Kien thÉc chuan b%
Các loai phương trình đao hàm riêng
Phương trình đao hàm riêng vói an là hàm u(x 1 , x 2 , , x n ) vói các bien x 1 , x 2 , , x n đđc lắp, cú dang
∂x k n ) = 0, trong đó F là m®t hàm cna các đoi so trên Cap cao nhat đao hàm riêng cna u, cú mắt trong phương trỡnh, đưoc GQI là cap cna phương trỡnh.
Phương trình đao hàm riêng đưoc GQI là tuyen tính, neu F tuyen tính đoi vói an hàm u và tat ca đao hàm riêng cna nó.
Xét phương trình cap hai cna hàm hai bien
Tại điểm cố định (x₀, y₀), phương trình (1.1.1) sẽ có dạng ellip nếu b² - ac < 0, dạng hyperbol nếu b² - ac > 0, và dạng parabol nếu b² - ac = 0 Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong miền G đều thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình đó thuộc loại đó trong miền G.
Bang phép đői bien ta có the đưa phương trình loai ellip, hypecbôn, và parabôn ve các dang chính tac.
1.Dang chính tac cna loai ellip là u xx + u yy = Φ(x, y, u, u x , u y ).
2.Dang chính tac cna loai hypecbôn là u xx − u yy = Φ(x, y, u, u x , u y ) hoắc u xy = Φ(x, y, u, u x , u y ).
3.Dang chính tac cna loai parabôn là u xx = Φ(x, y, u, u x , u y ).
Mđt so phương trỡnh đao hàm riờng trong vắt lý và kĩ thuắt: Phương trỡnh sóng m®t chieu và phương trình sóng hai chieu
∂ 2 u ∂ 2 u Σ chỳng thuđc loai hypecbụn Phương trỡnh nhiắt mđt chieu
∂x 2 , và phương trỡnh nhiắt hai chieu
= c chúng thu®c loai parabôn Phương trình Laplace hai chieu
, và phương trình Poisson hai chieu
Phương trình đạo hàm riêng bậc hai có dạng ∂y² = f(x, y) thuộc loại elliptic Theo định lý 1.1, nếu u₁ và u₂ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuận nhất, thì bất kỳ nghiệm tuyến tính nào u có thể được biểu diễn dưới dạng u = c₁u₁ + c₂u₂, trong đó c₁ và c₂ là các hằng số, đồng thời cũng là nghiệm của phương trình.
Ngoài ra neu u 1 và u 2 thúa món mđt đieu kiắn biờn tuyen tớnh thuan nhat, thì u = c 1 u 1 + c 2 u 2 cũng se thóa mãn.
1.2 Chuői Fourier tnc tùng khúc trên đoan [a, b] neu f (a + ) và f (b − ) ton tai, và f là xác đ%nh Đ%nh nghĩa 1.1 (Hàm liên tuc tùng khúc) M®t hàm so f đưac
GQI là một hàm liên tục trên đoạn (a, b) với một số điểm mà tại đó hàm này bị giới hạn Hàm này là liên tục từng khúc trên đoạn [a, b] bất kỳ, và điều kiện giới hạn phải tồn tại Một hàm tuần hoàn được gọi là GQI nếu nó là liên tục từng khúc.
[a, b], đưac GQI là trơn tùng khúc neu f và f J là liên tnc tùng khúc trên
[a, b] Đ%nh nghĩa 1.2 (Hàm trơn tùng khúc) M®t hàm f, xác đ%nh trên đoan đoan [a, b].
M®t hàm tuan hoàn là trơn tùng khúc neu nó là trơn tùng khúc trên
MQI Đ%nh lí 1.2 ([3, Tr 30] Bieu dien chuoi Fourier) Gia su rang f là m®t hàm tuan hoàn vái chu kỳ 2π trơn tùng khúc Thì vái MQI x chúng ta có f (x + ) + f (x − ) 2
(a n cos nx + b n sin nx),(1.2.1) trong đú cỏc hắ so Fourier a 0 , a n , b n đưac xỏc đ%nh bỏi
(1.2.4) π −π Đắc biắt, neu f là trơn tựng khỳc và liờn tnc tai x, thỡ
Nhẳn xột 1.1 Cỏc hắ so a n , b n Fourier cua f có the tính theo công thúc sau nhà tính chat cua hàm tuan hoàn
). là hàm tuan hoàn chu kì 2p, trơn tùng khúc.
Chuői Fourier cua hàm f đưac Đ%nh lí 1.3 ([3, Tr 39] Bieu dien chuoi Fourier: chu kỳ tùy ý) Gia su f cho báiTron g đó
2 neu không liên tnc tai x. nπ
∫ p Đ%nh lí 1.4 ([3, Tr 43] Khai trien chan và khai trien le) Gia su f (x) là hàm trơn tùng khúc xác đ%nh trên khoang 0 < x < p Thì f có chuői cos má r®ng trong đó a 0 ∞ + a n
Cũng như the, f có m®t chuői sin má r®ng
∞ trong đó b n n=1 sin x (0 < x < p), (1.2.9) p b n 2 p f (x) sin p 0 p xdx (n ≥ 1) (1.2.10)
Trong khoảng 0 < x < p, chuỗi (1.2.7) và (1.2.9) thể hiện tính chất tái f(x + ) + f(x − ) Định lý 1.5 ([7, Tr 178] đề cập đến khai triển chuỗi Fourier sin kép) Cho f(x, y) là một hàm liên tục trên miền K = {(x, y)|0 < x < a, 0 < y < b}, với các đạo hàm tồn tại, chúng ta có thể khai triển f(x, y) thành chuỗi Fourier sin kép Điều kiện cần là các đạo hàm riêng f_x, f_y, và f_xy phải liên tục Khi đó, f(x, y) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng vô hạn Σ Σ.
B sin x sin y, (1.2.11) trong đú hắ so chuői Fourier sin kộp B mn đưac cho bỏi
B mn = 4ab b a f (x, y) sin mπ x a sin nπb ydxdy.
Phương trỡnh Bessel bắc p ≥ 0 là Σ a n p 0 f (x) cos nπ p xdx (n ≥ 0) (1.2.8) Σ n π nπ
Mđt nghiắm cna phương trỡnh Bessel là trong đó
J p đưoc g QI là Hàm Bessel bắc p thỳ nhat Chỳ ý rang J p b% chắn tai 0,
Nghiắm thỳ hai cna phương trỡnh Bessel trong đó
(1.3.4) biắt, hàm Bessel thỳ hai khụng b% chắn gan 0
Hàm Bessel J p được sử dụng để mô tả các hiện tượng liên quan đến sóng và dao động, đặc biệt là trong các bài toán vật lý và kỹ thuật Hàm này có tính chất đối xứng và thường xuất hiện trong các phương trình vi phân Đặc biệt, hàm Bessel bậc hai là một trong những loại hàm quan trọng nhất trong lý thuyết sóng Các giá trị của hàm Bessel J p thường được tính toán theo thứ tự tăng dần để phục vụ cho các ứng dụng thực tiễn.
Do đó α pj đưoc GQI là không điem dương thú j cna J p Chúng ta đưoc các hàm
J α pj x Σ , j = 1, 2, 3, (1.3.5) Đe đơn gian kớ hiắu, ta đắt
Như vắy λ pj là giỏ tr% khụng điem dương thỳ n cna J p b% thu nho boi mđt đai lưong không đői 1 a
Vái p ≥ 0 và a > 0 Cho J p (λ pj x) (j = 1, 2, ) như trong (1 3 5) và (1 3 6) Đ%nh lí 1.6 ([3, Tr 252] Tính trnc giao cna hàm Bessel đoi vói m®t lưong) Thì a
Chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0, a) được xác định theo Định lý 1.7 Nếu f là một hàm trơn liên tục trên bãi, thì f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng A j J p (λ pj x), trong đó λ p1, λ p2, là các không điểm thu hẹp của hàm Bessel J j=1 p cho bãi.
Cỏc so A j đưac GQI là hắ so Bessel-Fourier thỳ j cua hàm f Trờn khoang
(0, a), chuői h®i tn tái f (x) khi f liên tnc và tái f(x + )+f
Phương trình Bessel bậc p với tham số α pj có nghiệm là hàm J p (α pj x), trong đó p ≥ 0 và a > 0 Nghiệm này được xác định bởi phương trình vi phân sau: x²y''(x) + xy'(x) + (λ²x² - p²)y(x) = 0, với điều kiện biên y(0) hữu hạn và y(a) = 0, khi λ = λ pj = α pj Đây là nghiệm duy nhất của phương trình (1.3.10).
(1 3 11), trự ra cỏc bđi vụ hưỏng Hơn the nua, cỏc nghiắm thúa món
(1 3 7) và (1 3 8) và như vắy chỳng trnc giao trờn đoan [0, a] đoi lưang hàm x.
Như vắy, bo đi thựa so i p chỳng ta cú hàm bien thnc.
Hàm này đưoc xác đ%nh ∞ 2k+p
(1.3 12) và đưoc GQI là hàm Bessel chsnh sua bắc p thú nhat De dàng chi ra đưoc hàm
Bessel chinh sua bắc p thoa món phương trỡnh Bessel chsnh sua bắc p x 2 y JJ + xy J − (x 2
(1.3.13) Hàm Bessel chinh sua thú nhat dương và đong bien trên mien Hàm x > 0.
K p (x) = sin (1.3.14)pπ [I −p (x) − I p (x)] cũng là thoa mãn cna phương trình Bessel chinh sua, và đđc lắp tuyen tớnh vúi I p Σ Σ
Bessel chinh sua thỳ hai khụng b% chắn gan 0. Đ%nh lí 1.9 ([3, Tr 232] Khai trien chuoi kép
Hàm f(r, θ) được xác định liên tục trong khoảng 0 < r < a và 0 < θ < 2π, với các đạo hàm riêng f_r và f_θ liên tục Khi các đạo hàm riêng f_r, f_θ và f_rθ đều liên tục, hàm f(r, θ) có thể được khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel.
J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ),
(1.3.15) m=0 n=1 trong đú hắ so a mn và b mn cho bỏi
1.4 Cỏc đ%nh lớ ve tớnh duy nhat cua nghiắm Đ%nh lí 1.10 ([2, Tr 90] Phương trình Laplace) Gia su Ω là m®t mien giái n®i vái biên S trơn tùng manh và f (P ) là m®t hàm liên tnc cho trưác trên S.
Gia sư hàm u(P) điều hòa trong miền Ω, liên thông trong miền đóng Ω ∪ S, và tại biên S, giá trị của hàm u trùng với hàm f(P) Do đó, hàm u(P) được xác định một cách duy nhất trên miền Ω ∪ S.
Chỳng minh Gia su bài toỏn cú hai nghiắm là u 1(P ) và u 2(P ) Đắt v(P )
Giả sử \( u_1(P) - u_2(P) = v \) là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng \( \Omega \cup S \) và \( v|_S = 0 \) Theo nguyên lý điều hòa trên biên, ta có \( v(P) = 0 \) trong \( \Omega \), do đó \( u_1(P) = u_2(P) \) trong \( \Omega \) Định lý 1.11 (Công thức Green) cho rằng nếu \( \Omega \) là một miền giải nội của \( S \) và \( u(x, y), v(x, y) \) là hai hàm bất kỳ có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong \( \mathbb{R}^2 \), thì giá trị biên của \( S \) là trơn tuỳ ý và \( \nabla v \) là vectơ pháp tuyến trong miền \( \Omega \), với các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng \( \Omega \cup S \).
Chúng ta có công thúc Green như sau
Chỳng ta xột bài toỏn truyen nhiắt Gia su Ω ⊂ R 2 là mđt mien giúi nđi, ta kớ hiắu V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tỡm nghiắm u(x, y, t) cna phương trình
∂ 2 u ∂ 2 u Σ vúi đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω,
Giả sử u(x, y, t) là nghiệm của bài toán (1.4.1) − (1.4.3), với S là biên của miền Ω Nghiệm u(x, y, t) phải khả vi liên tục hai lần đối với (x, y) và một lần đối với t trên miền V Khi đó, nghiệm u(x, y, t) được xác định một cách duy nhất trên V.
Để chứng minh, chúng ta xét a = 1 Nếu u1(x, y, t) và u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ của phương trình (1.4.1) − (1.4.3), thì ta có u(x, y, t) = u1(x, y, t) − u2(x, y, t) = 0 trong miền V Do đó, u(x, y, t) thỏa mãn điều kiện cần thiết.
G QI t là m®t giá tr% sao cho t ≥ 0 Xét tích phân:
I(t) = ∫∫ u 2 + u 2 Σ dxdy. Đao hàm theo t tích phân phu thu®c tham so t ta có
+ ∂u t ∂u Σ dxdy. Áp dung công thúc Green ta đưoc
Tù (1 4 6) ta có u t = 0; (x, y) ∈ S, t > 0 và tù (1 4 4) ta có
Mắt khỏc tự (1 4 5) suy ra u x (x, y, 0) = u y (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, do đú
I(0) = 0, và nhắn thay rang I(t) ≥ 0 Như vắy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay
Xột bài toỏn truyen súng Gia su Ω ⊂ R 2 là mđt mien giúi nđi, ta kớ hiắu
V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tỡm nghiắm u(x, y, t) cna phương trỡnh
∂ 2 u ∂ 2 u Σ vúi đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω,
Trong bài toán sóng được đề cập, giả sử u(x, y, t) là nghiệm của phương trình (1.4.7) - (1.4.10), với S là biên cna Ω và t > 0 Định lý 1.13 chỉ ra rằng nghiệm u(x, y, t) cùng với các đạo hàm riêng của nó đến cấp hai liên tục trên miền V sẽ được xác định.
%nh m®t cách duy nhat trên V
Để chứng minh, ta xét a = 1 Nếu u1(x, y, t) và u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ trong khoảng (1.4.7) đến (1.4.10), thì ta có u(x, y, t) = u1(x, y, t) - u2(x, y, t) = 0 trong V Do đó, u(x, y, t) thỏa mãn điều kiện cần chứng minh.
GQI t là m®t giá tr% sao cho t ≥ 0 Xét tích phân:
I(t) = ∫∫ u 2 + u 2 + u 2 Σ dxdy. Đao hàm theo t tích phân phu thu®c tham so t ta có j ∫∫
∂y ∂ y Áp dung công thúc Green ta đưoc
Tự (1 4 14) ta cú u t = 0; (x, y) ∈ S, t > 0 và tự (1 4 4) ta nhắn đưoc
Mắt khỏc tự (1 4 13) suy ra u x (x, y, 0) = u y (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈
Ω, ket hop vúi (1 4 12) ta đưoc I(0) = 0 Như vắy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay ∂u
Hình 1.1: Hình dang ban đau cna dây bi kéo ra, u(x, 0).
Hàm Bessel
Phương trỡnh Bessel bắc p ≥ 0 là Σ a n p 0 f (x) cos nπ p xdx (n ≥ 0) (1.2.8) Σ n π nπ
Mđt nghiắm cna phương trỡnh Bessel là trong đó
J p đưoc g QI là Hàm Bessel bắc p thỳ nhat Chỳ ý rang J p b% chắn tai 0,
Nghiắm thỳ hai cna phương trỡnh Bessel trong đó
(1.3.4) biắt, hàm Bessel thỳ hai khụng b% chắn gan 0
Hàm Bessel J p được sử dụng để so sánh các điểm dương trong không gian Chúng ta cần hiểu rằng các không p được GQI là Hàm Bessel bậc p thứ hai, và các đặc điểm của nó theo thứ tự tăng dần.
Do đó α pj đưoc GQI là không điem dương thú j cna J p Chúng ta đưoc các hàm
J α pj x Σ , j = 1, 2, 3, (1.3.5) Đe đơn gian kớ hiắu, ta đắt
Như vắy λ pj là giỏ tr% khụng điem dương thỳ n cna J p b% thu nho boi mđt đai lưong không đői 1 a
Vái p ≥ 0 và a > 0 Cho J p (λ pj x) (j = 1, 2, ) như trong (1 3 5) và (1 3 6) Đ%nh lí 1.6 ([3, Tr 252] Tính trnc giao cna hàm Bessel đoi vói m®t lưong) Thì a
Chuỗi Bessel bậc p trên khoảng (0, a) được xác định cho định lý 1.7 Nếu hàm f là trơn và khác không trên khoảng ∞, thì f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = A j J p (λ pj x), trong đó λ p1, λ p2, là các không điểm thu hẹp của hàm Bessel J j=1 p trên khoảng.
Cỏc so A j đưac GQI là hắ so Bessel-Fourier thỳ j cua hàm f Trờn khoang
(0, a), chuői h®i tn tái f (x) khi f liên tnc và tái f(x + )+f
Phương trình Bessel bậc p với tham số α pj có nghiệm không âm J p (α pj x) cho p ≥ 0, a > 0 Nghiệm của phương trình Bessel được mô tả bởi phương trình: x^2 y''(x) + xy'(x) + (λ^2 x^2 − p^2)y(x) = 0, với điều kiện biên y(0) hữu hạn và y(a) = 0 Khi λ = λ pj = α pj, nghiệm này là duy nhất cho phương trình Bessel bậc p.
(1 3 11), trự ra cỏc bđi vụ hưỏng Hơn the nua, cỏc nghiắm thúa món
(1 3 7) và (1 3 8) và như vắy chỳng trnc giao trờn đoan [0, a] đoi lưang hàm x.
Như vắy, bo đi thựa so i p chỳng ta cú hàm bien thnc.
Hàm này đưoc xác đ%nh ∞ 2k+p
(1.3 12) và đưoc GQI là hàm Bessel chsnh sua bắc p thú nhat De dàng chi ra đưoc hàm
Bessel chinh sua bắc p thoa món phương trỡnh Bessel chsnh sua bắc p x 2 y JJ + xy J − (x 2
(1.3.13) Hàm Bessel chinh sua thú nhat dương và đong bien trên mien Hàm x > 0.
K p (x) = sin (1.3.14)pπ [I −p (x) − I p (x)] cũng là thoa mãn cna phương trình Bessel chinh sua, và đđc lắp tuyen tớnh vúi I p Σ Σ
Bessel chinh sua thỳ hai khụng b% chắn gan 0. Đ%nh lí 1.9 ([3, Tr 232] Khai trien chuoi kép
Hàm f(r, θ) được xác định liên tục trong khoảng 0 < r < a và 0 < θ < 2π, với các đạo hàm riêng f_r và f_θ cũng liên tục Do đó, hàm f(r, θ) có thể được khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel.
J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ),
(1.3.15) m=0 n=1 trong đú hắ so a mn và b mn cho bỏi
1.4 Cỏc đ%nh lớ ve tớnh duy nhat cua nghiắm Đ%nh lí 1.10 ([2, Tr 90] Phương trình Laplace) Gia su Ω là m®t mien giái n®i vái biên S trơn tùng manh và f (P ) là m®t hàm liên tnc cho trưác trên S.
Gia sư hàm u(P) điều hòa trong miền Ω, liên thông trong miền đóng Ω ∪ S, và tại biên S, giá trị của hàm u trùng với hàm f(P) Do đó, hàm u(P) được xác định một cách duy nhất trên miền Ω ∪ S.
Chỳng minh Gia su bài toỏn cú hai nghiắm là u 1(P ) và u 2(P ) Đắt v(P )
Giả sử \( u_1(P) - u_2(P) \) là một hàm điều hòa liên tục trong miền đóng \( \Omega \cup S \) và \( v|_S = 0 \) Theo nguyên lý điều hòa trên biên, ta có \( v(P) = 0 \) trong \( \Omega \), dẫn đến \( u_1(P) = u_2(P) \) trong \( \Omega \) Định lý 1.11 (Công thức Green) cho rằng nếu \( \Omega \) là một miền giải nội của \( S \) và \( u(x, y), v(x, y) \) là hai hàm bất kỳ có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong \( \mathbb{R}^2 \), thì điều kiện biên \( S \) là trơn tuỳ ý, với \( \vec{n} \) là vectơ pháp tuyến trong miền \( \Omega \) và các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng \( \Omega \cup S \).
Chúng ta có công thúc Green như sau
Chỳng ta xột bài toỏn truyen nhiắt Gia su Ω ⊂ R 2 là mđt mien giúi nđi, ta kớ hiắu V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tỡm nghiắm u(x, y, t) cna phương trình
∂ 2 u ∂ 2 u Σ vúi đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω,
Trong bài toán này, ta xem xét hàm u(x, y, t) trên miền Ω với biên S Theo định lý 1.12, giả sử u(x, y, t) là nghiệm của hệ phương trình (1.4.1) đến (1.4.3), với điều kiện rằng nó liên tục hai lần đối với (x, y) và một lần đối với t trên miền V Khi đó, nghiệm u(x, y, t) được xác định một cách duy nhất trên miền V.
Để chứng minh, ta xét a = 1 Nếu u1(x, y, t) và u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (1.4.1) − (1.4.3), thì ta có u(x, y, t) = u1(x, y, t) − u2(x, y, t) = 0 trong miền V Do đó, u(x, y, t) thỏa mãn điều kiện cần thiết.
G QI t là m®t giá tr% sao cho t ≥ 0 Xét tích phân:
I(t) = ∫∫ u 2 + u 2 Σ dxdy. Đao hàm theo t tích phân phu thu®c tham so t ta có
+ ∂u t ∂u Σ dxdy. Áp dung công thúc Green ta đưoc
Tù (1 4 6) ta có u t = 0; (x, y) ∈ S, t > 0 và tù (1 4 4) ta có
Mắt khỏc tự (1 4 5) suy ra u x (x, y, 0) = u y (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, do đú
I(0) = 0, và nhắn thay rang I(t) ≥ 0 Như vắy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay
Xột bài toỏn truyen súng Gia su Ω ⊂ R 2 là mđt mien giúi nđi, ta kớ hiắu
V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tỡm nghiắm u(x, y, t) cna phương trỡnh
∂ 2 u ∂ 2 u Σ vúi đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω,
Trong bài toán sóng, với điều kiện S là biên cna Ω và t > 0, ta có phương trình (1.4.10) Định lý 1.13 khẳng định rằng nếu u(x, y, t) là nghiệm của bài toán (1.4.7) - (1.4.10) và các đạo hàm riêng cấp hai của nó tồn tại liên tục trên miền V, thì nghiệm u(x, y, t) được xác định một cách rõ ràng.
%nh m®t cách duy nhat trên V
Để chứng minh, ta xét a = 1 Nếu u1(x, y, t) và u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳ của phương trình (1.4.7) đến (1.4.10), thì ta có u(x, y, t) = u1(x, y, t) − u2(x, y, t) = 0 trong miền V Do đó, u(x, y, t) thỏa mãn điều kiện cần thiết.
GQI t là m®t giá tr% sao cho t ≥ 0 Xét tích phân:
I(t) = ∫∫ u 2 + u 2 + u 2 Σ dxdy. Đao hàm theo t tích phân phu thu®c tham so t ta có j ∫∫
∂y ∂ y Áp dung công thúc Green ta đưoc
Tự (1 4 14) ta cú u t = 0; (x, y) ∈ S, t > 0 và tự (1 4 4) ta nhắn đưoc
Mắt khỏc tự (1 4 13) suy ra u x (x, y, 0) = u y (x, y, 0) = 0, (x, y) ∈
Ω, ket hop vúi (1 4 12) ta đưoc I(0) = 0 Như vắy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay ∂u
Hình 1.1: Hình dang ban đau cna dây bi kéo ra, u(x, 0).
1.5 Phương trình sóng m®t chieu: Phương pháp tách bien mỳt đưoc gan chắt tai x = 0 và x = L (Hỡnh 1.1) Cho u(x; t) bieu th% v% trí Gia su m®t đoan dây đàn hoi đưoc kéo dài trên truc thnc vói cácđau tai thòi điem t cna điem x trên dây The thì u(x; t) thoa mãn phương trình sóng m®t chieu
, 0 < x < L, t > 0 (1.5.1) Đe tỡm u(x; t) Chỳng ta se giai phương trỡnh vúi đieu kiắn biờn u(0; t) = 0và u(L; t) = 0vói MQI t > 0, (1.5.2) và đieu kiắn ban đau u(x, 0) = f
Trong điều kiện biên, hàm f(x) mô tả hình dạng của đường cong, trong khi g(x) xác định vận tốc tại các điểm biên Các điều kiện này cần được giữ chặt trong quá trình giải bài toán, nhằm đảm bảo tính chính xác và nhất quán của kết quả.
Chỳng ta se giai bài toỏn bang phương phỏp tỏch bien Đe làm női bắt ý tưong cna phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bưóc cơ ban.
Bưác 1: Tách bien trong (1.5.1) và (1.5.2)
Ta tìm nghiệm cho phương trình (1.5.1) có dạng u(x, t) = X(x)T(t) (1.5.4), trong đó X(x) là hàm phụ thuộc vào biến x và T(t) là hàm phụ thuộc vào biến t Bài toán hiện tại là tìm các hàm X và T, điều này giúp đơn giản hóa quá trình giải Bằng cách lấy vi phân của (1.5.4) theo x và t, ta thu được ∂²u/∂t².
XT JJ = c 2 X JJ T, chia hai ve cho c 2 XT , ta đưoc
Trong phương trình (1.5.5), bên trái là một hàm phụ thuộc vào t, trong khi bên phải là một hàm phụ thuộc vào x Do các biến t và x được cố định, nên cả hai vế của phương trình (1.5.5) phải bằng một hằng số.
Phương trình sóng m®t chieu: Phương pháp tách bien
Tách biên mỳt được gán chặt tại x = 0 và x = L (Hình 1.1) Hàm u(x, t) biểu thị vị trí gia súc của một đoạn dây đàn hồi kéo dài trên trục thẳng, với các đầu tai tại thời điểm t và điểm x trên dây Hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình sóng một chiều.
, 0 < x < L, t > 0 (1.5.1) Đe tỡm u(x; t) Chỳng ta se giai phương trỡnh vúi đieu kiắn biờn u(0; t) = 0và u(L; t) = 0vói MQI t > 0, (1.5.2) và đieu kiắn ban đau u(x, 0) = f
Trong điều kiện biên cho bài toán, hàm số f(x) thể hiện hình dạng của miền cần khảo sát, trong khi hàm g(x) mô tả vận tốc tại biên của miền đó Các điều kiện này rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác và ổn định của bài toán trong không gian miền.
Chỳng ta se giai bài toỏn bang phương phỏp tỏch bien Đe làm női bắt ý tưong cna phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bưóc cơ ban.
Bưác 1: Tách bien trong (1.5.1) và (1.5.2)
Ta tìm nghiệm cho bài toán (1.5.1) với dạng u(x, t) = X(x)T(t), trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T(t) là hàm chỉ phụ thuộc vào t Bài toán hiện tại là xác định các hàm X và T, giúp đơn giản hóa quá trình giải Bằng cách lấy vi phân của (1.5.4) đối với x và t, ta nhận được ∂²u/∂t².
XT JJ = c 2 X JJ T, chia hai ve cho c 2 XT , ta đưoc
Trong phương trình (1.5.5), vế trái là một hàm phụ thuộc vào t, trong khi vế phải là một hàm phụ thuộc vào x Do các biến t và x là cố định, nên cả hai vế của phương trình (1.5.5) phải bằng hằng số.
X = k, trong đó k là một hằng số không đổi, được gọi là hằng số tách Chúng ta có thể viết lại các phương trình tách ra như hai phương trình vi phân thông thường.
Tiep theo là tỏch bien trong đieu kiắn biờn (1 5 2) Su dung (1 5 4) và đieu kiắn biờn, ta cú
Neu X(0) ƒ= 0 hoắc X(L) ƒ= 0, thỡ T (t) = 0 vúi MQI t > 0, và như vắy, tự
(1 5 4), u đong nhat khụng Đe trỏnh nghiắm tam thưũng, ta xột
Như vắy chỳng ta đi đen bài toỏn giỏ tr% biờn trong X:
Bưỏc 2: Giai cỏc phương trỡnh đđc lẳp
Neu k dương, lay k = à 2 vúi à > 0, lỳc này phương trỡnh an X tro thành
X JJ − à 2 X = 0, vúi nghiắm tőng quỏt
Do X(0) = 0 và X(L) = 0 , kộo theo X = 0 Như vắy, trưũng hop k >
Khi k = 0, phương trình vi phân rời rạc GQN trở thành X JJ = 0, dẫn đến tổng quát X(x) = c1 x + c2 Chỉ có một khả năng duy nhất thỏa mãn điều kiện biên là c1 = c2 = 0, nghĩa là hàm nghiệm trở thành u = 0 Cuối cùng, cần kiểm tra khả năng k = -a² < 0.
Bài toán giá tr% biên tương úng an X là
Nghiắm tőng quỏt cna phương trỡnh vi phõn là
X = c 1 cos àx + c 2 sin àx. Đieu kiắn X(0) = 0 kộo theo c 1 = 0, và do đú X = c 2 sin àx Đieu kiắn
Bo nghiắm tam thưũng X = 0, ta lay c 2 = 1, vúi ộp buđc sin àL = 0.
Tù đó ta có và do đú à = à n nπ
Chú ý rằng các giá trị trong biểu thức đã được thay đổi, tuy nhiên các ý nghĩa tương ứng vẫn được giữ nguyên Bây giờ, chúng ta sẽ quay lại với các giá trị cụ thể và áp dụng công thức k = -2 = -nπ Σ 2 để đạt được kết quả mong muốn.
Nghiắm tőng quỏt cna phương trỡnh này là
T n = b n cos λ n t + b ∗ n sin λ n t, trong đú ta cú tắp λ n nπ , n = 1, 2, L
Ket hop nghiắm X và T mụ ta boi (1 5 4), ta thu đưoc tắp vụ han nghiắm tớch cna (1 5 1), thoa món tat ca cỏc đieu kiắn biờn (1 5 2): u n (x, t) = sin L xnπ
Các nghiêm trên cũn được GQI là các nghiêm cơ bản của phương trình truyền súng Vì tất cả các nghiêm trên đều thỏa mãn phương trình tuyến tính đồng nhất (1.5.1) và điều kiện biên (1.5.2), theo nguyên lý cộng nghiêm, MQI tổ hợp tuyến tính cũng sẽ thỏa mãn (1.5.1) và (1.5.2) Tuy nhiên, không khó để thấy rằng một số kết hợp tuyến tính như vậy có thể không thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.5.3) Vì vậy, thực tế bởi nguyên lý chồng chất, coi tổ hợp tuyến tính “vô cùng”.
L n cos λ n t + b ∗ n sin λ n t) n=1 như là mđt nghiắm cna bài toỏn giỏ tr% biờn (1 5 1) − (1 5 3).
Bưỏc 3: Chuői Fourier nghiẳm cua toàn bđ bài toỏn cỏc hắ so chưa biet bđau Đe giai quyet van đe mđt cỏch n và b ∗ n đe hàm u(x; t) rừ TRQN ven Chỳng ta can phai xỏc đ%nhthoa món đieu kiắn ban
(1 5 3) Bat đau vúi đieu kiắn thỳ nhat trong (1 5 3), tai thũi điem ban đau t = 0 thay vào chuoi vô han u, ta đưoc
Gia sư hàm f(x) có khai triển Fourier, trong đó chuỗi được thể hiện ở trên là chuỗi khai triển sin của f Các hệ số bn là các hệ số của hàm sin Theo định luật (1.4): bn = (2/L) ∫ f(x) sin.
Tương tn, ta xỏc đ%nh b n tự đieu kiắn ban đau thỳ hai trong (1 5 3) Đao hàm riêng chuoi u theo bien t, và thay t = 0, ta đưoc ∞ g(x) = Σ b ∗ n λ n nπ sinL x. n=1
Gia su g(x) có khai trien Fourier, ve phai là khai trien cos cna g, ta có b ∗ n λ n 2 L g(x) sin
Thay các giá tr% λ n , ta đưoc b ∗ n 2 L cnπ 0 g(x) sin Σ Σ
Ta đó xỏc đ%nh đưoc tat ca cỏc hắ so trong chuoi đai diắn cho nghiắm u Ta tóm tat lai ket qua như sau.
Ket qua 1.1 Nghiắm cua phương trỡnh truyen súng mđt chieu vỏi đieu kiắn biên
∂x 2 , 0 < x < L, t > 0, u(0; t) = 0và u(L; t) = 0vái MQI t > 0 và đieu kiắn ban đau u(x, 0) = f
∂t đieu kiắn tương thớch f (0) = f (L) = g(0) = g(L) = 0) (gia thiet thêm rang f, g có the khai trien thành chuői Fourier và thóa mãnlà
Phương trình đao hàm riêng hai chieu
Phương trình Laplace
2.2.1 Phương trỡnh Laplace trờn hỡnh chE nhắt
Bài toỏn 2.2.1 (Phương trỡnh Laplace trờn hỡnh chu nhắt) Chỳng ta xem xét phương trình
Chúng ta sẽ giải bài toán xác định trên biên của hình chữ nhật thông qua phương trình Laplace hai biến Trong phần này, chúng ta thiết lập điều kiện biên Dirichlet với u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x) cho 0 < x < a, và u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y) cho 0 < y < b, như được minh họa trong Hình 2.1.
Hỡnh 2.1: Bài toỏn Dirichlet tőng quỏt trờn mđt hỡnh chu nhắt. m n
Bài toán Dirichlet liên quan đến phương trình Laplace trên miền phẳng với điều kiện biên được xác định trên biên GQI Trong bài toán này, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp đặc biệt khi f1, g1 và g2 đều bằng không Để giải quyết bài toán tổng quát này, chúng ta sẽ bắt đầu tìm nghiệm tách biến với dạng u(x, y) = X(x)Y.
(y) The Giai quyet bài toán biên đưoc mô ta trong Hình 2.2 bang su dung phương
Hỡnh 2.2: Bài toỏn Dirichlet trờn hỡnh chu nhắt. vào (2 2 1) và su dung phương pháp tách, chúng ta đi đen các phương trình
X JJ + kX = 0, Y JJ − kY = 0, trong đú k là hang so tỏch, vúi đieu kiắn biờn
X(0) = 0, X(a) = 0, và Y (0) = 0. Đoi vói bài toán biên an X, de dàng kiem tra vói giá tr% k ≤ 0 chi cho nghiắm tam thưũng Đoi vúi k = à 2 > 0, chỳng ta nhắn đưoc nghiắm
X = c 1 cos àx + c 2 sin àx The vào đieu kiắn biờn cna X suy ra c 1
Thay vào Y vúi k = à 2 , chỳng ta tỡm đưoc Y n (y) = A n cosh à n y+B n sinh à n y.
Cho Y (0) = 0, ta đưoc A n = 0, và do đó
Như vắy chỳng ta tỡm đưoc cỏc nghiắm tớch u n (x, y) = B n sin Gia su nghiắm tőng quỏt cú dang
Cuoi cựng, su dung đieu kiắn biờn u(x, b) = f 2(x) suy ra rang
Gia số răng Fourier có thể được khai triển thành chuỗi Fourier để thỏa mãn điều kiện biên cứng Để thực hiện điều này, chúng ta cần xác định hệ số Fourier, trong đó hệ số sin được tính cho hàm f(x) trên khoảng 0 < x < a Theo định lý 1.4, phần 1.2, chúng ta có thể áp dụng các công thức để tìm ra các hệ số cần thiết cho chuỗi Fourier.
Bài toán Dirichlet được trình bày trong Hình 2.2 có thể được giải quyết bằng cách áp dụng phương pháp (2.2.2), và sau đó chúng ta sẽ quay lại bài toán tổng quát trong Hình 2.1 Để thực hiện điều này, chúng ta cần chia bài toán ban đầu thành những bài toán nhỏ hơn, như đã mô tả trong Hình 2.3.
GQI u 1 , u 2 , u 3 , u 4 là nghiắm cna cỏc bài toỏn nho 1,2,3,4, tương ỳng Bang tính toán trnc tiep, chúng ta thay rang hàm nπ n= n a a
∫ n π u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 là nghiắm bài toỏn ban đau cho trong Hỡnh 2.1 Như vắy chỳng ta chi can xác đ%nh u 1 , u 2 , u 3 , u 4 Hàm u 2 đã đưoc tìm ra trong phan trên Chúng ta có
Hình 2.3: Tính chat tuyen tính đưoc su dung chia bài toán Dirichlet thành
"tőng" bon bài toán Dirichlet đơn gian. trong đó
Cỏc nghiắm khỏc đưoc tỡm tương tn Đắc biắt, u 4 là như u 2 ngoai trự a và b là đői cho cho nhau, cũng vắy vúi x và y Như vắy
Nghiắm u 1 và u 3 tỡm tương tn Chỳng ta cú
∫ n π và u (x, y) Σ C nπ nπ sinh (a − x) sin y, tro ngđó
Chúng ta đã hoàn thành viắc giai quyet bài toán Dirichlet trong
Hình 2.1 Chúng ta tóm tat ket qua như sau.
Ket qua 2.3 Nghiắm cua bài toán Dirichlet hai chieu trong
D nπ nπ sinh x sin y trong đú cỏc hắ so A n , B n , C n , và D n đưac xỏc đ
Bài toán 2.2.2 (Phương trình Poisson trên hình chu nhắt: Phương phỏp hàm riờng) Tỡm nghiắm cna phương trỡnh Poisson
(2.2.9) vúi đieu kiắn biờn u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 vói 0
Chúng ta xét nghiắ m có dang
Trong phương trình E mπ nπ sin x sin y, E mn là hệ số xác định Chúng ta dễ dàng kiểm tra thỏa mãn điều kiện biên Như chúng ta đã biết, các hàm sin mπ x sin nπ y là hàm riêng của biến đổi Laplace trên hình chữ nhật, với giá trị riêng tương ứng là λ = a^2 + b^2.
The u vào phương trỡnh (2 2 9), chỳng ta nhắn đưoc
∞ ∞ Σ Σ −E λ mπ nπ sin x sin y = f (x, y). Đây là m®t khai trien chuoi Fourier sin kép cna f (x, y) (Đ%nh lí 1.5 ), chúng ta ket luắn rang
E mn = abλ− 4 b a f (x, y) sin mπ x a sin nπb ydxdy. mn 0 0
Bài toỏn 2.2.3 (Bài toỏn hon hop tőng quỏt) Tỡm nghiắm cna phương trình
Để giải phương trình đạo hàm riêng bậc hai ∂y² = f(x, y) trong miền 0 < x < a và 0 < y < b, chúng ta áp dụng các điều kiện biên u(x, 0) = f₁(x), u(x, b) = f₂(x) cho 0 < x < a, và u(0, y) = g₁(y), u(a, y) = g₂(y) cho 0 < y < b Các hàm f₁, f₂, g₁, g₂ cần được khai triển thành chuỗi Fourier, trong khi f(x, y) cũng được khai triển thành chuỗi Fourier kép Điều kiện tương thích giữa các hàm là f₁(a) = g₂(0), g₂(b) = f₂(a), f₂(0) = g₁(b), và g₁(0) = f₁(0).
Lài giai Nghiắm cna bài toỏn hon hop tőng quỏt là u = u 1 + u 2 , trong đú u 1 là nghiắm cna Bài toỏn 2.2.1 và u 2 là nghiắm cna Bài toỏn
Vớ dn 2.1 Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
∂y 2 = xy,0 < x < π, 0 < y < π, vúi đieu kiắn biờn u(x, 0) = x cos 2x,= sin x, 0 < x < π, u(0, y) =u(x, π) sin 3y, u(π, y) = π − y,< π 0 < y
Lài giai Nghiắm cna bài toỏn là u = v + ω, trong đú v là nghiắm cna bài toỏn
∂y 2 = 0,0 < x < π, 0 < y < π, v(x, 0) = x cos 2x, v(x, π) = sin x, 0 < x < π, v(0, y) = sin 3y, v(π, y) = π − y, 0 < y < π, và ω là nghiắm cna bài toỏn
Theo Ket qua 2 3, ta có
D n sinh nx sin ny trong đó n=1
Tù Bài toán 2 2 2, ta có
∞ ∞ trong đó ω(x, y) = E mn sin mx sin ny, n=1 m=1
Vắy nghiắm cna bài toỏn đó cho là
1 1 u(x, y) sinh π sin x sinh y + sinh 3π sinh 3(π − x) sin 3y
+ −2 sinh nx sin ny + n sinh nπ
4(−1) sin mx sin ny. mn(m 2 + n 2 ) n=1 n=1 m=1
2.2.2.Phương trình Laplace trên hình tròn
Bài toán 2.2.4 (Phương trình Laplace trên hình tròn) Xem xét
Phương trình Laplace hai chieu (trong TQA đ® cnc): Σ Σ
E mn = π 2 (m 2 + 0 0 xy sin mx sin nydxdy Σ
(2.2.12) Theo phương phỏp tỏch bien, chỳng ta tỡm nghiắm tớch cna (2 2 11) dang u(r, θ) = R(r)Θ(θ) Thay vào (2 2 11) và rút GQN , chúng ta đưoc
Tù đó, ta đưoc các phương trình tách h a y r 2 R JJ
Nhó lai rang Θ là tuan hoàn chu kỳ 2π Tù nhung hieu biet nghiắm cna phương trình Θ JJ + λΘ 0, chỳng ta ket luắn rang λ
= n 2 (n = 0, 1, 2, ), đe cú đưoc nghiắm tuan hoàn chu kỳ 2π theo θ.
Như vắy cỏc phương trỡnh tách tro thành r
Chỳng ta cú nghiắm tuan hoàn chu kỳ 2π Θ = Θ n = a n cos nθ + b n sin nθ, n = 0, 1, 2, Chỳng ta nhắn thay rang phương trình an R là phương trình Euler, và do đú chỳng ta cú nghiắm
+c lnΣ n r 0 Đoi vói bài toán
Dirichlet trên đĩa, nghiắm se van b% chắn tai 0
= 0, do r Σ −n và ln r Σ không b% chắn k h i r
2 a chỳng ta đi đen nghiắm tích n
Tőng vụ han cỏc nghiắm, chỳng ta cú u(r, θ) a 0
+ b n sin nθ] (2.2.14) cna hàm biên f (θ) Bõy giũ chỳng ta thay, cỏc hắ so chưa biet a 0 , a n , b n chớnh là hắ so
Thay r = a vào (2 2 14) và su dung (2 2 12) chúng ta đưoc
∞ f (θ) = u(a, θ) = a 0 + (a n cos nθ + b n sin nθ). Đõy là bieu dien chuoi Fourier cna f , và do đú hắ so cho boi n=1
Tóm lai chúng ta có ket qua sau.
Kết quả 2.4 cho thấy rằng nghiệm của phương trình Laplace (2.2.11) với điều kiện biên (2.2.12) được cung cấp bởi (2.2.14), trong đó a0, an, bn là hệ số Fourier của hàm f(θ) tuần hoàn chu kỳ 2π được xác định bởi (2.2.15).
Bài toán 2.2.5 (Phương trình Poisson trên hình tròn) Xem xét bài toán
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khai triển theo hàm riêng để tìm hiểu về mđt nghiắm cna (2.2.16) với dữ liệu bảng không trên biến Phương pháp này giúp chúng ta có cái nhìn rõ ràng hơn về vấn đề đang nghiên cứu.
J m (λ mn r)(A mn cos mθ + B mn sin mθ) (2.2.18) m=0 n=1 u thoa món đieu kiắn biờn Như chỳng ta đó biet cỏc hàm cos mθ
Hàm Bessel J_m(λ_mn r) được xác định bởi các hằng số A_mn và B_mn Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra và xác nhận rằng J_m(λ_mn r) là hàm riêng của toán tử Laplace trên hình tròn, với các giá trị riêng tương ứng là k_mn^2 = α_mn Σ^2, trong đó m = 0, 1, 2, và n = 1, 2,
(2 2 16) và su dung tính chat moi hàm riêng đeu thoa mãn (2 1 7), chúng ta trong đó α mn là không điem dương thú n cna hàm Bessel J m Thay vào đưoc
−λ 2 J m (λ mn r)(A mn cos mθ + B mn sin mθ) = g(r, θ). m=0 n=1 Đây là khai trien theo hàm riêng cna hàm g(r, θ), chúng ta áp dung Đ%nh lý 1.9, se tìm đưoc A mn và B mn ,
Bài toỏn 2.2.6 (Bài toỏn hon hop tőng quỏt) Tỡm nghiắm cna phương trình
(α m n ) 0 0 g(r, θ) sin mθ J m (λ mn r)rdθdr, thoa món đieu kiắn biờn u(a, θ) = f (θ), 0 < θ < 2π, gia thiet rang f khai trien đưoc thành chuoi Fourier, g khai trien đưoc thành chuoi kộp và đieu kiắn tương thớch f (0) = f (2π).
Để kiểm tra được ràng buộc của bài toán tổng quát, ta có thể xác định rằng u = u1 + u2, trong đó u1 là nghiệm của bài toán 2.2.4 và u2 là nghiệm của bài toán khác.
Vớ dn 2.2 Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
∂r 2 + r ∂r + r 2 ∂θ 2 = 1, 0 < r < 1, 0 < θ < 2π, thoa món đieu kiắn biờn u(a, θ) 1
Lài giai Nghiắm cna bài toỏn là u = v + ω, trong đú v là nghiắm cna bài toỏn
1 u(a, θ) và ω là nghiắm cna bài toỏn
Tìm v, ta có trong đó
∞ ∞ n=1 trong đó ω(r, θ) J m (λ mn r)(A mn cos mθ + B mn sin mθ), m=0 n=1
(α m n ) 0 0 sin mθ J m (λ mn r)rdθdr vói m, n
Vắy nghiắm cna bài toán ban đau can tìm là ∞ ∞ u sin
Phương trình sóng
2.3.1 Phương trỡnh súng trờn mđt hỡnh chE nhắt
Bài toán 2.3.1 Gia su rang m®t màng mong đàn hoi đưoc kéo căng trên mđt hỡnh chu nhắt cú kớch thưúc a và b, và cỏc canh đưoc giu co đ%nh (Hình
4) Màng đưoc thiet lắp dao đđng bang cỏch kộo nú theo chieu DQ c roi tha ra.
Hình 2.4: Hình dang ban đau cna màng vói các canh đưoc co đ%nh.
Sn dao đ®ng cna màng đưoc bieu th% boi phương trình sóng hai chieu
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm u = u(x, y, t), thể hiện sự biến đổi của một điểm (x, y) tại thời điểm t Các điều kiện biên được xác định bởi u(x, y, t) ≥ 0 trên biên MQI, với các điều kiện biên cụ thể là u(0, y, t) = 0 và u(a, y, t) = 0, trong đó a là một hằng số dương.
Cỏc đieu kiắn ban đau0.
∂t (2.3.3) bieu dien tương ỳng cho v% trớ và vắn toc cna màng tai thũi điem t = 0 Đe xác đ%nh dao đ®ng cna màng, chúng ta phai tìm hàm u thoa mãn
(2 3 1)−(2 3 3) Ta se giai bài toán biên này bang phương pháp tách bien.
Chỳng ta tỡm nghiắm tớch cú dang u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t).
XY T JJ = c 2 (X JJ Y T + XY JJ T ).
Chia ca hai ve cho c 2 XY T , ta đưoc c 2 T
Đồ thị trái là một hàm phụ thuộc vào t, trong khi đồ thị phải là một hàm phụ thuộc vào x và y, và biểu thức của cả hai đồ thị phải cùng bằng một hằng số Chúng ta chỉ xem xét các hằng số tách âm, loại trừ các trường hợp không âm bởi những lắp luẩn, để đảm bảo tính chính xác trong phân tích, từ đó chỉ ra các nghiệm tam thức.
Phương trình thú nhat cho
(cú nghiắm tuan hoàn ) và phương trỡnh thỳ hai cho
Boi vì phương trình này có ve phai chi phu thu®c vào y và ve trái chi phu thu®c vào x, chúng ta suy ra rang
Phương trình X JJ + à 2 X = 0 và Y JJ + v 2 Y = 0 có thể được giải quyết bằng cách sử dụng v 2 = k 2 − à 2 Trong quá trình này, chúng ta sẽ loại bỏ tất cả các giá trị không âm của hằng số tách trên cơ sở, giúp chúng ta tập trung vào các nghiệm chính xác hơn.
Tỏch bien trong đieu kiắn biờn (2 3 2), chỳng ta dan đen cỏc phương trỡnh
Nghiẳm cua phương trỡnh tỏch
Nghiắm tőng quỏt cna ba phương trỡnh vi phõn trờn, lan lưot là,
X(x) = c 1 cos àx + c 2 sin àx, Y (y) = dvy + d 2 sin vy, 1 cos
Tự đieu kiắn biờn cna X và Y chỳng ta nhắn đưoc c 1 = 0 và c 2 sin àa
= 0, d 1 = 0 và d 2 sin va = 0 Như vắy
Chú ý rằng nếu m = 0 hoặc n = 0, các nghiệm là đồng nhất không, nên không cần quan tâm Tương tự, các giá trị âm của m và n chỉ thay đổi dấu của nghiệm và do đó không ảnh hưởng đến nghiệm múi Với m, n = 1, 2, chúng ta có.
√ 2 2 m 2 π 2 n 2 π 2 nπ à m + v n a 2 b 2 k = k mn và do đó trong đú ta đắtT (t) = T mn = B mn cos λ mn t + B m ∗ n sin λ mn t, λ mn = cπ a 2 + b
Cỏc λ mn đưoc GQI là cỏc đắc trưng tan so cna màng.2
Trong trường hợp dây dao động, các tần số đặc trưng không chỉ là bậc nguyên căn mà còn có thể là tần số cơ sở của bất kỳ hệ thống nào Do đó, chúng ta có thể xác định được nghiệm tích thỏa mãn các phương trình (2.3.1) và (2.3.2): mπu = sin(nπx) sin(y)(B cos(λt) + B* sin(λt)).
Cỏc hàm u mn đưoc GQI là cỏc nghiắm cơ ban cna phương trỡnh súng hai chieu.
Chuỗi Fourier kèm nghiêng của toàn bộ bài toán nhằm tìm ra một nghiệm đáp ứng được các điều kiện ban đầu Theo nguyên lý chồng chất, chúng ta sẽ tổng hợp tất cả các nghiệm cơ bản để thu được nghiệm tổng quát.
B ∗ si n λ mπ nπ t) sin x sin y. mn mn n
Tự đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = f (x, y), ta đưoc
Gia su f (x, y) khai trien đưoc thành chuoi Fourier kép, theo Đ
%nh lí 1 5, chỳng ta nhắn đưoc 4
Tương tn, su dung đieu kiắn ban đau thỳ hai, ta cú
Gia su g(x, y) khai trien đưoc thành chuoi Fourier kép, theo Đ%nh lí 1 5, ta đưoc
4 b a abλ g(x, y) sin mπ x a sin ydxdy (2.3.7) b mn 0 0
Chỳng ta đó hoàn toàn xỏc đ%nh đưoc nghiắm cna màng hỡnh chu nhắt dao đ®ng và ta tóm tat ket qua như sau.
Ket qua 2.5 Nghiắm cua phương trỡnh súng hai chieu (2 3 1) vỏi đieu kiắn biờn (2 3 2) và đieu kiắn ban đau (2 3 ∞ ∞ 3) là u(x, y, t) = Σ Σ(B cos λ t +
B ∗ sin λ mπ nπ t) sin x sin y, trong đó mn n=1 m=1 mn mn mn a b
m 2 n 2 và B mn , B m ∗ n xác đ%nh trong (2 3 6) và (2 3 7).
Bài toán 2.3.2 (Phương trình sóng hai chieu không thuan nhat trên hình chu nhắt) Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
(2.3.8) vúi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = 0 và u(a, y, t) 0,
+ và và đieu kiắn ban đau 0, a, 0, u(x, y, 0) = 0 và
Chúng ta áp dụng phương pháp hàm riêng cho bài toán này bằng cách sử dụng biến đổi Laplace Hàm riêng biến đổi Laplace là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các phương trình vi phân.
Do đó các hàm riêng là φ mn (x) = sin mπ x sin nπ y (m, n = 1, 2, ), vói giá a b tr% riêng tương úng là k mn
+ n 2 Σ Chỳng ta tỡm nghiắm dưúi dang
Gia su ta phân tích đưoc f (x, y, t) thành chuoi Fourier kép theo hàm sin ∞ ∞ f (x, y, t) = Σ Σ f mπ nπ
(t) sin x sin y, trong đó n=1 m=1 mn
The vào phương trỡnh (2 3 ∞ ∞ 8), chỳng ta nhắn đưoc ∞ ∞ Σ Σ u JJ (t) sin mπ x sin nπ y + Σ Σ c 2 k mπ nπ u (t) sin x sin y mn n=1 m=1 a b n=1 m=1
(t) sin x sin y. mn a b b 2 a 2 n=1 m n a b f mn (t) ab 0 0 f (x, y) sin x sin ydxdy. n=1 m=1
Tù đó ta có các phương trình u J m J n (t) + c 2 k mn u mn (t) = f mn (t), m, n = 1,
Tự đieu kiắn ban đau, chỳng ta nhắn đưoc
Do đó mn a b n=1 m=1 u mn (0) = 0, u J mn (0) = 0, n = 1, 2, 3, (2.3.10) Nghiắm cna (2 3 9) − (2 3 10) cú dang u mn (t)
Vắy nghiắm cna bài toỏn là Σ Σ mπ nπ 1 ∫ t √ trong đó k mn = π 2 m + n Σ.
Bài toán 2.3.3 (Bài toán phương trình sóng hon hop tőng quát trên hình chu nhắt) Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
(2.3.11) vúi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = à 1(y, t) và u(a, y, t) à 2(y, t),
∞ ∞ u(x, y, t) = si n x sin b y c√ k m n 0 f mn (ω) sin k mn (t− a 2 b 2
Σ và gia thiet rang υ 2(x, t), > 0, à 1(0, t) = υ 1(0, t), υ 1(a, t) = à 2(0, t), à 2(b, t) = υ 2(a, t), υ 2(0, t) à 1(b, t); t > 0, và đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = φ(x, y) và
Tính toán trnc tiep ta đưoc u ∗ (0, y, t) = à 1(y, t) và u ∗ (a, y, t) = à 2(y, t),
Để kiểm tra nghiệm của bài toán, ta có công thức u = v + ω + u ∗ Trong đó, v(x, y, t) là nghiệm của phương trình v tt = c 2 (v xx + v yy) với các điều kiện biên v(0, y, t) = v(a, y, t) = 0 và v(x, 0, t) = v(x, b, t) = 0 Nghiệm ban đầu được xác định bởi v(x, y, 0) = φ(x, y) − u ∗ (x, y, 0) và v t (x, y, 0) = ψ(x, y) − u ∗ t (x, y, 0) Đồng thời, ω(x, y, t) là nghiệm của phương trình ω tt = c 2 (ω xx + ω yy) + f (x, y, t) − Σ u ∗ tt − c 2 (u ∗ xx + u ∗ yy)Σ.
Như vắy chỳng ta đó đưa bài toỏn tőng quỏt ve cỏc bài toỏn đó biet cỏch giai.
Vớ dn 2.3 Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
(2.3.12) vúi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = yt và u(1, y, t) = (1 − y)t, 0
< x < 1, t > 0, và đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = 100 và
Lài giai Ta có Đắt A(t) = 0, B(t) = −t, C(t) = −t, D(t) = 2t. u ∗ (x, y, t) = −xt−yt+2xyt+xt+y[(1−x)t−xt]+yt+x[(1−y)t−yt] (x+y−2xy)t,
Tính toán trnc tiep ta đưoc u ∗ (0, y, t) = yt và u ∗ (1, y, t) = (1 − y)t, 0
1 Σ2 (u ∗ xx + u ∗ yy ) = 0. Nghiắm cna bài toỏn là u = v + ω + u ∗ , vúi v(x, y, t) là nghiắm cna bài toỏn v tt = (1/π) 2 (v xx + v yy ), 0 < x < 1, 0 < y < 1, t > 0, v(0, y, t) = v(1, y, t) = 0,0 < y < 1, t > 0, v(x, 0, t) = v(x, 1, t) = 0, 0 < x < 1, t > 0, v(x, y, 0) = 100, 0 < x < 1, 0 < y < 1, v t (x, y, 0) = 2 sin πx sin 2πy, 0 < x < 1, 0 < y < 1, và ω(x, y, t) là nghiắm cna bài toỏn
Theo Ket qua 2 5, ta có
∞ ∞ v(x, y, t) = (B mn cos λ mn t + B m ∗ n sin λ mn t) sin mπx sin nπy, n=1 m=1 π ω tt π (ω xx + ω yy ) + t sin πx sin πy,0 < x < 1, 0 < Σ Σ trong đó và
Do B mn = 0 neu m hoắc n là chan, chỳng ta cú ∞ ∞ v(x, y, t) = 1600 Σ Σ cos λ (2l+1)
= 1 m 2 + n 2 0 trong đó f 11 = t, f mn = 0, (m, n) (1, 1) Do đó t ω sin
Chúng ta có f mn (ω) sin sin mπx sin nπydxdy = π 2 mn ; π 2 k=0 (2l + 1)(2k +
Vắy nghiắ m cna bài toán là
(t+ ) sinπx sin πy+√ sin5 5t sin πx sin 2π y
2.3.2 Phương trình sóng trên hình tròn
Bài toán 2.3.4 Chúng ta se giai quyet phương trình sóng hai chieu trong TQ a đ® cnc:
∂r r 2 ∂θ 2 trong đó 0 < r < a, 0 < θ < 2π, t > 0 e đây u = u(r, θ, t) bieu th% đđ lắch cna màng tai điem (r, θ) o thũi điem t Đieu kiắn ban đau (v% trớ và vắn toc) là u(r, θ, 0) = f
0 < r < a, 0 < θ < 2π Đieu kiắn đưũng trũn biờn cna màng b% giu co đ%nh đưoc bieu th% trong đieu kiắn biờn u(a, θ, t) = 0, 0 < θ < 2π, t > 0 (2.3.15)
Do θ là m®t góc cnc, (r, θ) và (r, θ + 2π) bieu th% cùng m®t điem, và do đó u(r, θ, t) = u(r, θ + 2π, t) Nói cách khác, u tuan hoàn chu kỳ 2π theo θ Boi the u(r, 0, t) = u(r, 2π, t) và
Chúng ta bắt đầu từ phương trình (2.3.13) với điều kiện biên (2.3.15) Chúng ta sử dụng phương pháp tách biến với hàm u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T(t) Bằng cách lấy vi phân u và thay vào phương trình (2.3.13), chúng ta có thể tách biến thành công.
Ve trái chi phụ thuộc vào t và ve phải chi phụ thuộc vào r và θ Do đó, mọi ve phải bằng một hằng số k Đoạn ràng buộc T tuần hoàn, chúng ta có k = −λ/2.
Tách bien trong phương trình thú hai chúng ta đưoc λ 2 r 2 + r 2 J R J
Để giải quyết phương trình an Θ, ta có điều kiện biên Θ JJ = à 2 và chu kì 2π Điều kiện biên (2.3.15) trở thành HQN với R(a)Θ(θ)T(t) = 0 cho 0 < θ < 2π và t > 0 Để tránh nghiệm tam thức, ta cần R(a) = 0 Sử dụng (2.3.16), ta có Θ(0) = Θ(2π) và Θ J (0) = Θ J (2π) Do đó, ta có các phương trình riêng biệt sau: Θ JJ + à 2 Θ = 0 với điều kiện Θ(0) = Θ(2π) và Θ J (0) = Θ J (2π), cùng với r 2 R JJ + rR J + (λ0, 2 − à 2 )R = 0 và R(a) T JJ + c 2 λ 2 T = 0.
Giai các phương trình tách
Chúng ta bắt đầu giải phương trình Θ Khi a = 0, điều này có nghĩa là không có A 0 Nếu a ≠ 0, tổng quát có dạng Θ(θ) = c₁ cos(aθ) + c₂ sin(aθ) Để thỏa mãn các điều kiện biên, chúng ta phải lấy a là một số nguyên Như vậy, Θₘ(θ) = Aₘ cos(mθ) + Bₘ sin(mθ), với m = 0, 1, 2,
Chú ý rằng những giá trị giỏ trống không cho thêm bất kỳ nghi ngờ nào Đặt λ = m trong phương trình an R, ta có được phương trình Bessel dạng tham số bậc m, được xem xét trong Định lý 1.8, Phần 1.3 Theo định lý này, chúng ta có
, n = 1, 2, , trong đó λ mn = α mn và α mn là không điem dương thú n cna hàm Bessel
J m Vói λ = λ mn phương trình an T tro thành T JJ + c 2 λ 2
A mn cos cλ mn tvà B mn sin cλ mn t T = 0 vúi nghiắm
Su dung cỏc bieu thỳc cna R, Θ, và T , chỳng ta đi đen nghiắm tớch cna
(2 3 13) và (2 3 15): u mn (r, θ, t) = J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ) cos cλ mn t
(2.3.17) và u ∗ mn (r, θ, t) = J m (λ mn r)(a ∗ mn cos mθ + b ∗ mn sin mθ) sin cλ mn t
(2.3.18) trong đó m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, Lưu ý rang b 0n và b ∗ 0n khụng can thiet, vỡ sin mθ = 0 khi m = 0, và như vắy chỳng ta xem chúng bang 0.
Nguyền lớn chong chấp và nghiẳm tổng quát giải quyết bài toán biên gom từ (2.3.13) đến (2.3.15) cho ràng g 0 Chúng ta xét trường hợp thứ nhất, vận tốc ban đầu bằng không, tức là điều kiện ban đầu trong trường hợp này là.
De thay rang chi nghiắm tớch cho boi (2 3 17) thoa món đieu kiắn thỳ hai.
Như vắy theo nguyờn lớ chong chat nay sinh xột nghiắm cú dang
∞ ∞ u(r, θ, t) J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ) cos cλ mn t.
J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ).
Gia su hàm f (r, θ) khai trien đưoc thành chuoi kép, su dung Đ%nh lí 1 9 , chỳng ta nhắn đưoc
2 ∫ a ∫ 2π vúi m, n = 1, 2, Thay cỏc hắ so vào (2 3 19) hoàn thành nghiắm cna bàitoán. quyet bài toán biên gom tù (2 3 13) − (2 3 15) vói f = 0
Chỳng ta xột trưũng hop thỳ hai, v% trớ ban đau bang khụng, tỳc là giaiĐieu kiắn ban đau trong trưũng hop này là u(r, θ, 0)
De thay rang chi nghiắm tớch cho boi (2 3 18) thoa món đieu kiắn thỳ nhat.
Như vắy theo nguyờn lớ cđng nghiắm nay sinh xột nghiắm cú dang
∞ ∞ u ∗ (r, θ, t) J m (λ mn r)(a ∗ mn cos mθ+b ∗ mn sin mθ) sin cλ mn t.
∞ ∞ g(r, θ) cλ mn J m (λ mn r)(a ∗ mn cos mθ + b ∗ mn sin mθ) (2.3.25) m=0 n=1
Hoàn toàn tương tn như trưòng hop thú nhat chúng ta có
(α m n ) 0 0 f (r, θ) cos mθ J m (λ mn r)rdθdr, b mn πa J 2 2 m+ 1
(α m n ) 0 0 f (r, θ) sin mθ J m (λ mn r)rdθdr, Σ Σ Σ Σ a 0n πcα 0 aJ 1
(α m n ) 0 0 g(r, θ) cos mθ J m (λ mn r)rdθdr b mn aJ g(r, θ) sin mθ J m (λ mn r)rdθdr πcα m m+ 2
( α m n ) 0 0 vúi m, n = 1, 2, Thay cỏc hắ so vào (2 3 24) hoàn thành nghiắm cna bàitoán.
Tra lại bài toán tổng quát hợp 2, ta dễ dàng chứng minh rằng \( u = u_1 + u_2 \) là nghiệm chung của bài toán biên \( G QI \) Các nghiệm \( u_1 \) và \( u_2 \) lần lượt là nghiệm chung của bài toán trong trường hợp 1 và trường hợp (2.3.13) − (2.3.15) Nghiệm chung của bài toán tổng quát được tóm tắt như sau.
Ket qua 2.6 Nghiắm cua bài toỏn biờn (2 3 13) − (2 3 15) là
∞ ∞ u(r, θ, t) J m (λ mn r)(a mn cos mθ + b mn sin mθ) cos cλ mn t m=0 n=1
Phương trỡnh nhiắt
Bài toán nhiệt hai chiều nghiên cứu sự phân bố nhiệt trong một tam giác nhất định, với hàm phân bố ban đầu là f(x, y) Mục tiêu là tìm nghiệm cho bài toán này một cách chính xác, giữ cho các cạnh được cố định Để đạt được điều này, phương pháp tách biến được áp dụng, và theo từng bước, ta tiến hành tìm nghiệm cho phương trình sóng hai chiều Kết quả của quá trình này sẽ được tóm tắt như sau.
Ket qua 2.7 Nghiắm cua phương trỡnh nhiắt hai chieu
0, (2.4.1) vỏi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, 0 < y < b, t > 0, u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, 0 < x < a, t > 0, và đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = f (x, y), 0 < x < a, 0 < y < b,
(2.4.2) là ∞ ∞ mπ nπ 2 trong đó u(x, y, t) = A mn sin n=1 m=1 x a sin ye −λ mn t , (2.4.3) b Σ Σ Σ
A mn = ∫ b ∫ a f (x, y) sin mπ x sin nπ ydxdy (2.4.5) ab 0 0 a b m, n = 1, 2,
Bài toỏn 2.4.1 (Phương trỡnh nhiắt hai chieu khụng thuan nhat trờn hỡnh chu nhắt) Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
< b, t > 0, (2.4.6) n Σ. vúi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = 0 và u(a, y, t) = 0, 0 < y < b, t >
0, u(x, 0, t) = 0 và u(x, b, t) = 0, và đieu kiắn ban đau
Chúng ta áp dụng phương pháp hàm riêng để giải bài toán này thông qua biến đổi Laplace Hàm riêng trong biến đổi Laplace là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các phương trình liên quan.
Do đó các hàm riêng là φ mn (x) = sin mπ x sin nπ y (m, n = 1, 2, ), vói giá a b tr% riêng tương úng là k mn = π 2 m 2
+ n 2 Σ Chỳng ta tỡm nghiắm dưúi dang
Ta phân tích f (x, y, t) thành chuoi Fourier kép theo hàm sin ∞ ∞ f (x, t) = Σ Σ f mπ nπ
(t) sin x sin y, trong đó n=1 m=1 mn
The vào phương trỡnh (2 4 ∞ ∞ 6), chỳng ta nhắn đưoc ∞ ∞ Σ Σ u J (t) sin mπ x sin nπ y + Σ Σ c 2 k u (t) sin x sin y mπnπ n=1 m n a b f mn (t) a b 0 0 f (x, y) sin x sin ydxdy. a b n=1 m n m n m n a b
Tù đó ta có các phương trình u J mn (t) + c 2 k mn u mn (t) = f mn (t), m, n = 1,
Tự đieu kiắn ban đau, chỳng ta nhắn đưoc
Do đó u mn (0) = 0, n = 1, 2, 3, (2.4.8) Nghiắm cna (2 4 7) − (2 4 8) cú dang u mn (t) Vắy nghiắm cna bài toỏn là t e −
= Σ Σ sin mπ x sin nπ t y e c − k mn (t− ω) f mn (ω)dω. a b n=1 m=1 trong đó k mn = π 2 m + n Σ
Bài toỏn 2.4.2 (Bài toỏn phương trỡnh nhiắt hon hop tőng quỏt trờn hỡnh chu nhắt) Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
> 0, à 1(0, t) = υ 1(0, t), υ 1(a, t) = à 2(0, t), à 2(b, t) = υ 2(a, t), υ 2(0, t) à 1(b, t); t > 0, và đieu kiắn ban đau u(x, y, 0) = φ(x, y), 0 < x < a, 0 < y < b.
Tính toán trnc tiep ta đưoc u ∗ (0, y, t) = à 1(y, t) và u ∗ (a, y, t) = à 2(y, t),
Để kiểm tra bài toán, ta có u = v + ω + u ∗, trong đó v(x, y, t) là nghiệm của bài toán v t = c²(v xx + v yy) với điều kiện biên v(0, y, t) = v(a, y, t) = 0 và v(x, 0, t) = v(x, b, t) = 0, trong khoảng 0 < x < a, 0 < y < b, t > 0 Nghiệm v(x, y, 0) được xác định bởi φ(x, y) − u ∗(x, y, 0) Đồng thời, ω(x, y, t) là nghiệm của bài toán ω t = c²(ω xx + ω yy) + f(x, y, t) − Σ u ∗ t − c²( u ∗ xx + u ∗ yy)Σ.
Như vắy chỳng ta đó đưa bài toỏn tőng quỏt ve cỏc bài toỏn đó biet cỏch giai.
Vớ dn 2.4 Tỡm nghiắm cna phương trỡnh
∂y 2 2 (2.4.10) vúi đieu kiắn biờn u(0, y, t) = e −2t cos πy và u(1, y, t) = −e −2t cos πy,
> 0, u(x, 0, t) = e −2t cos πx và đieu kiắn ban đau và u(x, 1, t) = −e −2t cos πx,
Tính toán trnc tiep ta đưoc
Nghiắm cna bài toỏn là u = v + ω + u ∗ , vúi v(x, y, t) là nghiắm cna bài toán v=1/( tt π) 2 ( v+ x x v y ,) y
0 < y < 1, và ω(x, y, t) là nghiắm cna bài toán π
2 tr on g đó và v(x, y, t) A mn sin mπx sin nπye −λ mn t , n=1 m=1 λ mn = √ m 2
A mn = 4 (1 + sin πx sin πy) sin mπx sin nπydxdy.
Do A mn = 0 neu m hoắc n là chan, chỳng ta cú v(x, y, t) = sin πx sin πye −2t +
+n 2 )(t− ω) f mn (ω)dω. n=1 m=1 0 trong đó f 11 = − 1 e −2t , f mn = 0, (m, n) ƒ= (1, 1) Do đó t e −2(t−ω)
Vắy nghiắm cna bài toỏn là 2 u(x, y, t) = e −2t cos π(x + y) t e −2t sin πx sin πy + sin πx sin πye −2t
Trong bài viết này, em trình bày nội dung phương pháp tách biến và một số kiến thức căn bản về chuỗi Fourier, hàm Bessel nhằm giải quyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng Các phương trình được đề cập bao gồm phương trình sóng, phương trình nhiệt và phương trình Laplace, kèm theo các ví dụ áp dụng thực tế.
1Tỡm hieu trong cỏc tài liắu tham khao và trỡnh bày lai nđi dung phương pháp tách bien.
2Đe cắp mđt so dang bài toỏn trong thnc te ỏp dung phương phỏp tỏch bien.
3Xây dnng m®t so ví du áp dung.
Tuy nhiên, do thời gian hạn chế, tôi không thể trình bày nhiều, nhưng vẫn có những sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý quý báu từ các thầy cô và bạn Đoàn.