Bài toán ổn định Liapunov
Xét hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân ˙x = f(t, x), với t ≥ 0 và điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀, trong đó x(t) ∈ Rⁿ là véc tơ trạng thái và f : R⁺ × Rⁿ → Rⁿ là hàm véc tơ đã cho Giả thiết rằng f(t, x) thỏa mãn các điều kiện cần thiết để bài toán Cauchy của hệ (1.1) luôn có nghiệm cho mọi t₀ ≥ 0 Dạng tích phân của nghiệm được biểu diễn qua công thức: x(t) = x₀ +
1.1.1 Định nghĩa về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ Định nghĩa
Nghiệm x(t) của hệ (1.1) được xem là ổn định nếu với mọi số ε > 0 và t 0 ≥ 0, tồn tại một số δ > 0 (phụ thuộc vào ε và t 0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) nào với điều kiện y(t 0) = y 0 và ||y 0 − x 0 || < δ sẽ thỏa mãn bất đẳng thức.
Nghiệm x(t) được coi là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ, có giá trị ban đầu gần với x(t), vẫn giữ được khoảng cách gần gũi với x(t) trong suốt thời gian t ≥ t0.
Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số δ > 0 sao cho với ky 0 −x 0 k < δ thì t→∞lim ky(t)−x(t)k = 0.
Nghiệm x(t) được coi là ổn định tiệm cận nếu nó duy trì sự ổn định và mọi nghiệm y(t) khác với giá trị ban đầu y0 gần với x0 sẽ tiến gần đến x(t) khi t tiến tới vô cùng.
Bằng cách áp dụng phép biến đổi (x−y) 7→z và (t−t 0 ) 7→τ, hệ phương trình (1.1) được chuyển đổi thành dạng ˙ z = z(τ, z) trong (1.2), với điều kiện F(τ,0) = 0 Sự ổn định của một nghiệm x(t) trong hệ (1.1) sẽ được nghiên cứu thông qua tính ổn định của nghiệm 0 trong hệ (1.2) Để đơn giản, từ giờ ta sẽ gọi hệ (1.2) là ổn định thay vì nói nghiệm 0 của hệ là ổn định Do đó, chúng ta sẽ xem xét hệ (1.1) với giả thiết rằng hệ có nghiệm 0, tức là f(t,0) = 0, với t thuộc R+.
Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ ε > 0, t 0 ∈ R + , sẽ tồn tại số δ > 0 ( phụ thuộc vào ε, t 0 ) sao cho bất kì nghiệm x(t) : x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn kx 0 k < δ thì kx(t)k< ε với mọi t ≥t 0
Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0sao cho nếu kx 0 k< δ thì t→∞lim kx(t)k= 0.
Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t0, thì tính ổn định được gọi là ổn định đều Tính ổn định tiệm cận đều phản ánh sự không thay đổi của hệ thống theo thời gian.
Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤M e −δ(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0 là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.1 Xét phương trình vi phân sau trong R ˙ x = ax, t ≥0.
Nghiệm x(t), với x(t 0 ) = x 0 cho bởi công thức x(t) = x 0 e at , t ≥ 0.
Hệ thống được coi là ổn định (tiệm cận, mũ) khi a < 0, và nếu a = 0 thì hệ thống cũng ổn định Thêm vào đó, hệ thống sẽ đạt tính ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì giá trị δ > 0 có thể chọn được không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0.
Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân ˙ x(t) =a(t)x, t ≥ 0 trong đó a(t): R + −→ R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) =x 0 e t
R t 0 a(τ )dτ do đó kiểm tra được rằng hệ là ổn định nếu t
Z t 0 a(τ)d(τ) ≤à(t 0 ) < +∞, là ổn định đều nếu số à(t 0 ) là hằng số khụng phụ thuộc vào t 0 , là ổn định tiệm cận nếu t→∞lim t
Tính ổn định của các hệ thống thời gian rời rạc được định nghĩa tương tự như hệ thống thời gian liên tục Cụ thể, cho hệ thống rời rạc, ta có phương trình x(k + 1) = f(k, x(k)), với k thuộc tập số nguyên dương Z +, trong đó f(.) là hàm xác định từ Z + × X đến X.
Hệ rời rạc được định nghĩa là ổn định nếu với mọi ε > 0 và k 0 ∈ Z +, tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào k 0 và ε) sao cho mọi nghiệm x(k) với kx(0)k < δ thì kx(k)k < ε cho mọi k ≥ k 0 Hệ được coi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho giới hạn khi k tiến tới vô cùng của kx(k)k bằng 0 với mọi nghiệm x(k) có kx(0)k < δ.
Trước khi nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến, chúng ta cần xem xét tính ổn định của các hệ tuyến tính trong cả hai trường hợp thời gian liên tục và rời rạc, đồng thời làm rõ sự khác biệt giữa chúng.
Ổn định các hệ tuyến tính
Xét hệ tuyến tính x(t) = Ax(t), với A là ma trận (n×n) và t ≥ 0 Nghiệm của hệ này được xác định từ trạng thái ban đầu x(t₀) thông qua công thức x(t) = x₀ e^(A(t−t₀)), áp dụng cho t ≥ t₀ Định lý dưới đây cung cấp một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ, được biết đến như tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov.
1.2.1 Định lý Hệ (1.4) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các trị riêng của A là âm, tức là,
Chứng minh Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp dụng cho f(h) = e h , ta có: e At q
Trong phương trình đa thức đặc trưng của ma trận A, các giá trị riêng hk đóng vai trò quan trọng, với α k là chỉ số mũ bội tương ứng Công thức (Z k 1 + Z k 2 + + Z k αk t α k −1 )e h t k thể hiện sự kết hợp của các ma trận hằng số Z k i, từ đó cho phép chúng ta đưa ra những đánh giá chính xác về tính chất của A.
Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t 0 ) = x 0 của hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện
||x(t)|| ≤ à||x 0 ||e −δ(t−t 0 ) , ∀t≥ t 0 , (1.5) với à > 0, δ > 0 nào đú Bõy giờ giả sử phản chứng rằng cú một h0 ∈ h(A) sao cho Reh0 ≥ 0 Khi đó với véc tơ riêng x 0 ứng với h0 này ta có
Ax 0 = h0x 0 và khi đó nghiệm của hệ với x 0 (t) =x 0 là x 0 (0) = x 0 e h 0 t , lúc đó ta có
Vậy nghiệm x 0 (t) này tiến tới +∞ khi t −→+∞, vô lý với điều kiện (1.5). Định lý được chứng minh.
Để xác định sự ổn định của một hệ tuyến tính dừng, chúng ta chỉ cần tìm nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng hoặc giá trị riêng của ma trận.
Khi ma trận A có số chiều lớn, việc tìm các giá trị riêng của A trở nên khó khăn do đa thức đặc trưng có bậc cao, dẫn đến việc giải phương trình đa thức này cũng gặp nhiều thách thức.
Dưới đây sẽ giới thiệu một phương pháp khác của Routh - Hurwitz để xác định tính ổn định của hệ trong nhiều trường hợp thuận tiện hơn.
Giả sử đa thức đặc trưng của phương trình vi phân là f(z) = z^n + a_1 z^(n-1) + + a_n Nếu định thức của tất cả các ma trận con D_k, với k = 1, 2, , n, đều dương, thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) sẽ là âm, điều này chứng tỏ hệ thống là ổn định tiệm cận Cụ thể, detD_1 = a_1 và detD_2 = a_1 a_3.
Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng (1.4) tương đương với việc tồn tại nghiệm cho phương trình ma trận, thường được gọi là phương trình Liapunov.
Trong đó X, Y là các ma trận (n×n) chiều và gọi là cặp nghiệm của
Ma trận A được coi là ổn định khi tất cả các giá trị riêng của nó có phần thực âm Theo định lý 1.2.1, điều này đồng nghĩa với việc hệ (1.4) đạt được tính ổn định tiệm cận.
Ma trận A được coi là ổn định khi và chỉ khi phương trình (LE) có nghiệm là một ma trận đối xứng và xác định dương X, đối với mọi ma trận Y đối xứng xác định dương.
Chứng minh Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X >0 với Y > 0 Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.4) với x(t 0 ) =x 0 , t 0 ∈ R + , ta xét hàm số
Ta có d dtV(x(t)) =< Xx, x >˙ + < Xx,x >˙
Vì X là xác định dương nên V(x(t)) ≥ 0, với mọi t≥ t 0 và do đó t
Mặt khác, vì Y là xác định dương, nên tồn tại số α > 0 sao cho
Chúng ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A) Giả sử tồn tại một số λ 0 ∈ λ(A) mà Reλ 0 ≥ 0 Khi đó, với x 0 ∈ R n ứng với giá trị riêng λ 0, nghiệm của hệ (1.4) sẽ được biểu diễn bởi x 1 (t) = e λ 0 t x 0.
Z t 0 e 2Reλ 0 t kx 0 k 2 dt= +∞, vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (1.6).
Ngược lại, nếu A là ma trận ổn định, điều này có nghĩa là Reλ < 0 với mọi λ thuộc λ(A) Đối với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương nào, chúng ta sẽ xem xét phương trình ma trận sau đây:
Nhận thấy rằng hệ (1.7) có một nghiệm riêng là
Vì A là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng tích phân
Z(s)ds < ∞, là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng Mặt khác, lấy tích phân hai vế phương trình (1.7) từ t đế t 0 ta có
Cho t−→ +∞ để ý rằng Z(t) −→ 0 khi t −→+∞ và vì A là ổn định, nên ta được
−Y = A 0 X +XA, hay là các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE) Ta chỉ còn chứng minh
X là ma trận xác định dương Thật vậy ta có
Do Y > 0 và e At là không suy biến nên hXx, xi > 0 nếu x 6= 0 Định lý được chứng minh.
Định lý (1.2.3) về mối tương quan giữa (LE) và tính ổn định của A sẽ được áp dụng rộng rãi trong các bài toán điều chỉnh và quy hoạch tuyến tính toàn phương Đối với các hệ tuyến tính không dừng, việc nghiên cứu tính ổn định trở nên khó khăn hơn, vì nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy không thể biểu diễn trực tiếp qua ma trận A mà phải thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ(t,s) Hệ (1.8) có nghiệm x(t) = φ(t, t₀)x₀, trong đó φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản Nếu A là hằng số, ta có φ(t, s) = e^(A(t−s)), từ đó có thể nghiên cứu phổ của A để tìm điều kiện ổn định Mục này sẽ giới thiệu một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ hầu như hằng số.
Xét hệ (1.8) trong đó A(t) = A+C(t) Giả sử A là ma trận ổn định và giả sử C(t) là khả tích trên R + và kC(t)k ≤ a, a > 0.
Khi đó hệ là ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh Viết phương trình (1.8) dưới dạng ˙ x(t) = Ax(t) + C(t)x(t), t ≥ 0, do đó nghiệm của hệ với x(t 0 ) =x 0 cho bởi x(t) = e A(t−t 0 ) + t
Vì A là ma trận ổn định, theo định lý 1.2.1, hệ x˙ = Ax là ổn định mũ, do đú theo định nghĩa, sẽ cú một số à > 0, δ >0 sao cho ke At k ≤ àe −δt , ∀t≥ 0.
Ta có đánh giá sau kx(t)k ≤ àe −δ(t−t 0 ) kx 0 k+ t
U(t) =e δ(t−t 0 ) kx(t)k, C = àkx 0 k, a(t) = àa, và áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân, ta có e δ(t−t 0 ) kx(t)k ≤ àkx 0 ke àa(t−t 0 ) ,∀t≥ t 0
Do đó kx(t)k ≤ àkx 0 ke (àa−δ)(t−t 0 ) ,∀t ≥t 0
Chỉ cần chọn a < δ à, khi đú hệ sẽ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh.
1.2.5 Định lý Xét hệ (1.8) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả sử tồn tại các số M > 0, δ > 0, k > 0 sao cho i,ke A(s)t k ≤ Ke −δt ,∀t, s ≥0. ii, sup t∈R + kA(t)k ≤ M.
Khi đó hệ là ổn định tiệm cận nếu M < δ
2K. Chứng minh Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng tương đương ˙ x = A(t 0 )x(t) + [A(t)−A(t 0 )]x(t), t ≥ t 0 Nghiệm x(t) với x(t 0 ) =x 0 cho bởi x(t) =e A(t 0 )(t−t 0 ) x 0 + t
Ta có đánh giá sau kx(t)k ≤ Ke −δ(t−t 0 ) kx 0 k+ t
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall và lý luận tương tự như chứng minh định lý (1.2.4) ta nhận được đánh giá kx(t)k ≤ Kkx 0 ke (2KM −δ)(t−t 0 ) , ∀t≥ t 0
2K thì ta có kx(t)k ≤ Kkx 0 ke −β(t−t 0 ) , ∀t≥ t 0 trong đó β = δ −2KM > 0.
Do đó hệ là ổn định tiệm cận, định lý được chứng minh.
Đối với hệ không dừng, việc các ma trận A(t) ổn định tại mỗi t cố định không đủ để đảm bảo sự ổn định của hệ Điều này đòi hỏi tính giới nội đều mạnh hơn về A(t) Các kết quả mở rộng liên quan đến A(t) là hàm chu kỳ, A(t) là Lipschitz, và tính ổn định của hệ không dừng khi ma trận A(t) có giới hạn khi t tiến tới vô cùng.
Giả sử tồn tại giới hạn lim A(t) = A ∞ khi t → +∞, với A ∞ là ma trận ổn định, thì hệ ˙ x(t) = (A ∞ + B(t))x(t) sẽ ổn định tiệm cận nếu lim kB(t)k = 0 khi t → ∞ Đối với hệ rời rạc không dừng, cũng có các tiêu chuẩn tương tự về tính ổn định, và việc chứng minh sẽ dựa vào bất đẳng thức Gronwall cho hệ rời rạc.
Ổn định hệ phi tuyến
Các hệ động lực thường được mô tả bằng các phương trình toán học phi tuyến Để giải quyết vấn đề ổn định của các hệ phi tuyến, Liapunov đã đề xuất hai phương pháp.
Phương pháp thứ nhất tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Liapunov hoặc hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt, chẳng hạn như hàm khả vi liên tục, thì hệ đã cho có thể được xấp xỉ bằng hệ tuyến tính tương ứng Từ đó, tính ổn định của hệ sẽ được rút ra từ tính ổn định của hệ xấp xỉ tuyến tính.
Phương pháp trực tiếp thứ hai, dựa vào hàm Liapunov, cho phép kiểm tra tính ổn định của hệ thông qua dấu của đạo hàm hàm vế phải Mặc dù đơn giản hơn, phương pháp này gặp khó khăn trong việc tìm hàm Liapunov trơn, và hiện tại chưa có thuật toán hiệu quả nào để thực hiện điều này, chỉ có thể dựa vào kinh nghiệm và đặc điểm của hàm vế phải Bài viết này sẽ giới thiệu các định lý cơ bản về tính ổn định cho các hệ phi tuyến thông qua hai phương pháp đã nêu.
Các hệ tựa tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân ˙ x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0, trong đó f(t, x): R + ×R n −→ R n là hàm phi tuyến với điều kiện f(t,0) = 0 cho mọi t ∈ R + Để đảm bảo hệ (1.9) có nghiệm x(t) với x(t 0 ) = x 0, t 0 ≥ 0, cần giả thiết các điều kiện thích hợp cho hàm f Định lý sau đây cung cấp điều kiện đủ để hệ (1.9) ổn định tiệm cận khi hàm f(t, x) được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu phi tuyến nhỏ Cụ thể, nếu hàm f(t, x) khả vi liên tục tại x = 0, theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0, ta có f(x) = A + g(x).
Xét hệ (1.9) trong đó f(t, x) = A+g(x) Giả sử A là ma trận ổn định và g(x) = 0(kxk) thì hệ là ổn định tiệm cận.
Chứng minh Nghiệm của bài toán cauchy cho hệ (1.9) với f(t, x) = A+g(x) cho bởi x(t) = e A(t−t 0 ) + t
Vì A là ma trận ổn định nên có số K > 0 , δ >0 sao cho ke At k ≤ Ke −δt , ∀t ≥0.
Ta có đánh giá nghiệm sau đây kx(t)k ≤ Ke −δ(t−t 0 ) kx 0 k+ t
Vì x−→0lim g(x) kxk = 0 nên mọi ε > 0 cho trước nào đó, tồn tại số δ 1 > 0 sao cho với kx(t)k < δ 1 ta có kg(x(t))k ≤ εkx(t)k, ∀t ≥ 0.
Do đó kx(t)k ≤ Ke −δ(t−t 0 ) kx 0 k+ t
Ke −δ(t−s) εkx(s)kds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được đánh giá kx(t)k ≤ Kkx 0 ke −δ(t−t 0 ) e t
K thì kx(t)k tiến tới 0 khi t −→ ∞, hay là hệ là ổn định tiệm cận. Định lý được chứng minh.
Nhận xét: Ta có thể thay điều kiện g(x)= 0(kxk) bằng điều kiện tăng trưởng sau: tồn tại số L >0 sao cho kg(x)k ≤ Lkxk, ∀x ∈ X.
Khi đó khẳng định của định lý 1.4.1 vẫn đúng với L > 0 thỏa mãn điều kiện L < δ
K. Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (1.9) là ổn định khi hàm f(t, x) được phân tích thành tổng hai hàm số phụ thuộc thời gian.
Xét hệ phi tuyến ˙ x = A(t)x(t) +g(t, x(t)), t ≥ 0 (1.10) Giả sử i,∃K >0, δ > 0 : kφ(t, s)k ≤ Ke −δ(t−s) ,∀t ≥ s ≥0. ii,kg(t, x)k ≤ L(t)kxk,∀t≥ 0,∀x ∈ R n iii, sup t∈R +
K. khi đó hệ là ổn định tiệm cận.
Chứng minh Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh định lý 1.4.1 ta sẽ đi đến đánh giá kx(t)k ≤ Ke −δ(t−t 0 ) kx 0 k+ t
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta được kx(t)k ≤ Kkx 0 ke −δt e t
. Theo điều kiện iii, ta có kx(t)k ≤ Kkx 0 ke (KM −δ)t vì M < δ
Hệ (1.10) là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh.
TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN CỦA HỆ TUYẾN TÍNH CÓ
Đặt bài toán
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu lớp hệ tuyến tính theo thời gian có trễ với tham số nhảy Markov, được mô tả bởi các hệ thức vi phân Cụ thể, phương trình động lực học được thể hiện qua công thức ˙ x(t) = A 0 (r(t))x(t) +.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ thống động học với các trễ liên tiếp τ 1 , τ 2 , , τ N và τ m = max q=1, ,N {τ q } Tại thời điểm t 0, được đơn giản hóa thành t 0 = 0, trạng thái véc tơ x(t) ∈ R n được mô tả bởi hàm ψ(t) ∈ C([−τ m ,0] −→ R n ) Hàm này là một ánh xạ liên tục từ khoảng thời gian [−τ m ,0] vào không gian R n Các ma trận A 0(r(t)) và A q(r(t)) thuộc R n×n, thể hiện sự phụ thuộc vào thời gian r(t).
1, , N là các ma trận thực Những ma trận này là những hàm của tham số ngẫu nhiên r(t).
Tham số r(t) trong đẳng thức (2.1) biểu thị một quá trình Markov thời gian liên tục theo trạng thái lấy giá trị trong một tập hữu hạn
S = {1,2, , s} với ma trận chuyển dịch π = [π ij ] ij=1,s Khả năng chuyển tiếp từ mode i đến mode j được xác định bởi:
1 +π ii ∆+ 0(∆) i = j (2.3) trong đó ∆ > 0 và lim
∆ Trong hệ thức trên,(π ij ≥0) là tốc độ chuyển đổi từ trạng thái i sang trạng thái j (i 6= j) và s
Hệ thống được mô tả bởi các hệ thức (2.1) - (2.3) là một hệ chuyển đổi với véc tơ trạng thái (r(t), x(t)).
Mỗi chế độ i, hệ thống được mô tả bởi các phương trình (2.1) - (2.3) thể hiện tính tuyến tính theo các biến x(t), x(t−τ 1), , x(t−τ q) Để đơn giản hóa nghiên cứu, chúng ta sẽ tập trung vào các hệ thống có độ trễ cố định, không phụ thuộc vào quy trình ngẫu nhiên mà chỉ dựa vào cấu trúc của hệ thống Hãy xem xét các giá trị ban đầu.
Các hàm ngẫu nhiên độc lập và cố định {ψ(t)} và {ρ(t) = r(t)} được xác định trong khoảng thời gian −τ m ≤ t ≤ 0 Hệ thống đang xem xét có số nhiễu giống nhau ở mỗi trạng thái, và quá trình Markov trong hệ thống này là không hồi quy.
Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá cách kiểm tra tính ổn định của các lớp bài toán (hệ thống) Chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định ngẫu nhiên, đồng thời cung cấp một số ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được.
Khi trạng thái bài toán là i, tức là r(t) = i, chúng ta sử dụng chú ý A qi để biểu diễn ma trận A q (r(t)) với q = 0,1, , N Chuẩn Euclid của véc tơ x được tính bằng kxk = (x 2 1 + +x 2 n ) 1/2, trong đó x i là phần tử thứ i của x(t) Đối với ma trận, chuẩn Euclid được xác định bởi kMk = [λ max (M 0 M)] 1/2, với M 0 là ma trận chuyển vị của M và λ min (M), λ max (M) là các giá trị riêng của M Nếu M > 0, ma trận được coi là xác định dương và M 1/2 là căn bậc hai của ma trận vuông.
Tính ổn định ngẫu nhiên của các hệ tuyến tính có bước nhảy
Khái niệm ổn định ngẫu nhiên cho hệ tuyến tính và phi tuyến tính được nhiều tác giả sử dụng.
2.2.1 Định nghĩa về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ
Gọi E{.} là kỳ vọng, x 0 = x(0) là trạng thái ban đầu của hệ, và x(t, ψ, ρ) là nghiệm thích hợp của hệ (2.1) - (2.3) tại thời điểm t với điều kiện ban đầu là ψ và ρ Hệ (2.1) - (2.3) được xem là ổn định ngẫu nhiên nếu tất cả ψ(t) ∈ C([−τ m ,0] −→ R n ) hữu hạn và ρ([−τ m ,0] −→ S) tồn tại một hằng số C˜ sao cho.
Tính chất sau thiết lập một quan hệ giữa trạng thái của hệ tại thời điểm t và t+η, η ∈ [−τ m ,0].
2.2.2 Định lý KolmanovskiVới mỗi η ∈ [−τ m ,0] tồn tại một vô hướng h > 1 sao cho kx(t+η)k ≤ hkx(t)k, (2.5) trong đó x(t) là trạng thái của hệ tại thời điểm t.
Bây giờ ta thiết lập điều kiện đủ cho trễ độc lập đối với tính ổn định ngẫu nhiên.
2.2.3 Định lý về điều kiện đủ để hệ ổn định ngẫu nhiên
Hệ (2.1) - (2.3) được coi là ổn định ngẫu nhiên nếu với mỗi ma trận đối xứng xác định dương Q_i đã cho, cho mọi i thuộc S, và một ma trận đối xứng hằng số xác định dương Q, tập nghiệm P_i, cho mọi i thuộc S, của hệ này đều thỏa mãn điều kiện ổn định.
X j=1 π ij P j +N Q= −Q i , (2.6) là đối xứng xác định dương.
Chứng minh Giả sử trạng thái tại thời điểm t là i, tức là, r(t) = i ∈ S, khi đó đẳng thức (2.1) trở thành: ˙ x(t) = A 0i x(t) +
A qi x(t−τ q ), (2.7) ta chọn hàm Liapunov ngẫu nhiên ổn định sau V(.) : R n × S −→ R+ :
Toán tử A˜ của quá trình ngẫu nhiên {(x(t), r(t)), t ≥ 0} được cho bởi:
Chứng minh công thức (2.9) cho trường hợp chưa có sự chuyển đổi Markov.
X q=1 x 0 (t−τ q )Qx(t−τ q ) (2.9) trong đó x(t) thỏa mãn hệ vi phân (2.7) ˙ x(t) = A 0i x(t) +
A qi x(t−τ q ) (2.7) Để đơn giản cách viết ta xét trường hợp N = 1 và r(t) là đại lượng biến đổi chứ không phải đại lượng ngẫu nhiên Markov.
Trong trường hợp này (2.7) có dạng đơn giản ˙ x(t) =A 0 x(t) +A 1 x(t−τ) (*) và hàm Liapunov (2.8) có dạng
Lấy đạo hàm của V theo t ta có:
V˙(x(t)) = ˙x 0 P x+x 0 Px˙ +x 0 (t)Qx(t)−x 0 (t−τ)Qx(t−τ) thay x˙ trong ( *) ta có
= x 0 (A 0 0 P +P A 0 +Q)x+ 2x 0 P A 1 x(t−τ)−x 0 (t−τ)Qx(t−τ). Dựa vào công thức (2.6) ta được:
(Q 1/2 x(t−τ q )−Q −1/2 A 0 qi P i x(t)) 0 (Q 1/2 x(t−τ q )−Q −1/2 A 0 qi P i x(t)) là một số dương khi đó ta có:
AV˜ (x, i) ≤ −x 0 (t)Q i x(t) (2.10) Mặt khác, với x 6= 0 và với mỗi trạng thái i, ta có:
Sử dụng công thức Dynkins, định lý Fubini và mệnh đề Gronwall - Bell- man, ta thấy mỗi i ∈ S :
) là một số dương nên
E n x 0 (t)P i x(t) x 0 , r 0 = i o ≤ e −βt V(x 0 , i) (2.13) Đặt: λ m : = min i∈S {λ min (P i )} λ M := max i∈S {λ max (P i )}, và sử dụng định lý Fubini một lần nữa ta có:
P q=1 τ q sử dụng tính chất A và cho T −→ ∞ , ta được:
C˜ := 1 λ m β[λ max (P i ) +h 2 τ λ max (Q)]. Định lý 2.2.3 được chứng minh.
Nếu hệ thống chỉ có một trạng thái đơn, điều kiện (2.6) sẽ được rút gọn, chỉ còn lại điều kiện cần thiết để xác định tính ổn định của hệ tuyến tính có độ trễ thời gian.
Khi trễ thời gian bằng không, ta có kết quả được thiết lập bởi j i và Chizeck [6]. Đẳng thức (2.6) có thể viết lại như sau:
Kết quả được đề xuất không bị ảnh hưởng bởi độ trễ của hệ thống Điều kiện của định lý 2.2.3 được xác định bởi đẳng thức (2.6), tương tự như điều kiện sau.
(2.15) Đẳng thức đầu tiên của hệ (2.15) đưa ra điều kiện ổn định ngẫu nhiên của hệ tuyến tính với tham số nhảy Markov được cho bởi (2.1) - (2.3) khi
Hệ quả sau cung cấp một điều kiện cần cho ổn định ngẫu nhiên mà việc kiểm tra dễ dàng hơn.
Nếu hệ được cho bởi các đẳng thức (2.1) - (2.3) là ổn định trong ý nghĩa ngẫu nhiên, với mỗi trạng thái i ∈ S , thì các ma trận (A 0i +
A qi −1/2π i I) và (A 0i −1/2π i I) có tất cả những giá trị riêng của nó trong nửa mặt phẳng bên trái.
Chứng minh rằng hệ thống được xác định bởi các đẳng thức (2.1) - (2.3) là ổn định ngẫu nhiên, nghĩa là với bất kỳ ma trận Q_i và Q nào thuộc tập S, tồn tại duy nhất ma trận P_i thỏa mãn điều kiện (2.6) (tương ứng với (2.15)) Do đó, hệ thống được mô tả bởi phương trình ˙x(t) = A_i x(t), với t ≥ t_0, sẽ duy trì tính ổn định trong các điều kiện ngẫu nhiên.
x(t), t ≥t 0 là ổn định ngẫu nhiên Sử dụng hệ quả (1) được thiết lập bởi Ji và Chizeck
[6], ta kết luận rằng, với mỗi i ∈ S các ma trận: A i +
Chú ý rằng sự ổn định của ma trận A i +
A qi −1/2π i I hoặc A i −1/2π i I với mỗi trạng thái i ∈ S là không đủ kết luận cho tính ổn định ngẫu nhiên của (2.1) - (2.3).
Hệ quả sau đưa ra một điều kiện đủ trễ độc lập cho tính ổn định ngẫu nhiên của bài toán LTDSMJP.
Lấy Q i ∈ R n×n là một ma trận đối xứng xác định dương sao cho hệ của các đẳng thức đôi
Có một tập nghiệm duy nhất của ma trận đối xứng xác định dương p i
Khi đó hệ (2.1) - (2.3) là ổn định ngẫu nhiên nếu điều kiện sau:
Chứng minh rằng hàm Liapunov ngẫu nhiên được xác định bởi đẳng thức (2.8), trong đó P i là ma trận nghiệm đối xứng xác định dương của hệ (2.15) Xem xét hoạt động rất nhỏ A˜ của quy trình ngẫu nhiên {(x(t), r(t)), t ≥ 0}.
Dựa vào đẳng thức (2.15) ta có
≤ −β i kx(t)k 2 trong đó β i := λ min (Q i )− 1 λ min (Q)(λ max (P i )) 2
Phần cuối của chứng minh giống như phần cuối của chứng minh định lý2.2.3
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau đây:
1 Trình bày có hệ thống một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định Liapunov của hệ vi phân với các nội dung:
- Nêu lên các định nghĩa về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, theo nghĩa Liapunov.
- Phát biểu các điều kiện về tính ổn định, tính giới nội, tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính, tuyến tính dừng.
- Trình bày phương pháp hàm Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân.
2 Đã nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên của hệ vi phân tuyến tính có trễ với các nội dung:
Bài toán liên quan đến hệ động lực được mô tả bởi hệ vi phân dạng (2.1) tập trung vào r(t), biểu thị quá trình Markov trong thời gian liên tục.
- Nêu lên định nghĩa về tính ổn định ngẫu nhiên của hệ.
Đã thiết lập định lý về điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định của hệ thống ngẫu nhiên, kèm theo một số hệ quả liên quan Các định lý và hệ quả này được chứng minh một cách chi tiết.