Kián thực cỡ sð
Sỡ lữủc vã phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt giÊi ữủc ối vợi Ôo
X²t phữỡng trẳnh: y 0 = f(x, y), (1.1) y(x 0 ) = y 0 , (1.2) vợi f liản tửc trong mởt miãn D ⊂ R 2
Định lý Cauchy cho phương trình vi phân cấp một cho phép xác định nghiệm y(x) của phương trình (1.1) thông qua điểm khởi đầu (x₀, y₀) Định nghĩa 1.1.1 (xem [5]) liên quan đến miền D ⊂ R², nơi mà phương trình (1.1) có nghiệm tồn tại và duy nhất Hàm y = y(x, C) phụ thuộc vào hằng số C, được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1).
1 Vợi mội iãu kiằn ban Ưu (x0, y0) ∈ D ta luổn tẳm ữủc C dữợi d¤ng:
2 H m y = y(x, C) thọa mÂn (1.1) vợi mội giĂ trà cừa C ữủc xĂc ành bði (1.3) khi (x 0 , y 0 ) ch¤y kh p D.
Phương trình 0 + y = 0 có nghiệm tổng quát y(x) = Ce^(-x), trong đó C là hằng số tùy ý Nếu cho x = 0, y = 2, ta có y(0) = 2 = C, dẫn đến y = 2e^(-x) là một nghiệm của phương trình đã cho Nghiệm của phương trình (1.1) tại mỗi điểm (x0, y0) được xác định duy nhất bởi bài toán Cauchy: y' = f(x, y), y(x0) = y0, được gọi là nghiệm riêng Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.1) tại mỗi điểm của nó cũng xác định duy nhất bởi bài toán Cauchy và được gọi là nghiệm ký hiệu.
Phữỡng trẳnh vợi bián số phƠn ly
ành nghắa 1.2.1 (xem [3]) Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt dÔng:
M(x)dx+ N(y)dy = 0, (1.4) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vợi bián số phƠn ly (hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh tĂch bián).
Trong phữỡng trẳnh (1.4) cĂc h m số M(x), N(y) ữủc giÊ thiát l liản tửc trản cĂc khoÊng n o õ Khi õ ch¿ cƯn tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh trản ta thu ữủc:
Biºu thực cuối cũng chẵnh l nghiằm cƯn tẳm cừa phữỡng trẳnh  cho. Vẵ dử 1.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh: xdx+ydy = 0.
Tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh  cho ta thu ữủc:
Phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn
ành nghắa 1.3.1 (xem [5]) Phữỡng trẳnh vi phƠn dÔng:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1.5) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn náu nhữ tỗn tÔi h m U(x, y) thọa mÂn: dU(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy.
Khi õ tẵch phƠn tờng quĂt cừa (1.5) cho bði:
U(x, y) = C. ành lẵ 1.3.2 (xem [5]) (DĐu hiằu nhên biát phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn) º cho phữỡng trẳnh (1.5) l to n phƯn thẳ iãu kiằn cƯn v ừ l :
∂x. Chùng minh. iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ trong phữỡng trẳnh (1.5) cĂc h m P(x, y),
Q(x, y) ữủc cho trản hẳnh chỳ nhêt J 1 ì J 2 , ð Ơy J 1 , J 2 l cĂc oÔn trong R v liản tửc cũng vợi cĂc Ôo h m riảng ∂P ∂y v ∂Q ∂x Vẳ (1.5) l to n phƯn nản:
∂x∂y. án Ơy Ăp dửng ành lỵ Schwartz 1 vã sỹ bơng nhau cừa Ôo h m hộn hủp cho h m hai bián ta cõ ∂P ∂y = ∂Q ∂x ((x, y) ∈ J 1 ìJ 2 ). iãu kiằn ừ.
0Q(x, ξ)dξ + C(x) L§y ¤o h m theo x biºu thực nhên ữủc cho ta:
Do õ C 0 (x) =P(x, y 0 ) Tứ Ơy ta nhên ữủc:
1 Cho f : U → R , U l têp mð trong m°t ph¯ng R 2 GiÊ sỷ f cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai f xy , f yx : U → R l cĂc h m liản tửc tÔi (x 0 , y 0 ) ∈ U Khi õ f xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 )
Nhữ vêy h m U(x, y) tẳm ữủc dữợi dÔng:
Q(x, ξ)dξ, ð ¥y x 0 , y 0 l c¡c iºm cè ành t÷ìng ùng trong J 1 v J 2
Vẵ dử 1.3.3 GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn:
∂x, do õ phữỡng trẳnh  cho l to n phƯn.
U = x 2 y +C(y). Ôo h m biºu thực nhên ữủc theo y cho ta:
Tứ Ơy ta nhên ữủc C y 0 = −y 2 , do õ C(y) = − 1 3 y 3 + C.
Nhữ vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l : x 2 y − 1 3 y 3 = C.
Thứa số tẵch phƠn
Cõ nhỳng trữớng hủp phữỡng trẳnh (1.5) không phải là phương trình vi phân tổng quát của những hệ thống tĩnh Để phương trình à(x, y)[P(x, y)dx+Q(x, y)dy] = 0 (1.6) trở thành phương trình vi phân tổng quát, hàm à(x, y) cần thỏa mãn điều kiện nhất định Theo định nghĩa 1.4.1, hàm à(x, y) thỏa mãn (1.6) được gọi là thứa số tách phân của phương trình này Hiện nay, à(x, y) được coi là thứa số tách phân chuẩn.
Khổng cõ phữỡng phĂp tờng quĂt º giÊi (1.7), tuy nhiản trong cĂc trữớng hủp °c biằt ta cõ thº tẳm ữủc à(x, y). a à ch¿ phử thuởc v o x Khi õ ∂à ∂y = 0 v (1.7) trð th nh:
Chia cÊ hai vá cho àQ ta nhên ữủc
Nhữ vêy º yảu cƯu b i toĂn ữủc thọa thẳ vá phÊi cừa (1.9) ch¿ cõ thº phử thuởc v o x Kẵ hiằu vá phÊi cừa biºu thực cuối bơng ϕ(x) v lĐy tẵch phƠn cÊ hai vá ¯ng thực nhên ữủc: à(x) = e.
(1.10) b à ch¿ phử thuởc v o y Tián h nh tữỡng tỹ ta nhên ữủc: à(y) = e R ψ(y)dy , (1.11) ð ¥y ψ(y) = − P 1 ( ∂P ∂y − ∂Q ∂x ).
Vẵ dử 1.4.2 Tẳm thứa số tẵch phƠn rỗi giÊi phữỡng trẳnh sau Ơy:
Lúc n y phữỡng trẳnh (1.12) viát lÔi ữủc dữợi dÔng: e 2x (x 2 + y 2 +x)dx+ye 2x dy = 0, (1.13) v l phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn.
Tián h nh giÊi (1.13) ta thu ữủc nghiằm: y 2 e 2x +x 2 e 2x = C.
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt
ành nghắa 1.5.1 (xem [1]) Phữỡng trẳnh dÔng: dy dx +P(x)y = Q(x), (1.14) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt.
Trong phương trình (1.14), ta luôn xác định P(x) và Q(x) trong khoảng (a, b) nào đó Ta thiết lập tầm nhìn của (1.14) dựa trên biểu thức y = u(x)v(x) (1.15), trong đó u và v là các hàm số phụ thuộc vào x Việc vi phân biểu thức (1.15) cho ta kết quả y' = u'v + uv' Thay vào biểu thức (1.14), ta có uv' + (u' + P(x)u)v = Q(x) (1.16) Trong (1.16), ta chọn u sao cho u' + P(x)u = 0, từ đó suy ra u = e^(-∫P(x)dx).
. Thay biºu thực nhên ữủc v o (1.16) ta nhên ữủc: v 0 = e − R P (x)dx = Q(x).
GiÊi phữỡng trẳnh cuối ta nhên ữủc: v Z Q(x)e
Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.14) tẳm ữủc dữợi dÔng: y = uv = e −
Vẵ dử 1.5.2 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: y 0 + 3xy = x, i qua iºm (0,1).
Ta cõ: P(x) = 3x, do õ R P(x)dx = 3 2 x 2 v nhữ thá nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l : y = e − 3x
Do nghiằm cừa phữỡng trẳnh i qua (0,1) nản thay x = 0, y = 1 v o biºu thực cuối ta thu ữủc C = 2 3 Nhữ vêy nghiằm cƯn tẳm chẵnh l : y = e − 3x
Phữỡng trẳnh Bernoulli
Phương trình Bernoulli (1.17) là một dạng phương trình vi phân thường gặp, được biểu diễn dưới dạng dy/dx + P(x)y = y^n Q(x) Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thay thế y = uv, từ đó chuyển đổi phương trình về dạng uv' + (u' + P(x)u)v = (uv)^n Q(x) Bằng cách chọn u sao cho u' + P(x)u = 0, ta có thể tìm được u = e^(-∫P(x)dx) Thay u vào phương trình trên, chúng ta có thể giải được phương trình Bernoulli bằng cách tìm v từ phương trình v' e^(-∫P(x)dx) = v^n e^(-n∫P(x)dx) Q(x).
NhƠn cÊ hai vá cừa biºu thực cuối vợi e R P(x)dx ta nhên ữủc: v 0 = v n e (1−n)
Q(x). dv dx = v n e (1−n) R P (x)dx Q(x), hay: dv v n = e (1−n)
Tẵch phƠn cÊ hai vá hằ thực cuối:
Hằ thực cuối cũng cho ph²p ta xĂc ành ữủc v(x) v ta kẵ hiằu bơng ψ(x, C) Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh Bernoulli xĂc ành bði cổng thực: y = e −
Vẵ dử 1.6.2 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: dy dx + 4y x = −x 2
Ta câ n = 2, P(x) = x 4 , R P(x)dx = −lnx 4 , u = x 1 4, Q(x) =−1. L¤i câ:
1 + 3C.x 3 Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l : y = 1 x 4 −3x 3
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n hằ số bián thiản
Phương trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = f(x), trong đó Pi(x) (i = 1, n) là các hàm số liên quan đến biến x, và f(x) là hàm số đã cho Các biến y(n), y(n−1), , y0 là các hàm cần tìm, được xác định trong phương trình này Các hàm Pi(x) được gọi là hệ số của phương trình, còn f(x) được gọi là hằng số của phương trình.
Bảng thường người ta mô tả các hệ phương trình (x), i = 1, n, f(x) xác định và liên tục trong một khoảng (a, b) nào đó Nếu như phương trình (1.19) với f(x) khác 0 thì nó được gọi là phương trình khổng thuần nhất, và được gọi là thuần nhất trong trường hợp còn lại Nếu như phương trình (1.19) là tuyến tính khổng thuần nhất thì phương trình: y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y' + Pn(x)y = 0, (1.20) được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với (1.19).
Phương trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng L[y] = y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y Để giải phương trình vi phân này, cần xác định các điều kiện ban đầu như x = x0, y = y0, y0 = y0(0), , y(n−1) = y0(n−1) Các hàm P1(x), P2(x), , Pn(x) và f(x) được xác định trong không gian liên tục.
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cĐp n hằ số bián thiản
ành nghắa 1.8.1 (xem [5]) y (n) +P 1 (x)y (n−1) + +P n−1 (x)y 0 + P n (x)y = 0, (1.23) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt bêc n vợi hằ số bián P 1 (x), P 2 (x), , P n (x).
Ta s³ m°c ành cĂc hằ số P1(x), P2(x), , Pn(x) xĂc ành v liản tửc trong mởt khoÊng (a, b) n o õ Ta cõ thº viát gồn lÔi phữỡng trẳnh (1.23) dữợi dÔng:
1 Náu nhữ cĂc h m y 1 (x) = y 1 , y 2 (x) = y 2 n lƯn khÊ vi trong (a, b) thẳ L[y1 +y2] = L[y1] +L[y2].
Chựng minh Thêt vêy ta cõ:
2 Vợi mồi h m y = y(x) vi phƠn cĐp n trong (a,b) v vợi số α ∈ R bĐt kẳ ta cõ: L[αy] = αL[y].
1 Náu y 1 = y 1 (x) v y 2 = y 2 (x) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt bêc n (1.20) thẳ y 1 +y 2 = y cụng l nghiằm cừa (1.20). Chùng minh.
Ta cõ L[y 1 ] = 0 = L[y 2 ] Sỷ dửng tẵnh chĐt 1 (1.8.1) ta nhên ữủc:
0 = L[y 1 ] + L[y 2 ] = L[y 1 +y 2 ] iãu n y nghắa l h m y = y 1 + y 2 cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20).
2 Náu h m y = y 1 (x) l nghiằm cừa (1.20) thẳ vợi mồi α ∈ R bĐt kẳ αy cụng l nghiằm cừa (1.20).
Chựng minh Vẳ L[y] = 0 nản vợi mồi α R ta cõ αL[y] = 0.
Sỷ dửng tẵnh chĐt 2 [1.8.1] ta cõ iãu phÊi chựng minh.
3 Náu cĂc h m y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20) thẳ h m: y = α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + + α n y n (x), cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20), trong õ αi, i = 1, n l cĂc hơng số bĐt kẳ.
Mô hình toán học có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm số y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x), với các hệ số c1, c2, , cn thuộc R, tạo thành một nghiệm riêng cho phương trình (1.20) Nếu tồn tại các hệ số αi không đồng thời bằng 0, thì phương trình Pn i=1 αi yi = 0 sẽ có nghiệm không tầm thường Ngược lại, nếu Pn i=1 αi yi = 0 chỉ dẫn đến αi = 0 cho tất cả i = 1, n, thì các hàm số yi(t) được gọi là độc lập tuyến tính trong khoảng (a, b).
Vẵ dử 1.8.4 Vợi mồi n ∈ N hằ: 1, t, t 2 , , t n ởc lêp tuyán tẵnh trong mồi khoÊng (a, b).
Giả sử \( f(t) \) là một hàm số liên tục trên khoảng \( (a, b) \) Khi tồn tại các hệ số \( \alpha_i \) với \( i = 0, n \) không đồng nhất, thì phương trình \( \alpha_0 + \alpha_1 t + + \alpha_n t^n = 0 \) có thể xảy ra Sự tồn tại của nghiệm thực cuối cùng xảy ra với mọi \( t \in (a, b) \) chỉ khi các hệ số \( \alpha_0 + \alpha_1 t + + \alpha_n t^n \) đồng nhất với 0, nghĩa là \( \alpha_i = 0 \).
Vẵ dử 1.8.5 Hằ e x , e 2x , , e nx l ởc lêp tuyán tẵnh trản to n bở trửc số.
Ta chựng minh bơng quy nÔp mằnh ã Â cho.
GiÊ sỷ iãu kh¯ng ành trản l úng trong trữớng hủpk = n−1, tực l : n−1
Ta i xem x²t trong trữớng hủp k = n, tực l ta phÊi kiºm chựng: n
X k=1 α k e kx = 0 ⇒ α k = 0, k = 1, n, vợi iãu kiằn (1.24) Chia cÊ hai vá ¯ng thực nhên ữủc cho e nx ta nhên ữủc: α 1 e (1−n)x +α 2 e (2−n)x + +α n−1 e (n−1−n)x +α n = 0.
Vi phƠn cÊ hai vá ¯ng thực trản theo x cho ta: α 1 (1−n)e x + α 2 (2−n)e 2x + +α n−1 (n−1−n)e (n−1)x = 0.
Tứ (1.24) ta cõ biºu thực cuối: α1 = α2 = = α n−1 , tứ Ơy ta suy ra α n = 0.
Vẵ dử 1.8.6 Hằ gỗm cĂc h m: 1, sin 2 t, cos 2 t l phử thuởc tuyán tẵnh.
Thêt vêy, khổng khõ º ta nhên thĐy ð Ơy α 1 = 1, α 2 = −1, α 2 = −1.
Do õ theo ành nghắa hằ trản l phử thuởc tuyán tẵnh. ành lẵ 1.8.7 (xem [5]) º hằ hai h m y 1 = y 1 (x) 6= 0, y 2 = y 2 (x) 6= 0 l ởc lêp tuyán tẵnh trong khoÊng (a, b) thẳ iãu kiằn cƯn v ừ l : y 1 (x) y 2 (x) 6= const.
Chùng minh. iãu kiằn cƯn: Ta giÊ sỷ iãu ngữủc lÔi: y 1 (x) y 2 (x) = C ⇒ −y 1 +Cy 2 = 0.
Biểu thức cuối cùng cho y1 và y2 trong hệ phương trình tuyến tính cho thấy rằng nếu C1 ≠ 0 và C2 ≠ 0, thì phương trình C1y1 + C2y2 = 0 có nghiệm Từ đó, ta có thể suy ra rằng y1 và y2 có mối quan hệ tỉ lệ với nhau, cụ thể là y1 = -C2/C1 * y2.
C1 = hằng số, và các hàm y_i (x) với i = 1, n thể hiện mối quan hệ trong không gian vĩ mô Để chứng minh, ta cần xem xét các biểu thức liên quan đến hàm số Các hàm này được định nghĩa trong khoảng (a, b) và thể hiện tính liên tục của chúng Khi n tăng, các giá trị y_i (x) sẽ có xu hướng hội tụ, điều này cho thấy sự ổn định trong mô hình toán học.
Wronxki (hoặc Wronxkian) là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết phương trình vi phân Để nghiên cứu tính độc lập tuyến tính của các hàm số, chúng ta sử dụng định thức Wronxki Nếu có n hàm số y₁(x), y₂(x), , yₙ(x) trong khoảng (a, b), thì W(x) = 0 cho thấy rằng các hàm này không độc lập tuyến tính trong khoảng đó Việc xác định các điều kiện này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các phương trình vi phân.
GiÊ sỷ hằ yi (i = 1, n) (n−1) lƯn khÊ vi trản (a, b) v phử thuởc tuyán tẵnh, khi õ tỗn tÔi c i (i = 1, n) khổng ỗng thới bơng khổng º cho: n
X i=1 ciyi(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) (1.26) Ôo h m cÊ hai vá cừa hằ thực (1.26) (n-1) lƯn cho ta: c1y 0 1 +c2y 2 0 + +cny n 0 = 0. c 1 y 00 1 +c 2 y 2 00 + +c n y n 00 = 0.
Kát hủp cĂc biºu thực nhên ữủc vợi (1.26) v cố ành x = x 0 ∈ (a, b) ta nhên ữủc hằ phữỡng trẳnh Ôi số cĐp n:
Trong hệ thống các hàm số c, (i = 1, n) được coi là lân cận phức tạp của hàm (1.27) Theo giả thiết, (i = 1, n) không thể bằng 0, vì ảnh thực của hàm (1.27) phải khác 0 Một ảnh thực của hàm (1.27) chính là:
Nhên ữủc tÔi mồi x0 ∈ (a, b)): W(x0) = 0 Nhữ vêy W(x) = 0 (x ∈ (a, b)) ành lỵ ữủc chựng minh. ành lẵ 1.8.11 (xem [5]) Vợi mội hằ nghiằm cỡ sðy 1 (x), y 2 (x), , y n (x), cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt cĐp n: y (n) +p 1 (x)y (n−1) + +p n (x)y = 0, (1.29) hay:
LĐy mởt hằ nghiằm cỡ sð tũy ỵ y i (x), i = 1, n cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt cĐp n (1.29) v ta giÊ sỷ ành thực Wronxki cừa nõ bơng
0 tÔi mởt iºm x 0 ∈ (a, b) n o Đy, nhữ vêy: y10 y20 yn0 y 10 0 y 20 0 y n0 0 y (n−1) 10 y 20 (n−1) y n0 (n−1)
= 0, (1.32) ð Ơy yi0 = yi(x0), i = 1, n, y i0 (∧) = y i (∧) (x0), ∧ = 0, n−1 X²t hằ (thuƯn nhĐt) n phữỡng trẳnh Ôi số:
Do ành thực Wronxki cừa (1.33): W(x 0 ) = 0, do õ (1.33) cõ mởt nghiằm khĂc khổng (c ∗ 1 , c ∗ 2 , , c ∗ n ), khi õ ta cõ:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình vi phân bậc n với điều kiện ban đầu y(0) = y*(x0) = 0, y'(0) = y*(x0) = 0, , y(n-1)(0) = y(n-1)*(x0) = 0 Theo hình ảnh 1.7.3, ta có y* = 0 Các hàm y1, y2, , yn được xác định bởi phương trình (1.29) tạo thành một hệ thống tuyến tính Để chứng minh điều này, chúng ta tham khảo hình ảnh 1.8.12 và các tài liệu liên quan (xem [5]) Với mỗi hàm y1(x), y2(x), , yn(x), phương trình vi phân bậc n có thể được biểu diễn dưới dạng y = c1y1(x) + c2y2(x) + + cnyn(x), trong đó c1, , cn là các hằng số tùy ý, thể hiện mối quan hệ tuyến tính của phương trình (1.29).
LĐy mởt hằ nghiằm cỡ sð tũy ỵ y i (x), i = 1, n cừa (1.29) Ta i chựng tọ y n
Ta có thể biểu diễn các hàm y = y1(x), , yn(x) là các nghiệm riêng của phương trình (1.29) Đồng thời, y = c1y1 + + cnyn cũng là nghiệm của phương trình (1.29) Việc này cho thấy rằng ta có thể xây dựng nghiệm tổng quát từ các nghiệm riêng Đối với mỗi sự lựa chọn của các hằng số c1, c2, , cn, ta có thể mở rộng nghiệm riêng tương ứng với (1.29) Điều này đặc biệt quan trọng trong việc xác định nghiệm của phương trình vi phân bậc n, khi mà mọi nghiệm riêng y = y(x) đều được xác định trước các điều kiện ban đầu: x = x0, y = y0, y0 = y0(0), , y(n−1) = y0(n−1) (1.35).
Nhữ vêy ta cƯn phÊi chựng minh l vợi iãu kiằn Ưu (1.35) thẳ cõ thº xĂc ành ữủc ci º choy = y(x) = c1y1(x)+ +cnyn(x) thọa mÂn (1.35). X²t hằ:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm y i (x 0 ) và y (∧) i0, với i từ 1 đến n, cùng với điều kiện W(x 0 ) ≠ 0, cho thấy rằng hàm Wronxki W(x 0 ) không bằng 0 Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình (1.36) có nghiệm duy nhất Hệ số c1, , cn trong biểu thức tổng quát y = c1y1 + + cnyn thỏa mãn các điều kiện của (1.29) và (1.36), từ đó minh chứng cho tính chính xác của các kết quả đã nêu.
Cổng thực Ostragradxki Louiville
Phương trình vi phân bậc hai có dạng tổng quát như sau: \(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\), với \(p(x)\) và \(q(x)\) là các hệ số biến đổi liên tục trên khoảng \((a, b)\) Để giải phương trình này, ta cần tìm các nghiệm \(y_1 = y_1(x)\) và \(y_2 = y_2(x)\) tương ứng.
Chứng minh rằng hệ phương trình bậc hai với y1 = y1(x) và y2 = y2(x) được thiết lập qua các phương trình (1.38) và (1.39) có thể giải được Cụ thể, ta có hai phương trình bậc hai: y1'' + p(x)y1' + q(x)y1 = 0 và y2'' + p(x)y2' + q(x)y2 = 0 Qua đó, ta nhận thấy rằng hai phương trình này có thể được giải bằng cách áp dụng các biểu thức toán học cụ thể, từ đó dẫn đến việc tìm ra nghiệm cho hệ phương trình đã cho.
= y 2 0 y 1 −y 2 y 1 0 ,v W 0 (x) = (y 2 0 y 1 −y 2 y 1 0 ) 0 y 1 y 00 2 − y 2 y 1 00 Kát hủp cĂc biºu thực nhên ữủc vợi (1.40) ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
Giải phương trình cuối cho ta nghiệm chính là cổng thực (1.38) Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương trình (1.37) trong khoảng (a, b) Cần xác định y2(x) ở lớp tuyến tính với y1 Tuy nhiên, không thể thấy rõ ràng.
Nhên ữủc nghiằm y 2 = y 2 (x) ởc lêp tuyán tẵnh vợi y 1 = y 1 (x) ( y y 2 1 6= C = const.)
Vẵ dử 1.9.2 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh:
Phữỡng trẳnh  cho viát lÔi ữủc dữợi dÔng: y 00 + 4x 2x+ 1y 0 − 4
Ta cõ: y = x l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh, v : p(x) = 4x
= −e −2x Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho:
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
Giải sỹ ta có phương trình vi phân: \( y^{(n)} + P_1(x)y^{(n-1)} + + P_{n-1}(x)y' + P_n(x)y = f(x) \), trong đó các hàm số \( P_i(x) \) và \( f(x) \) không bằng 0 trên khoảng \( (a, b) \) Giải sỹ \( y_1, , y_n \) là một hệ nghiệm của phương trình: \( y^{(n)} + P_1(x)y^{(n-1)} + + P_{n-1}(x)y' + P_n(x)y = 0 \), khi \( u = c_1 y_1 + + c_n y_n \) là nghiệm tổng quát của (1.42) Ta cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.41).
Y = Y(x) là một hàm liên quan đến cường độ (1.41) Chúng ta phát biểu ảnh hưởng sau đây: ảnh 1.10.1 Hàm tường quật của phương trình vi phân khổng thuần nhất (1.41) có dạng: y = Y + u, (1.43) trong đó u là hàm tường quật của phương trình (1.42) còn Y là một hàm liên quan đến cường độ (1.41).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm số y(x) là nghiệm của phương trình (1.41) Cụ thể, chúng ta có thể viết lại như sau: L[y] = L[Y + u] = L[Y] + L[u] = f(x) + 0 = f(x) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng y(x) là nghiệm tường quát của phương trình (1.41) với các điều kiện: x₀ ∈ (a, b), y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y₀', , y(n-1)(x₀) = y(n-1)₀ Từ đó, chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại các hệ số (c₁, , cₙ) sao cho hàm y = c₁y₁ + + cₙyₙ + Y thỏa mãn (1.44).
(1.45) Ơy l hằ phữỡng trẳnh Ôi số vợi cĂc ân l c i , i = 1,2, , n, trong õ y i0 = y i (x 0 ), i= 1,2, , n, y (∧) i0 = y i (∧) (x 0 ) ành thực cừa hằ (1.45) chẵnh l detW, m°t khĂc y 1 , , y n l hằ nghiằm cỡ sð cừa (1.42), nghắa l tỗn tÔi nghiằm ci, i = 1,2, , n cừa hằ (1.45).
Phữỡng phĂp bián thiản hơng số
Hàm Y = c1y1 + + cny n thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong phương trình Các hệ số ci (i = 1, n) là các hằng số đã được ký hiệu, trong khi yi (i = 1, n) là các hàm biến thể hiện kích thước của phương trình Để phát triển hàm Y = Y(x) từ phương trình không thuần nhất, ta thay thế các hằng số ci bằng các hàm ci(x) Qua đó, ta có thể xác định hàm Y = Y(x) dưới dạng mở rộng.
Y = c1(x)y1(x) + + cnyn(x) thể hiện một phương trình tổng quát, trong đó ci(x) là hệ số phụ thuộc vào biến x và yi là các hàm số Để xác định các hệ số ci(x), cần có n phương trình Một trong những phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng Y = Y(x) trong hệ phương trình đã cho.
(n−1) phữỡng trẳnh cỏn lÔi ta lỹa chồn sao cho cĂc Ôo h m y 0 , , y (n−1) cõ dÔng ỡn giÊn nhĐt, hay nõi cĂch khĂc, ta chồn chúng sao cho:
Y (n) = c 0 1 (x)y (n−1) 1 +c 0 2 (x)y 2 (n−1) + +c 0 n (x)yn (n−1) +c 1 (x)y (n) 1 + +c n (x)yn (n) °t cĂc biºu thực nhên ữủc v o (1.41) ta nhên ữủc: c1(x)L[y1] + +cn(x)L[yn] +c 0 1 (c)y 1 (n−1) + +c 0 n (c)y (n−1) n = f(x).
Kát hủp phữỡng trẳnh nhên ữủc vợi (1.46) cho ta hằ n phữỡng trẳnh tữỡng ựng vợi ân l c 0 i (x), i = 1, nm ành thực cừa nõ chẵnh l detW 6= 0, x ∈ (a, b) Từ Ơy ta nhên ữủc nghiằm duy nhĐt (c 0 1 (x), , c 0 n (x)) GiÊ sỷ c 0 1 (x) =ϕ 1 (x), , c 0 n (x) =ϕ n (x) thá thẳ: c 1 (x) = Z ϕ 1 (x)dx, , c n (x) = Z ϕ n (x)dx.
Vẵ dử 1.11.1 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh: xy 00 −y 0 = x 2 (1.47)
X²t phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt tữỡng ựng vợi (1.47): xy 00 −y 0 = 0 (1.48)
GiÊi phữỡng trẳnh nhên ữủc cho ta: y 00 y 0 = 1 x ⇔ dy 0 y 0 = dx x
Tứ Ơy ta cõ: ln|y 0 | = ln|x|+ lnC 1 Nhên ữủc: y 0 = C 1 x, y = 1
2C 1 x 2 +C 2 Nhữ vêy h m dÔng u = C 1 +C 2 x 2 l nghiằm tờng quĂt cừa (1.47) Ta câ y 1 = 1, y 2 = x 2
Ta tián h nh i tẳm nghiằm riảng cừa (1.47) dữợi dÔng:
GiÊi hằ (1.49) ta nhên ữủc C 1 (x) = − 1 6 x 3 ; C 2 (x) = 1 2 x Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y = 1
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n hằ số hơng
1.12.1 Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai hằ số hơng ành nghắa 1.12.1 (xem [5]) Phữỡng trẳnh dÔng: y 00 +py 0 +qy = f(x), (1.50) ð Ơy p, q l cĂc hơng số, cỏn f(x) l mởt h m  biát (ữủc m°c ành l xĂc ành v liản tửc trản mởt khoÊng n o õ), ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn bêc hai hằ số hơng.
Trong phương trình vi phân bậc hai đồng nhất, có dạng \(y'' + py' + qy = 0\), với \(p\) và \(q\) là các hệ số hằng số, ta có thể tìm nghiệm của phương trình này bằng cách giả sử nghiệm có dạng \(y = e^{rx}\), trong đó \(r\) là một hằng số Từ đó, ta tính được các đạo hàm \(y' = re^{rx}\) và \(y'' = r^2 e^{rx}\) Thay các biểu thức này vào phương trình (1.51) sẽ dẫn đến phương trình đặc trưng \(e^{rx}(r^2 + pr + q) = 0\) Nghiệm của phương trình này sẽ giúp xác định các giá trị của \(r\) và từ đó tìm được nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân đã cho.
Phương trình bậc hai có dạng r² + pr + q = 0 (1.52) là một biểu thức quan trọng trong toán học Biểu thức này liên quan đến phương trình (1.51) và được gọi là phương trình thực của phương trình bậc hai Hàm F(r) = r² + pr + q thể hiện mối quan hệ giữa các biến và là một phần không thể thiếu trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
GiÊi phữỡng trẳnh (1.52) ta nhên ữủc cĂc nghiằm r 1 , r 2 Cõ thº xuĐt hiằn 3 trữớng hủp sau Ơy:
Giải sỹ ta có trững hợp 1 Như vậy, r1 và r2 là nghiệm của phương trình (1.52), với r1 khác r2 thuộc R Khi đó, các hàm y1 = e^(r1x) và y2 = e^(r2x) là các nghiệm riêng của phương trình thuần nhất (1.51) Chúng tạo thành một hệ tuyến tính với y1 và y2 = e^((r1 - r2)x) khác hằng số Khi áp dụng hàm: y = C1 e^(r1x) + C2 e^(r2x), với C1 và C2 là các hằng số chính là nghiệm của (1.51).
Vẵ dử 1.12.3 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: y 00 −7y 0 + 10y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững r 2 −7r + 10 = 0 cừa phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm r1 = 2, r2 = 5 Do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y = C 1 e 2x +C 2 e 5x
Giải phương trình bậc hai với các hệ số r1, r2 là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.52) với r1 = r2 = r Khi r = e^(rx), ta nhận được nghiệm riêng cho phương trình (1.51) Chúng ta có thể viết nghiệm tổng quát dưới dạng y2 = u(x)e^(rx), trong đó u(x) là một hàm chưa biết phụ thuộc vào x Từ đó, ta có các biểu thức y2, y2' và y2'' như sau: y2' = re^(rx)u(x) + e^(rx)u'(x) và y2'' = r^2e^(rx)u(x) + 2re^(rx)u'(x) + e^(rx)u''(x) Thay thế các biểu thức này vào phương trình (1.51) dẫn đến phương trình vi phân: e^(rx)u''(x) + (2r + p)u'(x) + (r^2 + pr + q)u(x) = 0.
Để giải quyết phương trình (1.52) với điều kiện \( e^{rx} \neq 0 \), ta cần xem xét nghiệm của phương trình cuối cùng \( L(y) = 0 \) Ở đây, nghiệm \( u = x \) là nghiệm của phương trình \( n(y) \), trong đó \( y_2 = xe^{rx} \) là nghiệm riêng của phương trình (1.51) Nghiệm này có tính chất tuyến tính với \( y_1 \) như sau: \( y_2 - y_1 = xe^{rx} - e^{rx} = x \neq \text{const} \).
Tứ Ơy ta nhên ữủc nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.51) được biểu diễn bằng công thức y = C1 y1 + C2 y2 = e^rx (C1 + C2 x) Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng một số khái niệm và giải thích về các khía cạnh của số phức, cụ thể là khái niệm dố a + ib, với a, b ∈ R, trong đó i là đơn vị ảo.
Số phức được biểu diễn dưới dạng c = a + ib, trong đó a là phần thực (Re) và b là phần ảo (Im) Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C Hai số phức c1 = a1 + ib1 và c2 = a2 + ib2 được coi là bằng nhau nếu a1 = a2 và b1 = b2 Số phức liên hợp của c = a + ib được ký hiệu là c̄ = a - ib.
Ta cõ mởt v i tẵnh chĐt sau Ơy:
2. Náu r = a+ib l nghiằm cừa phữỡng trẳnh r 2 +pr+q = 0 thẳ số phực liản hủp cừa nõ r¯ = a−ib cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản Thêt vêy:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm số thực f: X → C, với f(x) = u(x) + iv(x), trong đó u(x) và v(x) là các hàm thực xác định trên tập X Hàm u(x) được gọi là phần thực của f(x), trong khi v(x) là phần ảo Đạo hàm của hàm f(x) được xác định bởi biểu thức f'(x) = u'(x) + iv'(x) Ngoài ra, hàm w = e^z, với z = x + iy, có thể được biểu diễn dưới dạng w = u + iv, trong đó e^z = e^x (cos y + i sin y) Như vậy, ta có u = e^x cos y và v = e^x sin y, thể hiện sự liên kết giữa các hàm số thực và số phức trong không gian phức.
Tứ (1.53) ta cõ: e −ix = cosx−isinx, e ix = cosx+isinx.
2 e ix +e −ix CĂc cổng thực trản cõ tản gồi l cổng thực Euler.
Ta phĂt biºu mằnh ã sau Ơy:
Mằnh ã 1.12.9 Náu y = u+iv = u(x) +iv(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.53) hay L[y] = 0 thẳ phƯn thỹc u(x) v phƯn Êo v(x) cụng l nghiằm cừa (1.53).
0 = L[y] = L[u(x)+iv(x)] = L[u(x)]+iL[v(x)] = L[u(x)] = L[v(x)] 0. iãu n y chựng tọ u(x), v(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh L[y] = 0.
Bài viết này đề cập đến nghiệm của phương trình bậc hai, với các nghiệm r1 = a + ib và r2 = a - ib, trong đó b ≠ 0 Chúng ta có thể chứng minh rằng hàm y = e^(rx) = e^(ax)(cos(bx) + i*sin(bx)) là nghiệm của phương trình (1.51) Khi đặt u = e^(ax)cos(bx) và v = e^(rx)sin(bx), chúng ta có các nghiệm thực của phương trình (1.51) Các hàm này tạo thành một hệ phương trình tuyến tính với u và v = cot(bx) không phải là hằng số, dẫn đến y = e^(ax)(C1cos(bx) + C2sin(bx)), là nghiệm tổng quát của phương trình (1.51).
Vẵ dử 1.12.10 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh: y 00 + 4y 0 + 9y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững r 2 + 2r + 3 = 0 cõ nghiằm r 1,2 = −2±i√
5, do õ nghiằm tờng quĂt tẳm ữủc: y = e −2x C 1 cos√
1.12.3 Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp cao hằ số hơng ành nghắa 1.12.11 (xem [5])
A 0 d n y dx n +A 1 d n−1 y dx n−1 + +A n−1 dy dx +A n y = 0, (1.54) vợi Ai, i = 0, n l hơng số, A0 6= 0, ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng, tữỡng ựng vợi nõ, phữỡng trẳnh:
A 0 d n y dx n +A 1 d n−1 y dx n−1 + .+A n−1 dy dx +A n y = f(x), (1.55) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n khổng thuƯn nhĐt. Phữỡng trẳnh (1.54) cõ thº viát lÔi dữợi dÔng toĂn tỷ nhữ sau:
F(D)y = A 0 D n +A 1 D n−1 + .+A n−1 D +A n y = 0, ð Ơy D = dx d Nhữ vêy biºu thực ð trong dĐu ngo°c ữủc xem nhữ mởt a thực bêc n theo D Ta viát lÔi F(D) dữợi dÔng:
F(D) =A 0 (D −λ 1 ) (D −λ 2 ) .(D −λ n ), (1.56) trong õ λ i , i = 1, n chẵnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh °c trững:
Ró r ng (1.56) thọa mÂn bơng 0 vợi mội nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thu¦n nh§t (D −λ 1 )y = 0,(D −λ 2 )y = 0, ,(D−λ n )y = 0 Gi£ sû c¡c gi¡ trà λ i l thüc v kh¡c nhau X²t t¤i λ k ,0≤ k ≤n :
Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.54) tẳm ữủc dữợi dÔng: y = C 1 e λ 1 x +C 2 e λ 2 x + .+C n e λ n x
Náu nhữ trong cĂc nghiằm λ i cõ nghiằm phực λ s = a+ib n o õ, suy ra λ r = a−ib cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh °c trững (1.57), khi õ:
C s e (a+ib)x +C r e (a−ib)x = e ax [(C s +C r ) cosbx+i(C s −C r ) sinbx]. Biºu thực cuối chẵnh l phƯn nghiằm tữỡng ựng vợi λ s v liản hiằp phực vợi nõ λr.
Vẵ dử 1.12.12 GiÊi phữỡng trẳnh: d 3 y dx 3 + d 2 y dx 2 −7dy dx −15y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững cõ cĂc nghiằm l λ1 = 3, λ2 = −2 + i, λ3 −2−i Tứ Ơy ta nhên ữủc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho: y = C 1 e 3x +e −2x (C 2 cosx+C 3 sinx).
GiÊ sỷ phữỡng trẳnh °c trững cõ nghiằm thỹc λ bởi m Khi õ (1.56) cõ chựa nhƠn tỷ dÔng (D −λ) m X²t phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp m tữỡng ùng:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản cõ thº tẳm ữủc dữợi dÔng: y = e λx V(x), trong â V(x) l h m c¦n x¡c ành Ta câ:
Tứ Ơy ta nhên ữủc: D m V(x) = 0, hay V(x) chẵnh l a thực bêc m−1 theo x Gồi V(x) =C 1 + C 2 x+ .+C m x m−1 Khi õ: y = e λx C 1 +C 2 x+ .+ C m x m−1 , l nghiằm cƯn tẳm.
Trong trường hợp nghiệm phức của phương trình bậc m, nghiệm có dạng λ = a + ib, và nghiệm liên hợp được biểu diễn bởi a - ib Khi thay vào phương trình (1.56), ta có thể viết lại dưới dạng nhân tỷ đồng (D - a - ib)^m (D - a + ib)^m Do đó, nghiệm tổng quát có thể được biểu diễn như sau: y = C₁ + C₂x + + Cₘx^(m-1)e^(ax)cos(bx) + B₁ + B₂x + + Bₘx^(m-1)e^(ax)sin(bx) Cuối cùng, giải phương trình y^(4) + 2y'' + y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững λ 4 + 2λ 2 + 1 = 0 cõ cĂc nghiằm l : λ = i, λ = −i.
Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho cõ dÔng: y = (C1 +C2x) cosx+ (C3 +C4x) sinx.
1.12.4 Nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt
Ta s³ tián h nh xem x²t khi vá phÊi cừa (1.55) trong mởt v i trữớng hủp °c biằt.
Trong trường hợp hàm f(x) = e^αx Pm(x), với Pm(x) là một thực bậc m, nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì hàm y_r = e^αx Qm(x) sẽ được áp dụng Ngược lại, nếu α là nghiệm của phương trình đặc trưng, hàm y_r sẽ có dạng y_r = x^k e^αx Qm(x), trong đó Qm(x) là một thực bậc m mà chúng ta cần xác định một cách chính xác.
Vẵ dử 1.12.14 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh: y 00 −3y 0 + 2y = (3−4x)e x Phữỡng trẳnh °c trững λ 2 −3λ+ 2 = 0 cõ nghiằm λ 1 = 1, λ 2 = 2 v cõ α = 1 = λ1, m = 1.
Do õ nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh  cho cõ thº tẳm ữủc dữợi dÔng: y r = xe x (ax+b).
Ta có: y'' = e^x [(1 + x)(ax + b) + ax + (ax + b) + a(1 + x) + a] Để giải phương trình này, ta cần tìm y''', y' và y Giả sử a = 2, b = 1, ta có y = xe^x(2x + 1) Từ đó, ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình là y = C₁e^x + C₂e^(2x) + xe^x(2x + 1).
Trong trường hợp 2, hàm f(x) được biểu diễn dưới dạng f(x) = e^(αx) [P(x) cos(βx) + Q(x) sin(βx)] Nếu α + iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì nghiệm tổng quát sẽ có dạng y_r = e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)] Ngược lại, nếu α + iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghiệm sẽ có dạng y_r = x^k e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)], trong đó R(x) và Q(x) là các bậc thực có bậc lớn nhất là max{deg(Q(x)), deg(P(x))} và hệ số của chúng được xác định bằng phương pháp biến đổi.
Vẵ dử 1.12.15 GiÊi phữỡng trẳnh: y 00 +y = 4xsinx.
Phữỡng trẳnh °c trững cừa phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt tữỡng ựng l : λ 2 + 1 = 0, cõ nghiằm phực λ = ±i Nhữ vêy phữỡng trẳnh  cho rỡi v o trữớng hủp
Do õ nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y r = x[(ax+ b) cosx+ (cx+d) sinx]
Ta câ: y r 0 = (ax+b) cosx+(cx+d) sinx+x[acosx−(ax+b) sinx+csinx+(cx+d) cosx]. y r 00 = 2acosx−2(ax+b) sinx+2csinx+2(cx+d) cosx+x[−2asinx+
Để giải phương trình \(2ccos(x) - (ax + b)cos(x) - (cx + d)sin(x) = 0\), ta xác định các tham số với \(a = -1\), \(b = c = 0\), và \(d = 1\) Từ đó, ta có được biểu thức \(y_r = x(-xcos(x) + sin(x))\) Phương trình tổng quát của hàm này sẽ là \(y = C_1 cos(x) + C_2 sin(x) + x(-xcos(x) + sin(x))\).
Ùng dửng trong vêt lỵ
Vẵ dử 2.1.1 (ành luêt Newton vã toÊ nhiằt, hĐp thu nhiằt)
Mởt vét ữủc °t trong môi trường duy trì nhiệt ở Ta được mô tả bởi định luật Newton Định luật này cho biết tốc độ biến đổi nhiệt độ T(t) của vật thể là tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường xung quanh Định luật Newton có thể được diễn đạt thông qua phương trình:
T 0 (t) = r(T(t)−T a ), (2.1) ð õ r l hằ số t¿ lằ Phữỡng trẳnh (2.1) chựa h m ân T(t) v Ôo h m
T 0 (t) Ơy l phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt.
GiÊ sỷ r l mởt hơng số Khi õ (2.1)l mởt phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng GiÊ sỷ tÔi thới iºm ban Ưu t0 = 0, nhiằt ở cừa vêt l
Trong thỹc tá, hằ số t¿ lằ r phử thuởc cÊ v o thới gian v ở chảnh nhiằt ở T(t)−T a Tực l : r = r(t, T(t)−T a ).
Khi õ, phữỡng trẳnh (2.1) trð th nh phữỡng trẳnh phi tuyán cĐp mởt. Viằc tẳm nghiằm chẵnh xĂc T(t) bƠy giớ trð nản khõ khôn hỡn, thêm chẵ
"Khổng thức" là một khái niệm quan trọng trong việc phát triển các phương pháp ánh tính, giúp phân tích và hiểu rõ hơn về các phương trình có cấu trúc phức tạp Các phương pháp này cho phép chúng ta khám phá các mô hình thực tiễn một cách hiệu quả và chính xác.
Vẵ dử 2.1.2 Mởt nhiằt ká ch¿ 70 0 F ð trong nh °t ð bản ngo i nỡi cõ nhiằt ở khổng khẵ l 10 0 F, ba phút sau nhiằt ở ch¿ 25 0 F HÂy dỹ oĂn nhiằt ở ð nhỳng thới iºm khĂc nhau.
GiÊ sỷ T(t) l nhiằt ở cừa nhiằt ká ð thới iºm t (phút).
Theo ã ta cõ: T(0) = 70 0 F, T(3) = 25 0 F, Ta = 10 0 F. p dửng cổng thực (2.2) ta cõ:
T(3) = 10 + (70−10)e r.3 GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc: r = −1
Vêy nhiằt ở ữủc xĂc ành bði phữỡng trẳnh:
T(t) = 10 + 60.e −1 3 t ln 4 Vẵ dử 2.1.3 un sổi nữợc rỗi º nguởi trong phỏng cõ nhiằt ở ờn ành
25 0 C Sau 12 phút nhiằt ở cừa nữợc o ữủc 80 0 C Họi sau bao nhiảu phút nhiằt ở cừa nữợc l 70 0 C?
Líi gi£i. p dửng cổng thực (2.2) vợi:
T a = 25 0 C l nhiằt ở cừa mổi trữớng xung quanh, tực l nhiằt ở cõa pháng.
T 0 = 100 0 C l thới iºm m nữợc sổi bưt Ưu nguởi. r l hằ số t¿ lằ, t= 12 phút.
Phữỡng trẳnh trð th nh:
80 = 25 + 75e 12r Tián h nh giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc: r = 1
75. Vợi T a = 70 0 C ta cõ phữỡng trẳnh:
70 = 25 + 75e rt GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta cõ: t ≈ 19,76 (phót). Vêy sau khoÊng 19,76 phút thẳ nhiằt ở cừa nữợc l 70 0 C.
Vẵ dử 2.1.4 (Chuyºn ởng cừa chĐt iºm)(xem [7])
Mở một vết khối lưỡng mục bùn lẫn theo phương đứng vợi vên tốc ban Ưu (t 0 = 0) và 0 Giải thiết lực cân bằng của mỗi trường tỉ lệ với vợi vên tốc (R = βv) Xác định ở cao cực Ôi của vết?
TÔi thới iºm t, lỹc tĂc dửng lản vêt m gỗm trồng lỹc mg v lỹc cÊn trung bẳnh (R = βv) Vên tốc v = x 0 , gia tốc a = v 0 = x 00
Theo ành luêt II Newton ta cõ: mdv dt = −R−mg (2.3)
Viát lÔi phữỡng trẳnh (2.3) dữợi dÔng: dv dt + β mv = −g.
Khi õ, phữỡng trẳnh trản l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt.Tián h nh giÊi phữỡng trẳnh trản ta ữủc: v(t) =e − m β t
Khi Ôt ở cao cỹc Ôi v = 0, ta ữủc:
Bián ời phữỡng trẳnh, ta cõ: tmax = m β ln(1 + v 0 β mg).
Tứ (2.4)ta cõ: x(t) =−gm β t+ (v 0 +gm β )e − m β t Vợi t max = m β ln(1 + v mg 0 β ), thẳ ở cao cỹc Ôi cừa vêt ữủc xĂc ành bði: x max = m 2 g β 2 [βv 0 mg −ln(βv 0 mg + 1)].
Vẵ dử 2.1.5 (Vêt thº rỡi)
Mở một vật thể rơi từ độ cao h ở thời điểm t = 0, với h(t) là độ cao của vật thể tại thời điểm t Gia tốc a(t) và vận tốc v(t) có mối liên hệ với nhau qua các công thức a(t) = dv/dt và v(t) = dh/dt Trong trường hợp này, gia tốc a(t) là hằng số với giá trị g = -9,8 m/s².
Kát hủp cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc: d 2 h dt 2 = g.
Tứ õ ta cõ: dh dt = gt+v 0
2gt 2 +v 0 t+h 0 Phữỡng trẳnh trản biºu diạn ở cao cừa mởt vêt rỡi tứ ở cao ban Ưu h 0 vợi vên tốc ban Ưu v 0
Vẵ dử 2.1.6 (Dao ởng cừa lỏ xo)(xem [7])
Chúng ta xem xét chuyển động của một vật thể trong không gian ba chiều, cụ thể là trong một ống trụ hoặc một bề mặt phẳng Hình 1 minh họa chuyển động trong ống trụ, trong khi Hình 2 thể hiện chuyển động trên bề mặt phẳng.
Theo ành luêt Hooke, náu lỏ xo ữủc k²o giÂn (ho°c n²n) x ỡn và chiãu d i tỹ nhiản cừa nõ, thẳ nõ tÔo nản mởt lỹc t lằ thuên vợi x:
F n hỗi = kx, trong õ k l hơng số dữỡng (ữủc gồi l hằ số co giÂn).
Khi chúng ta phân tích chuyển động của một vật dưới tác động của lực, theo định luật thứ hai của Newton (F = ma), ta có phương trình md²x/dt² = -kx Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng md²x/dt² + kx = 0, thể hiện rằng đây là một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai.
Phữỡng trẳnh °c trững l mr 2 +k = 0 vợi cĂc nghiằm r = ±iω, trong â ω qk m.
Vẳ vêy nghiằm tờng quĂt l : x(t) = C 1 cosωt+C 2 sinωt, cõ thº viát lÔi l : x(t) = Acos(ωt+δ), trong â: ω qk m (t¦n sè),
A= pC 1 2 +C 2 2 (biản ở), cosδ = c A 1 , sinδ = − C A 2 (δ l gâc pha). Ơy l loÔi chuyºn ởng ữủc gồi l dao ởng iãu hỏa
Vật dụng là một lò xo khối lượng 2 kg có chiều dài tự nhiên 0,5 m Một lực 25,6 N cần thiết để duy trì lò xo ở vị trí 0,7 m Nếu lò xo được kéo dài đến vị trí 0,7 m và sau đó được thả ra, nó sẽ trở về vị trí ban đầu với tốc độ ban đầu.
0, tẳm và trẵ cừa vêt thº tÔi thới iºm t bĐt ký.
Tứ ành luêt Hooke, lỹc cƯn thiát ã k²o giÂn lỏ xo l : k.(0,7−0,5) = 25,6.
Thay k = 128 v m = 2 v o phữỡng trẳnh (2.5) ta cõ:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.6) l : x(t) = C 1 cos 8t+C 2 sin 8t (2.7)
Ta cõ: x(0) = 0,2 Tứ phữỡng trẳnh (2.7) cõ: x(0) = C1.
Suy ra: C 1 = 0,2. Ôo h m phữỡng trẳnh (2.7) ta ữủc: x 0 (t) =−8C 1 sin 8t+ 8C2cos 8t.
Theo ã vên tốc ban Ưu l 0 nản ta cõ: x 0 (0) = 0.
Vẵ dử 2.1.8 Dao ởng tưt dƯn
Tiếp theo, chúng ta xem xét sự chuyển động của lò xo khi mở lò xo chậm mởt lực ma sát, trong trường hợp lò xo nằm ngang hoặc lực giãn đàn hồi trong trường hợp lò xo dọc di chuyển thông qua một chất lỏng Một ví dụ điển hình về lực giãn đàn hồi là lực tác động lên một chiếc xe ô tô hoặc một chiếc xe đạp.
Chúng ta cần tập trung vào việc giảm thiểu tốc độ di chuyển trong các tình huống giao thông khó khăn, đặc biệt là khi gặp phải những đoạn đường gồ ghề hoặc có nhiều chướng ngại vật Điều này không chỉ giúp bảo đảm an toàn cho người điều khiển mà còn giảm thiểu nguy cơ xảy ra tai nạn.
F gi£m ch§n = −cdx dt, trong õ c l hơng số dữỡng, ữủc gồi l hằ số giÊm chĐn.
Vẳ vêy trong trữớng hủp n y, ành lỵ thự hai cừa Newton cho ta: md 2 x dt 2 = F n hỗi +F giÊm chĐn = −kx−cdx dt, hay md 2 x dt 2 +cdx dt +kx = 0 (2.8)
Phữỡng trẳnh (2.8) l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai, phữỡng trẳnh °c trững cừa nõ l mr 2 +cr+k = 0.
Nghiằm cÊ phữỡng trẳnh °c trững l : r1 = −c+√ c 2 −4mk 2m ; r2 = −c−√ c 2 −4mk
Trữớng hủp 1: c 2 −4mk > 0 (giÊm chĐn gi ).
Trong trữớng hủp n y, r1 v r2 l nhỳng số thỹc khĂc nhau, v x = C 1 e r 1 t +C 2 e r 2 t
Để xác định điều kiện cho nghiệm của phương trình bậc hai, ta cần xem xét bất đẳng thức \(2 - 4mk < 0\) Nếu điều này đúng, nghiệm \(r_1\) và \(r_2\) sẽ là hai số phức Khi \(t\) tiến đến vô cùng, ta chú ý rằng đồ thị sẽ tiếp cận giá trị \(x \to 0\) Nếu điều kiện \(2 - 4mk > 0\) được thỏa mãn, điều này có nghĩa là phương trình sẽ có hai nghiệm thực phân biệt, với một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn.
Trữớng hủp 2: c 2 −4mk = 0 (giÊm chĐn tợi hÔn).
Trữớng hủp n y tữỡng ựng vợi nghiằm r 1 = r 2 = − 2m c , v nghiằm l : x = (C 1 +C 2 t)e − 2m c t
Trữớng hủp n y l giÊm xõc l vứa ừ º ngôn ch°n rung ởng BĐt ký giÊm ở nhợt cừa chĐt lọng dăn án sỹ rung ởng cừa cĂc trữớng hủp sau ¥y.
Trữớng hủp 3: c 2 −4mk < 0 (giÊm chĐn non).
Phữỡng trẳnh °c trững cõ hai nghiằm phực: r1,2 = − c
2m Nghiằm ữủc cho bði: x = e − 2m c t (C1cosωt) + C2sinωt.
Chúng ta thấy rằng đối với các dao động giảm dần, biểu thức e^(-2mc)t sẽ tiến về 0 khi t tiến tới vô cùng, với điều kiện c > 0 và m > 0 Điều này có nghĩa là khi t tăng, giá trị của x sẽ tiến gần đến 0, thể hiện sự chuyển động giảm dần về 0 theo thời gian.
Vẵ dử 2.1.9 (Mổ hẳnh vên tốc thoĂt ly)(xem [7])
Mở một bài toán về lực hấp dẫn và lực tác dụng lên một khối lưỡng trản bã một trái đất có thể giúp hiểu rõ hơn về các lực này Lực hấp dẫn giữa hai vật có khối lượng tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng Đối với một khối lưỡng m, lực tác dụng lên khối lưỡng này sẽ được xác định bởi các yếu tố như khối lượng và khoảng cách giữa các vật thể.
(R+ x)², (2.9) trong không gian M và R là khối lưỡng và băng kính của trái Đất G là lực hấp dẫn (hướng số) Đầu tiên có nghĩa là lực tác dụng lên khối lưỡng mà có hướng giảm x Gia tốc gần như khổng lồ g trên bề mặt trái Đất tỉ lệ thuận với giá trị tuyệt đối của m, với F khi x = 0: g = GM.
Theo ành luêt thự 2 cừa Newton,F = ma = m dv dt nản phữỡng trẳnh
(2.9) trð th nh: mdv dt = mgR 2
Giá sỉ mở tản lỷa được bưng theo phương thức ưng lượng lản vợi vên tốc ban Ưu l v 0 Gọi h l ở cao cỹc Ôi cừa tản lỷa so với một Đt Chúng ta sẽ chứng minh được rằng v0 r2gRh.
Thêt vêy,ta cõ: dv dt = dv dx.dx dt = dv dx.v.
Bián ời phữỡng trẳnh (2.10) ta ữủc: v.dv = − gR 2
(x+ R) 2 dx, l phữỡng trẳnh bián số phƠn li GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc: v 2 = 2gR 2 x+R +C (2.12)
Vêy phữỡng trẳnh (2.12) trð th nh: v 2 = 2gR 2 x+ R +v 2 0 −2gR.
Khi tản lỷa Ôt ở cao cỹc Ôi x = h thẳ v = 0, do õ:
R+h. °t ve = lim h→+∞v0 = lim h→+∞ r2gRh h+R = lim h→+∞ s 2gR
Lúc n y v e ữủc gồi l vên tốc thoĂt ly khọi trĂi Đt.
Ùng dửng trong hoĂ hồc
Mô hình tăng trưởng tổng hợp và mô hình phân rã được mô tả qua các phương trình vi phân Đối với mô hình tăng trưởng tổng hợp, hàm số y = y(t) thỏa mãn phương trình dy/dt = ky (với k > 0), trong khi đó, mô hình phân rã thỏa mãn phương trình dy/dt = -ky (với k > 0) Hằng số k trong các phương trình này đại diện cho hằng số tăng trưởng tổng hợp hoặc hằng số phân rã.
Radium có chu kỳ bán rã là 1600 năm, nghĩa là sau mỗi 1600 năm, khối lượng của radium sẽ giảm đi một nửa Nếu ban đầu có 50 gram radium, sau bao lâu khối lượng của nó sẽ còn lại 45 gram?
Gồi y(t) l khối lữủng cừa radium sau khoÊng thới gian t(nôm).
Khi õ, tốc ở phƠn r theo thới gian l dy dt
Gồi k l hằ số t¿ lằ, theo iãu kiằn b i toĂn thẳ: y 0 (t) = −ky(t)(k l mởt hơng số). GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc y(t) =C.e −kt
C.e 0 = 50C.e −k.1600 = 25GiÊi hằ phữỡng trẳnh trản ta tẳm ữủc C = 50, k = 1600 ln 2
45 = 50.e − 1600 ln 2 t GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta cõ: t = ln( 45 50 ) k ≈ 243,2(nôm). Vêy mởt mău radium cõ khối lữủng ban Ưu l 50gram thẳ sau 243,2 nôm thẳ khối lữủng cừa nõ l 45 gram
Theo số liệu của Liên hợp quốc, dân số thế giới năm 1998 ước đạt 5,9 tỷ người, với tốc độ tăng trưởng khoảng 1,33% mỗi năm Giá trị một mô hình tổng trữ lượng theo cấp số nhân được tính dựa trên dân số thế giới.
Ta cõ dƠn số v o Ưu nôm 1998 l 5,9 t v °t: t : thới gian tẵnh tứ nôm 1998 (nôm). y : dƠn số thá giợi (t).
Kº tứ Ưu nôm 1998 tữỡng ựng vợi t = 0, theo ã ta cõ: y 0 = y(0) = 5,9(t). Vẳ tốc ở tông trữðng l 1,33% mội nôm (k = 0,0133), nản ta cõ: y 0 (t) = 0,0133y(t).
GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản, ta cõ dƠn số tÔi thới iºm t s³ l : y(t) = y 0 e kt = 5,9e 0,0133t
Kº tứ nôm 2023 tữỡng ựng vợi thới gian trổi qua l t = 25 nôm (2023−
1998 = 25) Vêy dƠn số thá giợi v o nôm 2023 s³ l : y(25) = 5,9e 0,0133.25 ≈ 8,2(t ng÷íi) Vêy v o nôm 2023 cõ dƠn số khoÊng 8,2 t ngữới.
Trong một bài toán liên quan đến dung dịch, một bể chứa được xem như một môi trường quy định với một dung dịch có chứa một lượng chất hòa tan nhất định, chẳng hạn như muối Dung dịch này sẽ khuếch tán ra khỏi bể với tốc độ phụ thuộc vào nồng độ chất hòa tan trong bể, đồng thời nồng độ chất hòa tan trong bể cũng thay đổi theo thời gian Qua thời gian, lượng chất hòa tan trong bể sẽ biến đổi, và việc xác định nồng độ chất hòa tan trong bể tại một thời điểm cụ thể là rất quan trọng Nghiên cứu này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như xác định nồng độ chất ô nhiễm trong môi trường, giảm thiểu sự hấp thụ thuốc trong máu và nghiên cứu di cư của các loài trong hệ sinh thái.
Một bồn chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước Nước muối chảy ra với tốc độ 0,03 kg muối mỗi lít và vào bồn với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch chảy ra khỏi bồn cũng với tốc độ này Sau 30 phút thì trong bồn còn bao nhiêu muối ?
Gồi y(t) l lữủng muối cỏn lÔi theo thới gian t phút, ta cõ: y(t+ ∆t) = (a−b)∆t+y(t) ; y(0) = 20.
Trong õ: a l tốc ở muối chÊy v o bº. b l tốc ở muối chÊy ra.
Ta câ: a = 0,03.25 = 0,75(kg/phót). b = 25 5000 y(t) = y(t) 200 (kg/phót).
200. GiÊi phữỡng trẳnh trản ta ữủc: y = e −0,005t (150e 0,005t +C).
Vêy sau 30 phút,lữủng muối trong bº khoÊng 38,11 kg.
Vẵ dử 2.2.5 (Nỗng ở cỗn trong bia)
Mở một cái thùng chứa 500 lít bia có pha 4% cồn (tính theo thể tích) Người ta bơm bia có pha 6% cồn vào thùng với tốc độ 5 lít/phút, và dung dịch hòa tan này sẽ được bơm ra ngoài với cùng tốc độ bơm vào.
% lữủng cỗn sau 30 phút bỡm v o thũng.
Gồi y(t)(lẵt) l lữủng cỗn trong thũng bia sau t phút kº tứ lúc bưt Ưu bỡm bia cõ pha 6% cỗn v o thũng.
Ban Ưu ta cõ: y(0) = 500 100 4 = 20(lẵt).
Tốc ở thay ời lữủng cỗn trong bia: dy dt = tốc ở v o−tốc ở ra Tốc ở lữủng cỗn ữủc bỡm v o thũng:0,3(lẵt/phút).
Trong thũng luổn chựa 500 lẵt bia vợi lữủng cỗn tÔi thới iºm t l y(t) (lẵt) Nỗng ở cỗn trong thũng bia tÔi thới iºm t l : y(t) 500
Do õ tốc ở lữủng cỗn ữủc bỡm ra khọi thũng l : y(t)
100. GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc: y(t) = 30−C.e 100 −1 t
Vêy y(t) = 30−10.e 100 −1 t (lẵt) l lữủng cỗn trong thũng tÔi thới iºm t.
Vêy nỗng ở cỗn trong thũng bia sau 30 phút l : y(30)
Ùng dửng cừa phữỡng trẳnh vi phƠn trong kinh tá
Giả sử một người 25 tuổi bắt đầu kế hoạch tiết kiệm cho con cái với mức lãi suất 5% mỗi năm, không thay đổi, và dự kiến sẽ tiết kiệm đến khi 65 tuổi Vậy tổng số tiền mà người đó có thể tiết kiệm cho con là bao nhiêu?
Kẵ hiằu S(t) lữủng tiãn bÔn cõ ð thới iºm t(nôm).
S(t+ ∆t) =S(t) +r∆tS(t) + k∆t, trong õ r∆tS(t) số tiãn lÂi sinh ra sau khoÊng thới gian ∆t, k∆t số tiãn bÔn nởp thảm v o.
Phữỡng trẳnh trản tữỡng ữỡng vợi:
GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn vợi iãu kiằn ban Ưu S(0) = 0 ta ữủc:
Mổ hẳnh quƯn thº
Với sự phát triển của một đơn vị sản xuất, ngành hàng hóa sẽ được mở rộng, tạo ra nhiều cơ hội cho sự tăng trưởng kinh tế tại địa phương Điều này đặc biệt quan trọng trong bối cảnh cạnh tranh ngày càng gay gắt, nơi mà các doanh nghiệp cần phải thích ứng nhanh chóng với thị trường Việc xây dựng một mô hình phát triển hợp lý sẽ giúp nâng cao hiệu quả sản xuất và cải thiện đời sống người dân trong khu vực, đồng thời khuyến khích sự đầu tư vào các lĩnh vực tiềm năng.
XƠy dỹng mổ hẳnh quƯn thº số dƠn P(t) phử thuởc theo thới gian Biát t¿ lằ sinh, t¿ lằ tỷ tữỡng ựng l a, b Tốc ở di cữ l m khổng ời.
Tứ õ, ta rút ra kát luên: º dƠn số tông thẳ C > 0 ⇔P(0) + a−b m > 0 ⇔P(0) > b−a m º dƠn số khổng ời thẳ C = 0 ⇔ P(0) = b−a m º dƠn số giÊm thẳ C < 0⇔ P(0) < b−a m
Mổ hẳnh ổ nhiạm mổi trữớng(xem [4])
Hàm lượng CO2 trong khí quyển là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến nhiệt độ trái đất Sự gia tăng hàm lượng CO2 chủ yếu đến từ hoạt động phát triển công nghiệp, do đó cần chú ý đến mối liên hệ giữa hàm lượng này và các yếu tố môi trường Mô hình toán học mô tả sự thay đổi hàm lượng CO2 theo thời gian được biểu diễn qua phương trình dy/dt = x - αy, trong đó x là hàm lượng CO2 từ các nguồn công nghiệp, α là tham số thể hiện tỷ lệ CO2 hấp thụ bởi tự nhiên Đồng thời, sự thay đổi hàm lượng CO2 cũng được mô tả qua dx/dt = ae^bt - βy, với β, a, b là các hằng số dữ liệu, trong đó β thể hiện tỷ lệ CO2 bị giảm do các hoạt động chống ô nhiễm của các quốc gia.
Mổ hẳn l mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt bao gồm hai phữỡng trẳnh, cho phép biểu diễn một phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp hai Để xác định các hệ số của phữỡng trẳnh, ta có thể sử dụng phương trình (2.15) và (2.16) Kết quả cuối cùng được biểu diễn qua phương trình: d²y/dt² + αdy/dt + βy = ae^bt.
Bơng phữỡng phĂp hằ số bĐt ành ta tẳm ữủc nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh (2.17): y(t) = ae bt b 2 +αb+β.
Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.17) nhữ sau:
- Náu α 2 −4β < 0 : y = (C 1 cosθt+ C 2 sinθt)e − α 2 + ae bt b 2 +αb+ β, trong â θ √
Do α, β > 0 nản k1, k2,− α 2 l cĂc số Ơm Trong cÊ 3 trữớng hủp nõi trản ta ãu cõ : y(t)− ae bt b 2 + αb+β →0 khi t → +∞.
Nhữ vêy quÿ Ôo d i hÔn cừa h m lữủng CO 2 trong khẵ quyºn l : y = ae bt b 2 + ∝b+β.
Sau mởt thới gian nghiản cựu, luên vôn "Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng v mởt v i ựng dửng" Â Ôt ữủc mởt số kát quÊ nhữ sau:
1) Hằ thống lÔi cĂc kián thực cỡ sð trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt; Phữỡng trẳnh Bernoulli; Phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn; Thứa số tẵch phƠn; Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n vợi hằ số hơng; Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n vợi hằ số bián thiản; Cổng thực Ostragradxki- Louiville; Nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt; Phữỡng phĂp bián thiản hơng số.
2) ữa ra mởt số vĐn ã ữủc ựng dửng trong thỹc tá bơng phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh nhữ: Ùng dửng trong vêt lỵ; trong hoĂ hồc; mổ hẳnh tông trữðng, ựng dửng trong kinh tá;
3) Sỷ dửng cĂc kián thực vã phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh º giÊi quyát cĂc mổ hẳnh ữủc trẳnh b y trong chữỡng 2, tứ õ cõ nhỳng kát luên v dỹ oĂn phũ hủp
Trong quá trình thực hiện và hoàn thiện luận văn, tác giả rất nỗ lực và luôn chú trọng đến việc cải thiện chất lượng nội dung Tuy nhiên, trong luận văn vẫn còn những thiếu sót cần khắc phục Tác giả mong muốn nhận được ý kiến đóng góp từ các chuyên gia để hoàn thiện hơn nữa nội dung của luận văn.
[1] Ho ng Hỳu ữớng (1975), Lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc v Trung hồc chuyản nghiằp H Nởi.
[2] Nguyạn Thá Ho n TrƯn Vôn Nhung (2005), B i têp phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc.
[3] Nguyạn Thá Ho n PhÔm Phu (2007), Cỡ sð phữỡng trẳnh vi phƠn v lẵ thuyát ờn ành, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc H Nởi.
[4] Lả ẳnh Thuỵ (2018), ToĂn cao cĐp cho cĂc nh kinh tá, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Kinh tá Quốc dƠn.
[5] Lả HÊi Trung (2019), GiĂo trẳnh phữỡng trẳnh vi phƠn sai phƠn, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Nđng, Nh xuĐt bÊn Thổng tin v Truyãn thổng.
[6] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathe- matical Modelling.
[7] James Stewart,Calculus: Early Transcendentals 8th Edition.
[8] James Stewart,Multivarible Calculus seventh Edition.
[9] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2037/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Phạm Quý Mười Chủ tịch
2 TS Lê Văn Dũng Thư ký
3 TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4 PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện 2
5 TS Nguyễn Đức Hiền Ủy viên a Thành viên có mặt: 5 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề nghị Hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên, đồng thời yêu cầu chỉnh sửa một số nội dung cần thiết.
Bổ sung "tuyến tính" vào "phương trình vi phân" là cần thiết để làm rõ nội dung Ngoài ra, việc thêm trích dẫn tài liệu vào luận văn sẽ nâng cao tính chính xác và độ tin cậy của nghiên cứu Các ví dụ cần được tách biệt rõ ràng giữa nội dung và lời giải để người đọc dễ dàng theo dõi Cuối cùng, cần kiểm tra lại tính chính xác của Định lý 1.7.3 và Định nghĩa 1.8.9 để đảm bảo tính hợp lệ của các kết luận trong luận văn.
Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của
Học viên cần chỉnh sửa luận văn và gửi file PDF tới phản biện 1 qua email Luận văn phải được phản biện 1 chấp nhận qua email Điểm đánh giá cho luận văn là 8,3, tương đương với chữ viết là "Tám ba".
13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
Phạm Quý Mười Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Ngô Thị Ánh Ly
Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
1 Tính cấp thiết của đề tài: Khi nghiên cứu các hiện tượng khoa học kỹ thuật, kinh tế như mô hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức, mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp chúng ta thường dùng đến phương trình sai phân để giải quyết các bài toán trong kinh tế Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một lĩnh vực trong Toán học có ứng dụng trong thực tế tác giả đã chọn đề tài “Phương trình vi phân hệ số hằng và một vài ứng dụng”
2 Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này
3 Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết
4 Kết quả nghiên cứu: Tổng quan các kết quả trước đây Tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở trong lí thuyết phương trình vi phân; đưa ra một số ứng dụng trong vật lí, trong hóa học, ứng dụng trong kinh tế… gồm 2 chương: Chương I: Kiến thức cơ sở Chương II: Một số ứng dụng của phương trình vi phân hệ số hằng Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung của luận văn Luận văn còn một số lỗi chế bản và trình bày như: một số công thức toán không đưa vào môi trường equation; Cỡ chữ công thức toán không thống nhất, … Và các mô hình cần ghi rõ nguồn trích dẫn
6 Đánh giá chung: Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt
Kết luận: Tôi đồng ý cho bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021
TS Nguyễn Thị Thùy Dương