Luận văn thạc sĩ sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I

Hệ phương trình đối xứng hai ẩn loại I là hệ phương trình có hai ẩn x và y, trong đó nếu hoán đổi vị trí của x và y, cấu trúc của hệ phương trình vẫn giữ nguyên.

Ta có phương pháp giải tổng quát

Bước 1: Đặt điều kiện các biến ( nếu có).

Khi đó , ta đưa hệ phương trình về hệ mới chứa S, P

Bước 3 : Giải hệ mới tìm S, P

Bước 4 : Với S, P tìm được thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  SX  P  0 i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình với hai ẩn x và y, trong đó khi hoán đổi vị trí của x và y, phương trình này chuyển thành phương trình khác Cụ thể, hệ có dạng f(x; y) =

Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát

Xét hệ phương trình đối xứng bậc hai dạng  a x 2  b y 2  c xy  d x  e y  f

Phương trình bậc hai hai biến có dạng a x² + b y² + c xy + d x + e y + f = 0 Để xác định xem phương trình có thể phân tích được thành nhân tử hay không, cần kiểm tra biệt thức delta theo biến x hoặc y có phải là số chính phương hay không Nếu một trong hai biệt thức delta của hai phương trình là số chính phương, việc giải phương trình trở nên đơn giản hơn; ta chỉ cần tìm nghiệm và phân tích nhân tử để tìm ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó thay vào phương trình còn lại Tuy nhiên, nếu cả hai phương trình đều không cho kết quả như mong muốn, quá trình giải sẽ phức tạp hơn.

Để giải quyết bài toán q2427 2 p 3 với denta không chính phương, chúng ta cần áp dụng phương pháp tìm hệ số bất định – UCT Phương pháp này bao gồm việc lựa chọn một hằng số thích hợp để nhân vào một phương trình, sau đó thực hiện phép cộng đại số với phương trình còn lại Mục tiêu là để điều chỉnh biệt thức denta chính phương, tức là tìm một số k sao cho biểu thức trở thành  PT  1   k.PT  2  .

Ta sẽ làm theo các bước sau Đặt a  a

1  ka 2 ; b  b 1  kb 2 ; c  c 1  kc 2 ; d  d 1  kd 2 ; e  e 1  ke 2 ; f  f 1  kf 2

Khi đó k là nghiệm của phương trình sau cde 4abf  ae 2  bd 2  fc 2 với a  0

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT

Phương trình bậc ba có dạng tổng quát x³ + ax² + bx + c = 0 có thể được giải bằng phương pháp Cardano Để tìm nghiệm của phương trình này, ta đặt x = t - a, từ đó phương trình được biến đổi thành t³ + pt + q = 0.

Ta sẽ tìm các số u, v sao cho qua hệ u3  v3

Một nghiệm của nó đƣợc tìm từ việc đặt t  v  u , có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào  2  nhờ hằng đẳng thức  v  u  3  3uv  v  u    u3  v3   0

Hệ  3  có thể giải từ phương trình thứ hai bằng cách rút v  p

3u vào phương trình thứ nhất trong  3 

 q Phương trình này tương đương với phương trình bậc hai với u Khi đó ta u   4  c

Vì t  v  u và t  x  a ta tìm đƣợc x  p

Khi tìm giá trị u từ phương trình (4), cần lưu ý rằng có hai căn bậc ba tương ứng với dấu ±, và mỗi căn bậc ba có ba giá trị khác nhau Tuy nhiên, cần chọn dấu của các căn sao cho khi tính x, không xảy ra trường hợp chia cho không Nếu p = 0, cần chọn dấu của căn bậc hai để đảm bảo u khác 0 Trong trường hợp q = p = 0, giá trị x sẽ bằng -a.

GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

i.1 Giải phương trình trùng phương ax 4  bx 2  c  0

Để giải phương trình bậc hai, ta đặt t = x² với t ≥ 0, biến đổi phương trình thành at² + bt + c = 0 Từ đây, ta có thể dễ dàng tìm giá trị của t và suy ra x Đối với phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d), ta cũng áp dụng các phương pháp giải tương tự để tìm nghiệm của x.

Giải Trường hợp 1 x  0 có phải là nghiệm không ?

Trường hợp 2 Với x  0 , đặt  m  ad  bc p  a  d

Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình trở thành  u  p  u  n   e x Đây là một phương trình bậc hai với biến u , ta dễ dàng tìm ra u và suy ra x i.3 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   m có a  b  c  d  p

Giải Phương trình đã cho tương đương với  x 2  px  ab  x 2  px  cd   m Đặt t  x 2  px,t   p

2 Phương trình trở thành  t  ab  t  cd   m

4 Đây là một phương trình bậc hai với biến t , ta dễ dàng tìm ra t và suy ra x i.4 Giải phương trình dạng  x  a  4   x  b  4

2 Phương trình đã cho trở thành  y

 2  Giải phương trình trùng phương này ta sẽ tìm được biến y và suy ra biến x i.5 Giải phương trình x 4  ax 2  bx  c

Giải Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng A 2  B 2 để giải.

Phương trình đã cho có dạng tương đương với phương trình \((x^2 + m)^2 = (2m + a)x^2 + bx + c + m^2\) Chúng ta sẽ tìm giá trị của \(m\) để vế phải của phương trình trở thành bình phương của một biểu thức Khi đó, biệt thức delta của vế phải sẽ bằng không, tức là \(\Delta = 0 \Leftrightarrow b\).

 8m 3  4am  4ac  b 2  0 Đây là phương trình bậc ba với biến m , ta đã có cách giải.

CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP

Trong luận văn này tác giả chủ yếu sẽ đề cập tới các biểu thức liên hợp sau

Ngoài ra còn một số biểu thức liên hợp khác nữa nhƣng trong luận văn này mà tác giả không đề cập tới là

HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

Giả sử K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và f(x) là hàm số xác định trên K, với hàm số f(x) có đạo hàm trên K Theo Định lý 1, nếu đạo hàm f'(x) lớn hơn hoặc bằng một giá trị nhất định, thì hàm f(x) sẽ có những tính chất nhất định liên quan đến sự tăng trưởng hoặc giảm sút của nó trong khoảng K.

0 với mọi x  K và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K b, Nếu đạo hàm f ' x  

Nếu hàm số f(x) xác định trên tập K và luôn đồng biến, thì hàm số này sẽ không có giá trị bằng 0 với mọi x thuộc K, và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn Điều này chứng tỏ rằng hàm số f(x) nghịch biến trên K.

(hoặc nghịch biến) thì phương trình nhất trên tập K f  x  

0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy Định lí 3 Nếu hàm số f  x  xác định trên một tập K và hàm số f  x  luôn đồng biến

(hoặc nghịch biến) Khi đó với mọi khi a  b a,b thuộc tập K thỏa mãn f  a   f  b  khi và chỉ x 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP

Trong phần cuối của luận văn, tác giả sẽ trình bày cách sáng tác bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp liên hợp Bài viết sẽ phân tích để đưa ra lời giải một cách tự nhiên nhất, với hy vọng rằng người đọc sẽ hiểu và áp dụng được kỹ thuật này trong việc giải và sáng tác bài toán Phương pháp liên hợp là một kỹ thuật cơ bản, thường được sử dụng trong việc giải các phương trình và hệ phương trình, đặc biệt hữu ích khi xử lý các phương trình chứa căn thức Điều đặc biệt của phương pháp này là nó giữ nguyên bậc của các biểu thức trong phương trình, chỉ tác động lên biểu thức chứa căn Ngoài ra, phương pháp này còn có thể kết hợp với nhiều kỹ thuật khác trong quá trình giải hệ phương trình Hãy cùng xem xét một bài toán cụ thể để áp dụng phương pháp này.

Bài toán 1 Giải hệ phương trình 

Khi phân tích hệ phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ hai có cấu trúc đẹp với vế trái là các căn thức và vế phải là một hằng số Tuy nhiên, việc chuyển vế và bình phương để biến đổi không khả thi do các biểu thức kèm theo phức tạp và không liên quan đến phương trình thứ hai Đối với phương trình đầu, sự cân đối về bậc giữa hai vế cho thấy nó có nghiệm x = y Nhận xét này cho phép ta phân tích phương trình dưới dạng (x - y)f(x; y) = 0 Với sự xuất hiện của căn thức trong phương trình, việc sử dụng liên hợp để rút ra nhân tử chung là một phương pháp tối ưu.

Với suy nghĩ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được x   x2  x    y  x 

Thay y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được x  x 

Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    25 ; 25 

Việc xác định nghiệm trước là yếu tố then chốt giúp dự đoán phương pháp giải Nếu đã biết nghiệm và phương trình có chứa căn thức, ta nên sử dụng liên hợp để rút nhân tử chung thay vì bình phương để loại bỏ căn thức Sử dụng liên hợp thực chất là tìm nhân tử chung bị ẩn giấu trong biểu thức đã nhân liên hợp Do đó, khi một phương trình có chứa căn thức và xác định được nghiệm trước hoặc mối liên hệ giữa các biến, phương pháp này gần như sẽ giải quyết được bài toán Chúng ta sẽ xem xét thêm một ví dụ mà không có sự đối xứng của biến.

Bài toán 2 Giải hệ phương trình  y 1  2 y 2 1   x 2  xy  3y

Phân tích hai phương trình chứa căn thức, ta nhận thấy phương trình thứ hai không thể giải quyết bằng cách bình phương do sinh ra các tích căn Thay vào đó, phương pháp liên hợp được áp dụng, nhưng không tìm thấy nhân tử chung Đối với phương trình thứ nhất, có hai căn thức, ưu tiên dùng liên hợp vì chúng là căn bậc nhất và có biểu thức đa thức bậc hai bên ngoài Nếu không thành công, ta sẽ thử liên hợp với các đại lượng chứa x và y Cuối cùng, nhờ cách nhân liên hợp, ta tìm được nhân tử chung là y - x - 1, từ đó giải được bài toán.

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được y 1

 Thay y  x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 2  x 1

Ta có f ' x   0 Nên hàm số đồng biến Mà f  2   0 Suy ra phương trình nhận nghiệ m x  2 Với x  2  y  3 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;3 

Việc dự đoán và suy luận nghiệm với phương pháp liên hợp là rất quan trọng trong giải bài toán Khi nắm vững nghiệm, việc áp dụng phương pháp liên hợp sẽ trở nên đơn giản hơn Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán bằng phương pháp này, người đọc nên tìm hiểu về phương pháp truy ngược dấu trong giải phương trình Dưới đây, chúng ta sẽ sáng tác các bài toán giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp liên hợp.

Trước tiên ta hãy chọn một nhân tử chung trước, ví dụ ta muốn có xuất hiện nhân tử chung là  x  y  2  và ta muốn sử dụng biểu thức

3  3x biểu thức A, B sao cho A  B  x  y  2 , ta có thể chọn A  y  2x 1, B  3  3x Khi đó đã có một biểu thức là x  y  2

Giờ ta cần thêm một biểu thức nữa cũng có chứa nhân tử x  y  2 , ví dụ  x  y  2  y  2x 1  Khi đó ta đã có một phương

2   y  2x 1   0 Biến đổi tương đương để che đi

  ý tưởng sử dụng liên hợp ta đƣợc 2x

Để lập phương trình thứ hai, ta có điều kiện y = 2 - x, do đó độ khó của bài toán phụ thuộc vào việc khai thác mối liên hệ này Quyết định này phụ thuộc vào yêu cầu của người sáng tác về mức độ khó của bài toán Tác giả sẽ chọn nghiệm trước và tự cân bằng, ví dụ chọn x = 2 thì y sẽ được tính toán tương ứng.

4 và cặp này là nghiệm của phương trình x 2  y 1

Lưu ý nếu muốn chọn nghiệm như này cần phải dựa vào điều kiện của các biều thức trong phương trình thứ nhất để tránh căn thức vô nghĩa.

Từ đó ta có bài toán giải hệ phương trình sau

Bài toán 3 Giải hệ phương trình

1  Dễ thấy  x; y    1;1  không phải là nghiệm.

Xét với x  1; y  1, biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

Thay y  2  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 2  x  3

 x2  y x x x2  y x2  y x x2  y Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Hệ phương trình có nghiệm tại điểm  x; y    2;4  Để tăng độ khó cho bài toán, chúng ta sẽ kết hợp việc cho sẵn nhân tử chung với một nhân tử chung bị che khuất bởi biểu thức liên hợp, làm cho việc biến đổi đại số trở nên phức tạp hơn Thêm vào đó, thói quen không kiểm tra số nghiệm của người giải có thể dẫn đến việc thiếu nghiệm, vì họ mặc định rằng biểu thức còn lại không còn nghiệm thỏa mãn Chúng ta sẽ chọn  y  2x 1  4x.

1 làm nhân tử chung và chúng xuất hiện dưới một biểu thức liên hợp, theo như phần trên ta lập được hai biểu thức chứa nhân tử này là  y  2 x  1  4 x

Ta có biến đổi liên hợp  y  2 x  1 

Khi đó ta sẽ có một phương trình  y  2x 1  4x 1      0

Biến đổi tương đương ta được  4x

1 x Sau khi giải phương trình trên ta sẽ thu được hai nghiệm x  1

4 và y  2x 1. Để lập phương trình thứ hai của hệ, với nghiệm là x  1

4 thì biến y ta sẽ tìm đƣợc không khó Giờ với mối liên hệ y  2x 1 ta chọn nghiệm trước là x 

 y  3 Ta có thể lập được một phương trình liên quan nhận hai nghiệm này như y  2 x2  y x y  2 x  3   3

Từ đó ta có bài toán giải hệ phương trình sau

Bài toán 4 Giải phương trình 

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

4 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2 4 y  2x 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x  3

2 x 1   0  x  1 y  3. Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     1;3  ;  ;

Để sáng tác các bài toán liên quan đến nhân tử chung, chúng ta có thể thực hiện theo ba bước cơ bản Bước đầu tiên là xác định nhân tử chung và viết dưới dạng biểu thức đã được nhân liên hợp Tiếp theo, cần biến đổi phương trình để che giấu ý tưởng sử dụng liên hợp Cuối cùng, lập phương trình thứ hai bằng cách chọn nghiệm trước và cân bằng để thỏa mãn nghiệm ban đầu, từ đó giúp tác giả dễ dàng kiểm soát nghiệm của hệ Ngoài việc sử dụng biểu thức liên hợp với căn bậc hai, chúng ta cũng có thể áp dụng liên hợp cho biểu thức bậc ba Ví dụ, ta có thể chọn nhân tử chung là x - 2y - 1 để tiếp tục sáng tác một bài toán mới.

2 y xy  x  y2  y xy  x  y2  y x2  5 được biểu diễn dưới dạng biểu thức đã được nhân liên hợp là liên hợp là

, tiếp theo ta có thể chèn thêm một vài biểu thức đa thức chứa

 y 1 nhân tử đã chọn, để đơn giản tác giả chọn chính là  x  2 y 1 

Vậy ta có một phương trình là   x  2 y

Biến đổi phương trình này ta được x 

Khi giải phương trình đầu tiên trong hệ, ta tìm thấy mối liên hệ giữa hai nghiệm là x = 2y + 1 Tiếp theo, để lập phương trình thứ hai của hệ, ta chọn nghiệm x = 2, từ đó suy ra y = 1.

Ta sẽ có một phương trình nhận hai nghiệm đã chọn là 2

Từ đó ta có bài toán sau.

Bài toán 5 Giải hệ phương trình 

Biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ ta được

Thay 2y  x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2. Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y     2; 2 1  

Bài viết này sẽ áp dụng ý tưởng sáng tác các bài toán giải hệ phương trình bằng cách sử dụng liên hợp, nhằm khám phá và hiểu rõ hơn về phương pháp này Đây là cơ hội tuyệt vời để chúng ta có cái nhìn tổng quan về cách thức giải quyết các bài tập liên quan Hãy cùng xem xét bài toán dưới đây.

Phân tích phương trình đầu tiên cho thấy sự đẳng cấp giữa hai biến mà không có số hạng tự do, từ đó dự đoán mối quan hệ bằng nhau giữa chúng Thực tế, khi thử nghiệm với x = y, ta nhận thấy đây là nghiệm của phương trình Khi đã dự đoán nghiệm, việc sử dụng căn thức trong phương trình gợi ý đến việc áp dụng phương pháp liên hợp.

Xét phương trình thứ hai trong hệ, ta nhận thấy nó khá phức tạp và không có mối liên hệ rõ ràng Do đó, chúng ta sẽ tập trung vào việc giải phương trình đầu tiên của hệ Từ đó, chúng ta có thể đưa ra lời giải cho bài toán như sau.

Thay y  x vào phương trình thứ hai ta được

Phương trình  *  tương đương với x  3. Với x  3  y  3 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 

Phân tích phương trình đầu tiên trong hệ có tổng hai căn thức, chúng ta không thể áp dụng nhân liên hợp để phân tích trực tiếp Do đó, cần thêm bớt các biểu thức để tạo ra nhân tử giống nhau, như nhân tử chung là \( (x + 1 - y) \) Tuy nhiên, biểu thức còn lại không xác định được giá trị dương hay âm, buộc ta phải lấy thêm thông tin từ phương trình thứ hai Mục tiêu là tìm điều kiện cho từng biến, vì đây là phương trình bậc hai với hai biến, nên ưu tiên tách thành các biểu thức bình phương để dễ dàng xác định điều kiện của chúng.

Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.

Biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ ta được x 2  y 2  2xy  x  2y  2  0   x  y  2  2  x  y   11 x  0

  0 , với y  x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 

4) x2   x  1  2  2x  x 1   x  2  x 1   2  0  x 1  0  x  1 y  2 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    1;2 

Nhận xét : Trong quá trình giải ta luôn đưa phương trình khi sử dụng liên hợp về dạng f  x; y  g  x; y 

Biểu thức 0 chứa nhân tử chung, trong khi hàm g(x; y) thường luôn dương hoặc âm, tạo lợi thế cho việc sử dụng liên hợp Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể chứng minh hàm g(x; y) luôn âm hoặc dương, vì vậy cần nắm vững kỹ thuật truy ngược dấu khi nhân liên hợp Bên cạnh đó, khi thực hiện phép nhân liên hợp, cần chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức Nếu không chứng minh được điều này, hãy tận dụng tối đa điều kiện và một chút may mắn để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.

Giải các hệ phương trình sau :

(Trích đề thi thử THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015)

( Trích trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2015)

(Trích đề thi trường THPT Quỳnh Lưu, Nghệ An – 2015)

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Bài toán 1 Giải hệ phương trình:

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre)

Giải Điều kiện xác định: x  3  y Phương trình đầu được viết lại thành: x 3  2x  y 3  6y 2 14y 12  x 3  2x  ( y  2) 3  2( y  2)

Nên với x  y  2 thay vào phương trình sau rồi rút gọn, ta được:

Trừ cả hai vế phương trình cho 2:

 3;5  vế trái là hàm nghịch biến nên nó không nhỏ hơn 2  đạt đƣợc khi y 

5 và trên cùng đoạn  3;5  thì vế phải làm hàm đồng biến nên không lớn hơn

 2 Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x; y    2; 4 

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hòa Bình năm học 2016-2017)

Giải Điều kiện xác định:

Theo điều kiện xác định, x  0 nên  Thực hiện nhân liên hợp với phương trình đầu, ta có: 8x  4

 2x   x  2  y  x 2  x Thay vào phương trình sau ta được:

7 thì mỗi số hạng trong thừa số thứ hai đều dương nên đẳng thức trên tương đương:

Khi tìm nghiệm cho phương trình, nhận thấy rằng có khả năng phương trình này không có nghiệm nguyên hay hữu tỉ, vì vậy cần xem xét khả năng có nghiệm vô tỉ Để làm điều này, ta sẽ nhân liên hợp với một biểu thức nhằm tạo ra một biểu thức bậc hai làm thừa số chung Gọi ax + b và cx + d là các biểu thức được nhân liên hợp với hai số hạng ở vế trái Qua quá trình này, ta sẽ thu được các biểu thức bậc hai như: x² ± x ± 1, x ± y ± 3, và các biến thể khác của chúng.

Cho các biểu thức này bằng nhau hoặc đối nhau ta tìm đƣợc a  b 1, c  2, d  0

( Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lào Cai năm học 2016-2017)

Để xác định điều kiện x  y - 3, việc khai thác phương trình đầu không hề đơn giản Chúng ta cần gán một giá trị đặc biệt cho một biến và giải ra giá trị của biến còn lại Mục đích là tìm ra mối quan hệ giữa hai biến, từ đó giúp phân tích rõ ràng hơn Hãy viết lại phương trình thứ hai theo dạng phù hợp.

Thay vào phương trình đầu tiên , ta có

Phương trình trên trở thành  a 2  b 2  3    

Vì a  b  0 nên suy ra a  b  3, suy ra x 2  x 1

3  x  7 Suy ra x 2  x  2 x   0 Nên từ phương trình (*) suy ra  8

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)   1 1

 2 2 8 8  Bài toán 4 Giải hệ phương trình

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm học 2016-2017)

Giải Điều kiện xác định: y  1

Hệ số tương ứng của từng hạng tử ở hai vế đối xứng cho thấy mối quan hệ giữa chúng được ẩn giấu trong phương trình ban đầu.

0 thay vào phương trình đầu ta tìm được y  0 Nhưng cặp số này không thỏa mãn phương trình sau.

Nếu x  0 , phương trình đầu tiên tương đương

Xét f ( y)  y 2  (x 2  3x) y  x 4  3x 3  4x 2 là tam thức bậc hai theo biến y, ta có

Suy ra f ( y)  0 Tức phương trình đầu cho ta có y  x 2

Thay x 2  y vào phương trình ta có phương trình sau y  3

Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến theo biến y, do đó nó chỉ có tối đa một nghiệm Với y = 1 thỏa mãn đẳng thức, đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình Qua đối chiếu điều kiện, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 1).

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016-2017)

Giải Điều kiện xác định 6  x  y  x  1, y  5  3x

Bắt đầu từ phương trình đầu, ta thiết lập hai căn bằng nhau để xác định và kiểm tra mối quan hệ trong cả hai phương trình Từ đó, ta áp dụng phép nhân liên hợp cho phương trình đầu và viết lại dưới dạng x ± 1 ± y ± x.

Từ điều kiện xác định, y  x  1 nên y  x  3 

0 Kết hợp với 1  0 , suy ra đẳng thức trên cho ta y = 2x+1

Thay vào phương trình sau, ta được

4x 2  4x  505  0 nên suy ra phương trình trên có nghiệm x  1 hoặc

Với x  1 suy ra x  4 suy ra y  3 y  9 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)    1;3  ,  4;9

  Bài toán 6 Giải hệ phương trình:

( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996-Bảng A)

Giải Điều kiện xác định: x  0, y  0 và x 2  y 2  0

Dễ thấy nếu x,y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x  0, y 

Do đó,hệ đã cho

Nhân hai phương trình theo vế ta được

Thay vào phương trình thứ hai và giải ra ta được , x  11 4 7

Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)   11  4 7

Giải Từ giả thiết ,suy ra

Trường hợp 1: x  z Khi đó, hệ phương trình đã cho có thể viết dưới dạng

Từ phương trình thứ hai ,ta suy ra  y  x 1

Thay trở lại phương trình đầu,ta tìm được các nghiệm (x,y,z) của hệ là

Thay z  2  x vào,ta viết được hệ phương trình dưới dạng  x 2  2x 1  y  0

Trừ hai vế của hai phương trình, ta được

Do đó, trường hợp này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y,z) là y 2  y  4  0.Phương trình này vô nghiệm.

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm học 2013-2014)

Giải Điều kiện xác định:   2 y  1.

Từ phương trình thứ hai tương đương x 2  (3y  3)x  2 y 2  2 y  4  0  x  y 1 

Vì theo điều kiện suy ra x  2y  4  0 nên x  2y  4  0 (vô nghiệm).

Từ phương trình thứ nhất tương đương (x  y) 2  4xy

0 nên phương trình này (4xy 

Hệ đã cho tương đương     2 hoặc  2 xy  3 

 2 Đối chiếu với điều kiện ta có hệ phương trình có nghiệm là  x; y    1 ; 3  ,  3 ;

Bài 9 Giải hệ phương trình

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm học 2013-2014)

Giải Điều kiện xác định : y  0 Hệ tương đương    Đặt a  x 1,b  2

Thay a  0 vào (1) ta đƣợc b 2  4 và tìm đƣợc hai nghiệm  x  1  y  1

 x  2  y  2 Thay a  b vào (1) đƣợc b 2  9 và tìm đƣợc hai nghiệm 3

Thử lại ta thấy hệ có bốn nghiệm     1;1  ;  1;1  ; 2;

Bài 10 Giải hệ phương trình  x

Giải Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được x 4  8x 3  24x 2  32x 16  y 4 16y 3  96y 2  256y  256

 Thay x  y  2 vào phương trình đầu ta được:

Với x  6  y thay vào phương trình đầu ta được

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  x; y     4; 2  ;  4;

2   Bài 11 Giải hệ phương trình

( Học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2015-2016)

Giải Điều kiện xác định  2 5x  6 y  6  0.

Từ phương trình thứ hai ta được (x 1)(x  y) 2  0  x  1

 Với x  1 thay vào phương trình thứ nhất ta được

Với x  y thay vào phương trình đầu ta được x 4  x 3  4x  (x 1)

Thử lại ta thấy hệ phương trình có ba nghiệm

Giải Cộng hai phương trình trên cho nhau, sau khi rút gọn và đưa về bình phương

 5  2  5  2 1 một hiệu ta được phương trình  x 

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất và nhóm lại ta được phương trình xy( y  x)  6(x  y)  (x  y)(x  y)  xy(x  y) ( y  x)

Với x  y thay vào phương trình (*) ta được x  y 

Do đó,ta đƣợc hệ

 Kết hợp a  b  1, a  b  0 ta đƣợc cặp ( (a, b) là  1 ; 1 

    Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y     2; 2  ;  3;3  ;  2;3  ;  3; 2  

Bài 1 Giải hệ phương trình  x

(Chọn đội tuyển THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2010-2011 )

  2 y 13  Bài 3 Giải hệ phương trình    (VMO, 2007)

Định dạng
Số trang	300
Dung lượng	765,77 KB