Đại số Banach và lý thuyết phổ
Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả đã có trong tài liệu tham khảo mà chúng cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K (C hoặc R) Hàm k.k: E→Rcho bởi x7→ kxk được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn
(1) kxk ≥ 0, x ∈ E và kxk= 0 khi và chỉ khi x = 0,
Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn Khi đó ta viết (E,k.k) hay đơn giản là E.
NếuE là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) = kx−yk, x, y ∈ E là một mêtric trên E Ta gọi d là mêtric sinh bởi chuẩn.
Không gian mêtric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) {x n } ⊂ E đều hội tụ.
1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E là không gian đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn.
1.1.3 Định nghĩa Tập con F của không gian định chuẩn E gọi là không gian con của E nếu F là không gian tuyến tính con của E và trên F ta xét chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên E.
1.1.4 Định lý Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn và f :E→F là ánh xạ tuyến tính Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(2)f bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số k sao chokf(x)k ≤ k.kxk, ∀x ∈ E. Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn, ta ký hiệu
L(E, F) = {ánh xạ tuyến tính liên tục từE vào F}.
L(E, F) là không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thông thường. Đặt kfk= inf{k : kf(x)k ≤ kkxk, x∈ E} (1)
1.1.5 Mệnh đề Với mỗi f ∈ L(E, F) ta có kfk= sup x6=0 kf(x)k kxk = sup kxk≤1 kf(x)k= sup kxk=1 kf(x)k và công thức (1) xác định một chuẩn trên L(E, F).
1.1.6 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach thì L(E, F) là không gian Banach.
1.1.7 Định nghĩa Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn Ánh xạ f : E→F được gọi là ánh xạ đẳng cấu nếu f là song ánh, tuyến tính, f và f −1 liên tục. Ánh xạ f được gọi làđẳng cự nếuf tuyến tính và kf(x)k = kxk, ∀x ∈ E. Hai không gian định chuẩn được gọi là đẳng cấu (đẳng cự) nếu giữa chúng tồn tại một ánh xạ đẳng cấu (tương ứng đẳng cự).
1.1.8 Định nghĩa Giả sử E là không gian định chuẩn Ta viết E ∗ thay cho L(E,K) và gọi E ∗ là không gian liên hợp của E.
Ta gọi tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E mà đối với chúng mỗi f ∈ E ∗ liên tục là tôpô yếu trên E.
Với mỗi x ∈ E, ta xác định hàm x : E ∗ →C với x(f) = f(x), ∀f ∈ E ∗ Khi đó x là ánh xạ tuyến tính.
Ta gọi tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên E ∗ mà đối với chúng mỗi x ∈ E liên tục là tôpô yếu ∗ và được ký hiệu là σ(E ∗ , E).
1.1.9 Định lý (Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B ∗ = {f ∈ E ∗ : kfk ≤ 1} trong E ∗ là Hausdorff và compact đối với tôpô yếu ∗ σ(E ∗ , E).
1.1.10 Định nghĩa Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường K (R hoặc C) Ánh xạ ϕ : E×E→K
(x, y) 7→ϕ(x, y) được gọi là một tích vô hướng nếu
Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert Ký hiệu (E, ϕ) hay E.
Nếu ϕ là tích vô hướng trên E thì ta viết (x|y) thay cho ϕ(x, y).
1.1.11 Bổ đề Giả sử E là không gian tiền Hilbert Khi đó ta có bất đẳng thức sau được gọi là bất đẳng thức Cauchy - Schwartz
(y|y), ∀x, y ∈ E được gọi là bất đẳng thức Minkowski.
1.1.12 Mệnh đề Nếu E là không gian tiền Hilbert thì công thức kxk = p
(x|x), ∀x ∈ E (2) xác định một chuẩn trên E.
1.1.13 Nhận xét Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định với công thức (2) là không gian định chuẩn và chuẩn xác định bởi (2) được gọi làchuẩn sinh bởi tích vô hướng.
1.1.14 Định nghĩa Nếu không gian tiền Hilbert là không gian Banach đối với chuẩn sinh bởi tích vô hướng thì nó được gọi là không gian Hilbert. 1.1.15 Ví dụ (1) Công thức
X j=1 x j y j , ∀x = (x j ) n j=1 , y = (y j ) n j=1 ∈ R n , là tích vô hướng trên R n Với tích vô hướng này R n là không gian Hilbert.
X j=1 x j y j , ∀x = (x j ) n j=1 , y = (y j ) n j=1 ∈ C n , là tích vô hướng trên C n Với tích vô hướng này C n là không gian Hilbert.
|x n | 2 < ∞} là không gian Hilbert với tích vô hướng
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên ` 2 là kxk X ∞ n=1
Định nghĩa và ví dụ về đại số Banach
1.2.1 Định nghĩa Một không gian vectơ A trên trường số C được trang bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện
(3) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A và α ∈ C, được gọi là một đại số phức hay nói gọn là đại số.
Một đại số phức A thỏa mãn thêm điều kiện
(4) A là một không gian Banach với chuẩn k.k thỏa mãn kxyk ≤ kxk.kyk, ∀x, y ∈ A được gọi là đại số Banach.
Nếu tồn tại phần tử e trong đại số Banach A sao cho xe= ex = x với mọi x ∈ A và kek= 1 thì A được gọi là đại số Banach có đơn vị.
Trong luận văn này, các đại số được xét luôn giả thiết là đại số Banach có đơn vị ta nói gọn là đại số Banach.
1.2.3 Nhận xét Phần tử đơn vị của một đại số Banach là duy nhất Một đại số bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1) - (4) bao giờ cũng có thể nhúng vào một đại số Banach.
Phép nhân trong đại số Banach là một phép toán liên tục, bao gồm cả tính liên tục trái và phải Định nghĩa cho rằng, nếu A là một đại số và B là một không gian con của A, thì B được gọi là một đại số con của A nếu nó khép kín đối với phép toán nhân trong A.
Nếu B là một đại số con đóng của đại số Banach A thì B cũng là một đại số Banach.
1.2.5 Mệnh đề Nếu B là đại số con của đại số Banach A thì B cũng là đại số con của A.
B vì B là đại số con của A, nên B cũng là không gian tuyến tính con của A Khi lấy bất kỳ x, y thuộc B, ta có thể tìm thấy các dãy {x_n}, {y_n} thuộc B sao cho x_n tiến đến x và y_n tiến đến y Điều này dẫn đến x_n y_n tiến đến xy, với {x_n y_n} cũng thuộc B Vì vậy, xy thuộc B, khẳng định rằng B là đại số con của A.
1.2.6 Định lý (Stone - Weierstrass) ([1]) Cho X là một không gian com- pact và A là một đại số con của C(X) thỏa mãn các tính chất
(1) Chứa các hằng số và phân biệt các điểm của X,
Khi đó A trù mật trong C(X).
1.2.7 Định nghĩa Giả sử A và B là hai đại số Banach và Φ : A→B, Φ được gọi là một đồng cấu nếu Φ là ánh xạ tuyến tính và nhân tính tức là Φ(xy) = Φ(x).Φ(y), ∀x, y ∈ A. Ánh xạΦ : A→Cđược gọi là đồng cấu phức nếu Φ là một đồng cấu và Φ 6= 0. Hai đại số Banach được gọi là đẳng cấu nếu giữa chúng tồn tại một song ánh, đồng cấu và liên tục hai chiều.
Hai đại số Banach được gọi là đẳng cự nếu giữa chúng tồn tại một ánh xạ đẳng cự.
1.2.8 Ví dụ (1) Giả sử X là một không gian Hausdorff, compact và C(X) là tập tất cả các hàm nhận giá trị phức, liên tục trên X Khi đó với phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thông thường, C(X) là không gian tuyến tính trên C Với chuẩn kfk= sup{|f(x)| : x ∈ X}, ∀f ∈ C(X),
Trên C(X), ta xác định thêm phép nhân trong bằng cách đặt tương ứng (f, g) ∈ C(X)×C(X) với hàm f g được cho bởi
Khi đó, với mọi f, g, h ∈ C(X) ta có
(iv) kf gk= sup{|(f g)(x)|: x ∈ X}= sup{|f(x).g(x)| : x ∈ X}
|g(x)| = kfk.kgk. Vậy kf gk ≤ kfk.kgk.
Do đó, C(X) là đại số Banach giao hoán, có đơn vị Đơn vị trong C(X) là hàm đồng nhất bằng 1.
Giả sử H là không gian Hilbert và L(H) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H Khi sử dụng phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm, L(H) trở thành không gian Banach với chuẩn kfk = sup kxk≤1 kf(x)k, với f thuộc L(H).
Trong không gian L(H), phép nhân giữa hai phần tử được xác định là phép hợp thành của hai ánh xạ, tạo thành một đại số Banach giao hoán có đơn vị Đơn vị trong L(H) được biểu diễn bằng hàm đồng nhất trên H.
Phổ và giải thức
Trong mục này, ta luôn giả thiết A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị e.
1.3.1 Định nghĩa Giả sử f ∈ A Nếu tồn tại g ∈ A sao cho f g = e thì ta nói f khả nghịch và viết f −1 thay cho g.
Với mỗi λ ∈ C ta viết λ thay cho λe Đặt σ(f) ={λ ∈ C: λ−f không khả nghịch} và
Ta gọi σ(f), S(f) lần lượt là phổ, giải thức của f.
1.3.2 Định nghĩa Giả sử D là tập mở trong C và ϕ : D→A Hàm ϕ được gọi là giải tích tại λ 0 ∈ D nếu tồn tại lân cận U của λ 0 sao cho ϕ(λ) ∞
Hàm ϕ được gọi là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi điểm của D.
1.3.3 Định lý ([1]) Giả sử f ∈ A Khi đó
(1) σ(f) là tập compact khác rỗng,
(2) Hàm ϕ: S(f)→A xác định với ϕ(λ) = (λ−f) −1 giải tích trên S(f).
1.3.4 Nhận xét Nếu λ là giá trị riêng của f ∈ A thì λ ∈ σ(f).
Thật vậy, do λ là giá trị riêng của f ∈ A thì ánh xạ λ − f không đơn ánh Suy ra λ −f không song ánh Do đó, λ−f không khả nghịch Khi đó λ ∈ σ(f).
1.3.5 Hệ quả ([5]) Với mỗi f ∈ A ta có
Định lý Gelfand - Mazur khẳng định rằng nếu đại số Banach A có các phần tử khác không là khả nghịch, thì nó sẽ đẳng cấu với trường các số phức C.
Dễ dàng kiểm tra B là một đại số con của A và ánh xạ T : B→C với
T(λe) = λ, ∀λ ∈ C là một ánh xạ đẳng cấu và đẳng cự Để chứng minh Định lý, chúng ta cần chỉ ra rằng A = B Giả sử f thuộc A, theo Định lý 1.3.3, tồn tại λ thuộc σ(f), dẫn đến λ−f không khả nghịch Do đó, A chứa các phần cần thiết để hoàn tất chứng minh.
Không gian các đồng cấu phức
1.4.1 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach, J ⊂ A Khi đó
(1) J được gọi là ideal của A nếu J là không gian tuyến tính con của A và
(2) Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J 6= A và nếu J 0 là một ideal của A mà J ⊂ J 0 thì J 0 = J hoặc J 0 = A.
Tập tất cả các ideal cực đại của A được gọi là không gian các ideal cực đại của A và được ký hiệu là M A
1.4.2 Bổ đề ([5]) Mỗi ideal thực sự của A đều được chứa trong một ideal cực đại của A Ideal J của A là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường.
1.4.3 Định lý ([5]) Giả sử A là đại số Banach Khi đó
(1) Nếu J là ideal của A thì J cũng là ideal của A,
(2) Mọi ideal cực đại của A đều đóng,
(3) Nếu J là ideal cực đại trong A thì A/J đẳng cấu, đẳng cự với C.
Để chứng minh J là ideal của A, ta cần chứng minh J là đại số con của A và J A ⊂ J Theo giả thiết, J là ideal của A, A là đại số Banach và J là đại số con của A Theo Mệnh đề 1.2.5, J là đại số con của A Với x ∈ J và y ∈ A, luôn tồn tại dãy {x n } ⊂ J sao cho x n → x Do J là ideal của A, nên {x n y} ⊂ J.
Xét kx n y −xyk = k(x n −x)yk→0 Suy ra x n y→xy Do đó xy ∈ J Khi đó
Giả sử J là một ideal cực đại của A, ký hiệu A −1 là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của A A −1 được coi là một tập mở trong A Vì J là ideal cực đại, ta có J khác A, do đó J∩A −1 là tập rỗng Nếu giả sử J∩A −1 không rỗng, thì tồn tại phần tử f thuộc J ∩ A −1.
Tập A −1 là một lân cận của f, dẫn đến A −1 ∩ J 6= 0, điều này gây ra mâu thuẫn Do đó, J ∩ A −1 = ∅, tức là J không bằng A Hơn nữa, J cũng là một ideal của A, từ tính cực đại của J suy ra J = J Do đó, J là tập đóng trong A.
(3) VìJ đóng vàAlà không gian Banach nên không gian tuyến tính thương A/J là không gian Banach với chuẩn kf + Jk = inf{kf −gk : g ∈ J}, ∀f ∈ A.
Ta xác định phép nhân trong không gian A/J bởi
Ta dễ dàng kiểm tra được kf g +Jk ≤ kf +Jk.kg +Jk, ∀f, g ∈ A và A/J là một đại số Banach giao hoán.
Vì J là ideal cực đại nên với mọi phần tử của J đều không khả nghịch, theo Hệ quả 1.3.5 nên k1−gk ≥ 1, ∀g ∈ J.
Mặt khác 0 ∈ J nên k1 +Jk= 1 Với mọi f ∈ A ta có
Do đó 1 +J là đơn vị của A/J Như vậy A/J là đại số Banach giao hoán, có đơn vị Theo Bổ đề 1.4.2, A/J là một trường Do đó theo Định lý Gelfand -
Mazur, A/J đẳng cấu, đẳng cự với C
1.4.4 Định nghĩa Giả sử Alà đại số Banach Đặt ∆ A := {đồng cấu phức trên A} Ta gọi ∆ A là không gian các đồng cấu phức trên A.
1.4.5 Định lý ([5]) Giả sử A là đại số Banach, Φ : A→C là đồng cấu phức Khi đó
Chứng minh (1) Vì Φ là đồng cấu phức trên A nên Φ 6= 0 Với mọi f ∈ A ta có Φ(f) 6= 0 Ta có Φ(f) = Φ(ef) = Φ(e).Φ(f) Do đó Φ(f)[1−Φ(e)] = 0 hay Φ(e) = 1 hoặc Φ(f) = 0 (không thỏa mãn) Vậy Φ(e) = 1.
(2) Nếu f ∈ A và λ ∈ C sao cho kλk > kfk thì λ /∈ σ(f), tức là λ−f khả nghịch Do đó Φ(λ−f).Φ((λ−f) −1 ) = Φ(e) = 1. Đẳng thức này chứng tỏ Φ(λ−f) 6= 0, tức là Φ(f) 6= λ Từ đó suy ra
Do đó Φ liên tục và kΦk ≤ 1 Mặt khác, Φ(e) = 1 nên kΦk ≥ kΦ(e)k = 1.
1.4.6 Định lý ([5]) Ánh xạ T : ∆ A →M A được cho bởi
T(Φ) = kerΦ, ∀Φ ∈ ∆ A là một song ánh.
Để chứng minh rằng với mỗi Φ ∈ ∆ A, kerΦ là ideal cực đại của A, trước tiên ta nhận thấy Φ là đồng cấu phức, do đó J := kerΦ là một ideal thực sự của A Theo Bổ đề 1.4.2, để J trở thành ideal cực đại, ta cần chứng minh rằng A/J là một trường Rõ ràng, A/J là một vành.
Giả sử f ∈ A sao cho f +J 6= J = 0 +J, f + J ∈ A/J ta cần chứng minh (f +J) khả nghịch Thật vậy, do f +J 6= 0 +J = J nên f ∈ J Khi đó Φ(f) 6= 0. Đặt Φ(f) =λ Chọn g = λ 1 2f ∈ A Ta có Φ(e−f.g) = Φ(e)−Φ(f.g) = 1−Φ(f).Φ(g)
Do đó f g ∈ e+ J và ta có (f + J)(g+ J) = e+J Vậy (f +J) khả nghịch.
Do đó, A/J là một trường Hay J là ideal cực đại của A.
Bây giờ ta cần chứng minh T đơn ánh Giả sử Φ 1 ,Φ 2 ∈ ∆ A sao cho
T(Φ 1 ) = T(Φ 2 ) Lúc đó kerΦ 1 = kerΦ 2 Với mọi f ∈ A Đặt λ = Φ 1 (f) ∈ C.
Do đó λ −f ∈ kerΦ 1 = kerΦ 2 nên 0 = Φ 2 (λ−f) = λ−Φ 2 (f).
Cuối cùng ta chứng minh T toàn ánh Giả sử J là ideal cực đại của A Khi đó, theo Định lý 1.4.3, có thể xem A/J là C Ta xét phép chiếu chính tắc Φ :A→A/J f 7→Φ(f) =f +J.
Phép chiếu Φ là đồng cấu giữa A và A/J, kerΦ = J Vì A/J được đồng nhất với Cvà J 6= A nên Φ ∈ ∆ A và T(Φ) = J Vậy T là toàn ánh và Định lý được chứng minh
1.4.7 Chú ý (1) Từ đây về sau ta đồng nhất mỗi ideal cực đại J trong
M A với một đồng cấu phức Φ ∈ ∆ A mà ker Φ = J Ta cũng nói M A là không gian các đồng cấu phức trên A.
Định lý 1.4.5 chứng minh rằng M A có thể được đồng nhất với mặt cầu đơn vị trong không gian A ∗, nơi A ∗ là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ A đến C Trên A ∗, tồn tại một tôpô được sinh ra bởi chuẩn và tôpô yếu ∗ σ(A ∗ , A) Từ đó, M A cũng được trang bị tôpô Gelfand, được cảm sinh từ tôpô yếu ∗ σ(A ∗ , A) Trong bài viết này, khi nhắc đến M A, chúng tôi sẽ luôn sử dụng tôpô Gelfand mà không cần giải thích thêm Cụ thể, một dãy suy rộng {Φ α } trong M A hội tụ tới Φ khi và chỉ khi Φ α (f) tiến tới Φ(f) đối với mọi f ∈ A Một cơ sở các lân cận mở của ψ ∈ M A là tập hợp các tập có dạng nhất định.
U{ψ;f 1 , , f n ;ε} = {Φ ∈ M A : |Φ(f j )−ψ(f j )| < ε, 1 ≤j ≤ n}, trong đó ε > 0, n là số nguyên dương và f 1 , , f n ∈ A.
1.4.8 Định lý ([5]) Không gian các ideal cực đại M A của A là không gian Hausdorff compact.
Chứng minh Giả sử Φ 1 ,Φ 2 ∈ M A sao cho Φ 1 6= Φ 2 Khi đó, tồn tại f ∈ A sao cho Φ 1 (f) 6= Φ 2 (f) Đặt ε = 1
Khi đó, các tập u(Φ 1 ;f;ε), u(Φ 2 ;f;ε) theo thứ tự là lân cận của Φ 1 ,Φ 2 và chúng rời nhau Do đó M A là không gian Hausdorff.
Theo Định lý 1.4.5, M A là tập con của hình cầu đơn vị đóng B ∗ trong A ∗ Theo Định lý Alaoglu, B ∗ là compact theo tôpô yếu ∗, do đó để chứng minh Định lý, cần chứng tỏ M A đóng theo tôpô yếu ∗ Giả sử {Φ α } là dãy suy rộng trong M A và Φ α →Φ ∈ A ∗ Khi đó, với mọi f, g ∈ A, ta có Φ 2 (f)→Φ(f) và Φ α (g)→Φ(g); từ đó suy ra Φ α (f g) = Φ(f g) và Φ α (f g) = Φ α (f).Φ α (g)→Φ(f).Φ(g).
Do đó Φ(f g) = Φ(f).Φ(g) và ta kết luận được Φ là đồng cấu Mặt khác, từ Φ α (e) = 1, ∀α và Φ α (e)→Φ(e) suy ra Φ(e) = 1 Do đó Φ ∈ M A Vậy M A đóng trong A ∗ và do đó đóng trong B ∗
1.4.9 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach và f ∈ A, fb: M A →C là hàm được xác định bởi fb(Φ) = Φ(f), Φ ∈ M A
Ta gọi hàm fblà phép biến đổi Gelfand của f Đặt
{fb: f ∈ A} = Ab và xác định hàm Γ : A→Ab bởi công thức Γ(f) =f , fb ∈ A.
Ta gọi Γ là phép biến đổi Gelfand của A, nói gọn là phép biến đổi Gelfand. Công thức kfbk M A = sup Φ∈M A Φ6=0 kfb(Φ)k kΦk = sup Φ∈M A Φ6=0 kΦ(f)k kΦk = sup Φ∈M A kΦk≤1 kΦ(f)k kΦk được gọi là chuẩn của fb.
1.4.10 Định lý ([5]) (1) Ab là đại số con của đại số Banach C(M A ) các hàm liên tục trên M A Hơn nữa Ab chứa các hàm hằng, tách các điểm của
(2) Ánh xạ Γ là đồng cấu và Γ không tăng chuẩn, nghĩa là kfbk= kΓ(f)k ≤ kfk, ∀f ∈ A.
M A là không gian Hausdorff compact, do đó, tập C(M A) tạo thành một đại số Banach giao hoán có đơn vị, với đơn vị là hàm đồng nhất bằng 1 trên M A Tập C(M A) bao gồm tất cả các hàm liên tục nhận giá trị phức trên M A.
Bây giờ, giả sử fb∈ Ab và {Φ α } là dãy suy rộng trong M A , hội tụ tới Φ. Khi đó, ta có fb(Φ α ) = Φ α (f)→Φ(f) = fb(Φ).
Do đó fbliên tục trên M A và ta kết luận được Ab⊂ C(M A ).
Giả sử f, g ∈ A Với mọi Φ ∈ M A ta có
Do đó fb+ bg = (f[+ g) ∈ A Tương tự, ta cób f bbg ∈ Ab và λfb ∈ Ab với mọi λ ∈ C Vậy Ab là đại số con của C(M A ).
Giả sử ϕ : M A →C là hàm hằng được cho bởi ϕ(Φ) = z, với mọi Φ ∈ M A , trong đó z là hằng số phức Ta có z.be(Φ) = z.Φ(e) = z, ∀Φ ∈ M A
Do đó ϕ = zbe ∈ A Như vậyb Ab chứa các hàm hằng.
Giả sử Φ 1 ,Φ 2 ∈ M A sao cho Φ 1 6= Φ 2 Khi đó, tồn tại f ∈ A sao cho Φ 1 (f) 6= Φ 2 (f) tức là fb(Φ 1 ) 6= fb(Φ 2 ) Vậy, Ab tách các điểm của M A
(2) Từ Ab khép kín với ba phép toán suy ra Γ đồng cấu.
Giả sử f ∈ A Khi đó, với mọi Φ ∈ M A , từ tính tuyến tính liên tục của Φ ta có kΓ(f)k = kfbk = sup Φ∈M A
|Φ(f)| ≤ sup Φ∈M A kΦk.kfk= kfk 1.4.11 Định lý Với mỗi f ∈ A đều có σ(f) = fb(M A ).
Chứng minh.Giả sử λ ∈ σ(f) Khi đó, tồn tại Φ ∈ M A sao cho λ = fb(Φ) Φ(f) Do đó, Φ(λ −f) = 0 Từ đó suy ra (λ −f) không khả nghịch, tức là λ ∈ σ(f) Hay fb(M A ) ⊂ σ(f).
Ngược lại, giả sử λ ∈ σ(f) Khi đó, (λ − f) không khả nghịch, vì thế (λ−f)A là ideal thực sự của A Theo Bổ đề 1.4.2, tồn tại ideal cực đạiJ của
Giả sử Φ ∈ M A với kerΦ = J, ta có (λ−f) = (λ−f)e ∈ (λ−f).A = J, suy ra (λ −f) ∈ J = kerΦ Từ đó, ta có Φ(λ −f) = 0 hay λ = Φ(f) = fb(Φ) ∈ fb(M A ), dẫn đến λ ∈ fb(M A ) Điều này cho thấy fb(M A ) ⊃ σ(f), kết luận rằng σ(f) = fb(M A ) Định nghĩa r(f) = sup{|λ| : λ ∈ σ(f)} được gọi là bán kính phổ của f.
1.4.13 Nhận xét Giả sử r(f) là bán kính phổ của f ∈ A Ta có r(f) ≤ kfk.
1.1.14 Định lý ([5]) Giả sử f ∈ A Khi đó r(f) =kfbk M A = lim n→∞kf n k n 1
1.4.15 Bổ đề ([5]) Đại số Banach A thỏa mãn kf 2 k = kfk 2 , với mọi f ∈
A khi và chỉ khi phép biến đổi Gelfand Γ là đẳng cự.
Chứng minh Giả sử phép biến đổi Gelfand f 7→ fblà đẳng cự Vì f 7→ fb là đẳng cự nên kfk = kfbk M A Suy ra kf 2 k = kf 2 k M A = kfbk 2 M
Ngược lại, kf 2 k = kfk 2 , ∀f ∈ A ta cần chứng minh f 7→fblà đẳng cự. Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh rằng kf 2 n k = kfk 2 n , ∀n≥ 1 (1)
Thật vậy, vì kf 2 k = kfk 2 nên (1) đúng với n = 1 Giả sử kf 2 n−1 k = kfk 2 n−1 Khi đó kf 2 n k = kf 2 n−1 f 2 n−1 k = kf 2 n−1 k 2 = (kfk 2 n−1 ) 2 = kfk 2 n
Do đó kfk ≥ kfbk M A = r(f) = lim n→∞kf 2 n k 2 1 n = lim n→∞(kfk 2 n ) 1 2 = kfk.
Vậy kfk= kfbk M A hay f→fblà đẳng cự.
Định lý phổ và một vài ứng dụng
C ∗ -đại số và Định lý Gelfand - Naimark
2.1.1 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach Ánh xạ x 7→ x ∗ của đại số
A vào chính nó được gọi là phép đối hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
2.1.2 Định nghĩa Giả sử A là đại số Banach với phép đối hợp và a ∈ A. Phần tử a được gọi là tự liên hợp nếu a = a ∗
Phần tử a được gọi là chuẩn tắc nếu aa ∗ = a ∗ a.
Trong đại số Banach A có đơn vị e, phần tử a ∈ A được gọi là Unita nếu thỏa mãn điều kiện aa ∗ = a ∗ a = e.
(1) Các phần tử x+x ∗ , i(x−x ∗ ) và xx ∗ là tự liên hợp.
(2) Phần tử x được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = u+iv, trong đó u, v là các phần tử tự liên hợp trong A.
(3) Đơn vị e là các phần tử tự liên hợp.
(4) Phần tử x là khả nghịch khi và chỉ khi phần tử x ∗ khả nghịch Khi đó (x ∗ ) −1 = (x −1 ) ∗
Chứng minh (1) Từ các tính chất của phép đối hợp, ta có
Do đó, (x+x ∗ ) tự liên hợp
Do đó i(x−x ∗ ) tự liên hợp.
Do đó xx ∗ tự liên hợp.
(2) Do (1) ta có u = x+x 2 ∗ , v = i(x ∗ 2 −x) là các phần tử tự liên hợp Hơn nữa x = u+iv Ta cần chứng minh rằng biểu diễn đó là duy nhất.
Giả sử x = u₀ + iv₀ với u₀, v₀ là tự liên hợp Khi đó, u₀ - u + i(v₀ - v) = 0, tức là u - u₀ = i(v₀ - v) Đặt w = v₀ - v, do u, u₀, v, v₀ là tự liên hợp nên w = v₀ - v và iw = u - u₀ là tự liên hợp Do đó, iw = (iw)∗ = -iw∗ = -iw, suy ra w = 0 Vì vậy, v = v₀ và u = u₀.
(3) Ta có e ∗ = e.e ∗ Nhờ (1) ta suy ra phần tử ee ∗ là tự liên hợp Do đó e ∗ là tự liên hợp mà (e ∗ ) ∗ = e ∗∗ = e Vậy e là tự liên hợp.
(4) Giả sửx ∈ Alà phần tử khả nghịch Khi đó ta cóxx −1 = ekhi và chỉ khi (xx −1 ) ∗ = e khi và chỉ khi (x −1 ) ∗ x ∗ = e ∗ = e Từ đó ta có (x ∗ ) −1 = (x −1 ) ∗
(5) Vì λ ∈ σ(x) khi và chỉ khi λe − x không khả nghịch khi và chỉ khi (λe−x) ∗ không khả nghịch Suy ra (λe−x ∗ ) không khả nghịch Từ đó suy ra λ ∈ σ(x) khi và chỉ khi λ ∈ σ(x ∗ )
2.1.4 Định nghĩa ([4]) Đại số Banach A với phép đối hợp x 7→ x ∗ thỏa mãn điều kiện kx ∗ xk= kxk 2 với mỗi x ∈ A được gọi là C ∗ -đại số.
2.1.5 Mệnh đề ([4]) (1) Nếu A là C ∗ -đại số thì kx ∗ k = kxk với mỗi x ∈ A.
(2) Nếu A là C ∗ -đại số giao hoán thì kx 2 k = kxk 2 với mỗi x ∈ A.
Chứng minh (1) Vì A là C ∗ -đại số nên kx ∗ xk = kxk 2 với mỗi x ∈ A Suy ra kxk 2 = kx ∗ xk ≤ kx ∗ k.kxk Do đó kxk ≤ kx ∗ k (1)
Vì A là C ∗ -đại số, ta có kxx ∗ k = kx ∗ k 2, từ đó suy ra kx ∗ k 2 kxx ∗ k ≤ kxk.kx ∗ k Điều này dẫn đến kx ∗ k ≤ kxk Kết hợp với (1), ta có kx ∗ k = kxk cho mọi x ∈ A.
(2) Vì A là C ∗ -đại số nên kx 2 k 2 = k(x 2 ) ∗ x 2 k = k(x ∗ x) ∗ (x ∗ x)k = kx ∗ xk 2 = kxk 4 với mỗi x ∈ A Suy ra kx 2 k = kxk 2 với mọi x ∈ A
2.1.6 Định nghĩa (1) Giả sử A là đại số Banach có đơn vị e, a ∈ A Ta gọi đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa a và e là đại số con sinh bởi a.
(2) Giả sử A là C ∗ -đại số, a ∈ A Ta ký hiệu C ∗ (a) là C ∗ -đại số con của A sinh bởi a, nghĩa là C ∗ (a) là C ∗ -đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa a và e.
2.1.7 Nhận xét Nếu A là C ∗ -đại số với phép đối hợp a 7→ a ∗ và a ∈ A thì a ∗ ∈ C ∗ (a).
Thật vậy, vì C ∗ (a) là C ∗ -đại số nên có phép đối hợp C ∗ (a)→C ∗ (a) với a 7→a ∗ Do đó a ∗ ∈ C ∗ (a).
2.1.8 Mệnh đề ([4]) Nếu a là phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số có đơn vị A thì C ∗ (a) giao hoán và tập tất cả các đa thức của hai biến a, a ∗ trù mật trong C ∗ (a).
Ký hiệu P là tập hợp tất cả các đa thức của hai biến a và a ∗, và vì a là chuẩn tắc, nên aa ∗ = a ∗ a Điều này cho thấy P là một C ∗ -đại số con của A Hơn nữa, vì e ∈ P, P cũng là một đại số con của A Giả sử x ∈ P, tồn tại dãy (x n ) ⊂ P sao cho x n → x Do đó, kx ∗ n − x ∗ k = k(x n − x) ∗ k = kx n − xk → 0 khi n → ∞, chứng tỏ x ∗ n → x ∗ Vì P là C ∗ -đại số con của A, từ a và e ∈ P suy ra P ⊃ C ∗ (a) Mặt khác, P hiển nhiên nằm trong C ∗ (a), do đó P ⊂ C ∗ (a).
Vì aa ∗ = a ∗ a nên P giao hoán Kết hợp với tính liên tục của phép nhân suy ra P giao hoán tức là C ∗ (a) giao hoán
2.1.9 Định lý ([4]) Giả sử A là C ∗ -đại số Nếu a ∈ A là tự liên hợp thì σ(a) ⊂R.
Chứng minh Giả sử λ ∈ σ(a), khi đó theo Định lý 2.1.3 ta có λ ∈ σ(a ∗ ).
Do a là tự liên hợp nên a = a ∗ Do đó λ ∈ σ(a) khi và chỉ khi λ ∈ σ(a). Đặt λ = x+iy ∈ σ(a) Ta cần chứng minh y = 0 Giả sử y > 0 (tương tự đối với y < 0).
Ta có x+iy ∈ σ(a) suy ra (x+ iy)e−a không khả nghịch Do đó
(x+ (y +n)i)e−(a+nie) không khả nghịch, tức làx+(y+n)i ∈ σ(a+nie).Vìλ ∈ σ(a) nênkλk ≤ kak.
Từ (1) và (2) ta được x 2 +y 2 + 2yn+n 2 ≤ ka+niek 2 = (a+ nie) ∗ (a+nie)k
Do đó 0 < 2yn ≤ ka 2 k − (x 2 + y 2 ) với mọi n ∈ N Điều này là không thể được Từ đó suy ra y = 0
2.1.10 Định lý (Định lý Gelfand - Naimark) ([5]) Giả sử A là C ∗ -đại số giao hoán Khi đó phép biến đổi Gelfand là đẳng cấu, đẳng cự giữa A và C(M A ) thỏa mãn cf ∗ = f ,b f ∈ A.
A là C*-đại số giao hoán, theo Mệnh đề 2.1.5, ta có kf 2 k = kfk 2 với mọi f ∈ A Do đó, theo Bổ đề 1.4.15, phép biến đổi Gelfand Γ : A→Ab là phép đẳng cự từ A lên đại số con Abcủa C(M A) Từ tính đẳng cự của Γ, suy ra Ab đóng trong C(M A).
Khi đó f = g+ ih, g = g ∗ , h = h ∗ Vì thế f ∗ = g ∗ −ih ∗
Do đó cf ∗ = gb ∗ −ihb ∗ = bg −ibh.
Mặt khác g = g ∗ , h = h ∗ nên theo Định lý 2.1.9 ta có σ(g) ⊂ R, σ(h) ⊂ R. Kết hợp với Định lý 1.4.11 ta có bg(M A ) = σ(g) ⊂ R,bh(M A ) = σ(h) ⊂ R Do đó fb= bg +ibh = gb−ibh = bg −ibh = cf ∗
Theo định lý 1.4.10, tập hợp Ab chứa các hằng số và các điểm tách biệt của MA, chứng tỏ rằng fb = cf ∗ ∈ Ab với mọi f ∈ A Điều này cho thấy Ab khép kín dưới phép lấy biên hợp phức, tức là nếu fb thuộc Ab thì fb cũng thuộc A.
- Weierstrass Ab trù mật trong C(M A ) Vì Ab đóng nên Ab= C(M A ) Vậy Γ là đẳng cấu, đẳng cự giữa A và C(M A )
2.1.11 Mệnh đề ([4]) Giả sử A là C ∗ -đại số có đơn vị e và a ∈ A là phần tử khả nghịch Khi đó a −1 ∈ C ∗ (a).
Giả sử a = a ∗, ký hiệu B là C ∗ -đại số sinh bởi a và a −1, thì B giao hoán Theo Định lý 2.1.10, phép biến đổi Gelfand Λ là đẳng cấu từ B lên C(M B) Do a là tự liên hợp, theo Định lý 2.1.9, ta có K = σ B (a) ⊂ R, với σ B (a) là phổ của a trong đại số B Từ a −1 ∈ B, suy ra 0 ∈/ K, do đó hàm h(λ) = 1 λ liên tục trên K Theo Định lý Weierstrass, tồn tại dãy đa thức {p n} sao cho p n ⇒ h trên K Nếu p(x) = α 0 + α 1 x + + α n x n (với α j ∈ C, j = 0, n) là một đa thức của biến x, thì p(a) = α 0 e + α 1 a + + α n a n cũng là một đa thức của biến a.
Do đó với mỗi Φ ∈ M A , ta có
Vì Φ ∈ M A ⊂ M B nên Φ(a) = (Γ(a))(Φ) ⊂ σ B (a), tức là Φ(a) ∈ K Mặt khác, vì p n ⇒ h trên K nên từ (1) suy ra Γ(p n (a)−a −1 )→0 khi n→∞.
DoΓ đẳng cự suy ra p n (a)−a −1 →0, tức là p n (a)→a −1 trong A Vì a ∈ C ∗ (a) nên p n (a) ∈ C ∗ (a), ∀n Mặt khác, C ∗ (a) đóng nên a −1 ∈ C ∗ (a).
Trong trường hợp tổng quát, nếu a −1 tồn tại trong A thì aa ∗ tự liên hợp và (aa ∗ ) −1 ∈ A Ta có a −1 = a ∗ (aa ∗ ) −1 và aa ∗ ∈ C ∗ (aa ∗ ) ⊂ C ∗ (a) Do đó, (aa ∗ ) −1 ∈ C ∗ (aa ∗ ) ⊂ C ∗ (a).
Trong một C∗-đại số A có đơn vị e và một C∗-đại số con B chứa e, mọi phần tử b ∈ B đều khả nghịch trong A Điều này dẫn đến việc phổ σB(b) của b trong B sẽ bằng với phổ σA(b) của b trong A, với σB(b) và σA(b) là thứ tự phổ tương ứng.
Nếu b khả nghịch trong B thì tồn tại b −1 ∈ B ⊂ A Suy ra b −1 ∈ A.
Nếu b khả nghịch trong A thì tồn tại b −1 ∈ A Ta cần chứng minh b −1 ∈ B.
Do b ∈ B, e ∈ B và B là C ∗ -đại số suy ra C ∗ (b) ⊂ B Từ đó theo Mệnh đề 2.1.11, b −1 ∈ C ∗ ⊂B.
Giả sử b thuộc B và λ thuộc C, ta có (λ−b) thuộc B Theo kết quả đã chứng minh, (λ − b) khả nghịch trong B nếu và chỉ nếu (λ − b) khả nghịch trong A Từ đó, ta suy ra rằng σ B (b) bằng σ A (b).
2.1.13 Ví dụ (1) Giả sử X là không gian Hausdorff compact, C(X) là tập tất cả các hàm nhận giá trị trong C, liên tục trên X Ta đã biết C(X) là đại số Banach có đơn vị với chuẩnsup Với mỗif ∈ C(X) đặtf ∗ = f, trong đó f(x) = f(x), x ∈ X.
Khi đó ánh xạ f 7→ f ∗ , f ∈ C(X) là phép đối hợp trên C(X).
Với mỗi f ∈ C(X) ta có kf ∗ fk= sup x∈X
= kfk 2 Vậy, C(X) là C ∗ -đại số có đơn vị.
Giả sử H là không gian Hilbert phức, ta biết rằng L(H) là đại số Banach của các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H, với chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục Đối với mỗi f ∈ L(H), ký hiệu f ∗ là ánh xạ liên hợp của f Từ các tính chất của ánh xạ liên hợp trong không gian Hilbert, ta suy ra rằng ánh xạ f→f ∗, với mọi f ∈ L(H), là phép đối hợp trên L(H).
Với mỗi f ∈ L(H) ta có kfk = kf ∗ k Do đó kf ∗ fk ≤ kf ∗ k.kfk= kfk 2 (1)
Mặt khác với mọi x ∈ H, theo Định nghĩa của ánh xạ liên hợp và bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có kf(x)k 2 = (f(x)|f(x)) = (x|f ∗ f(x)) ≤ kxk.kf ∗ f(x)k
Do đó kf(x)k ≤ p kf ∗ fk.kxk, ∀x ∈ H.
Kết hợp với (1) ta có kf ∗ fk = kfk 2
Định lý phổ
2.2.1 Định lý phổ ([4]) Giả sử a là một phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số có đơn vị, A = C ∗ (a) và Γ là phép biến đổi Gelfand của A Khi đó
(a) Γ(a) là phép đồng phôi từ M A lên σ(a),
Với mỗi hàm f thuộc C(σ(a)), tồn tại duy nhất phần tử a f thuộc A sao cho Γ(a f) = f(Γ(a)) Ánh xạ ρ từ C(σ(a)) đến A được định nghĩa bởi ρ(f) = a f = Γ^(-1)(f ◦ Γ(a)) là một đẳng cấu, bảo toàn cấu trúc, với ρ(1) = e và ρ(id) = a, trong đó 1 là phần tử đơn vị của C(σ(a)) và id là ánh xạ đồng nhất trên σ(a).
Chứng minh (a) Ta viết ba thay cho Γ(a) Theo định nghĩa của phép biến đổi Gelfand ta có ba :M A →C với ba(Φ) = Φ(a), Φ ∈ M A
Do đó, theo Định lý 1.4.11 ba(M A ) ={ba(Φ) : Φ ∈ M A } = σ(a).
Nói cách khác ba(Φ)→σ(a) là một toàn ánh.
Giả sử Φ 1 ,Φ 2 ,∈ M A sao cho ba(Φ 1 ) = ba(Φ 2 ) Vì C ∗ (a) là C ∗ -đại số giao hoán có đơn vị e nên theo Định lý Gelfand - Naimark thì ab ∗ = ba Do đó ta có Φ 1 (a ∗ ) = ab ∗ (Φ 1 ) (Φ 1 ) (Φ 2 ) ∗ (Φ 2 ) = Φ 2 (a ∗ ).
Vì Φ 1 (a) = Φ 2 (a) và Φ 1 (a ∗ ) = Φ 2 (a ∗ ), ta suy ra rằng Φ 1 và Φ 2 bằng nhau trên tập P(a, a ∗) của tất cả các đa thức của a và a ∗ Hơn nữa, do P(a, a ∗) trù mật trong A và Φ 1, Φ 2 đều liên tục, ta có thể kết luận rằng Φ 1 = Φ 2 Vì vậy, ba là một đơn ánh.
Vì ba : M A →σ(a) là song ánh liên tục và M A là không gian compact còn σ(a) là T 2 -không gian nên ba là một ánh xạ đồng phôi.
Với mỗi hàm f thuộc C(σ(a)), ta có f ◦ ba thuộc C(M A) Do A là đại số C ∗ giao hoán, theo Định lý Gelfand - Naimark, phép biến đổi Gelfand Γ : A→Ab là ánh xạ đẳng cấu, dẫn đến C(M A) = A Từ việc f ◦ ba thuộc C(M A), suy ra tồn tại duy nhất a f trong A sao cho a f = Γ −1 (f ◦ ba), tức là ba f = Γ(a f) = f ◦ ba = f ◦ Γ(a).
Theo chứng minh trong phần (b), ánh xạ ρ được xác định từ C(σ(a)) đến A thông qua công thức ρ(f) = Γ −1 (f ◦ ba) = a f, với f thuộc C(σ(a)) Bởi vì Γ là một đồng cấu, nên Γ −1 cũng là một đồng cấu, từ đó suy ra rằng ρ cũng là một đồng cấu.
Với mỗi b ∈ A, ta xác định f ∈ C(σ(a)) bởi công thức f(λ) ((ba) −1 (λ)), λ∈ σ(a).
Vì ba là ánh xạ đồng phôi từ M A lên σ(a) và bb liên tục nên f ∈ C(σ(a)) Mặt khác f ◦ba nên ρ(f) = b Do đó, ρ là một toàn ánh.
Với mỗi f ∈ C(σ(a)) ta có ρ(f ∗ ) = Γ −1 (f ∗ ◦ba) = Γ −1 (f ◦ba).
Mặt khác, theo Định lý Gelfand - Naimark ta có Γ((Γ −1 (f ◦ba)) ∗ ) = Γ(Γ −1 (f ◦ba)) = f ◦ba = f ◦ba.
Do đó, ρ(f ∗ ) = Γ −1 (f ◦ba) = (Γ −1 (f ◦ba)) ∗ = (ρ(f)) ∗ Như vậy, ρ là đồng cấu.
Bây giờ, với mỗi f ∈ C(σ(a)) vì Γ đẳng cự và σ(a) (M A ) nên kρ(f)k= kΓ −1 (f ◦ba)k= kf ◦bak= sup Φ∈M A
Như vậy, ρ là ánh xạ đẳng cự Do đó ρ là đẳng cấu, đẳng cự.
Cuối cùng, với 1∈ C(σ(a)) ta có ba 1 = 1◦ba Do đó ta có Φ(a 1 ) = ba 1 (Φ) 1(ba(Φ)) = 1 với mọi Φ ∈ M A Từ đó suy ra a 1 = e ∈ A.
Vì ba id = id◦ba nên ba id (Φ) = id(ba(Φ)) = ba(Φ), ∀Φ ∈ M A
Do đó ba id = ba Vậy ρ(id) = a id = a
2.2.2 Định lý (Định lý ánh xạ phổ) ([4]) Giả sử a là phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số A và f ∈ C(σ(a)) Khi đó f(σ(a)) = σ(f(a)), trong đó ta viết f(a) thay cho ρ(f) với ρ : C(σ(a))→C ∗ (a) là đẳng cấu nói trong Định lý phổ.
Chứng minh Theo Định lý phổ thì ρ là đẳng cấu giữa C(σ(a)) và C ∗ (a), vì thế có thể đồng nhất mỗi g ∈ C(σ(a)) với phần tử ρ(g) := g(a) ∈ C ∗ (a).
Với mỗi λ 0 ∈ C, hàm f(a)−λ 0 khả nghịch trong A khi và chỉ khi f −λ 0 khả nghịch trong C(σ(a)) Điều này xảy ra khi f(λ) khác λ 0 với mọi λ ∈ σ(a) Nếu f(λ) khác λ 0 với mọi λ ∈ σ(a), thì hàm g(λ) = 1/(f(λ)−λ 0) là phần tử thuộc C(σ(a)), và ta có g◦(f −λ 0) = (f −λ 0)◦g = 1, từ đó chứng minh rằng f −λ 0 khả nghịch trong C(σ(a)).
Nếu tồn tại λ₁ ∈ σ(a) sao cho f(λ₁) = λ₀, thì với mọi g ∈ C(σ(a)), có (g(f - λ₀))(λ₁) = 0, dẫn đến (f - λ₀) không khả nghịch trong C(σ(a)) Do đó, f(a) - λ₀ khả nghịch trong A khi và chỉ khi f(λ) ≠ λ₀ với mọi λ ∈ σ(a) Kết luận, f(σ(a)) = σ(f(a)).
Một vài ứng dụng của Định lý phổ
Định lý 2.1.9 chỉ ra rằng trong C∗-đại số, nếu phần tử a tự liên hợp, thì phổ σ(a) sẽ thuộc tập số thực R Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là liệu điều ngược lại có đúng hay không Định lý tiếp theo sẽ cung cấp câu trả lời cho vấn đề này.
2.3.1 Định lý ([4]) Giả sử a là phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số có đơn vị Khi đó, a là tự liên hợp khi và chỉ khi σ(a) ⊂ R.
Chứng minh rằng điều kiện cần là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1.9 Giả sử a là một chuẩn tắc và σ(a) thuộc R Khi đó, nếu id được định nghĩa là ánh xạ đồng nhất trên σ(a), tức là id(λ) = λ với λ thuộc σ(a), thì id có thể được biểu diễn dưới dạng (id) ∗.
Do đó, theo Định lý phổ ta có a = ρ(id) ∗ ) = (ρ(id)) ∗ = a ∗
Vậy a là tự liên hợp
2.3.2 Định nghĩa ([4]) Toán tử T ∈ L(H) được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu T ∗ T = T T ∗
2.3.3 Hệ quả ([4]) Nếu T là toán tử chuẩn tắc trên không gian Hilbert H thì T là tự liên hợp khi và chỉ khi σ(T) ⊂ R.
Chứng minh Vì H là không gian Hilbert nên L(H) là C ∗ -đại số và T ∈ L(H) nên điều phải chứng minh được suy ra từ Định lý 2.3.1.
2.3.4 Định lý ([4]) Giả sử a là một phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số có đơn vị e Khi đó aa ∗ = e ⇔ σ(a) ⊆ {λ ∈ C: |λ| = 1} := U.
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử a ∗ a = e tức là a ∗ = a −1 Khi đó(a −1 ) ∗ = a ∗∗ = a.
1 = ka −1 ak= ka ∗ ak= |ak 2 và
Từ đó suy ra σ(a) ⊆ ∆ và σ(a −1 ) ⊆ ∆ = {λ ∈ C : kλk ≤ 1} Giả sử λ ∈ σ(a) (M A ) Do đó tồn tại Φ ∈ M A : ba(Φ) = Φ(a) =λ.
Khi đó Φ(a −1 ) −1 (Φ) ∈ ad −1 (M A ) = σ(a −1 )σ∆ Mặt khác
Từ đó suy ra |Φ(a −1 )| = |λk 1 Nếu |λ| < 1 thì |Φ(a −1 )| > 1 Điều này mâu thuẫn vớiΦ(a −1 ) ∈ ∆ Từ đó suy ra |λ| = 1 Do đó σ(a) = {λ ∈ C: |λ|= 1}. Điều kiện đủ Giả sử σ(a) ⊂ U Khi đó ta có id(λ).(id) ∗ (λ) =λ.λ = |λ| 2 = 1, ∀λ ∈ σ(a).
Do đó (id).(id) ∗ = 1 Từ đó theo Định lý phổ ta có e = ρ((id).(id) ∗ ) = ρ(id).ρ(id ∗ ) = a.a ∗
2.3.5 Định lý ([1]) Nếu f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F thì các điều kiện sau tương đương
2.3.6 Hệ quả ([4]) Nếu T là toán tử chuẩn tắc trên không gian Hilbert H thì T là toán tử Unita khi và chỉ khi σ(T) ⊂ {λ ∈ C :|λ| = 1}.
Chứng minh Vì L(H) là C ∗ -đại số nên từ Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.5 suy ra điều phải chứng minh.
2.3.7 Chú ý Trong chứng minh điều kiện cần của Hệ quả 2.3.3, Định lý 2.3.4 và Hệ quả 2.3.5 không cần điều kiện a chuẩn tắc (T chuẩn tắc, tương ứng).
Toán tử T ∈ L(H) trong không gian Hilbert H được xem là toán tử dương nếu điều kiện (T x, x) ≥ 0 được thỏa mãn với mọi x ∈ H Chúng ta sẽ mở rộng khái niệm này để định nghĩa phần tử dương trong bất kỳ C ∗ -đại số nào.
2.3.8 Định nghĩa ([4]) Giả sử A là một C ∗ -đại số và a ∈ A a được gọi là dương và ký hiệu là a > 0 nếu tồn tại b ∈ A sao cho a = b ∗ b.
2.3.9 Nhận xét 1) Nếu tồn tại b ∈ A sao cho a = bb ∗ thì a dương bởi vì a = bb ∗ = (b ∗ ) ∗ b ∗ , b ∗ ∈ A.
2) Nếu lấy A = L(H) với H là không gian Hilbert thì câu hỏi được đặt ra là khái niệm phần tử dương vừa định nghĩa có tương đương với khái niệm toán tử dương trong L(H) hay không? Định lý sau cho ta câu trả lời.
2.3.10 Định lý ([4]) Giả sử H là không gian Hilbert và T ∈ L(H) Khi đó T là toán tử dương khi và chỉ khi T dương.
Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử T dương tức là tồn tại S ∈ L(H) sao cho T = S ∗ S Khi đó
Do đó T là toán tử dương. Điều kiện cần Giả sử T là toán tử dương, tức là (T x|x) ≥ 0, với mọi x ∈ H Khi đó, theo Định lý 2.1.9 ta có σ(T) ⊂ {(T x|x) : kxk = 1} ⊂ [0;∞).
Giả sử f :σ(T)→C là ánh xạ được xác định bởi f(λ) =√ λ, λ ∈ σ(T).
Ta có f ∈ C(σ(T)), f ∗ = f, f ∗ f = id Vì T là toán tử dương nên T là tự liên hợp Do đó T chuẩn tắc Khi đó, theo định lý phổ ta có
2.3.11 Mệnh đề ([4]) Giả sử A là C ∗ -đại số và a ∈ A Khi đó, nếu a > 0 thì a tự liên hợp.
Chứng minh Vì a > 0 nên tồn tại b ∈ A sao cho a = b ∗ b Do đó a ∗ = (b ∗ b) ∗ = b ∗ b= a.
2.3.12 Định lý ([4]) Giả sử a là phần tử chuẩn tắc của C ∗ -đại số A Khi đó, a > 0 khi và chỉ khi σ(a) ⊂ [0;∞).
Chứng minh Giả sử a > 0 Khi đó tồn tại b ∈ A sao cho a = b ∗ b và a tự liên hợp Do đó ta có σ(a) = {ba(Φ) : Φ∈ M B } = {Φ(a) : Φ ∈ M B }
Ngược lại, giả sử σ(a) ⊂[0;∞) Khi đó, hàm f(λ) = √ λ, λ ∈ σ(a) là phần tử của C(σ(a)) và f = f ∗ , f ∗ f = f 2 = id Vì a chuẩn tắc nên theo Định lý phổ ta có a = ρ(f ∗ f) = (ρ(f)) ∗ ρ(f).
Do đó a là phần tử dương
2.3.13 Định lý ([4]) Nếu a là phần tử dương trong C ∗ -đại số có đơn vị thì tồn tại duy nhất b ∈ A = C ∗ (a) sao cho b > 0 và a = b 2
Chứng minh Vì a > 0 nên a = a ∗ , do đó a chuẩn tắc và σ(a) ⊂ [0;∞). Theo chứng minh Định lý trên thì tồn tại b = ρ(f) ∈ A sao cho a = b ∗ b, trong đó f(λ) = √ λ, λ ∈ σ(a) Vì f = f ∗ nên b = ρ(f ∗ ) = (ρ(f)) ∗ = b ∗ Do đó a = b 2
Tiếp theo, ta chứng tỏ b > 0 Xét ánh xạ g(λ) = √ 4 λ, λ ∈ σ(a) Vì σ(a) ⊂ [0,∞) nên g ∈ C(σ(a)) Hơn nữa ta có g = g ∗ và g ∗ g = g 2 = f Do đó b = ρ(f) =ρ(g ∗ g) = (ρ(g)) ∗ ρ(g).
Cuối cùng, giả sử tồn tại x ∈ A, x > 0 sao cho a = x 2 Đặt f 1 = ρ −1 (x). Khi đó, từ tính đẳng cấu của ρ suy ra ρ(f 1 2 ) = x 2 = b 2 = ρ(f 2 ).
Kết hợp với tính song ánh của ρ ta có f 2 = f 1 2 Do đó f = ±f 1 và ta có b = ρ(f) = ±ρ(f 1 ) = ±x.
Giả sử b = −x Khi đó, vì a chuẩn tắc nên A là đại số giao hoán Do đó theo Định lý 1.4.11 ta có σ(b) = {bb(Φ) : Φ ∈ M A }= {Φ(b) : Φ ∈ M A }
Vì b > 0 và x > 0nên theo Định lý 2.3.11, σ(b) ⊂ [0,∞) và σ(x) ⊂ [0,∞). Kết hợp với hệ thức ở trên ta có một điều mâu thuẫn Vậy b = x và ta có điều phải chứng minh.