Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
1.1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định.
Xét hệ vi phân thường được viết dưới dạng ma trận vectơ dX dt = F(t, X) (1.1) Định nghĩa 1:
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được coi là ổn định theo Liapunov khi t → +∞ nếu với mọi ε > 0 và t₀ ∈ (a, ∞), tồn tại δ = δ(ε, t₀) > 0 sao cho nếu kX(t₀) − Z(t₀)k < δ thì kX(t) − Z(t)k < ε với mọi t ≥ t₀ và mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1).
Trong trường hợp đặc biệt, khi F(t,0) ≡ 0, nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 (với a < t < ∞) được coi là ổn định nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a,∞), tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho nếu kX(t0)k < δ thì kX(t)k < ε với mọi t ≥ t0, đối với mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1).
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận khi t →+∞ nếu
1 Nghiệm Z = Z(t) ổn định theo Liapunốp.
2 Với mọi t 0 ∈ (a,∞), tồn tại 4 = 4(t 0 ) > 0 sao cho kX(t 0 )−Z(t 0 )k < 4 thì lim t→∞kX(t)−Z(t)k = 0 với mọi t≥ t0, với mọi nghiệm X(t) của hệ (1.1). Định nghĩa 3:
Nếu trong định nghĩa 1, δ = δ() > 0 chỉ phụ thuộc vào ( không phụ thuộc vào t 0 ) thì ổn định được gọi là ổn định đều. Định nghĩa 4:
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) của hệ (1.1) được coi là không ổn định theo Liapunov khi t → +∞, tức là không ổn định, nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞), tồn tại ít nhất một nghiệm Xδ(t) và thời điểm t1 = t1(δ) > t0 sao cho ||Xδ(t0) - Z(t0)|| < δ nhưng ||Xδ(t1) - Z(t1)|| ≥ ε.
Nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞) được coi là không ổn định nếu với mọi ε > 0 và t₀ ∈ (a, ∞), cũng như mọi δ > 0, tồn tại ít nhất một nghiệm Xₓ(t) tại thời điểm t₁ = t₁(δ) > t₀ sao cho kXₓ(t₀)k < δ và kXₓ(t₁)k ≥ ε.
Nếu nghiệm Z = Z(t) (với a < t < ∞)) ổn định tiệm cận khi t → ∞ và tất các các nghiệm X = X(t),(t 0 ≤ t < ∞, t 0 > a) đều có tính chất t→∞lim kX(t)−Z(t)k = 0, tức là 4 = ∞ thì Z = Z(t) được gọi là ổn định toàn cục.
1.1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
1.1.2.1 Các khái niệm cơ bản
Xét hệ vi phân tuyến tính dX dt = A(t)X +F(t) (1.2) trong đó ma trận A(t) và vectơ F(t) liên tục trong (a,∞)
Giả sử X(t) = [x ij (t)] (detX(t) 6= 0) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng dX dt = A(t)X (1.3) Định nghĩa 1:
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được xem là ổn định nếu tất cả các nghiệm X = X(t) của nó ổn định theo Liapunốp khi t → +∞ Ngược lại, nếu các nghiệm không ổn định, hệ được coi là không ổn định.
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm X = X(t) của nó ổn định tiệm cận khi t →+∞ Định nghĩa 3:
Hệ vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm
X = X(t) của nó ổn định đều khi t → +∞ đối với thời điểm ban đầu t0 ∈ (a,∞).
Định lý 1 về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính ổn định với số hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thường X ≡ 0 trong khoảng thời gian t0 < t < ∞, với t0 thuộc (a,∞), của hệ thuần nhất tương ứng phải ổn định.
Chứng minh 1 Điều kiện cần: Giả sử hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) ổn định và Z = Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ (1.2).
Khi đó với mọi > 0,tồn tại δ(, t 0 ) sao cho: kY(t 0 )−Z(t 0 )k < δ thì kY(t)−Z(t)k < với mọi t≥ t 0 , với mọi nghiệm Y(t) của hệ (1.2).
Do đó X(t) = Y(t) −Z(t) cũng là một nghiệm của phương trình thuần nhất (1.3).
Từ kY(t0)−Z(t0)k< δ suy ra kX(t0)k < δ thì kX(t)k< với mọi t ≥t0 , với mọi nghiệm Y(t) của hệ (1.2).
Từ đó suy ra rằng nghiệm tầm thường X ≡0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunôp khi t→ ∞.
Giả sử nghiệm tầm thườngX ≡ 0của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) ổn định theo Liapunốp khi t →+∞.
Khi đó, nếuX = X(t),(t 0 < t < ∞) là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3) sao cho kX(t 0 )k < δ(, t 0 ) thì kX(t)k < khi t 0 ≤ ∞
Nếu Z(t) là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất và Y(t) là một nghiệm bất kỳ, thì điều kiện kY(t0)−Z(t0)k < δ dẫn đến kY(t)−Z(t)k < δ khi t0 ≤ ∞ Điều này chứng tỏ rằng nghiệm Z(t) ổn định khi t tiến tới +∞.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được coi là ổn định đều nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) ổn định đều khi t tiến tới +∞.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được coi là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.3) cũng ổn định tiệm cận khi t tiến tới +∞.
1.1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
1.1.3.1-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tổng quát
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất: dY dt = A(t)Y (1.4) trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a,∞) Định lý 1:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định theo Liapunốp khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y(t),(t 0 ≤t < ∞) của hệ đó bị chặn.
Chứng minh 1 Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của (1.4) là giới nội trên [t 0 ,∞) ⊂(a,∞).
Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa
Ma trận X(t) bao gồm các hàm giới nội x jk (t), do đó nó là một ma trận giới nội với điều kiện kX(t)k ≤ M, trong đó M là một hằng số dương phụ thuộc vào t 0 và t 0 nằm trong khoảng từ 0 đến ∞.
Mỗi nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.4) đều có thể biểu diễn dưới dạng tích:
Từ đó ta có kY(t)k ≤ kX(t)k.kY(t 0 )k ≤ MkY(t 0 )k <
Như vậy với mọi >0, tồn tại δ = M sao cho: kY(t 0 )k < δ thì kY(t)k < ; với mọi t≥ t 0
Nên nghiệm tầm thường Y ≡ 0 ổn định, do đó nghiệm bất kỳ của hệ (1.4) ổn định theo Liapunốp khi t → +∞.( theo định lý 1 mục 1.1.2.2 ).
Như vậy hệ (1.4) ổn định.
Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) có một nghiệm không giới nội trên [t 0 ,∞) là Z(t) (Z(t 0 ) 6= 0)
Cố định 2 số dương > 0, δ > 0 và xét nghiệm
Rõ ràng kY(t 0 )k = δ 2 < δ và do tính không dưới nội của Z(t) đối với một thời điểm t 1 > t 0 nào đó ta có:
Nghiệm tầm thường Y ≡ 0 của hệ (1.4) không ổn định theo tiêu chuẩn Liapunov khi t → +∞, do đó theo định lý 1 mục 1.1.2.2, hệ (1.4) cũng không ổn định Điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính ổn định theo Liapunov của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4).
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất(1.4) ổn định theo liapunốp thì mỗi nghiệm
Y = Y(t),(t 0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn. Định lý 2:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y= Y(t) của nó dần tới không khi t → +∞ , tức là t→∞lim Y(t) = 0.
Để chứng minh điều kiện cần, giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận khi t → +∞ Khi đó, tất cả các nghiệm của hệ, bao gồm cả nghiệm tầm thường Y ≡ 0, đều ổn định tiệm cận khi t → +∞.
Do đó đối với nghiệm Z(t) bất kỳ của hệ (1.4) ta có t→∞lim Z(t) = 0 khi kZ(t 0 )k < 4 trong đó t 0 ∈ (a,∞) tùy ý.
Xét một nghiệm Y(t) tùy ý, xác định với điều kiện ban đầuY(t 0 ) = Y 0 6= 0. Với mọi nghiệm của (1.4) được viết:
Z(t) = Y(t) 4 2 kY(t 0 )k Theo định nghĩa về ổn định tiệm cận
2 < 4 nên t→∞lim Z(t) = 0 suy ra lim t→∞Y(t) = 0
Giả sử tất cả các nghiệm Y=Y(t) của hệ (1.4) dần tới không khi t →+∞. Khi đó với mọi nghiệm Y(t) bất kỳ (t 0 ≤ t < ∞) ta có: kY(t)k< 1 khi (T ≤ t < ∞)
Trên đoạn hữu hạn [t 0 , T], hàm vectơ liên tục Y(t) bị chặn, dẫn đến nghiệm Y(t) ổn định trên khoảng [t 0 ,∞] Theo định lý 1 mục 1.1.3.1, hệ (1.4) được xác định là ổn định, và nghiệm tầm thường của nó ổn định tiệm cận Do đó, theo định lý 3 mục 1.1.2.2, hệ (1.4) cũng được suy ra là ổn định tiệm cận.
1.1.3.2-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất : dX dt = AY (1.5) trong đó A = [a jk ] là ma trận hằng (n×n). Định lý 3:
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng A được coi là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λ j của A đều có phần thực không dương.
Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λ j của A đều có phần thực âm.
Sự ổn định đối với hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
1.2.1 Các khái niệm cơ bản. Định nghĩa 1:
Quá trình W = (W t , t > 0) xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P) được gọi là quá trình Wiener nếu:
2 (W t ) là quá trình có gia số độc lập, tức với mọi t 1 < t 2 < t 3 < t 4 các biến ngẫu nhiên W t 4 −W t 3 và W t 2 −W t 1 là độc lập.
3 Biến ngẫu nhiênW t −W s (0 ≤s < t) có phân phối chuẩn với trung bình
Hệ vi phân ngẫu nhiên được định nghĩa bằng phương trình dX(t) = A(t, X(t))dt + B(t, X(t))dW(t), trong đó A và B là các ma trận thuộc không gian R n×n, X(t) là vector trong R n, và W(t) là quá trình Wiener Hầu hết các quỹ đạo Wt(ω) đều là hàm liên tục, cho thấy tính ổn định trong sự biến đổi của hệ thống.
Nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ (1.10) được gọi là ổn định với xác suất
Nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.10) được gọi là ổn định tiêm cận với xác suất 1 nếu:
1 Nghiệm X ≡0 ổn định với xác suất 1.
1.2.2 Quy tắc vi phân Itô.
Cho X= X(t) là quá trình ngẫu nhiên có vi phân: dX t = A(t, X t )dt+B(t, X t )dW t
Trong đó Wt là quá trình Wiener một chiều.
Giả sử y= g(t,x) là một hàm khả vi liên tục theo biến t ≥ 0, hai lần khả vi theo biến x ∈ R.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) có vi phân Itô được tính theo công thức sau đây gọi là quy tắc vi phân Itô: dY t = ∂g
Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dx = Ax(t)dt+ Bx(t)dW (0≤ t 0 < t < ∞) trong đó x(t0) = x0, x ∈ R n , A, B ∈ R n×n là ma trận hằng.
Khi đó quy tắc vi phân Itô của hàm V = x T x là dx T x = x T dx+dx T x+ (Bx) T Bxdt
Cho x có vi phân ngâu nhiên: dx = Axdt+BxdW trong đó A và B ∈ R n×n là các ma trận hằng.
Khi đó vi phân của hàm V = x T Hx có kỳ vọng
Chứng minh Theo công thức vi phân Itô ta có : dV = d(x T Hx) = dx T Hx+x T d(Hx) + (Bx) T H(Bx)dt
= (x T A T dt+ x T B T dW)Hx+x T H(Axdt+BxdW) +x T B T HBxdt
= x T (A T H +HA+B T HB)xdt+x T (B T H +HB)xdW.
(vì EdW=0) Định lý 1 (Ghiman):
Giả sử X có vi phân ngẫu nhiên Itô dX(t) =AX(t)dt+BX(t)dW(t) (1.11)
Nếu tồn tại hàm Liapunốp ngẫu nhiên V(t,X) với V(t,0)=0, V(t,X) xác định dương, sao cho
EdV dt < 0 (trong đó đạo hàm lấy dọc theo nghiệm của hệ đã cho)
Thì khi đó nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 Định lý 2:
Giả sử ma trận A-Hurwitz khi đó nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận A T H + HA+ B T HB ( hoặc ma trận
B T HB −G) xác định âm, trong đó H thỏa mãn phương trình Sylvester:
A T H +HA = −G với G là ma trận xác định dương, đối xứng tùy ý (có thể lấy G=I là ma trận đơn vị).
Chứng minh Ta xây dựng hàm Liapunốp V(t, X) là dạng toàn phương:
Ta thấy hàm V(t,X ) là hàm xác định dương và V(t,0)=0 Khi đó theo công thức vi phân ngẫu nhiên Itô ta có : dV = d(X T HX) =d(X T ).HX +X T H.dX +X T B T HBXdt
= (X T A T dt+X T B T dW)HX+X T H.(AXdt+BX)dW+X T B T HBXdt
= X T (A T H +HA+B T HB)Xdt+X T (B T H + HB)XdW
Kỳ vọng này âm nếu ma trận A T H + HA+B T HB xác định âm ( hoặc ma trận B T HB −G) xác định âm.
Theo định lý Ghiman ta suy ra nghiệm X ≡0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1. Định lý 3:
Giả sử ma trận A là ma trận Hurwitz, điều kiện cần và đủ để nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dương H thỏa mãn phương trình Sylvester.
A T H +HA+B T HB = −G trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng, chọn tùy ý (có thể lấy G=I là ma trận đơn vị ).
Chứng minh Giả sử tồn tại ma trận xác định dương H thõa mãn phương trình Sylvester:
A T H +HA+B T HB = −G trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng Khi đó ta lấy hàm Liapunov là dạng toàn phương: V(t, X) = X T HX
Tương tự như định lý 2 ở trên ta có:
EdV dt = X T (A T H +HA+B T HB)X = −X T GX < 0
Do vậy theo định lý Ghiman thì nghiệm X ≡ 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1. Định lý 4:
Giả sử A là ma trân Hurwitz (Reλj(A) < 0)và ma trận B không suy biến. Khi đó điều kiện đủ của tính ổn định tiêm cận với xác suất 1 của nghiệm
X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itô (1.11) là tính xác định âm của ma trận H-E, trong đó H thõa mãn phương trình Sylvester:
A T H +HA = −B T B (H là ma trận đối xứng, xác định dương).
Chứng minh Theo giả thiết B là ma trận không suy biến nên B T B là ma trận xác định dương.
Vì H thỏa mãn phương trình Sylvester:
A T H +HA = −B T B nên H là ma trận xác định dương.
Do đó hàm Liapunốp dang toàn phương:
V(t, X) = X T HX xác định dương (*) áp dụng mệnh đề 1 ta có :
Vì H −E xác định âm nên B T (H −E)B xác định âm
Từ (*),(**) suy ra nghiệm X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itô (1.11) ổn định tiêm cận với xác suất 1 Định lý 5 :
Giả sử A là ma trận Hurwitz với Reλ j (A) < 0 và ma trận B không suy biến, thì điều kiện cần và đủ để nghiệm X ≡ 0 của hệ phương trình ngẫu nhiên Itô ổn định với xác suất 1 là vết của H nhỏ hơn 1, trong đó H thỏa mãn phương trình Sylvester.
(H là ma trận đối xứng, xác định dương).
Giả sử H là ma trận xác định dương, điều kiện cần và đủ để ma trận H-E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của ma trận H phải nhỏ hơn 1.
Giả sử λ 1 , λ 2 , , λ n là tất cả các giá trị riêng của ma trận H và X j là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λ j (j=1,2, ,n) Khi đó
Do λj −1, với mọi j = 1, n nên H-E xác định âm.
- Tiếp theo chứng minh : vết H 0.
Gọi S h = {x ∈ R d : |x| < h} (với h>0) và C 1,1 (S h ×[t 0 ,∞);R + ) là họ tất cả các hàm liên tục V(x, t) : S h × [t 0 ,∞) → R + có các đạo hàm riêng bậc nhất liên tục theo x và theo t.
Gọi x(t) là nghiệm của (2.1) và V(x, t) ∈ C 1,1 (S h ×[t 0 ,∞);R + ) Khi đó v(t) =V(x(t), t) là một hàm của t và có đạo hàm ˙ v(t) =V t x(t), t
• i, Nếu tồn tại hàm xác định dương V(x, t) ∈ C 1,1 (S h ×[t 0 ,∞);R + ) sao cho
V˙(x, t) =V t (x(t), t) +V x (x(t), t).f(x(t), t) ≤ 0 đối với mọi (x, t) ∈ (S h ×[t 0 ,∞)) thì nghiệm tầm thường của (2.1) là ổn định.
• ii, Nếu tồn tại hàm xác định dương V(x, t) ∈ C 1,1 (S h ×[t 0 ,∞);R + ) có VCB bậc cao sao cho
V˙ (x, t) =V t (x(t), t) +V x (x(t), t).f(x(t), t) < 0 đối với mọi (x, t) ∈ (Sh×[t0,∞)) thì nghiệm tầm thường của (2.1) là ổn định tiệm cận.
Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô
∗ Giả sử X(t) = (X t , t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên thõa mãn
• i, Hầu hết các quỹ đạo t→ Xt là liên tục;
• ii, Hầu chắc chắn có biễu diễn
Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biễu diễn tồn tại.
Khi đó ta nói X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX.
∗ Nếu X là một quá trình Itô thì vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau: dX t = h(t, ω)dt+f(t, ω)dW t (2.2.1)
Hay gọn hơn dX = hdt+f dW
Công thức Itô là một công thức đổi biến quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên, cần thiết cho việc tính tích phân ngẫu nhiên, thực hiện các biến đổi biến ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Cho X là một quá trình Itô với dX t = hdt+f dW t
Giả sử hàm g(t, x) : R² → R là một hàm hai biến liên tục và khả vi hai lần Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) được coi là một quá trình Itô có vi phân, được xác định bởi công thức dYt = ∂g.
∂x 2 (t, X t )f 2 (t, ω)dt Công thức trên được gọi là công thức Itô và có dạng tương đương sau:
Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên
2.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đơn giản.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản sau: dX t
Trong đó các hàm A(t),a(t),B(t) đo được và bị chặn trong [0,T];
A(t) ∈ R d×d ;B(t) ∈ R d×m ;a(t), X t ∈ R d Điều kiện ban đầu X t 0 = x 0 phương trình có nghiệm duy nhất. Định lý 3.1:
Nghiệm của phương trình (2.3.1) trên [0,T] có dạng
Trong đó Φ(t) là nghiệm cơ bản của phương trình
Giả sử phương trình (2.3.1) có A(t) ≡ A là ma trận hằng thì
Trường hợp d=1, m bất kỳ, nghĩa là (2.3.1) có các hàm hệ số A(t) ∈ R; B(t) ∈ R 1×m ;a(t), X t ∈ R ta có Φ(t) = exp
2.3.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng tổng quát dX t A(t)X t +a(t) dt+ m
Ngoại trừ số hạng W t ∈ R m , các số hạng còn lại đều là các hàm vô hướng.
Ta giả thiết rằng tất cả các hệ số A(t), a(t), B i (t), b i (t) là đo được và bị chặn trong [t 0 , T] , khi đó phương trình tồn tại nghiệm duy nhất X t
Nghiệm của phương trình dX t = A(t)X t dt+B(t)X t dW t
, là nghiệm của phương trình thuần nhất dΦ t = A(t)Φ t dt+ m
B i (t)Φ t dW t i với giá trị ban đầu Φ t 0 = 1
Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d- chiều dx(t) =f(x(t), t)dt+g(x(t), t)dB(t), (t≥ t 0 ) (2.4.1)Với điều kiện ban đầu không đổi x 0 ∈ R d hoặc x 0 ∈ L 2 (Ω,R d ) là biến ngẫu nhiên Ft 0 - đo được.
Ta giả thiết phương trình (2.4.1) thõa mãn các điều kiện để tồn tại và duy nhất nghiệm x(t, t 0 , x 0 ).
Hơn nữa ta giả thiết rằng f(0, t) = 0, g(0, t) = 0; với mọi t ≥t 0
Khi đó phương trình (2.4.1) có nghiệm x(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện x(t0) = 0
Với 0 < h ≤ ∞, gọi C 2,1 (Sh ×R + ;R + ) là họ các hàm không âm V(x, t) xác định trên Sh×R + và có đạo hàm bậc hai theo x liên tục và bậc một theo t liên tục.
Gọi L là toán tử vi phân liên quan đến phương trình (2.4.1) được xác định bởi:
∂x i ∂x j Nếu L tác động lên hàm V ∈ C 2,1 (Sh×R + ;R + ) thì
2T r g T (x, t).V xx (x, t).g(x, t) Theo công thức vi phân Itô nếu x(t) ∈ S h thì dV x(t), t
Về sau này ta sẽ thấy bất đẳng thức V˙(x, t) ≤ 0 (trong trường hợp tất định) sẽ được thay thế bởi LV(x, t) ≤ 0 liên quan đến trường hợp ổn định ngẫu nhiên.
2.4.1 Tính ổn định theo xác suất. Định nghĩa:
• i, Nghiệm tầm thường của (2.4.1) được gọi là ổn định ngẫu nhiên (hay ổn định theo xác suất) nếu với mọi ∈ (0,1) và r > 0,tồn tại δ δ(, r, t 0 ) > 0 sao cho
• ii,Nghiệm tầm thường được gọi là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nếu nó ổn định ngẫu nhiên và ngoài ra với mọi ∈ (0,1) và tồn tại δ 0 = δ 0 (, t 0 ) > 0 sao cho
• iii,Nghiệm tầm thường được gọi là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên toàn cục nếu nó ổn định ngẫu nhiên và ngoài ra với mọi x 0 ∈ R d
Nếu tồn tại hàm xác định dương V(x, t) ∈ C 2,1 (S h ×[t 0 ,∞),R + ) sao cho
LV(x, t) ≤0 Đối với mọi (x, t) ∈ S h ×[t 0 ,∞) thì nghiệm tầm thường của (2.4.1) ổn định ngẫu nhiên. Định lý 4.2:
Nếu tồn tại hàm xác định dương V(x, t) ∈ C 2,1 (S h ×[t 0 ,∞),R + ) sao cho
LV(x, t) < 0 thì nghiệm tầm thường của (2.4.1) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên.
* Các hàm V(x, t) trong định lý trên được gọi là hàm Liapunốp ngẫu nhiên.
2.4.2 Tính ổn định mũ hầu chắc chắn. Định nghĩa:
Nghiệm tầm thường của phương trình dx(t) =f(x(t), t)dt+g(x(t), t)dB(t), (t≥ t0) (2.4.2) được gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu lim sup t→∞
Bổ đề 2: Đối với mọi x 0 6= 0 trong R d
Hàm P x(t, t 0 , x 0 ) không bằng 0 khi t ≥ t 0 = 1, điều này cho thấy rằng hầu hết các quỹ đạo mẫu của mọi nghiệm bắt đầu từ trạng thái khác không sẽ không bao giờ trở về gốc.
Giả sử tồn tại hàm V ∈ C 2,1 (R d ×[t 0 ,∞),R + ) và các hằng số p > 0, c 1 > 0, c 2 ∈ R, c 3 > 0 sao cho với mọi x6= 0 và t ≥t 0
2p h.c.c đối với mọi x0 ∈ R d Đặc biệt nếu c3 > 2c2 nghiệm tầm thường của (2.4.2) ổn định mũ hầu chắc chắn.
Giả sử tồn tại các hàm V ∈ C 2,1 (R d ×[t0,∞),R + ) và các hằng số p, α, λ sao cho với mọi x 6= 0 và t ≥ t0 α|x| p ≤ V(x, t) v`a LV(x, t) ≤ −λV(x, t)
Khi đó lim sup t→∞ log|x(t, t 0 , x 0 )| ≤ −λ p h.c.c đối với mọi x 0 ∈ R d Hay nói cách khác nghiệm tầm thường của (2.4.2) ổn định mũ hầu chắc chắn.
Hệ quả là việc vận dụng định lý trên với c 1 = α, c 2 = −λ và c 3 = 0
2.4.3 Tính ổn định mũ moment.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d-chiều dx(t) = f(x(t), t)dt+g(x(t), t)dB(t), với t ≥t 0 (2.4.3) Định nghĩa :
Nghiệm tầm thường của (2.4.3) được gọi là ổn định mũ moment nếu tồn tại các cặp hằng số dương λ và C sao cho
E|x(t, t 0 , x 0 )| p ≤ C|x 0 | p e −λ(t−t 0 ) ; t≥ t 0 (2.4.4) đối với mọi x0 ∈ R d Khi p = 2 nghiệm được gọi là ổn định mũ bình phương trung bình.
Từ (2.4.4) ta suy ra lim sup t→∞
Như vậy trong trường hợp đó số mũ Liapunốp âm.
Chú ý rằng với 0 < p < pˆ ta có
Tính ổn định moment mũ bậc p, được thể hiện qua biểu thức ≤ E|x(t)| p 1/p, dẫn đến tính ổn định moment mũ bậc pˆ Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, giữa tính ổn định moment mũ bậc p và tính ổn định mũ hầu chắc chắn không tồn tại mối liên hệ rõ ràng.
Tuy nhiên định lý sau cho ta các điều kiện để từ tính ổn định mũ p-moment kéo theo ổn định mũ hầu chắc chắn. Định lý 4.4:
Giả sử tồn tại hằng số K sao cho x T f(x, t)∨ |g(x, t)| 2 ≤ K|x| 2 ; với mọi (x, t) ∈ R d ×[t 0 ,∞) (2.4.5)
Tính ổn định mũ p-moment của nghiệm tầm thường của hệ phương trình (2.4.3) dẫn đến tính ổn định mũ h.c.c Định lý 4.5 nêu rõ điều kiện đủ để xác định tính ổn định mũ p-moment thông qua hàm Liapunôp.
Giả sử tồn tại hàm V(x, t) ∈ C 2,1 (R d ×[t 0 ,∞),R + ) và các hằng số dương c 1 , c 2 , c 3 sao cho c 1 |x| p ≤ V(x, t) ≤ c 2 |x| p và
Từ đó nghiệm tầm thường của (2.4.3) ổn định mũ p- moment.
Tính ổn định ngẫu nhiên của hệ phi tuyến
Chúng ta sẽ xây dựng một lý thuyết chung về ổn định ngẫu nhiên cho các hệ thống phi tuyến, bao gồm cả trường hợp xác định và ngẫu nhiên Để minh họa, giả sử rằng hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân phi tuyến thông thường, cụ thể là ˙x(t) = f(x(t), t) với t ≥ 0 và điều kiện ban đầu x(0) = x₀ ∈ R^d.
Hệ này bị nhiễu bởi một chuyển động Brown m-chiều và hệ bị nhiễu ngẫu nhiên được mô tả bởi một phương trình Ito dx(t) =f x(t), t dt+ m
Với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 , B k là ma trận hằng cấp d×d Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, nếu f(x, t) thõa mãn f(x, t)
Đối với mọi x ∈ R d và t ≥ 0, nếu ≤ K|x| với K > 0, có nhiều cách để chọn các ma trận B k nhằm đảm bảo tính ổn định mũ cho phương trình (2.5.2) Điều này có nghĩa là hệ thống (2.5.1) có thể được ổn định thông qua chuyển động Brown nếu điều kiện (2.5.3) được thỏa mãn.
Một trường hợp đặc biệt của hệ (2.5.1) là trường hợp tuyến tính. ˙ x(t) =Ax(t) (2.5.4)
Trong trường hợp này (2.5.2) trở thành dx(t) =Ax(t)dt+ m
Rõ ràng, Ex(t) = y(t); với mọi t ≥ 0, là các nhiễu ngẫu nhiên giữ mức trung bình cho nghiệm không thay đổi và bằng với giá trị nghiệm của hệ không nhiễu (2.5.1).
Nói chung, chúng ta sẽ thấy rằng bất kỳ hệ thống ngẫu nhiên phi tuyến dy(t) =f y(t), t dt+g y(t), t dW(t)
Có thể được ổn định bởi chuyển động Brown nếu như f(x, t)
Cho không gian xác suất Ω,F,{F t } t≥0 , P với bộ lọc {F t } Ký hiệu |x| chuẩn Euclid của một vectơ x ∈ R d Ký hiệu kAk chuẩn của ma trận A là kAk = sup
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito được biểu diễn bởi dy(t) = f(y(t), t) dt + g(y(t), t) dW(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x₀ ∈ R^d Ở đây, f và g là các hàm số từ R^d × R⁺ đến R^d và R^d×q tương ứng, trong khi W(t) là chuyển động Brown q-chiều Đặc biệt, nếu phương trình này có một nghiệm duy nhất ký hiệu là x(t; x₀), thì có một điều kiện đủ cho thấy rằng các nghiệm sẽ không bao giờ bằng không với xác suất 1 nếu nghiệm ban đầu khác không.
Giả sử θ > 0 , tồn tại một K θ > 0 để
2.5.2 Tính ổn định do nhiễu ngẫu nhiên của hệ phi tuyến tất định.
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá lý thuyết tổng quát về tính ổn định ngẫu nhiên cho các hệ phi tuyến Giả sử rằng w1(t), , wn(t)T đại diện cho một chuyển động Brown m-chiều, và hàm f : R^d × R+ → R^d là một hàm Lipschitz liên tục địa phương với đặc điểm là f(x, t).
Cho K>0 và B k (1 ≤ k ≤ m) ma trận hằng cấp d×d Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) =f x(t), t dt+ m
Với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 ∈ R d Phương trình này có thể xem như hệ bị nhiễu ngẫu nhiên của hệ phi tuyến ˙ x(t) =f x(t), t Định lý 2.5.1:
Với ∀x 0 6= 0 Đặc biệt, nếu ρ > K + 1 2 λ thì phương trình (2.5.8) ổn định mũ h.c.c.
Chứng minh Với x 0 6= 0 cố định và viết x(t) thay cho x = (t;x 0 ) Bổ đề 3 cho chúng ta biết rằng x(t) 6= 0,với mọi t≥ 0 h.c.c.
Cho Phương trình vi phân (để đơn giản ta xét trường hợp k = 1) dx(t) =f x(t), t dt+Bx(t)dW(t)
Giả sử Y(x(t), t) = log|x(t)| 2 (hàm này không phụ thuộc riêng lẻ vào t)
|x(t)| 4 áp dụng công thức Itô (quy tắc lấy vi phân Itô) cho hàm Y(x(t), t) ta có dY = d log|x(t)| 2
|x(t)| 4 |Bx(t)| 2 dt Lấy tích phân hai vế từ 0 đến t ta có t
Tương tự ta cũng có đối với trường hợp tổng quát cho k với 1 ≤ k ≤ m của phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.5.8 ) log |x(t)| 2
−2.x(s) T Bkx(s)dwk(s) là martingale (theo tính chất của tích phân Itô).
Dùng các giả thiết (2.5.7) và (2.5.9) ta có t
M(t) có tính chất sau: Kỳ vọng bằng 0 vì EdW(s) = 0
Ta suy ra lim sup t→∞
• Bây giờ ta xét một số trường hợp đặc biệt của phương trình (2.5.8) Đầu tiên, B k = σ k I với mỗi k, I là ma trận đơn vị và σ k là một hằng số.
Khi đó phương trình (2.5.8) trở thành dx(t) = f(x, t)dt+ m
Lưu ý trong trường hợp này m
X k=1 σ k 2 |x| 4 Theo định lý 2 5.1, nghiệm của phương trình (2.5.13) thõa mãn lim sup t→∞
Vì vậy phương trình (2.5.13) ổn định mũ h.c.c nếu
• Một trường hợp đơn giản là khi σ k = 0,(2 ≤ k ≤ m) , tức là phương trình dx(t) =f x(t), t dt+σ 1 x(t)dw 1 (t) Phương trình này ổn định mũ h.c.c nếu
Nếu thêm một nhiễu ngẫu nhiên đủ mạnh vào một hệ phi tuyến x(t) = f(x(t), t), thì hệ thống sẽ trở nên ổn định Dưới đây là tóm tắt các kết quả trong định lý 2.5.2.
Mọi hệ phi tuyến x(t) =˙ f x(t), t có thể thiết lâp được tính ổn định bởi chuyển động Brown nếu như (2.5.7) là f(x, t)
≤ K|x| được thõa mãn và hơn nữa có thể sử dụng một chuyển động vô hướng Brown để làm hệ ổn định.
Định lý 2.5.1 khẳng định rằng có nhiều lựa chọn cho ma trận B k, giúp ổn định hệ thống Những lựa chọn này được coi là đơn giản và hiệu quả nhất để đảm bảo tính ổn định.
Ví dụ Đối với mỗi k, chọn ma trận xác định dương D k để x T D k x ≥ 1
Rõ ràng, có nhiều ma trận như vậy Cho σ là một hằng số và Bk = σDk thì m
X k=1 kD k k 2 |x| 4 Theo định lý 2.5.1, nghiệm của phương trình (2.5.8) thõa mãn lim sup t→∞
Do đó phương trình (2.5.8) ổn định mũ h.c.c nếu σ 2 > 4K m
Cho đến nay, chúng ta đã chứng minh rằng nhiễu ngẫu nhiên có thể ổn định hệ tất định Giờ đây, câu hỏi đặt ra là liệu nhiễu ngẫu nhiên có thể ổn định hệ ngẫu nhiên hay không, và câu trả lời là có Để đạt được kết quả này, chúng ta xem xét một trường hợp của phương trình (2.5.8) bằng cách đặt B m = σ m I, từ đó dẫn đến phương trình dx(t) = f(x, t)dt + m−1.
B k x(t)dw k (t) +σ m x(t)dw m (t); (2.5.14) Điều này có thể được xem như là hệ bị nhiễu ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên đã cho dx(t) = f(x, t)dt+ m−1
Bây giờ chúng ta ước tính m
Do đó, theo định lý 2.5.1, nghiệm của phương trình (2.5.14) thỏa mãn lim sup t→∞
Vì vậy phương trình (2.5.14) ổn định mũ h.c.c nếu như σ 2 m > 2K + m−1
X k=1 kB k k 2 Điều này đã chứng minh định lý sau. Định lý 2.5.3:
Nếu điều kiện ≤K|x| được thỏa mãn, phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.5.15) có thể được ổn định nhờ chuyển động Brown Thậm chí, có thể áp dụng chuyển động vô hướng Brown để đạt được sự ổn định này.
2.5.3 Tính ổn định do nhiễu ngẫu nhiên của hệ phi tuyến ngẫu nhiên.
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f(x, t)dt+g(x, t)dW(t) + m
Với điều kiện ban đầu x(0) = x 0 ∈ R d, W(t) là chuyển động Brown q-chiều độc lập với (w 1 (t), , w n (t)) T và g : R d × R + → R d×q, phương trình dx(t) = f(x, t)dt + g(x, t)dW(t) có thể được xem như một hệ bị nhiễu ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên đã cho Định lý 2.5.4 là sự tổng quát của định lý 2.5.1, trong đó f : R d × R + → R d và g : R d × R + → R d×q là các hàm liên tục địa phương Lipschitz thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Cho λ > 0, ρ > 0 và giả sử (2.5.9) đúng Thì nghiệm của phương trình (2.5.16) thỏa mãn lim sup t→∞
2(K 2 + λ) h.c.c (2.5.19) với mọi x 0 6= 0 Đặc biệt, nếu ρ > K 1 + 1 2 (K 2 +λ) thì phương trình (2.5.16) ổn định mũ h.c.c.
Chứng minh Chứng minh giống định lý 2.5.1 ta thấy log |x(t)| 2
2(K 2 +λ) t+M(t) +N(t) (2.5.20) với mọi t ≥0, M(t) cũng giống như trong định lý 2.5.1 và
Vì vậy từ (2.5.20) suy ra lim sup t→∞
Và yêu cầu (2.5.19) thỏa mãn. Định lý 2.5.5:
Bất kỳ phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng (2.5.17) có thể được ổn định bởi chuyển động Brown nếu như (2.5.18) thỏa mãn.
Hệ tuyến tính và nhận xét
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã học ở phần trước để kiểm tra sự ổn định của hệ tuyến tính ngẫu nhiên, được mô tả bởi phương trình dy(t) = A 0 (t)y(t)dt + q.
Với điều kiện ban đầu y(t) = x0 ∈ R d, trong đó (w1(t), , wq(t)) là chuyển động Brown q chiều, các Ai : R + → R d×d (1 ≤ i ≤ q) là các hàm bị chặn với kA i k = sup{kA i (t)k : t ≥ 0} Hệ thống này bị nhiễu bởi chuyển động Brown m-chiều độc lập (w 1 (t), , w m (t)), dẫn đến mô hình bị nhiễu được mô tả bởi dx(t) = A 0 (t)x(t)dt + q.
(2.6.2) Với điều kiện ban đầu x(t) = x 0 ∈ R d
Rõ ràng, giá trị kỳ vọng của Ex(t) và Ey(t) là bằng nhau cho mọi t ≥ 0, điều này có nghĩa là các nhiễu ngẫu nhiên không ảnh hưởng đến giá trị trung bình của nghiệm Áp dụng những kết quả đã đạt được vào phương trình (2.6.2), chúng ta có thể rút ra hệ quả quan trọng sau.
Giả sử cho (2.5.9) với λ > 0, ρ ≥ 0 Khi đó nghiệm của phương trình (2.6.2) thỏa mãn lim sup t→∞
Hơn nữa, có thể lựa chọn Bk,1≤ k ≤ m để mà ρ > kA 0 k+ 1
Phương trình (2.6.2) cho thấy tính ổn định mũ h.c.c, nghĩa là hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.6.1) có thể duy trì ổn định theo chuyển động Brown mà không làm thay đổi giá trị trung bình của nghiệm.
Sau thời gian làm việc dưới sự hướng dẫn của PGS TS Phan Đức Thành, luận văn đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính quan trọng.
1.Đã trình bày tương đối có hệ thống một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của Liapunov với các nội dung:
-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
-Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
-Phương pháp thứ hai của Liapunov để nghiên cứu tính ổn định
-Tính ổn định đối với hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản.
2 Đã trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên với các nội dung:
-Khái niệm về quá trình Itô và vi phân Itô.
-Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
-Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng tổng quát.
3 Chứng minh được rằng mọi hệ phi tuyến x(t) =˙ f x(t), t có thể thiết lập được sự ổn định bởi chuyển động Brown nếu thõa mãn các điều kiện: f(x, t)
4 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f(x, t)dt+g(x, t)dW(t) + m
Phương trình này có thể xem như hệ bị nhiễu ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên đã cho: dx(t) =f(x, t)dt+g(x, t)dW(t);
Bất kỳ phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng trên có thể được ổn định bởi chuyển động Brown nếu như điều kiện sau thỏa mãn: