm đưoc nghiắm cna (2.19) là:
M®t so Éng dnng cua lưang giác trong đai so
3.1 Giai phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trình đai so Đỳng trưúc nhung bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh ta cú nhieu hưúng xu lớ như nõng lũy thựa, đắt an phu, dựng đang thỳc, Tuy vắy khụng phai lỳc nào ta cũng ỏp đắt mđt trong nhung phương phỏp nờu trờn đe giai nhung bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh đú Cú nhung hắ phương trỡnh 3 an mà hai phương trỡnh hoắc nhung hắ phương trỡnh cú so mũ rat lún thỡ viắc su dung cỏc phương phỏp thụng thưũng se đưa ta đen ngừ cut Nhưng thắt may man thay mđt so bài phương trỡnh, bat phương trỡnh và hắ phương trỡnh lai cú nhung đieu kiắn bú hep cna bien giúp ta liên tưong đen m®t so công thúc lưong giác, tù đó mà ta tìm đưoc phộp đắt lưong giỏc phự hop.
Mđt so phộp đắt cơ ban:
• Dang 1: Neu bài toỏn chỳa [f (x)] 2 + [g(x)] 2 = 1 thỡ cú the đắt:
• Dang 2: Neu bài toán chúa √ a 2 − x 2 thỡ cú the đắt:
• Dang 3: Neu bài toán chúa √ x 2 − a 2 thỡ cú the đắt: x = | a | , t ∈ [−π
• Dang 4: Neu bài toán chúa √ a 2 + x 2 thỡ cú the đắt:
2 ] hoắc x = |a| cot t, t ∈ [0, π]. Dang 5: Neu bài toán chúa a + x a − x a + x hoắc a − x thỡ cú the đắt: x = a cos 2t.
• Dang 6: Neu bài toán chúa √
(x − a)(b − x) thỡ cú the đắt: x = a + (b − a) sin 2 t.
Ví dn 3.1.1 Giai phương trình: 4x 3 − √
™ 1 Vúi đieu kiắn đú ta đắt x = cos t, t
∈ [0; π] Vắy phương trỡnh đó cho tro thành:
2 − t) (3.1) Giai phương trỡnh (3.1) ket hop đieu kiắn ban đau ⇒ t = π
Vắy phương trỡnh cú 2 nghiắm là x = cos π
Ví dn 3.1.2 Giai phương trình 8 x 3 + √
Lài giai Đieu kiắn 1 − x 2 “ 0 ⇔ −1 ™ x ™ 1 Đắt x = cos t, t ∈ [0, π] ⇒ sin t “ 0, ∀t ∈ [0, π] Khi đó phương trình
(3.2) tro thành: cos 3 t + (1 − cos 2 t) 3 = cos t 2 − 2 cos 2 t
Suy ra cos t là nghiắm cna phương trỡnh x 2 √
• Vói − √ ta có sin t + cos t = 1 − √
Suy ra cos t là nghiắm cna phương trỡnh x 2 −
2 Vắy phương trỡnh (3.2) cú cỏc nghiắm là
Ví dn 3.1.3 Giai phương trình
5 x + 12 x = 13 x Lài giai Chia ca 2 ve cho 13 x , ta đưoc
Khi đó ta có phương trình sin x α + cos x α 1.
De thay x = 2 là nghiắm cna phương trình.
= 2 là nghiắ m duy nhat cn a phư ơng t rình Th ắt vắ y,
⇔ sin x α + co s x α < 1. ắy V phương trình đã cho có nghi ắm duy nhat x = 2
Suy ra phương trình không đưoc nghiắm đúng.
Vớ dn 3.1.4 Giai hắ phương trình
Vúi đieu kiắn đú đắt x = cos α; y = cos β; α, β ∈ [0, π]
Ta cú hắ tương đương vúi hắ sau
cos αsin β+ cos βsin α= 1 (1 −cos α)(1 + cos β) = 2
Suy ra phương trỡnh khụng đưoc nghiắm đỳng.
Vắy nghiắm cna hắ phương trỡnh đó cho là:
Vớ dn 3.1.5 Giai hắ phương trỡnh
Lài giai Nhắn thay hắ khụng cú cỏc nghiắm x = ± √
3 ta cú hắ tương đương: y z x 3 − 3x 3x 2 − y1 3 2 3y
= tan 3t tan 3 3t3t3 tan z 3 tan 3t − 1 tan 3 9t − 3 tan 9t
Tù (3.5) và (3.6) ta đưoc: tan t
(3.7) Vắy hắ cú nghiắm (x; y; z) (tan k π
Ví dn 3.1.6 Vói x, y, z là các so không âm Giai hắ phương trỡnh
x + yz + y + zx + z + xy Lài giai Nhắn thay x, y, z = 0 khụng phai4 là nghiắm hắ.
Viet lai phương trình thú nhat cna (3.8) dưói dang
Phương trình thú hai cna (3.8): x x + yz
Vớ dn 3.1.7 Tỡm m đe bat phương trỡnh sau cú nghiắm
Lài giai Đieu kiắn 0 ™ x ™ 1. Đắt x = cos 2 t, t [0, π
] ta đưoc phương trình 2 sin t + cos t “ m sin t cos t + 1 (3.10)
0(vô lý) Suy r a bat đ ang thú c không có ngh iắm u 1.ii) Neu u ∈ (1, √
Bat phương trình đã cho có nghiắm khi và chi khi bat phương trình (3.10) có ngh iắ m t
√2]. Đieu kiắn can và đn đe xay ra đieu đó là m < sup
Vắy bat phương trình đã cho có nghiắm khi và chi khi m < 1.
Ví dn 3.1.8 Giai bat phương trình sau:
Bat phươn g trình đã cho tro thành
Do đó bat phương trình đã cho tương đương
Vắy bat phương trỡnh đó cho cú nghiắm là:
3) Giai hắ phương trỡnh sau:
4) Giai hắ phương trỡnh sau:
(1 + x)(8 − x) a) Giai phương trình khi m=3. b) Xác đ%nh m đe phương trình có nghiắm.
3.2 ChÉng minh các bài toán đang thÉc và bat đang thÉc
Việc chứng minh đang thúc và bất đang thúc là một công việc rất khó khăn, yêu cầu người thực hiện phải sáng tạo và khéo léo Cần sử dụng tất cả kiến thức đã học và linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp giải thích hợp để chứng minh các khái niệm này Trong một số trường hợp, chúng ta có thể chuyển chúng thành các bài toán lượng giác để việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn Phương pháp lượng giác hóa được đánh giá cao và thường được sử dụng trong các bài chứng minh liên quan đến đang thúc và bất đang thúc.
3 và thoa món đieu kiắn x + y + z = xyz
Lài giai Đắt x = tan α, y = tan β, z = tan γ vúi α, β, γ ∈ −π
Do x + y + z = xyz nên tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ Suy ra tan α + tan β = − tan γ (1 − tan α tan β) (3.12)
Thắt vắy, gia su ngưoc lai xy = 1 ta cú x + y + z = z ⇒ x + y = 0 hay x = −y khi đó xy = 1 ⇔ −x 2 = 1 (vô lý).
Vắy xy ƒ= 1 hay tan α tan β ƒ= 1 nờn đang thỳc (3.12) tương đương vúi
Suy ra và do đó hay α + β + γ = kπ, k ∈ Z.
3γ. tan 3α + tan 3β + tan 3γ = tan 3α tan 3β tan 3γ (3.13)
Mắt khỏc tự cụng thúc tan
1 − 3 tan 2 t , thay vào (3.13), ta đưoc đieu phai chúng minh.
Ví dn 3.2.2 Chúng minh rang neu |x| < 1 thì vói mQI so tn nhiên n lón hơn 1 ta có:
Lài giai Vỡ |x| < 1 nờn cú the đắt x = cos t vúi t ∈ (0, π).Bat đang thúc (3.14) đưoc viet thành
Vắy bat đang thỳc (3.16) đưoc chúng minh hay bat đang thúc (3.14) đưoc chúng minh.
2 Lài giai Đắt x = tan α, y tan β, z = tan γ.
Do x, y, z ∈ (0, 1) nên có the cHQN
(3.17) xy + yz + zx = 1 ⇔ tan α tan β
Suy ra tan 2α, tan 2β, tan 2γ là các so dương.
Theo bat đang thúc AM-GM ta có tan 2α + tan 2β + tan 2γ
Tù (3.19) và (3.21) ta suy ra tan 2α tan 2β tan 2γ (3.21) tan 2α + tan 2β + tan 2γ “ 3√ 3 tan 2α + tan 2β + tan 2γ
3 (3.22) Ket hop (3.20) và (3.22) ta có đieu phai chúng minh.
Ví dn 3.2.4 Cho các so thnc x, y không đong thòi bang 0 Chúng minh rang
Vói giá tr% cna x, y như the nào thì dau đang thúc xay ra.
= 0 bat đang thúc cũng đúng.
Gia su x ƒ= 0, y ƒ= 0 thì (3.23) tương đương vói
Vì cos 2 α[4 tan α − 4] = 4 sin α cos α − 4 cos 2 α = 2 sin 2α −
− 2]. nên (3.25) đúng, nghĩa là bat đang thúc (3.23) đúng.
2) Tù các phép bien đői trên đây cho thay: x 2 − (x − 4y) 2 √ π x x 2 + 4y 2 −2 2 − 2 khi sin(2α − 4 ) = −1 vói tan α 2y
Vớ dn 3.2.5 Cho x “ 0, y “ 0, z “ 0 thoa món đieu kiắn sau xy + yz + zx = 1 (3.26)
Lài giai Đắt x = tan α, y = tan β, z = tan γ vúi α, β, γ[0, π
). Khi đó (3.26) có dang 2 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1
⇔ tan α(tan β + tan γ) = 1 − tan β tan γ
∈ tan α = 1 − tan β tan γ tan β tan γ
= tan α ocs α co s β co s γ sin
1) Cho 0 < a, b, c < 1 và a 2 + b 2 + c 2 + 2abc = 1 Chúng minh rang abc + 1 = c√
• Dna vào đieu kiắn bài toỏn lna c HQN kieu đắt thớch hop đe chuyen tự bài toán đai so sang bài toán lưong giác.
• Gai bài toán tìm giá tr% lón nhat và giá tr% nho nhat cna hàm so lưong giác.
Ví dn 3.3.1 Vói x khác y thoa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna bieu thúc
P Lài giai Vói gia thiet x ƒ= y
2 sin t cos t + cos 2 t P 2 sin t cos t +
2 sin 2 t + 1 2 sin 2t + cos 2t + 1 2 sin 2t − 2 cos 2t + 4
Phương trỡnh này cú nghiắm khi và chi khi
Ví dn 3.3.2 Cho các so thnc x,y thay đői thoa mãn x 2 + y 2 = 2 Tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy.
Lài giai Tự gia thiet ta cú the đắt:
2 sin t Khi đó ta có
2(cos t + sin t)(1 − sin t cos t) − 6 sin t cos t. Đắt u = sin t + cos t = √
Ca hai giỏ tr% cna u đeu thoa món.đieu Σkiắn −√
Ví dn 3.3.3 Cho các so thnc dương a, b, c thoa mãn ab + bc + ca = 1
Tìmgiá tr% lón nhat cna bieu thúc:
Bài toán tro thành cho A, B, C là so đo 3 góc cna m®t tam giác.
Tìm giá tr% lón nhat cna M = 1
Rừ ràng vúi phộp bien đői lưong giỏc, viắc tỡm giỏ tr% lún nhat cna bieu thỳc
Dau đang thúc xay ra khi và chi khi
Vắy giỏ tr% lún nhat cna bieu thỳc M bang
Vớ dn 3.3.4 Trong tat ca cỏc nghiắm cna hắ
xt + yz “ 12 (3.27) hóy tỡm nghiắm (x, y, z, t) sao cho (x + z) đat giỏ tr% lún nhat.
Lài giai Theo bài ra ta có
Khi đó (3.27) tro thành cos α sin β + sin α cos β “ 1 sin (α + β)
|x + z| = |4 cos α + 3 cos β| = |4 cos α + 3 sin ϕ| = |5 sin (ϕ + α)| ™ 5, vói sin ϕ = 4
1) Cho các so thnc dương a, b, c thoa mãn abc + a + c = b Tìm giá tr% lón nhat cna bieu thúc N = 2 a 2 + 1
2) Cho x, y là các so thnc thoa mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm giá tr% lón nhat cna bieu thúc A = x√
3) Cho hai so thnc x, y dương thoa mãn x + y = 1 Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc Q = xy + 1 xy
4) Cho hai so thnc x, y dương thoa mãn x + y = 1 Tìm giá tr% nho nhat cna x y bieu thúc Q √1 − x + √
3.4 Xác đ%nh công thÉc tong quát cua dãy so
Nhiều dãy số có công thức truy hồi phức tạp có thể trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố liên quan đến công thức lượng giác, chúng ta có thể áp dụng phương pháp lượng giác để giải quyết Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Ví dn 3.4.1 Cho dãy so:
Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy(u n ).
Lài giai Tù công thúc truy hoi cna dãy, ta liên tưong đen công thúc nhân đôi cna hàm so côsin
Bang quy nap ta chúng minh
3 i) Vói n = 2 công thúc u n đúng Túc là:
3 (đúng) ii) Ta gia su công thúc u n−1 đúng Túc là:
(đúng) iii) Ta đi chúng minh công thúc u n đúng Túc là ta phai chúng minh u3 n 2 n−1 π cos
Suy ra đieu phai chúng minh.
Tőng quát: Cho dãy so:
u n = 2u 2 − 1∀n “ 2. Đắt u 1 = cos α Cụng thỳc tőng quỏt cna dóy so là: u n = cos 2 n−1 α. n− 1
Ví dn 3.4.2 Cho dãy so:
Xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy(u n ).
Bang quy nap ta chúng minh
6 i) Vói n = 2 công thúc u n đúng Túc là:
6 (đúng) ii) Ta gia su công thúc u n−1 đúng Túc là:
(đúng) iii) Ta đi chúng minh công thúc u n đúng Túc là ta phai chúng minh u3 n 3 n−1 π cos
Suy ra đieu phai chúng minh.
Tőng quát: Cho dãy so:
u n = 4u 3 − 3u n−1 ∀n “ 2. Đắt u 1 = cos α Cụng thỳc tőng quỏt cna dóy so là: u n = cos 3 n−1 α.
Ví dn 3.4.3 Cho dãy so:
Lài giai Ta có: tan π
Bang quy nap ta chúng minh đưoc u = tan Σ π
= √ Chú ý: Đe tìm công thúc tőng quát cna dãy: 3. n− 1
u 1 Ta đắt tan α = a, tan β = b khi đú ta chỳng minh đưoc u n = tan [α
Ví dn 3.4.4 Cho 2 dãy so aa + b n , b n như sau: vói a < b cho trưóc,√ a = , b = b.a , a = a 1 + b 1
Bang quy nap ta se de dàng có
α b sin α cos α α b n = b cos cos α α ã ã ã cos cos b sin α
Ví dn 3.4.5.(Đe thi HSG Quoc Gia - 1993) Cho a 0 = 2, b 0
= 1 Lắp hai dóy so a n , b n vói n = 0, 1, 2, theo quy tac sau a n+1 = 2 ab n n a n
Chúng minh rang các dãy a n , b n có cùng m®t giói han khi n → ∞ Tìm giói han đó?
6Tù đó bang quy nap ta chúng minh rang: a π c o s ã ã ã cos π cos 2 π Σ−1 b
Tù (3.27) và (3.28) suy ra ton tai lim n→∞
Vắy hai dóy a n , b n cú cựng mđt giói han khi n → ∞ và bang
Ví dn 3.4.6 Cho dãy {u n } xác đ
Lài giai 1 Ta chúng minh u n
Gia su u k > 0, ∀k “ 3 Ta có u k+1 Vắy: u n > 0, ∀n ∈ Z +
™ e và là hàm đong bien trên R Suy ra đieu phai chúng m i n h
Mắt khác ta lai có:
Trong khóa luận này, em trình bày mô hình so sánh kiến thức cơ bản về lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, phân tích để tổng hợp, hệ thống hóa và phân loại các phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng Khóa luận sẽ giúp củng cố kiến thức nền tảng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong lĩnh vực toán học.
1Kien thúc cơ ban cna các hàm so lưong giác, đa thúc lưong giác và các ví du.
2Phõn loai đưoc mđt so phương trỡnh lưong giỏc thưũng gắp.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày về các bài toán vui với mức độ khó dễ khác nhau Đặc biệt, ở phần cuối cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu một dạng toán căn bậc hai và giải tích được thực hiện bằng phương pháp lượng giác Hơn nữa, chúng tôi sẽ minh họa bằng một số bài tập tiêu biểu được lấy từ các đề thi Olympic toán khu vực và quốc tế.
Tuy nhiên, do thời gian hạn chế, văn bản không nhiều và vẫn có những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và ban ĐQ.
