Phổ của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất
Chương 2 của luận văn tập trung vào tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ Nội dung chính bao gồm việc phân tích và đánh giá các yếu tố ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống, cũng như các phương pháp để cải thiện tính ổn định trong các điều kiện khác nhau Luận văn sẽ trình bày các lý thuyết và mô hình liên quan, nhằm cung cấp cái nhìn sâu sắc về vấn đề này.
2.1 Các kí hiệu và bổ đề
2.2 Tính ổn định của hệ sai phân
2.3 Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận
Luận văn này được thực hiện tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS Phan Lê Na Tác giả xin chân thành cảm ơn cô giáo đã dành sự quan tâm và hỗ trợ quý báu trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo tại khoa Toán và khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Giải tích, cùng với các bạn học viên cao học 15 – Toán Sự quan tâm và hỗ trợ của họ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Rất mong đ-ợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè
MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
PHƯƠNG trình vi phân theo nghĩa liapunov
Chương này giới thiệu những kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định, bao gồm các khái niệm như tính ổn định, ổn định tiệm cận, ma trận Hermite, và phổ của hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngoài ra, nó cũng đề cập đến các tính chất cơ bản liên quan đến các hệ vi phân.
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân theo nghĩa Liapunov
Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân x = f(t, x) với t ≥ 0, trong đó x(t) là vectơ trạng thái thuộc R^n và f: R^+ × R^n → R^n là hàm vectơ cho trước Giả thiết rằng f(t, x) thỏa mãn các điều kiện đảm bảo rằng bài toán Cauchy của hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0 luôn có nghiệm Nghiệm của hệ được xác định bởi công thức x(t) = x0 +
1.1.1 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số
0 e ,t0 0 sẽ tồn tại 0 (phụ thuộc vào 0, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệ thoả mãn y 0 x 0 0, i = 1, 2,… n Trong đó
Bổ để 1 ([4]) Giả sử A, B là các ma trận vuông cì (n n) Khi đó nếu I + AB khả nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa
(I + BA) -1 = I - B (I + AB) -1 A Điều ngược lại cũng đúng
Bổ đề 2 cho rằng, với các ma trận vuông A, B, C kích thước n x n và B khả nghịch, ta có hai khẳng định quan trọng Đầu tiên, ma trận B + AC không suy biến khi và chỉ khi ma trận I + CB^(-1)A cũng không suy biến Thứ hai, nếu B + AC không suy biến, thì điều kiện này đảm bảo tính không suy biến cho ma trận I + CB^(-1)A.
Bổ đề 3 ([4]) Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với là một số dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau
(F + G)' (F + G) (1 + ) F'F + (1 + -1 ) G'G Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn về tính ổn định của hệ (1.3) thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov
1.2.2 Định lý Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là
Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý
1.2.1) áp dụng cho f ( ) e , ta có
Trong phương trình đa thức đặc trưng của ma trận A, các giá trị riêng được ký hiệu là \( \lambda_k \) và chỉ số mũ bội tương ứng là \( \alpha_k \) Các ma trận hằng số được ký hiệu là \( Z_{k_i} \) Dựa vào các yếu tố này, chúng ta có thể đưa ra những đánh giá quan trọng về đặc tính của ma trận A.
Khi Re < 0, nghiệm x(t) sẽ tiến về 0 khi t tiến đến vô cùng dương Ngược lại, nếu hệ thống ổn định mũ, mọi nghiệm x(t) với x(t0) = x0 sẽ thoả mãn điều kiện x(t) ≤ μ x0 e^(-δ(t - t0)) với μ > 0 và δ > 0 cho mọi t ≥ t0 Giả sử có một 0 thuộc (A) sao cho Re 0 ≥ 0, thì với vectơ riêng x0 tương ứng với 0, ta có những hệ quả quan trọng cần xem xét.
Ax0 = 0 x 0 và khi đú nghiệm của hệ với điều kiện đầu x(0) = x 0 là x 0 (t) = x 0 e 0 t lỳc đú x t 0 ( ) x e 0 Re 0 t
Do đó nghiệm x0(t) tiến tới + khi t+, vụ lý với điều kiện (1.4) Định lý được chứng minh
1.2.3 Ví dụ Xét tính ổn định hệ
Vậy giá trị riêng của A là 1,2 = 2 i
, hệ là ổn định tiệm cận
Để xác định tính ổn định của một hệ tuyến tính dừng, ta cần tìm nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A Tuy nhiên, việc tìm các giá trị riêng của A trong trường hợp số chiều lớn có thể gặp khó khăn do đa thức đặc trưng có bậc cao Định lý dưới đây sẽ cung cấp một phương pháp khác để đánh giá tính ổn định của hệ.
Định lý 1.2.4 nêu rằng nếu đa thức đặc trưng của phương trình vi phân (1.4) có dạng f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + … + a_n, và tất cả các định thức của các ma trận con D_k (với k = 1, 2, …, n) đều dương, thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) sẽ là âm Điều này có nghĩa là hệ thống đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó det D_1 = a_1 và det D_2 = det 1 3.
1.2.5 Vớ dụ Xét tính ổn định của ph-ơng trình vi phân x (4) + x (3) + 3x (2) + 2x + 1 = 0, ta có phương trình đặc trưng là f() = 4 + 3 + 3 2 + 2 + 1
Dễ kiểm tra được: det D1 = 1, det D2 3 1
Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận
Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng (1.3) tương đương với việc tồn tại nghiệm cho phương trình ma trận, được biết đến với tên gọi là phương trình Lyapunov hoặc phương trình Sylvester.
Trong hệ phương trình A X + XA = - Y' (LE), với X và Y là các ma trận n × n, chúng ta gọi đây là cặp nghiệm của (LE) Ma trận A được coi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của A có phần thực âm Theo Định lý 1.2.2, điều này tương đương với việc hệ (1.3) là ổn định tiệm cận Định lý tiếp theo sẽ cung cấp điều kiện cần thiết để đảm bảo tính ổn định tiệm cận của hệ (1.3).
Tính ổn định của hệ sai phân
Xét hệ phương trình x(k+1) = f(k,x(k)), k Z + (2.1) trong đó f: Z + X X là hàm cho trước
2.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.1) gọi là ổn định nếu với mọi e > 0, k 0 Z + , tồn tại số d > 0 (phụ thuộc vào k 0 , e) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với (0)x < d thì x k( ) < e, k k0
2.1.2 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu là ổn định và có một số d > 0 sao cho lim ( ) 0 k x k
với mọi nghiệm x(k) với (0)x < d khi xét hệ (2.1) dạng: x ( k 1 ) Ax ( k ), k Z (2.2) với x ( 0 ) x 0 thì nghiệm của (2.2) sẽ cho bởi
Vậy để x ( k ) 0 khi k , theo định nghĩa ổn định tiệm cận, thì hoặc
Ma trận A có tất cả các giá trị riêng với giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, do đó A hoặc A k tiến tới 0 Điều này dẫn đến một định lý tương tự như Định lý 1.2.2.
t t 0 (2.3) Khi đó ta có định lý sau
2.1.3 Định lý([4]) Hệ rời rạc (2.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thoả mãn: i) tồn tại 0 q 1, sao cho A q 1 ii) 1 ,với mọi ( A )
2.1.4 Thí dụ 3.5 Xét tính ổn định hệ
Các giá trị riêng của A là
Vậy hệ trên là ổn định tiệm cận
2.1.5 Định lý ([3]) Xét hệ rời rạc
( k A k x k k Z x i) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q ( 0 , 1 ) sao cho
A ' ( ) , ii) Nếu A ( k ) A C ( k ) trong đó A là một ma trận ổn định và C ( k ) a khi đó hệ sẽ ổn định tiệm cận với một số a 0đủ nhỏ nào đó
2.1.6 Định lý ([3]) Xét hệ (2.1) trong đó f ( k , x ) A ( k ) x g ( k , x ).
Giả sử i) q ( 0 , 1 ) : A ( k ) q , k Z ii) g ( k , x ) L ( k ) x , k Z với lim sup ( ) 0
Khi đó hệ (2.3) là ổn định tiệm cận
2.2 Cỏc Bổ đề và kí hiệu
Cho x (.) là chuẩn của vectơ x ( (.)=1,2,) và (.) là chuẩn của ma trận sinh bởi vectơ này.ở đây chúng ta sử dụng
Ma trận A có ma trận liên hợp và ma trận chuyển vị được ký hiệu là DÊu * và T Giá trị tuyệt đối của ma trận A được ký hiệu là A, trong khi bán kính phổ được ký hiệu là ρ(A) và định thức của ma trận A được ký hiệu là det(A).
M là lớp các ma trận vuông, thực với các phần tử không thuộc đ-ờng chéo không d-ơng và các định thức con chính là d-ơng
Xét hệ tuyến tính có thời gian trễ sau:
A k x A k x (2.4) trong đó x R n , A j R n n và 0h 0 h 1 h 2 h N là các số tự nhiên biểu hiện hệ thống có thời gian trễ
Hệ (2.4) có thể viết d-ới dạng : x(k 1) A x(k) eq trong đó: x kˆ( ) [ ( ) ( x k x k 1) (x k2) (x k h N )] T R n h ( N 1)
Điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ (2.4) là: n(h N 1) eq det(ZI A )0, Z 1
2.2.1 Bổ đề ([5]).Với bất kỳ ma trận vuông XR n x n và bất kỳ vectơ v R n /{ 0 }, ta có bất đẳng thức:
v v , khi đó cận d-ới và cận trên của bất đẳng thức trên có thể đạt đ-ợc nếu véc tơ riêng v t-ơng ứng với giá trị riêng min (X) hoặc max (X)
2.2.2 Bổ đề ([5]) Với bất kỳ ma trận vuông XR nxn và bất kỳ v R n \ { 0 }, thì miền giá trị của:
* v Xv v v , luôn nằm trong hình chữ nhật thuộc mặt phẳng phức với 4 đỉnh là:
biểu diễn khoảng cách giữa gốc toạ độ và 4 đỉnh đ-ợc định nghĩa bởi (2.5)
2.3 điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận
Xét hệ phương trình có trễ:
2.3.1 Định lý([5]) Hệ (2.4) là ổn định tiệm cận nếu:
Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử hệ đ-ợc xét không ổn định tiệm cận, điều đó t-ơng đ-ơng với j
Vậy nếu hệ (2.4) không ổn định thì
Mâu thuẫn này chứng tỏ hệ đ-ợc xét là ổn định tiệm cận Vậy định lý đ-ợc chứng minh
2.3.2 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận nếu thoả mãn điều kiện sau:
Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử hệ đ-ợc xét là không ổn định tiệm cận, điều đó t-ơng đ-ơng với: j
Theo Bổ đề (2.2.2) ta có:
Mâu thuẫn này chứng tỏ hệ đ-ợc xét là ổn định tiệm cận Vậy định lý đ-ợc chứng minh
Vậy nếu điều kiện (2.7) đ-ợc thoả mãn thì hệ đ-ợc xét là ổn định tiệm cận
2.3.3 Định lý([5]) Nếu ma trận đ-ợc định nghĩa là:
N j ij ii j 0 ik N j ik ik j 0 d 1 a d ˆ d a
thuộc lớp các ma trận M, thì hệ (2.4) ổn định tiệm cận
Ma trận đặc tr-ng F(z) của hệ (2.4) đ-ợc định nghĩa là:
Các phần tử của F(z) thoả mãn:
Tõ D thuéc líp ma trËn M (d ik 0,det D0), ta cã: det F(z) det D, z 1, det F(z) 0, z 1.
Biểu thức cho thấy rằng phương trình đặc trưng của hệ không có nghiệm trong nửa phải của mặt phẳng phức, điều này dẫn đến kết luận rằng hệ thống này ổn định tiệm cận.
2.3.4 Bổ đề([5]) Ma trận DR nxn thuộc lớp các ma trận M nếu và chỉ nếu:
2.3.5 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn:
(2.9) trong đó ma trận H j đ-ợc định nghĩa là:
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử hệ đ-ợc xét không ổn định tiệm cận Theo chứng minh của Định lý 2.3.2 ta cã:
Ta có mọi ma trận vuông X đều có thể biểu diễn đ-ợc d-ới dạng sau:
Nếu X là ma trận vuông thực thì H và K là các ma trận đối xứng và Hermite, chóng ta cã:
* v Xv max H , (H) max (H) (H). v v áp dụng bất đẳng thức trên cho (2.10) ta có:
Mâu thuẫn với điều kiện của định lý
Vậy nếu (2.8) đ-ợc thoả mãn thì hệ đang xét ổn định tiệm cận Định lý đ-ợc chứng minh
Chó ý: i) Điều kiện (2.9) suy trực tiếp từ (2.11), H j là ma trận đối xứng nên có thể viết d-ới dạng: (H ) j H j 2 , j0,1, , N. ii) Chúng ta có điều kiện sau: i i i i i
Từ (2.12) và (2.13) chúng ta có
(H) H 2 d(A), (H) H 2 A 2 (2.14) iii) Chứng minh biểu thức (2.14) sẽ đơn giản hơn nếu các biểu thức sau đúng:
Sau đây chúng ta giới thiệu 3 bổ đề để áp dụng chứng minh tính ổn định tiệm cận cuả hệ (2.4)
2.3.6 Bổ đề Cho G(z)ˆ (zI n A) 1 , th× h k 0
z 1, (2.15) trong đó G(k) là dãy của ma trận G(z) và G(0) = 0
2.3.7 Bổ đề Với mọi ma trận vuông X cỡ ( n n ), mệnh đề sau là đúng
2.3.8 Bổ đề Với mọi ma trận vuông X R n n và Y R n n , mệnh đề sau là đúng
2.3.9 Định lý([5]) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận, nếu điều kiện sau đ-ợc thoả mãn
trong đó L đ-ợc định nghĩa nh- trong (2.15) và G(k) biểu diễn dạng:
Chứng minh Giả sử rằng hệ (2.4) ổn định tiệm cận
Ta có các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng với điều kiện tr-ớc: k 1
Từ A 0 là ma trận ổn định ta có: det( zI n A 0 ) 0 , z 1.
Vì vậy điều kiện trên t-ơng đ-ơng với điều kiện: det( ( ) ) 0 ,
Sử dụng Bổ đề 2.3 7 chúng ta có thể đ-a về
Từ Bổ đề (2.3 6) và bổ đề (2.3.8) chúng ta có: j j
Nếu điều kiện sau đây thoả mãn
L thì điều kiện (2.16) đ-ợc thoả mãn.Vậy hệ đang xét ổn định tiệm cận
2.3.10 Ví dụ Xét hệ rời rạc có thời gian trễ x(k + 1) = A 0 x(k)+A 1 x(k-1) + A 2 x(k-2) trong đó
Tham số là yếu tố quan trọng trong việc áp dụng các định lý liên quan đến điều kiện ổn định tiệm cận Dưới đây là bảng tóm tắt các định lý: Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.5 và Định lý 2.3.9.
Luận văn thu đ-ợc các kết quả chính sau:
Lí thuyết ổn định phương trình vi phân theo nghĩa Lyapunov cung cấp một khung hệ thống để hiểu các khái niệm cơ bản và những tính chất quan trọng liên quan Bài viết này nhằm mục đích giúp độc giả tiếp cận và nắm bắt các nghiên cứu trong lĩnh vực này một cách hiệu quả.
Để đảm bảo tính ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ, cần trình bày và chứng minh các điều kiện đủ theo các định lý 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.5 và 2.3.9 Những định lý này cung cấp cơ sở lý thuyết vững chắc, giúp xác định các yếu tố ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống Việc áp dụng các định lý này sẽ cho phép phân tích sâu hơn về hành vi của hệ thống trong điều kiện có thời gian trễ, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu cho việc kiểm soát và điều chỉnh hệ thống.
[1] Phạm Ngọc Bội (2000), Bài giảng Lý thuyết ổn định Lyapunov, NXB Đại học Huế
[2] Võ Công Đông (2006), Một số tính chất về ổn định tiệm cận của ph-ơng trình sai phân có trễ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh
[3] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐHQG
Vũ Ngọc Phát và Hy Đức Mạnh (2005) đã nghiên cứu về bài toán ổn định trong các hệ rời rạc có trễ, thông qua việc áp dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Nghiên cứu này được trình bày trong tuyển tập kỷ yếu của Hội nghị Khoa học.
Học viện Quân Sự, Hà Nội
[5] Sreten B Stojanovic, Dragutin Lj Debeljkovic (2004), On the Asymtopic stability of linear discrete time delay systems, Mechanical Engineering Vol 2
Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận
Luận văn này được thực hiện tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phan Lê Na Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo vì sự quan tâm và hỗ trợ quý báu trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo tại khoa Toán và khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Giải tích, cùng với các bạn học viên cao học 15 – Toán, những người đã nhiệt tình hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Rất mong đ-ợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè
MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
PHƯƠNG trình vi phân theo nghĩa liapunov
Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định, bao gồm các khái niệm như tính ổn định, ổn định tiệm cận, ma trận Hermite, phổ của hệ phương trình vi phân tuyến tính và các tính chất cơ bản liên quan đến hệ vi phân.
1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân theo nghĩa Liapunov
Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân x = f(t, x) với t ≥ 0, trong đó x(t) thuộc R^n là vectơ trạng thái của hệ thống và f: R^+ × R^n → R^n là hàm vectơ đã cho Giả thiết rằng f(t, x) thỏa mãn các điều kiện cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0 luôn tồn tại Trong trường hợp này, nghiệm được xác định bởi công thức x(t) = x0 +
1.1.1 Định nghĩa ([3]) Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số
0 e ,t0 0 sẽ tồn tại 0 (phụ thuộc vào 0, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệ thoả mãn y 0 x 0 0, i = 1, 2,… n Trong đó
Bổ để 1 ([4]) Giả sử A, B là các ma trận vuông cì (n n) Khi đó nếu I + AB khả nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa
(I + BA) -1 = I - B (I + AB) -1 A Điều ngược lại cũng đúng
Bổ đề 2 khẳng định rằng với các ma trận vuông A, B, C kích thước n x n, trong đó B là ma trận khả nghịch, ta có hai điều quan trọng: Thứ nhất, ma trận B + AC không suy biến nếu và chỉ nếu ma trận I + CB⁻¹A cũng không suy biến Thứ hai, nếu B + AC không suy biến, thì điều đó có nghĩa là tồn tại những tính chất nhất định trong mối quan hệ giữa các ma trận này.
Bổ đề 3 ([4]) Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với là một số dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau
(F + G)' (F + G) (1 + ) F'F + (1 + -1 ) G'G Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn về tính ổn định của hệ (1.3) thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov
1.2.2 Định lý Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là
Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý
1.2.1) áp dụng cho f ( ) e , ta có
Trong phương trình đa thức đặc trưng của ma trận A, các giá trị riêng được ký hiệu là k, với chỉ số mũ bội tương ứng là α k Các ma trận hằng số được ký hiệu là Z ki Từ đó, chúng ta có thể đưa ra đánh giá liên quan đến các yếu tố này.
Khi Re < 0, nghiệm x(t) sẽ tiến về 0 khi t tiến đến +∞ Ngược lại, nếu hệ thống là ổn định mũ, mọi nghiệm x(t) với điều kiện x(t0) = x0 sẽ thoả mãn x(t) ≤ μ x0 e^(-δ(t - t0)) với μ > 0 và δ > 0 cho mọi t ≥ t0 Giả sử có một 0 thuộc (A) sao cho Re 0 ≥ 0, khi đó vectơ riêng x0 tương ứng với 0 sẽ dẫn đến những điều kiện khác.
Ax0 = 0 x 0 và khi đú nghiệm của hệ với điều kiện đầu x(0) = x 0 là x 0 (t) = x 0 e 0 t lỳc đú x t 0 ( ) x e 0 Re 0 t
Do đó nghiệm x0(t) tiến tới + khi t+, vụ lý với điều kiện (1.4) Định lý được chứng minh
1.2.3 Ví dụ Xét tính ổn định hệ
Vậy giá trị riêng của A là 1,2 = 2 i
, hệ là ổn định tiệm cận
Để xác định tính ổn định của một hệ tuyến tính dừng, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng hoặc giá trị riêng của ma trận A Tuy nhiên, việc tìm các giá trị riêng của A trong trường hợp số chiều lớn có thể gặp khó khăn do đa thức đặc trưng có bậc cao Định lý dưới đây sẽ cung cấp một phương pháp khác để đánh giá tính ổn định của hệ.
Định lý 1.2.4 cho rằng nếu đa thức đặc trưng của phương trình vi phân (1.4) có dạng f(z) = z^n + a_1 z^(n-1) + … + a_n và định thức của tất cả các ma trận con D_k (với k = 1, 2, …, n) đều dương, thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) sẽ là âm Điều này chỉ ra rằng hệ thống được cho là ổn định tiệm cận, trong đó det D_1 = a_1 và det D_2 = det 1 3.
1.2.5 Vớ dụ Xét tính ổn định của ph-ơng trình vi phân x (4) + x (3) + 3x (2) + 2x + 1 = 0, ta có phương trình đặc trưng là f() = 4 + 3 + 3 2 + 2 + 1
Dễ kiểm tra được: det D1 = 1, det D2 3 1
Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận
Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng (1.3) tương đương với việc tồn tại nghiệm cho một phương trình ma trận, được gọi là phương trình Lyapunov hoặc phương trình Sylvester.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình A X + X A = -Y' (LE), trong đó X và Y là các ma trận n × n, được gọi là cặp nghiệm của (LE) Ma trận A được coi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của nó có phần thực âm Theo Định lý 1.2.2, điều này tương đương với việc hệ (1.3) ổn định tiệm cận Định lý tiếp theo sẽ cung cấp điều kiện để đảm bảo rằng hệ (1.3) là ổn định tiệm cận.
Ma trận A được coi là ổn định khi và chỉ khi với mọi ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) sẽ có nghiệm là ma trận đối xứng và xác định dương X.
Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0 Với x(t) là một nghiệm tuỳ ý của (1.3) với x ( t 0 ) x 0 , t 0 R + , ta xét hàm số
Ta có V x t Xx x Xx x dt d ( ( )) , ,
Vì X là xác định dương nên V(x(t)) 0, với mọi t t0 và do đó
Mặt khác, vì Y là xác định dương, nên tồn tại số 0 sao cho
Ta sẽ chứng minh Re 0víi ( A ) Thật vậy giả sử có một số 0 ( A ) mà
Re ứng với giá trị riêng 0 , thì nghiệm của hệ (1.3) sẽ cho bởi x1(t) 0
Vì Re 0 , m©u thuÈn với điều kiện (1.5)
