Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên

Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô

Tích phân ngẫu nhiên

Nhiều mô hình trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái chịu ảnh hưởng của các yếu tố ngẫu nhiên từ môi trường bên ngoài Ví dụ, mô hình tăng trưởng dân số được biểu diễn bằng phương trình dN(t)/dt = a(t)N(t) với điều kiện ban đầu N(0) = N0, trong đó N(t) là số dân tại thời điểm t và a(t) là tỷ lệ tăng trưởng tương đối Khi a(t) chưa được xác định đầy đủ và bị ảnh hưởng bởi môi trường, ta có thể viết lại a(t) = r(t) + σ(t) "noise", dẫn đến phương trình mới dN(t)/dt = r(t)N(t) + σ(t)N(t) "noise".

Nghĩa là nó có dạng tích phân

Một câu hỏi được đặt ra là: Biểu thức toán học của "noise" trong tích phân

Rt σ(s)N(s)"noise"ds là gì?

Biểu thức toán học của "noise" được định nghĩa là ồn trắng B˙(t), tương đương với đạo hàm của quá trình chuyển động Brown B(t) Cụ thể, B(t) có thể biểu diễn dưới dạng B(t) = dB(t)/dt, trong đó phần "noise" dt có thể được hiểu là B(t)dt.

Nếu quá trình chuyển động Brown B(t) khả vi thì việc xác định tích phân trên không có vấn đề gì.

Quỹ đạo B(ã, ω) của quá trình chuyển động Brown không khả vi với mọi ω ∈ Ω, do đó tích phân này không thể được định nghĩa theo cách thông thường.

Nếu σ(t)N(t) là quá trình có biến phân giới nội thì chúng ta có thể xác định được tích phân như sau

Tuy vậy, trong thực tế σ(t)N(t) chỉ liên tục hoặc khả tích Do đó việc xác định tích phân Rt

0 σ(s)N(s)dB(s) sẽ gặp khó khăn.

Năm năm 1944, K Itô một nhà toán học người Nhật Bản lần đầu tiên đã đưa ra cách xây dựng tích phân

Trong đó, {B(t)} t≥0 đại diện cho quá trình chuyển động Brown m-chiều, trong khi {f(t)} là một lớp các quá trình ngẫu nhiên có giá trị trên R d×m Hiện nay, tích phân được đề cập trong (1.4) được gọi là tích phân ngẫu nhiên Itô.

Chúng ta sẽ xây dựng tích phân ngẫu nhiên một chiều trên đoạn [a, b] trong không gian xác suất (Ω,F,P) với lọc {F t } thỏa mãn điều kiện thông thường Quá trình chuyển động Brown B = {B(t)} t≥0 được xác định trên không gian xác suất phù hợp với lọc {F t } Định nghĩa 1.1.1 nêu rõ rằng với 0 ≤ a ≤ b < ∞, ký hiệu M 2 ([a, b];R) là không gian các quá trình f = {f(t)} t≥0 nhận giá trị thực, phù hợp với (F t ) và có điều kiện kfk 2 a,b = E.

Chúng ta đồng nhất hai hàm f và f¯ trên M 2 ([a, b];R) nếu kf − f¯k 2 a,b = 0, và trong trường hợp này, f và f¯ được coi là tương đương, ký hiệu là f = ¯f Định nghĩa 1.1.2 cho biết một quá trình ngẫu nhiên g = {g(t)} với a ≤ t ≤ b được gọi là quá trình đơn giản nếu tồn tại một phân hoạch của đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < < tk = b cùng với các biến ngẫu nhiên bị chặn ξi (0 ≤ i ≤ k−1), trong đó ξi là Ft i-đo được và g(t) = ξ0 I [t0, t1](t) + + ξk−1 I [tk−1, tk](t).

Ký hiệu tập các quá trình ngẫu nhiên đơn giản là M 0 ([a, b];R) Rõ ràng

M 0 ([a, b];R) là tập con của M 2 ([a, b];R) Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng nếu g là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản được xác định bởi (1.6) trong M 0 ([a, b];R), thì tích phân ngẫu nhiên của g đối với quá trình chuyển động Brown {B(t)} với t ≥ 0 được xác định theo cách cụ thể.

Rõ ràng, Rb a g(t)dB(t) là F b-đo được, ta sẽ chỉ ra rằng tích phân ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên thuộc lớp L 2 (Ω,R).

Bổ đề 1.1.5 Giả sử g 1 , g 2 ∈ M 0 ([a, b];R) và c 1 , c 2 là hai số thực Khi đó c 1 g 1 + c 2 g 2 ∈ M 0 ([a, b];R) và

Bổ đề 1.1.6 Giả sử f ∈ M 2 ([a, b];R) Khi đó tồn tại dãy quá trình đơn giản {g n } sao cho n→+∞lim E

Như vậy với mỗi f ∈ M 2 ([a, b];R), theo Bổ đề 1.1.6, tồn tại dãy quá trình đơn giản {g n } sao cho n→∞lim E

Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.4, 1.1.5 ta có

Rb a g n (t)dB(t)o là một dãy Cauchy trong không gian L 2 (Ω;R), do đó tồn tại giới hạn của nó, mà chúng ta coi như là tích phân ngẫu nhiên Itô Theo định nghĩa 1.1.7, nếu f ∈ M 2 ([a, b];R), thì tích phân ngẫu nhiên của quá trình f theo quá trình chuyển động Brown {B(t)} trên khoảng [a, b] được ký hiệu là Rb a f(t)dB(t) và được xác định bởi.

Z b a g n (t)dB(t), (1.12) trong đó {g n } là dãy các quá trình thuộc M 0 ([a, b];R) sao cho n→∞lim E

|f(t)−g n (t)| 2 d = 0 (1.13) Định nghĩa trên độc lập với cách chọn dãy {g n } Nếu dãy {h n }là dãy quá trình đơn giản khác hội tụ về f theo nghĩa n→∞lim E

|f(t)−h n (t)| 2 dt= 0 thì dãy {ϕ n }, với ϕ 2n−1 =gn và ϕ2n = hn cũng hội tụ đến hàm f theo nghĩa trên.

Rb a ϕ n (t)dB(t)o hội tụ trong L 2 (Ω,R) Từ đó suy ra, giới hạn của các dãy nRb a g n (t)dB(t)o và n

Rb a h n (t)dB(t)o bằng nhau hầu chắc chắn. Định lý 1.1.1 Giả sử f, g ∈ M 2 ([a, b];R) và α, β là hai số thực, thì

(1) Rb a f(t)dB(t) là F b -đo được;

(4) Rb a[αf(t) +βg(t)]dB(t) =αRb a f(t)dB(t) +βRb a g(t)dB(t).

Công thức Itô

Công thức Newton-Leibniz là một phần quan trọng trong vi tích phân, được phát triển bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ 17 Công thức này phát biểu rằng, với hàm khả vi liên tục f và hàm B : [0,∞) → R liên tục có biến phân bị chặn, ta có thể viết f[B(t)]−f[B(0)] = ∫_0^t f'[B(s)] dB(s).

Qui tắc NeBton-Leibniz không còn áp dụng trong tính toán ngẫu nhiên, và Itô đã phát triển công thức Itô, tương tự như công thức này nhưng dành cho giải tích ngẫu nhiên Chúng ta sẽ giới thiệu công thức Itô, với {B(t)} t ⩾ 0 là quá trình chuyển động Brown một chiều trong không gian xác suất đầy đủ (Ω,F,P) và F t-phù hợp Ký hiệu L 1 (R + ;R d ) đại diện cho họ các quá trình R d giá trị, đo được và phù hợp với {F t }-phù hợp f ={f(t)} t ⩾ 0.

Một quá trình ngẫu nhiên một chiều, liên tục, phù hợp x(t) trên t⩾0 được gọi là quá trình ngẫu nhiên Itô nếu nó có dạng x(t) = x(0) + |f(t)|dt < ∞ hầu chắc chắn với mọi T > 0.

Z t g(S)dB(s) trong đó f ∈ L 1 (R + ;R) và g ∈ L 2 (R + ;R) Khi đó ta nói x(t) có vi phân ngẫu nhiên dx(t) và được viết là dx(t) =f(t)dt+g(t)dB(t).

Kí hiệu C 2,1 (R d × R + ;R) là tập tất cả các hàm thực V(x, t) xác định trên

R d ×R+ hai lần khả vi liên tục theo biến x và một lần khả vi theo biến t Nếu

∂x 2 Định lý 1.1.9 (Công thức Itô một chiều) Giả sử {x(t)} t ⩾ 0 là quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên dx(t) =f(t)dt+g(t)dB(t), trong đó f ∈ L 1 (R+;R) và g ∈ L 2 (R+;R) Lấy V ∈ C 2,1 (R × R+;R) Khi đó

V(x(t), t) cũng là quá trình ngẫu nhiên Itô với vi phân ngẫu nhiên được xác định bởi dV(x(t), t)

2V xx (x(t), t)g 2 (t) dt +V x (x(t), t)g(t)dB(t). Định nghĩa 1.1.10 Một quá trình ngẫu nhiên liên tục R d -giá trị {F t }-phù hợp được gọi là quá trình Itô d-chiều nếu nó có dạng x(t) =x(0) +

Trong bài viết này, chúng ta xem xét vi phân ngẫu nhiên dx(t) của quá trình Itô, được mô tả bởi công thức dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t), với f là hàm thuộc L1 và g là hàm thuộc L2 Định lý 1.1.2 trình bày rằng nếu {x(t)} là quá trình Itô với các điều kiện nêu trên, và V là hàm thuộc C2,1, thì các tính chất của quá trình này sẽ được phân tích trong bối cảnh toán học.

V(x(t), t) cũng là quá trình ngẫu nhiên Itô với vi phân ngẫu nhiên được xác định bởi dV(x(t), t)

Ví dụ 1.1.11 Lấy B(t) là quá trình chuyển động Brown 1-chiều Tính tích phân

B(s)dB(s). Áp dụng công thức Itô với V(x, t) =x 2 và dx(t) t) ta có dB 2 (t) = 2B(t)dB(t) +dt.

Ví dụ 1.1.12 Lấy B(t) là quá trình chuyển động Brown 1-chiều Tính tích phân

Z t 0 e − s 2 +B(s) dB(s). Áp dụng công thức Itô với V(x, t) =e − 2 t +x và dx(t) t) ta có de − 2 t +B(t) =−1

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong không gian xác suất đầy đủ (Ω,F,P) với lọc {F t ⩾ 0} đáp ứng các điều kiện thông thường, ta định nghĩa B t = (B 1 (t), , B m (t)) T là quá trình chuyển động Brown m-chiều Với 0 ⩽ t 0 < T < ∞, x 0 là biến ngẫu nhiên R d -giá trị, Ft 0-đo được, thỏa mãn E|x 0 | 2 < ∞ Hai hàm Borel f : R d ×[t 0 , T] → R d và g : R d ×[t 0 , T] → R d×m được xem xét trong phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô: dx(t) = f(x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 Phương trình này tương đương với phương trình tích phân ngẫu nhiên x(t) = x 0 +

Xét x(t) là quá trình ngẫu nhiên nhận R^d - giá trị xác định trên [t_0, T] và B(t) là quá trình chuyển động Brown n chiều Hàm f là hàm R^d - giá trị, trong khi g là hàm giá trị ma trận cỡ d×m xác định và đo được trên [t_0, T]×R^d Với (x, t) cố định, giả thiết rằng f(x, t) và g(x, t) độc lập với ω ∈ Ω Quá trình x(t) được gọi là nghiệm của phương trình (1.15) nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định.

(3) Phương trình (1.16) được thỏa mãn với mọi t∈ [t 0 , T] với xác suất 1.

Phương trình (1.15) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [t 0 , T] nếu khi x(t) và x(t) là hai nghiệm của phương trình thì

1 Ký hiệu nghiệm của phương trình (1.15)làx(t, t 0 , x 0 ).Từ phương trình (1.16) với mọi, ta có x(t) =x(s) +

Mặt khác, phương trình này trên [s, T] với điều kiện ban đầu là x(s) x(s, t 0 , x 0 ), nghiệm được ký hiệu là x(t, s, x(s, t 0 , x 0 )) Do đó nghiệm của phương trình (1.15) thỏa mãn tính chất nửa nhóm x(t, t 0 , x 0 ) =x(t, s, x(s, t 0 , x 0 )) t 0 ≤s ≤t ≤T.

2 Hệ số f và g có thể phụ thuộc vào ω, trong trường hợp tổng quát nó là các quá trình phù hợp.

Trong luận văn này, chúng ta xem xét biến ngẫu nhiên x₀ khả tích bậc hai, với trường hợp tổng quát là x₀ là một biến ngẫu nhiên F_t 0 -đo được Định lý 1.2.1 khẳng định về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, giả sử có hai hằng số K.

(1) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈R d và t ∈[t 0 , T]

(2) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi (x, t) ∈R d ×[t 0 , T]

Khi đó, phương trình vi phân ngẫu nhiên có nghiệmR d -giá trị duy nhất trên [t 0 , T], liên tục với xác suất 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) =x 0

Ví dụ 1.2.3 Lấy B(t), t ≥ 0 là quá trình chuyển động Brown 1-chiều Xác định quá trình ngẫu nhiên 2-chiều x(t) = (x (t), x (t)) T = (cos(B(t)),sin(B(t))) T với t≥ 0 (1.20)

Quá trình x(t) được xác định là chuyển động Brown trên đường tròn đơn vị và nó tuân theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Chúng ta sẽ chứng minh rằng x(t) thỏa mãn điều kiện này theo công thức Itô.

2x 1 (t)dt−x 2 (t)dB(t), dx 2 (t) = cos(B(t))dB(t)− 1

Nghĩa là x(t) là nghiệm của phương trình dx(t) =−1

Ví dụ 1.2.4 Điện năng Q(t) tại thời điểm t trong mạch điện thỏa mãn phương trình

Trong phương trình CQ(t) = F(t), các biến số bao gồm L (điện cảm), R (điện trở), và C (điện dung) Giả sử nguồn điện thế F(t) bị nhiễu do môi trường, ta có thể diễn tả nó dưới dạng F(t) = G(t) + αB0(t), trong đó B0(t) đại diện cho tiếng ồn trắng một chiều và α là cường độ của tiếng ồn Do đó, phương trình ban đầu (1.22) sẽ được điều chỉnh để phản ánh sự ảnh hưởng của tiếng ồn.

Xét quá trình ngẫu nhiên 2-chiều x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) T = (Q(t), Q 0 (t)) T Khi đó phương trình (1.23) có thể được viết dưới dạng phương trình Itô

 dx 1 (t) =x 2 (t)dt dx 2 (t) = L 1 − C 1 x 1 (t)−Rx 2 (t) +G(t) dt+ α L dB(t).

Nghĩa là dx(t) = [Ax(t) +H(t)]dt+KdB(t), trong đó,

Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Công thức Liouville ngẫu nhiên

Xét phương trình tuyến tính ngẫu nhiên dx(t) =F(t)x(t)dt+ m

F(t) = (F ij (t)) d×d , G k (t) = (G k ij (t)) d×d là cỏc ma trận đo được Borel và bị chặn Với mọi j = 1,ã ã ã , d, lấy e j vector đơn vị cột theo chiều xj, nghĩa là e j = (0,ã ã ã0,1,0,ã ã ã ,0) T

Lấy Φ j (t) = (Φ 1j (t),ã ã ã ,Φ dj (t)) T là nghiệm của phương trỡnh (1.28) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) =e j Định nghĩa ma trận Φ(t) = (Φ 1 (t),Φ 2 (t),ã ã ã ,Φ d (t)) = (Φ ij (t)) dìd

Ta gọi ma trận Φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.28) Chú ý rằng, Φ(t 0 ) là ma trận đơn vị bậc d và dΦ(t) =F(t)Φ(t)dt+ m

G k (t)Φ(t)dB k (t) (1.29) Phương trình (1.29) có thể được viết chi tiết như sau Với mọi 1≤ i, j ≤ d dΦ ij (t) d

Định lý 1.3.1 cho thấy rằng bất kỳ nghiệm nào của phương trình (1.24) đều có thể được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t) Điều này lý giải cho việc tại sao Φ(t) lại được gọi là ma trận nghiệm cơ bản, với điều kiện ban đầu x0, nghiệm duy nhất của phương trình là x(t) = Φ(t)x0.

Chứng minh Rõ ràng x(t0) =x0 Ngoài ra (1.29), dx(t) =d(Φ(t)x 0 ) =F(t)Φ(t)x 0 dt+ m

Do đó, x(t) là nghiệm của phương trình (1.24) Từ tính duy nhất của nghiệm, suy ra x(t) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.24).

Xét định thức của ma trận nghiệm cơ bản

Định thức Wronski ngẫu nhiên, ký hiệu là W(t), có giá trị W(t₀) = 1 Theo Định lý 1.3.2, công thức Liouville ngẫu nhiên cho phép chúng ta biểu diễn W(t) một cách rõ ràng.

) (1.33) Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 1.3.1 Lấy a(ã) và b k (ã) là cỏc hàm đo được Borel, nhận giỏ trị thực bị chặn trên [t 0 , T] khi đó y(t) =y 0 exp

(1.34) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dy(t) =a(t)y(t)dt+ m

X k=1 b k (t)x(t)B(t) (1.35) trên đoạn [t 0 , T] với điều kiện ban đầu y(t 0 ) =y 0

Dễ thấy y(t 0 ) =y 0 Ngoài ra, theo công thức Itô ta có dy(t) =y(t)h a(t)− 1

Ta có điều cần chứng minh.

Từ Định lý 1.3.2 ta có định lý sau đây. Định lý 1.3.3 Với mọi t ∈[t 0 , T] ma trận nghiệm cơ bản Φ(t) khả nghịch với mọi t.

Công thức biến thiên hằng số

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính d-chiều, tổng quát có dạng dx(t) = (F(t)x(t) +f(t))dt+ m

Phương trình (1.37) được xác định trên khoảng thời gian [t₀, T] với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀ Đây là một phương trình thuần nhất liên quan đến phương trình (1.28) Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày công thức xác định nghiệm duy nhất của phương trình (1.37), được gọi là công thức biến thiên hằng số Theo Định lý 1.3.4, nghiệm duy nhất của phương trình (1.37) được xác định bởi x(t) = Φ(t) x₀.

Hệ quả 1.3.2. a) Đối với phương trình thuần nhất dx(t) =F(t)x(t)dt+G(t)x(t)dB(t); x(t 0 ) =x 0 có nghiệm là x(t) =x 0 exp

b) Đối với phương trình ô tô nôm thuần nhất F(t) ≡ F;G(t) ≡ G có nghiệm là x(t) =x 0 exp

Định lý biến thiên hằng số (1.3.4) chỉ ra rằng nghiệm hiển của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính chỉ có thể xác định khi biết ma trận cơ bản Φ(t) Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có sẵn ma trận nghiệm cơ bản này Dưới đây là một số ví dụ cho thấy cách tìm ra ma trận cơ bản.

Ví dụ 1.3.3 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính trong trường hợp 1 chiều dạng dx(t) = (a(t).x(t) +f(t))d(t) + [b(t)x(t) +g(t)]dB(t) (1.38)

Có phương trình thuần nhất tương ứng là dx(t) =a(t)x(t)dt+b(t)x(t)dB(t) với x(t 0 ) = 1 (1.39)

Từ (1.39) xét hàm V(x, t) =lnx ta có ∂V

= Φ(t) Áp dụng công thức biến thiên hằng số ta có x(t) = Φ(t) x 0 +

Ví dụ 1.3.4 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính vô hướng dạng dx(t) = (a(t)x(t) +a(t))dt+ m

Phương trình b k (t)x(t) + b(t)dB k (t) (1.40) được xác định trên khoảng thời gian [t 0 , T] với giá trị ban đầu x(t 0 ) = x 0, trong đó x 0 thuộc L 2 (Ω,R) và được đo bởi Ft 0 Các hàm a(t), a(t), b(t), b(t) là các hàm Borel có thể đo được và bị chặn trên khoảng [t 0 , T] Phương trình tuyến tính tương ứng thuần nhất là dx(t) = a(t)x(t)dt + m.

Từ Bổ đề (1.3.1), nghiệm cơ bản của phương trình (1.41) xác định bởi Φ(t) = exp

# Áp dụng công thức biến thiên hằng số ta có nghiệm hiển của phương trình (1.40) là x(t) = Φ(t) x 0 +

Bán kính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên 17

Bán kính ổn định của phương trình vi phân tất định tuyến tính

Gần đây, Hinrichsen và Pritchard đã nghiên cứu về việc xác định mức độ nhiễu nhỏ nhất ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống tuyến tính, được gọi là bán kính ổn định Trong trường hợp đơn nhiễu, họ phát hiện rằng các bán kính ổn định cho nhiễu tuyến tính phức, phi tuyến và nhiễu không phụ thuộc thời gian là giống nhau, và có thể tính toán thông qua chuẩn toán tử vào - ra hoặc tính giải được của phương trình Riccati đại số Điều này cũng áp dụng cho trường hợp đa nhiễu Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét cấu trúc đa nhiễu Lipschitz liên tục ngẫu nhiên, cho thấy rằng bán kính thực và phức đều bằng nhau và có thể được đặc trưng bởi chuẩn của toán tử vào - ra hoặc tính giải được của một bất đẳng thức ma trận Các kết quả này được trình bày trong bài báo [13].

D j Mj (Cx(t))dB j (t), x(0) =x 0 , (2.1) với các giả thiết sau:

H 0 : B j (t)∈ R, t⩾0 là quá trình chuyển động Brown thỏa mãn

E(dB j (t)) =E(dB j (t) dB k (t)) = 0, j 6=k; j, k ∈N, E(dB j 2 (t)) =λ j dt, λ j ∈ R + ; j ∈N.

H 1 : x 0 là biến ngẫu nhiên thỏa mãnF0- đo được, E(kx 0 k 2 ) 0bất kỳ thì phương trình (2.1) có nghiệm duy nhấtx(t), t ∈[0, T], thỏa mãn

E(kx(t)k 2 )dt < ∞. Định nghĩa 2.1.1 Phương trình (2.1) được gọi làL 2 - ổn định nếu với mọi x 0 thỏa mãn H 1 ta có

Bán kính ổn định của ma trận A với cấu trúc đa nhiễu ((D j ) j∈N , C) được định nghĩa là Γ K (A,(D j ) j∈ N , C) =inf{k∆k; (2.1) không là L 2 - ổn định}.

Ta sẽ đi xây dựng công thức tính cho Γ K

Với giả thiết H 0 −H 3 nghiệm (2.1) thỏa mãn phương trình x(t) =e At x 0 + m

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tích phân Itô, được định nghĩa bởi công thức 0 e A(t−s) D j ∆ j (Cx(s))dB j (s), trong đó tích phân đóng vai trò quan trọng tương tự như trong trường hợp xác định toán tử vào ra.

E(kh(t)k 2 )dt và ta định nghĩa L: V → H cho bởi

Ce A(t−s) D j v j (s) dB j (s) (2.3) Định lý 2.1.3 Giả sử rằng H 0 −H 3 và k∆k At x 0 , từ đó (2.4) trở thành y(ã) =y 0 (ã) +L(∆ 1 (y), ,∆ m (y))(ã) (2.5) Nhưng với y,yb∈H, kL(∆ 1 (y), ,∆ m (y))(ã)−L(∆ 1 (y), ,b ∆ m (y))(ã)kb H

! 1/2 ky(ã)−y(ã)kb H =kLk k∆k ky(ã)−y(ã)kb H

Vậy (2.5) cú nghiệm là y(ã) trong H bởi định lý ỏnh xạ co Bõy giờ ta định nghĩa x(t) =e At x 0 + m

Thật dễ thấy x(ã) là nghiệm duy nhất của (2.1) từ đú x(ã) ∈ L 2 [0,∞, L 2 (Ω,K n )] cho nên phương trình (2.1) là L 2 -ổn định.

Một hệ quả trực tiếp sau được suy ra từ định lý trên: Γ K (A,(D j ) j∈N , C) ⩾ kLk −1 (2.6)

Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ngược lại của (2.6) Trước tiên, hãy mô tả kLk thông qua bài toán điều khiển tối ưu sau: dx(t) = Ax(t)dt + m.

Bài toán nhiễu phụ thuộc điều khiển đã được nghiên cứu rộng rãi và đã công bố trong nhiều tạp chí chuyên ngành.

Mệnh đề 2.1.4 Với giả thiết H 0 −H 2 ta có

. Chứng minh Từ (2.7) với x 0 = 0 ta có

−ρ 2 E k(Lv)(t)k 2 dt =kv(ã)k 2 V −ρ 2 k(Lv)(ã)k 2 H Vậy J ρ (0, v) ⩾ 0 với mọi v ∈ V nếu và chỉ nếu ρ 2 kLk 2 ⩽ 1.

Bây giờ suy ra công thức tính được cho kLk.

Mệnh đề 2.1.5 Giả sử H 0 −H 2 được giữ nguyên và cho P ρ = P ρ ∗ ∈K n×n là nghiệm của phương trình Liapunov

Khi đó kLk −1 = sup ρ > 0 :I ρ −λ j D ∗ j P ρ D j ⩾0, j ∈ N :=l 0 (2.10) Chứng minh Ta có J ρ (0, v) m

J ρ (0, v) ⩾ 0với mọi v ∈ V nếu và chỉ nếu ρ⩽ l 0

Từ (2.10) suy ra được từ Mệnh đề (2.1.4)

(1) Nếu ρ ⩽ l 0 có thể cho thấy rằng một trong những cách tối ưu điều khiển bài toỏn (2.7) , (2.8) là v(ã) = 0, và

(2) Bởi Định lý Plancherl kLk 2 = sup kvk ⩽1 v∈ V m

2.1.2 Đặc trưng của bán kính ổn định

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lý 2.1.7, trong đó với giả thiết H0 − H3, L được định nghĩa bởi (2.3) và Pρ cho bởi (2.9) Khi đó, ΓK(A, (Dj)j∈N, C) = kLk −1 = sup ρ >0 : Ilj − λj Dj* Pρ Dj ⩾ 0, j ∈ N, với K = R hoặc C.

Chứng minh Ta đã chứng tỏ được rằng Γ K ⩾ kLk −1 Giả thiết kLk 6= 0, l 0 = kLk −1 , ε > 0 ta sẽ xây dựng ∆ với l 0 ⩽ k∆k < l 0 +ε sao cho phương trình

(2.1) không làL 2 -ổn định Ta lấyρ= l 0 +1

2εthì tồn tại k ∈N, x k ∈K l k ,kx k k= 1 sao cho

Ta đặt ∆ k (y) = ρkykx k ; ∆ j (y) = 0, j 6= k, thì k∆k = k∆ k k = ρ < l 0 +ε thì phương trình (2.1) có dạng dx(t) =Ax(t)dt+D k ∆ k (Cx(t))dB k (t), x(0) =x 0

Giả sử rằng phương trình này làL 2 - ổn định,

E(kC x (t)k 2 )dt < ∞, với mọi x(0) thỏa mãn điều kiện H 1 Bởi vì

E(kC e At x 0 k 2 )dt và điều này mâu thuẫn với (2.12) Ta thấy rằng phương trình (2.1) không ổn định và do đó Γ K < l 0 +ε với ε >0 bé tùy ý.

Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 23

Mục này sẽ trình bày các kết quả về bán kính ổn định của phương trình ngẫu nhiên tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên, sau khi đã đưa ra kết quả về bán kính ổn định của phương trình tất định tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên Chúng tôi định nghĩa sáu bán kính ổn định tương ứng với ba khái niệm ổn định và hai lớp nhiễu, đồng thời chứng minh rằng các bán kính này là bằng nhau Các kết quả được trình bày dựa trên bài báo [15].

2.2.1 Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Xét phương trình vi phân Itô ngẫu nhiên sau: dx(t) =f 0 (t, x(t))dt+ m

X j=1 f j (t, x(t))dB(t), (2.13) trong đó B(t) = (B1(t), , Bm(t)) là quá trình chuyển động Brown m chiều và hàm f j :R + ×R n → R n ,0⩽j ⩽m có những tính chất sau : f j (t,0) = 0; f j là hàm đo được; tồn tại γ > 0 thỏa mãn |f j (t, x)| ⩽ γ|x|, t ⩾ 0, x ∈ R n ,0 ⩽ j ⩽ m; với mọi

T >0 và r >0 tồn tại L =L(T, r) >0 thỏa mãn

Trong mục này G t 0 , t 0 >0 là σ- đại số được sinh bởi

Ft 0 ,t, t ⩾t 0 là σ-đại số đầy đủ sinh bởi

{B j (t 2 )−B j (t 1 ); t 0 ⩽ t 1 ⩽t 2 ⩽ t, 1⩽j ⩽ m}, ( nghĩa là Ft 0 ,t ∈K là σ-đại số bé nhất chứa tất cả các tập S ∈ K với P(S) = 0 và tất cả các hàm B (t )−B (t ), t ⩽ t ⩽ t ⩽ t,1⩽ j ⩽ m đo được với F

Xét phương trình vi phân Itô ngẫu nhiên chịu nhiễu: dx(t) =Ax(t)dt+ m 1

D j ∆ j (Cx(t))dB j (t), t ⩾0, (2.14) trong đó x(t) ∈ R n , A, C, G j , D i là những ma trận hằng thực đã biết, ∆ j : R m →

R n j là hàm chưa biết và B(t) = (v 1 (t), , v m 1 (t), B 1 (t), , B m 2 (t)), t ⩾ 0 là quá trình chuyển động Brownm 1 +m 2 chiều thực.

Cho D1 là một dãy ∆ = (∆ 1 , ,∆ m 2 ) Với ∆ j ,1 ⩽ j ⩽ m 2 là hàm Lipschitz liên tục và ∆ j = 0.

Cho D 2 là một dãy ∆ = (∆ 1 , ,∆ m 2 ) tại ∆ j có tính chất ∆ j (0) = 0; ∆ j là Lipschitz địa phương và sup y6=0 ∆ j (y)

Hiển nhiên thấy rằng ||| ∆||| ⩽k ∆k nếu∆ ∈D 1 Trong miền∆ ∈D 2 và X0 là dãy những vector x 0 n chiều ngẫu nhiên không phụ thuộc vào σ-đại số được tạo thành bởi

Cho t 0 ⩾ 0 và x 0 ∈ X 0 , x(t, t 0 , x 0 ), t ⩾ t 0 ký hiệu cho nghiệm của (2.14) với x(t 0 , t 0 , x 0 ) =x 0 Ta có thể viết x(t, x 0 ) thay cho x(t,0, x 0 ).

Chú ý 2.2.3 Từ [16, Định lý 3.6, trang 113] cho ta thấy rằng:

(1) Ta nói rằng phương trình (2.14) là ổn định mạnh trong L 2 nếu

(2) Ta nói rằng phương trình (2.14) làổn địnhtrongL 2 nếuR∞

Phần không chịu nhiễu của phương trình (2.14) là phương trình Itô tuyến tính sau: dx(t) =Ax(t)dt+ m 1

G j x(t)dv j (t), t ⩾0, (2.15) vớiX(t, t0), t ⩾t0 ký hiệu là ma trận nghiệm cơ bản (ngẫu nhiên) với phương trình (2.15); X(t, t 0 ) xác định

G j X(t, t 0 )dv j (t), t ⩾0. Định nghĩa 2.2.5 Ta nói rằng (A; (G j ),1 ⩽j ⩽ m 1 ) là ổn định nếu phương trình (2.15) là L 2 -ổn định mũ.

Ta giả sử rằng (A,(G j ),1⩽ j ⩽ m 1 ) ổn định, theo [12, Định lý 3.2, Chương 6 ] suy ra phương trình:

XG ∗ j QG j +C ∗ C = 0 (2.16) có một nghiệm nửa xác định dương duy nhất Q và nghiệm duy nhất này được xác định bởi

Sử dụng [16, Định lý 3.5, trang 133], ta dễ dàng thử được.

Đối với hệ thống có Je ρ > 0 và điều kiện I n j −ρ 2 D ∗ j QD j ⩾ 0 cho mọi j từ 1 đến m 2, Bouhtori và Pritchard đã xác định bán kính ổn định r(A, C,(D j ),1⩽j ⩽ m 2 ) = inf{k∆k, ∆∈D 1 (2.14) không là L 2 - ổn định mạnh} Bán kính ổn định được xác định cho các trường hợp khác nhau như sau: r 1 = inf{k∆k, ∆∈D 1; (2.14) không là L 2 - ổn định mạnh}, r 2 = inf{k∆k, ∆∈D 1; (2.14) không là L 2 - ổn định}, r 3 = inf{|||∆|||, ∆ ∈D 2; (2.14) không là L 2 - ổn định mạnh}, r 4 = inf{|||∆|||, ∆ ∈D 2; (2.14) không là L 2 - ổn định}, r 5 = inf{k∆k, ∆∈D 1; (2.14) không L 2 - ổn định mũ}, và r 6 = inf{k∆k, ∆∈D 2; (2.14) không L 2 - ổn định mũ}.

Hiển nhiên ta có r 3 ⩽r 1 ⩽ r 2 ;r 3 ⩽ r 4 ⩽r 2 ;r 6 ⩽ r 5 và với tính chất của Bổ đề (2.2.2) ta có r 5 ⩽ r 1 ;r 6 ⩽ r 3

Do đó: r 6 ⩽ r 3 ⩽ r 1 ⩽ r 2 ;r 6 ⩽r 5 ⩽r 1 ;r 3 ⩽r 4 ⩽r 2 (2.17)Mục đích nghiên cứu của ta là chỉ ra đặc trưng của bán kính ổn định trên Ở phần tiếp theo ta sẽ chứng minhr p = supJ, 1⩽p⩽ 6.

2.2.3 Đặc trưng của bán kính ổn định Định lý 2.2.6 Giả sử (A,(G j )),1⩽j ⩽m 1 ổn định Khi đó r 6 ⩾supJ.

Chứng minh Cho ρ ∈ J là một số dương Với ∆ ∈ D 2 và |||∆||| < ρ Chọn

Với điều kiện 0 < ε < ρ² - |||∆|||², ta có |||∆||| ⩽ ρ(ε), trong đó ρ²(ε) = ρ² - ε Xét phương trình (2.14) với ∆ như đã nêu Giả sử x₀ ∈ Rⁿ và x(t) = x(t, x₀) là nghiệm của (2.14) với x(0) = x₀ Nếu L là toán tử vi phân elliptic liên kết với phương trình (2.14) và v(x) = ρ² x*Qx, với x ∈ Rⁿ, ta có thể áp dụng (2.16) để viết lại biểu thức.

X j=1 u ∗ j (I n j −ρ 2 D ∗ j QD j )u j −ε|y| 2 ⩽−ε|y| 2 Áp dụng công thức Itô, ta có được

E|y(t)| 2 dt⩽ 1 εv(x 0 ) ⩽γ|x 0 | 2 trong đó y(t) =Cx(t) và γ = 1 ερ 2 |Q|.

Hơn nữa sử dụng công thức Itô , ta có thể viết

Vì hàm lấy tích phân là hàm liên tục, ký hiệu

Suy ra ta có d dtS(t) =AS(t) +S(t)A ∗ + m 1

Cho M :H → H là toán tử tuyến tính xác định bởi

Phương trình trên có thể viết dưới dạng

Ngoài ra, có thể dễ dàng xác định rằng (A; (G j ),1 ⩽ j ⩽ m 1 ) không đổi nếu tồn tại β ⩾ 1 và α > 0 thỏa mãn ke M t k⩽βe −αt , t ⩾0, |S(0)| ⩽|x 0 | 2 và

Theo Định lý Fubini ta có:

Từ Bổ đề 2.2.2 cho ta thấy rằng phương trình (2.14) là L 2 ổn định mũ với mọi

∆∈D 2 và |||∆||| < ρ Do đó r 6 > p với mọi ρ ∈J, ρ >0 Vậy r 6 ⩾ supJ và chứng minh kết thúc. Định lý 2.2.7 Giả sử (A; (G j )),1⩽j ⩽m 1 ổn định thì [0;r 2 )⊂ J.˜

Chứng minh Trong [14, dùng Định nghĩa 1, Hệ quả 1] giả định ngược rằng tồn tại ρ 0 ∈(0, r 2 ),1⩽ j 0 ⩽m 2 và z 0 ∈ R n j 0 ,|z 0 |= 1 thỏa mãn z 0 ∗ (I n j

0 Từ bất đẳng thức này, tồn tại x0 ∈R n , x0 6= 0 thỏa mãn x ∗ 0 Qx0 >0.

Xét ∆ = (∆ 1 , ,∆ m 2 ) xác định bởi ∆ j (y) = 0 với i 6=j và y ∈R m và

∆ j 0 (y) = ρ 0 |y|z 0 , y ∈ R m Hiển nhiên thấy rằng ∆ ∈ D 1 và k∆k = ρ 0 Phương trình (2.14) tương ứng với ∆ dx(t) =Ax(t)dt+ m 1

G j x(t)dv j (t) +ρ 0 |Cx(t)|D j 0 z 0 dB j 0 (t) (2.18) cho x 0 (t), t ⩾ 0 là nghiệm của phương trình (2.18) với x 0 (0) = x 0 vì ∆ ∈ D 1 và k∆k< r 2 nên phương trình (2.18) là L 2 - ổn định, nên R∞

Nếu L0 là toán tử vi phân elliptic liên quan đến phương trình (2.18), sử dụng phương trình (2.16) ta viết:

(L 0 v 0 )(x) =−|Cx| 2 +ρ 2 |Cx| 2 z 0 ∗ D ∗ j 0 QD j 0 z 0 =−|Cx| 2 α 0 trong đó α0 =z 0 ∗ (In j 0 −ρ 2 0 D j ∗ 0 QDj 0 )z0 Áp dụng công thức Itô ,ta có:

0 E|Cx 0 (t)| 2 dt < ∞, ta được lim t→∞Ex 0 (t)Qx 0 (t) = 0 tồn tại và hữu hạn Ngoài raR∞

0 Ex ∗ 0 (t)Qx 0 (t)dt 0 Bằng cách sử dụng [17, Bổ đề 7.3, trang 91] ta dễ dàng chứng minh được công thức sau: x u (t, x 0 ) =X(t,0)

Ký hiệu x(t)˜ là nghiệm của (2.19) và x˜ u (0) = 0 thì ta có : ˜ xu(t) =X(t,0) m 2

Toán tử vào ra tuyến tính L: U → U(m,F) được xác định bởi (Lu)(t) = Cx˜ u(t) Theo định lý 2.2.9, nếu giả thiết (A; (G j)), 1 ≤ j ≤ m1 là ổn định, thì ta có hai kết luận: i) x˜ u thuộc L² n (R+×Ω) và Lu thuộc L² m (R+×Ω); ii) L là toán tử tuyến tính, bị chặn với kLuk ≤ m².

0 E[u ∗ j (t)D j ∗ QD j u j (t)]dt, u∈ U. iii) supJ = (kLk) −1

Khi G j = 0, phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính chuyển thành phương trình vi phân tất định tuyến tính Bán kính ổn định của các phương trình này đã được trình bày trong mục (2.1).

1 Các kết quả đã đạt được

Luận văn nghiên cứu bán kính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính khi chịu tác động của nhiễu ngẫu nhiên Kết quả chính của nghiên cứu là định nghĩa và xây dựng công thức cho các bán kính ổn định, đồng thời nghiên cứu đặc trưng và mối liên hệ giữa chúng Những kết quả này được trình bày chi tiết trong các Định lý 2.1.3, 2.1.7, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, dựa trên các tài liệu tham khảo [15] và [13].

2 Hướng phát triển của luận văn

Luận văn này mở ra hướng nghiên cứu mới về tính ổn định và các bán kính ổn định của các lớp phương trình vi phân chịu nhiễu ngẫu nhiên, bao gồm phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ, phương trình vi phân ngẫu nhiên đại số, và phương trình vi phân ngẫu nhiên trong không gian vô hạn chiều.

[1] M Bracke (2000), On stability radii of parametrized linear differential- algebraic systems, Ph.D thesis, University of Kaiserslautern.

[2] N.H Du, V.H Linh (2005), Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems, Systems & Control Letters

[3] N.H Du, V.H Linh (2006), Stability radii for linear time-invarying differential-equations with respect to dynamic perturbations, J Differential Equations 230, pp 579-599.

[4] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), Stability radii of linear systems, Systems

[5] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), Stability radius for structuredperturba- tions and the algebraic Riccati equation, Systems & Control Letters 8, pp. 105-113.

[6] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1994), Robust stability of linear evolution op- erators on Banach spaces, SIAM J Control Optim 32, no 6, pp 1503-1541.

[7] D Hinrichsen, B Kelb, and A Linnemann (1989), An algorithm for the com- putation of the structured complex stability radius, Automatica 25, pp 771-775.

[8] D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), Robustness of stability of time-varying linear systems, J Differential Equations 82, pp 219-250.

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	435,38 KB