1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số kết độ đo nhóm tơpơ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Độ đo định lý biểu diễn Riesz 1.3 Nhóm tơpơ Độ đo Haar vài ứng dụng 2.1 Độ đo Haar 15 15 2.2 Một vài ứng dụng độ đo Haar 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Lý thuyết độ đo chủ đề quan trọng toán học, đặc biệt chuyên ngành tốn giải tích Lý thuyết độ đo có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học kỹ thuật, khoa học xã hội Từ lý thuyết độ đo xây dựng xác hệ tiên đề vào khoảng cuối kỷ 19 Lebesgue, Carathedory, phát triển mạnh mẽ công cụ quan trọng hàng đầu để phát triển lĩnh vực toán học khác Tuy nhiên, toán lý thuyết độ đo phong phú khơng tính thời Độ đo Haar lớp độ đo Borel quan trọng, xây dựng nhóm tơpơ Những tính chất tốt độ đo Haar thể thông qua kết hợp cấu trúc tôpô cấu trúc đại số nhóm tơpơ Độ đo Haar có ứng dụng đặc biệt quan trọng nghiên cứu lớp nhóm tơpơ như: nhóm Lie, nhóm tơpơ compact địa phương, nhóm tơpơ giải được, Với mục đích tìm hiểu khái niệm, tồn tại, tính chất số ứng dụng độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương, lựa chọn đề tài cho luận văn là: Độ đo Haar nhóm tôpô compact địa phương vài ứng dụng Nội dung ln văn trình bày kiến thức cần thiết để xây dựng khái niệm độ đo Haar, phương pháp chứng minh tồn độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương, số vài ứng dụng nghiên cứu lớp đại số Banach số tính chất phân bố nhóm tơpơ compact Các nội dung viết thành chương Chương 1: Một số kết độ đo nhóm tơpơ Nội dung chương trình bày kiến thức độ đo nhóm tơpơ sở cho việc xây dựng độ đo Haar Chương 2: Độ đo Haar vài ứng dụng Nội dung chương trình bày khái niệm, tính chất tồn độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương vài ứng dụng nhóm tơpơ compact Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán Tác giả xin cảm ơn thầy, giáo Khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 17 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỘ ĐO VÀ NHÓM TƠPƠ Chương nhằm mục đích trình bày kết lý thuyết độ đo, nhóm tơpơ cần dùng sau 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục chúng tơi trình bày hệ thống kiến thức lý thuyết nhóm, khơng gian tôpô, không gian định chuẩn cần dùng sau Các kết tìm thấy [1] 1.1.1 Định nghĩa Cho G tập hợp khác rỗng phép tốn hai ngơi (x, y) → xy từ G × G → G Ta gọi G nhóm phép tốn thoả mãn điều kiện sau: 1) Phép toán kết hợp, tức a(bc) = (ab)c với a, b c ∈ G; 2) Tồn e ∈ G cho ea = ae = a với a ∈ G; 3) Với a ∈ G tồn b ∈ G cho ab = ba = e Khi e gọi đơn vị nhóm G; phần tử b thoả mãn 3) gọi phần tử nghịch đảo a ký hiệu b := a−1 Dễ thấy (ab)−1 = b−1 a−1 Nhóm G gọi Aben ab = ba với a, b ∈ G 1.1.2 Định nghĩa Tập H nhóm G gọi nhóm G H nhóm với phép tốn cảm sinh từ G Mệnh đề sau kết quen thuộc 1.1.3 Mệnh đề Tập H nhóm nhóm G ab−1 ∈ H với a, b ∈ H 1.1.4 Ví dụ 1) Rn nhóm Aben với phép tốn phép cộng thông thường (theo toạ độ) 2) Đặt Γ = {z ∈ C : |z| = 1} = {eiϕ : ϕ ∈ [0, 2π]} nhóm Aben với phép tốn cảm sinh từ phép nhân thông thường số phức Nhóm cịn gọi nhóm đường trịn Sau ta nhắc lại số vài khái niệm ví dụ tôpô cần dùng sau 1.1.5 Định nghĩa Cho X = ∅, họ τ tập hợp X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện sau 1) ∅, X ∈ τ ; 2) Nếu U1 , U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ ; 3) Với họ {Uα }α∈I ⊂ τ có ∪α∈I Uα ∈ τ Khi (X, τ ) khơng gian tôpô, U ∈ τ gọi tập mở, tập A gọi đóng X \ A mở Cho (X, τ ) không gian tôpô, x ∈ X Mỗi tập hợp V gọi lân cận x tồn tập mở U cho x ⊂ U ⊂ V Cho X = ∅ Ký hiệu P(X) họ tất tập X Khi P(X) tôpô X (X, P(X)) gọi không gian tôpô rời rạc Họ {Uα }α∈I ⊂ τ gọi phủ mở A ⊂ X A ⊆ ∪α∈I Uα Tập A ⊂ X gọi compact phủ mở có phủ hữu hạn Không gian tôpô X gọi compact tập compact Khơng gian tơpơ X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận tập compact Tiếp theo ta nhắc lại số kết không gian Banach cần dùng sau 1.1.6 Định nghĩa Cho E khơng gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian metric với metric sinh chuẩn d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với metric sinh chuẩn 1.1.7 Ví dụ Cho X khơng gian tơpơ compact Khi C(X) = {f : X → C : f hàm liên tục} không gian Banach với chuẩn f = sup |f (x)| x∈X Cho X, Y không gian định chuẩn Ký hiệu L(X, Y ) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Ta biết L(X, Y ) không gian định chuẩn với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ L(X, Y ) x =1 Nếu Y không gian Banach L(X, Y ) khơng gian Banach Đặc biệt L(X, K) = X ∗ không gian liên hợp thứ X không gian Banach Mỗi phần tử X ∗ ta gọi dạng tuyến tính liên tục 1.1.8 Định nghĩa Cho X không gian tôpô hàm số f liên tục X Giá hàm f ký hiệu suppf tập hợp đóng nhỏ X cho f (x) = với x ∈ X \ suppf Ta ký hiệu Cc (X) tập hợp tất hàm số liên tục giá compact X Với phép toán cộng nhân vơ hướng theo điểm X khơng gian tuyến tính Nếu X khơng gian compact địa phương Cc (X) không gian lồi địa phương với tôpô sinh họ nửa chuẩn {pK }, K chạy qua khắp tập compact X, pK (f ) = sup |f (x)|, ∀f ∈ Cc (X) x∈K Các kết tìm hiểu [7] 1.1.9 Định nghĩa Hàm thực φ : Cc (X) → R gọi dạng tuyến tính dương thoả mãn điều kiện sau: 1) φ tuyến tính, tức φ(αf + βg) = αφ(f ) + βφ(g) ∀f, g ∈ Cc (X), ∀α, β ∈ R; 2) Nếu f 0, tức f (x) với x ∈ X φ(f ) 1.2 Độ đo định lý biểu diễn Riesz Mục chúng tơi trình bày hệ thống kiến thức lý thuyết độ đo Các kết trích từ tài liệu [1] [7] 1.2.1 Định nghĩa Cho X = ∅ A họ tập X Họ A gọi đại số thoả mãn điều kiện sau: 1) ∅, X ∈ A; 2) Nếu A ∈ A X \ A ∈ A; 3) Nếu A, B ∈ A A ∪ B ∈ A Họ A gọi σ-đại số thoả mãn 1), 2) ∞ 3’) Nếu {An }∞ n=1 ⊂ A ∪n=1 An ∈ A 1.2.2 Nhận xét 1) Mỗi σ-đại số đại số Ngược lại không Chẳng hạn, cho X = {x1 , x2 , , xn , } tập đếm Xét A họ tập hữu hạn có phần bù hữu hạn X Khi đó, dễ dàng kiểm tra A đại số Tuy nhiên, xét An = {x2n } với n = 1, 2, Khi An ∈ A với n ∪∞ / A Do A khơng phải n=1 An ∈ σ-đại số 2) Giả sử {Aα }α∈I họ đại số (σ−đại số) tập X Khi ∩Aα = {A : A = ∩Aa , Aα ∈ Aα } đại số (σ-đại số) Rõ ràng, họ tất tập P(X) X σ−đại số Do đó, từ nhận xét ta định nghĩa 1.2.3 Định nghĩa 1) Cho B họ tập tuỳ ý X Giao tất σ-đại số chứa B gọi σ-đại số sinh B 2) Cho X không gian mêtric σ-đại số sinh tập mở X gọi σ-đại số Borel Ta ký hiệu σ−đại số Borel X B(X) tập thuộc B(X) gọi tập Borel 1.2.4 Định nghĩa Cho A đại số tập X = ∅ Hàm tập µ : A → R gọi độ đo X thoả mãn: 1) µ(∅) = 0; 2) µ(A) với A ∈ A; 3) Với {An } ⊂ A cho Am ∩ An = ∅ với m = n ∞ n=1 An ∈ A ∞ µ( n=1 ∞ An ) = µ(An ) n=1 1.2.5 Định nghĩa Cho X không gian tôpô µ độ đo X 1) µ gọi độ đo Borel tập Borel µ-đo được; 2) µ quy Borel độ đo Borel với tập Borel A tồn tập mở B ⊃ A cho µ(A) = µ(B); 3) µ độ đo Radon độ đo Borel quy µ(K) < +∞ với tập compact K Trong toàn luận văn tích phân hiểu tích phân Lebesgue Sau phát biểu định lý biểu diễn Riesz Đây kết quan trọng sử dụng nhiều lần chương sau Chứng minh định lý tìm đọc [1] [7] 1.2.6 Định lý Nếu X không gian tôpô compact địa phương Khi đó, phiếm hàm liên tục dương φ Cc (X) tồn độ đo Radon µ X cho φ(f ) = f dµ với f ∈ Cc (X) 1.3 Nhóm tơpơ Mục trình bày hệ thống kiến thức nhóm tơpơ cần dùng để xây dựng độ đo Haar sau Các kết mục trình bày từ [1] 1.3.1 Định nghĩa Một nhóm tơpơ nhóm G trang bị tơpơ τ cho phép tốn (x, y) → xy ánh xạ x → x−1 từ G × G → G G → G liên tục 1.3.2 Ví dụ 1) Cho G nhóm tuỳ ý G ta xác định tơpơ rời rạc Khi đó, G nhóm tơpơ gọi nhóm tơpơ rời rạc 2) Cho E khơng gian định chuẩn Khi đó, E nhóm với phép tốn cộng Vì phép tốn cộng nhân vô hướng E liên tục với tơpơ sinh chuẩn nên E nhóm tơpơ Tổng qt khơng gian véctơ tơpơ nhóm tơpơ với phép tốn cộng Đặc biệt Rn với phép cộng thơng thường (theo toạ độ) nhóm tơpơ 3) Xét nhóm đường trịn Γ = {eiθ : θ < 2π} Với tôpô sinh mêtric cảm sinh từ C, tức d(eiθ , eiϕ ) = (cos θ − cos ϕ)2 + (sin θ − sin ϕ)2 10 Γ nhóm tơpơ compact 1.3.3 Mệnh đề Giả sử G nhóm τ tơpơ G Khi (G, τ ) nhóm tơpơ ánh xạ (a, b) → ab−1 liên tục G × G Chứng minh Nếu (G, τ ) nhóm tơpơ theo định nghĩa (a, b) → ab ánh xạ a → a−1 từ G × G → G G → G ánh xạ liên tục Khi đó, ánh xạ ngược ánh xạ a → a−1 nên đồng phơi Do ánh xạ (a, b) → ab ta thay b b−1 Suy ánh xạ (a, b) → ab−1 liên tục G × G Ngược lại, giả sử ánh xạ (a, b) → ab−1 liên tục G × G Khi đó, ánh xạ (e, b) → b−1 liên tục (trong e đơn vị phép tốn G) Dễ dàng kiểm tra ánh xạ (e, a) → a đồng phôi Suy ánh xạ a → a−1 liên tục Vì ánh xạ ngược ánh xạ a → a−1 nên đồng phơi Do ta thay b−1 b ánh xạ (a, b) → ab−1 Suy ánh xạ (a, b) → ab liên tục Vậy G nhóm tơpơ Giả sử G nhóm tơpơ, A, B ⊂ G a ∈ G Ta định nghĩa xA = {xy : y ∈ A}; Ax = {yx : y ∈ A}; A−1 = {x−1 : x ∈ A} AB = {xy : x ∈ A, y ∈ B} Ta nói A đối xứng A−1 = A 1.3.4 Mệnh đề Cho G nhóm tơpơ Khi đó, ánh xạ sau đồng phôi: 1) Phép tịnh tiến phải Ra : G → G theo phần tử a ∈ G cho trước, xác định Ra (x) = xa với x ∈ G; 2) Phép tịnh tiến trái La : G → G theo phần tử a ∈ G cho trước, xác định La (x) = ax với x ∈ G Chứng minh Từ định nghĩa nhóm tơpơ suy La , Ra liên tục Dễ thấy (La )−1 = La−1 Do (La )−1 liên tục Suy La đồng phôi Tương tự Ra đồng phôi 24 Ta cần chứng minh I(f1 + f2 ) = I(f1 ) + I(f2 ) với f1 , f2 ∈ CR (G) Thật vậy, với ε > chọn αi ∈ G, > 0, i = 1, , m cho m i=1 = m |I(f1 ) − i=1 m i=1 Lαi f2 Đặt φ = ε Lαi f1 (x)| < (2.3) Khi φ ∈ L(f2 ) Do L(φ) ⊂ L(f2 ) Suy L(φ) ⊂ L(f2 ) Suy I(φ) = I(f2 ) Chọn βj ∈ G, bj > 0, j = 1, , n cho n j=1 bj = n I(f2 ) − j=1 ε bj Rβj f < Từ định nghĩa φ suy n m n bj f2 (αi−1 βj−1 x)| |I(f2 ) − m = |I(f2 ) − j=1 i=1 bj Lβj αi f2 (x)| j=1 i=1 n |I(f2 ) − m bj Lβj j=1 n |I(f2 ) − Lαi f2 (x)| i=1 bj Lβj φ(x)| j=1 e (2.4) Trong (2.3), thay x βj−1 x với j = 1, 2, n ta thu m |I(f1 ) − i=1 Từ n j=1 bj ε Lαi f1 (βj−1 x)| < = suy m n Lαi f1 (βj−1 x)| = |I(f1 ) − |I(f1 ) − i=1 m Lαi f1 (βj−1 x)]| [bj j=1 i=1 n m = |I(f1 ) − j=1 i=1 ε bj f2 (αi−1 βj−1 x)| < (2.5) 25 Từ (2.4) (2.5) suy n m bj f2 (αi−1 βj−1 x)| < ε |I(f1 ) + I(f2 ) − j=1 i=1 Vì n j=1 m −1 −1 i=1 bj f2 (αi βj x) ∈ L(f1 + f2 ) suy I(f1 ) + I(f2 ) ∈ L(f1 + f2 ) Từ tính số c(f ) suy I(f1 ) + I(f2 ) = I(f1 + f2 ) Hơn nữa, từ cách xác định c(f ) ta có |I(f )| = |c(f )| max |f (x)| = f x∈G Vậy I liên tục Khẳng định chứng minh Cuối cùng, áp dụng đinh lý biểu diễn Riesz tồn độ đo Radon µ G cho I(f ) = f dµ với f ∈ Cc (G) Từ tính chất I(Lx f ) = I(f ) Nhận xét 2.1.2 ta có µ(xE) = µ(E) với x ∈ G Vậy µ độ đo Haar cần xây dựng Định lý sau chứng tỏ độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương sai khác số Chứng minh định lý tìm thấy [1] 2.1.6 Định lý Nếu µ ν độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương G tồn số c > cho µ = cν 2.1.7 Nhận xét 1) Nếu µ độ đo Haar trái G với x ∈ G µx (E) = µ(Ex) với tập Borel E ⊂ G đo trái G Thật vậy, từ µ độ đo dễ dàng suy µx độ đo Bởi µ độ đo Haar trái nên µx (yE) = µ(yEx) = µ(Ex) = µx (E) 26 với y ∈ G Suy µx độ đo Haar trái 2) Từ Định lý 2.1.6 suy với x ∈ X tồn λ(x) > cho µx = λ(x)µ Nếu µ ν độ đo Haar X tồn c > cho µ = cν Do đó, từ µx = λ(x)µ νx = λ (x)ν suy λ(x) = λ (x) với x ∈ G Như vậy, ta xác định ánh xạ x ∈ G → λ(x) ∈ (0, ∞) gọi hàm modular nhóm G Ta có tính chất sau hàm modular 2.1.8 Mệnh đề Hàm modular đồng cấu từ nhóm G lên nhóm nhân (0, +∞) Chứng minh Với độ đo Haar trái µ nhóm G ta có µxy (E) = µ(Exy) (µx )y (E) = µy (Ex) = µ(Exy) với E ∈ B(G) Vậy µxy = (µx )y Vì µx = λ(x)µ µy = λ(y)µ nên (µx )y = λ(y)µx = λ(y)λ(x)µ Mặt khác µxy = λ(xy)µ Suy λ(xy) = λ(x)λ(y) Vậy λ đồng cấu nhóm 2.1.9 Nhận xét 1) Từ tính chất đồng cấu nhóm ta suy λ(e) = 1 λ(g −1 ) = với g ∈ G λ(g) 2)Với f ∈ Cc (G), ta có f (u)dµ(ux−1 ) Rx f dµ = Rx f (y)dµ(y) = f (yx)dµ(y) = = f (u)dµx−1 (u) = f (u)λ(x−1 )dµ(u) = λ(x−1 ) f dµ 27 Nếu λ(x) = với x ∈ G ta gọi G nhóm unimodular Rõ ràng, nhóm aben nhóm unimodular Người ta cịn chứng minh nhóm compact unimodular Ta biết, µ đo Haar trái µ ˜(E) = µ(E −1 ) với E ∈ B(G) độ đo Haar phải Hơn nữa, ta xác định µ ˜ thơng qua hàm modular sau d˜ µ(x) = λ(x−1 )µ(x) (xem [1]) 2.2 Một vài ứng dụng độ đo Haar Mục chúng tơi trình bày ứng dụng độ đo Haar để xây dựng lớp đại số Banach quan trọng thường gọi đại số nhóm Chúng ta ln giả thiết G nhóm tơpơ compact địa phương, Hausdorff µ độ đo Haar trái G Trước hết ta nhắc lại khái niệm đại số Banach, vài tính chất Các kết chuyên sâu đại số Banach tìm thấy [6] 2.2.1 Định nghĩa Một đại số phức A không gian véctơ A trường C với phép nhân A thoả mãn điều kiện: 1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A 3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C 2.2.2 Định nghĩa Một đại số Banach A đại số phức thoả mãn điều kiện 1) A không gian Banach với chuẩn cho trước 2) xy x y , với x, y ∈ A Đại số Banach A có đơn vị tồn e ∈ A cho ex = xe = x, ∀x ∈ A e = Nếu phép nhân A giao hốn ta gọi A đại số Banach giao hoán Phần tử x ∈ A gọi khả nghịch A tồn y := x−1 ∈ 28 A cho x−1 x = xx−1 = e, x−1 gọi phần tử khả ngịch x Dễ dàng kiểm tra phần tử khả nghịch x tồn phần tử 2.2.3 Định nghĩa Cho A đại số Banach Hàm a ∈ A → a∗ ∈ A gọi phép đối hợp thoả mãn điều kiện sau: i) a∗∗ = a; ii) (a + b)∗ = a∗ + b∗ ; iii) (λa)∗ = λa∗ ; iv) (ab)∗ = b∗ a∗ , với a, b ∈ A λ ∈ C Rõ ràng phép lấy liên hợp đại số C phép đối hợp 2.2.4 Định nghĩa Đại số Banach A gọi đối xứng A tồn phép đối hợp a = a∗ với a ∈ A Ký hiệu L1 := L1 (G) không gian hàm đo a : G → C với |a(g)|dµ(g) < ∞ Khi đó, ta biết L1 không gian Banach với phép tốn cộng, nhân vơ hướng theo điểm chuẩn a = |a(g)|dµ(g) Trên L1 ta xác định phép nhân (a, b) ∈ L1 × L1 → ab ∈ L1 xác định (ab)(g) = a(h)b(h−1 g)dµ(h) (2.6) Hơn nữa, với phép toán L1 đại số phức (xem [6]) Theo 29 định lý Fubini, ta có a(h)b(h−1 g)dµ(h) dµ(g) ab = = b(h−1 g)dµ(g) |a(h)|dµ(h) = b(g)dµ(g) |a(h)|dµ(h) = b |a(h)|dµ(h) = b |a(h)b(h−1 g)|dµ(h)dµ(g) a Như L1 đại số Banach 2.2.5 Nhận xét Nếu G nhóm giáo hốn độ đo Haar trái phải Khi đó, đặt u = h−1 g h = gu−1 dµ(h) = dµ(u) Do (ab)(g) = = a(h)b(h−1 g)dµ(h) b(u)a(gu−1 )µ(u) = b(u)a(u−1 g)µ(u) = ba(g) Vì L1 đại số Banach giao hốn Nói chung L1 đại số Banach khơng có đơn vị Định lý sau khẳng định điều 2.2.6 Định lý L1 chứa đơn vị G nhóm rời rạc Chứng minh Giả sử G nhóm tơpơ rời rạc Khi đó, tập chứa phần tử G có độ đo dương giả thiết (độ đo đếm) Gọi e đơn vị G xét hàm sau E(g) = với g = e với g = e Khi đó, với a ∈ L1 , với g ∈ G, ta có (aE)(g) = a(h)E(h−1 g)dµ(h) = a(g)µ({g}) = a(g) 30 E(h)a(h−1 g)dµ(h) = a(g)µ({E}) = a(g) (Ea)(g) = Suy aE = Ea = a Vậy E đơn vị L1 Ngược lại, L1 chứa đơn vị E(g) Khi đó, ta chứng minh tập mở U G có độ đo dương Khơng tính tổng qt ta giả thiết U chứa đơn vị e G Nếu U có độ đo |E(g)|dµ(g) < ε < U Gọi V lận cận cân e cho V ◦ V ⊂ U χV hàm đặc trưng V Khi đó, với g ∈ V ta có χV (g) = (eχV )(g) = = e(h)χV (h−1 g)dµ(h) e(h)dµ(h) gV |e(h)|dµ(h) ε < U Mâu thuẫn với χV (g) = Vì U có độ đo dương từ chứng minh suy tồn δ > cho µ(U ) > δ với tập mở U Bây từ tính compact địa phương G suy tồn lân cận mở W e cho W compact Vì độ đo Haar độ đo Radon nên µ(W ) = c < ∞ Chọn số tự nhiên n cho na > c Nếu W chứa vô hạn phần tử {x1 , x2 , , xk , } phương pháp quy nạp tính Hausdorff G ta tìm lận cận V1 , Vn e cho tập xi Vi ⊂ W rời Khi đó, ta có n c = µ(W ) µ( n xi V i ) = i=1 µ(xi Vi ) na > c i=1 Ta nhận mâu thuẫn Vậy W tập hữu hạn Vì W tập mở nên tơpơ G tôpô rời rạc 2.2.7 Nhận xét 1) Nếu G nhóm hữu hạn phép nhân L1 31 xác định sau a(h)b(h−1 g) (ab)(g) = h∈G 2) Nếu G = (−∞, +∞) = R phép nhân L1 tích chập thơng thường +∞ (ab)(x) = a(y)b(x − y)dy −∞ Tiếp theo ta nghiên cứu vài tính chất đại số L1 Trước hết với x ∈ L1 g0 ∈ G ta xác định hàm xg0 (g) = x(gg0 ), xg0 (g) = x(g0−1 g) với g ∈ G 2.2.8 Mệnh đề Các hàm xg0 xg0 liên tục theo biến g0 không gian L1 Chứng minh Với ε > 0, tập hợp hàm liên tục, giá compact G trù mật L1 nên ta tìm x ∈ Cc (G) cho x−x ε < Khi ε với g ∈ G Từ tính liên tục x G ta có, tồn lân cận xg − xg < U đơn vị e cho |x (h) − x (g)| < ε 3µ(K) với h−1 g ∈ U , K giá x Với s ∈ G ta có h−1 g = h−1 s(g −1 s)−1 ∈ U , suy |xg (s) − xh (s)|x (g −1 s) − x (h−1 s| < ε 3µ(K) 32 Suy xg − xh = |xg (s) − xh (s)|dµ(s) < ε 3µ(K) ε dµ(s) = K Khi đó, với h, g ∈ U ta có xh − xg xh − xh + xh − xg + xg − xg < ε ε ε + + = ε 3 Bất đẳng thức chứng tỏ xg liên tục (theo biến g) không gian L1 Chứng minh tương tự ta nhận kết cho xg 2.2.9 Chú ý 1) Với lân cận U đơn vị e G Ta ký hiệu zU ∈ L1 hàm không âm với giá U cho zU (h)dµ(h) = Với x ∈ L1 , ta có zU (h)x(h−1 g)dµ(h) = (zU x)(g) = zU (h)xh dµ(h) Suy zU x − x = = |(zU x)(g) − x(g)|dµ(g) = zU (h)xh dµ(h) − | zU (h)xh dµ(h) − x(g)|dµ(g) zU (h)dµ(h)x(g) dµ(g) zU (h)|xh (g) − x(g)|dµ(h)dµ(g) = |xh (g) − x(g)|dµ(g) zU (h)dµ(h) = xh − x U zU (h)dµ(h) = xh − x Từ chứng minh Mệnh đề 2.2.8, với ε > 0, ta chọn U cho U cho xh − x < ε 33 với h ∈ U Suy zU x − x < ε Điều có nghĩa xấp xỉ x ∈ L1 phần tử có dạng zU x 2) Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwatz kết suy với x ∈ L2 (G) ta có zU x − x |(zU x)(g) − x(g)|2 dµ(g) < ε = với lận cận compact U e Với a ∈ L1 , ta đặt a∗ (g) = [λ(g)]−1 a(g −1 ), λ hàm modular G Ta có tính chất sau 2.2.10 Mệnh đề Với a ∈ L1 ta có a∗ ∈ L1 a∗ = a Hơn nữa, ánh xạ a ∈ L1 → a∗ ∈ L1 phép đối hợp L1 Chứng minh Với a ∈ L1 , ta có a ∗ ∗ |a(g −1 )| dµ(g) λ(g) = |a (g)|dµ(g) = = |a(g −1 )|dµr (g) = = |a(g)|dµ(g) = a < +∞ |a(g)|λ(g)dµr (g) Suy a∗ ∈ L1 Với a ∈ L∗ , ta có a∗ (g) = a(g −1 ) λ(g) suy a (g −1 )−1 a∗ (g −1 ) a (g) = = = a(g) λ(g) λ(g) λ(g −1 ) ∗∗ với g ∈ G Vậy a∗∗ = a Đẳng thức (a + b)∗ = a∗ + b∗ (αa)∗ = αa∗ suy dễ dàng từ định nghĩa Ta cần kiểm tra (ab)∗ = b∗ a∗ với 34 a, b ∈ A Ta có (ab)∗ (g) = (ab)(g −1 ) = λ(g) a(h)b(h−1 g −1 )dµ(h) λ(g) (2.7) Mặt khác (b∗ a∗ )(g) = b∗ (h)a∗ (h−1 g)dµ(h) = b(h−1 ) a((h−1 g)−1 ) dµ(h) = λ(h) λ(h−1 g) = b(h−1 )a(g −1 h) dµ(h) λ(g) b(h−1 )a(g −1 h) dµ(h) λ(h)λ(h−1 g) Đặt u = g −1 h Khi h−1 = g −1 u−1 Hơn nữa, µ bất biến trái nên du = dh Suy ∗ ∗ (b a )(g) = = b(h−1 )a(g −1 h) dµ(h) = λ(g) b(g −1 h−1 )a(h) λ(g) b(g −1 u−1 )a(u) dµ(u) λ(g) (2.8) dµ(h) Từ cơng thức (2.7) công thức (2.8), ta nhận (ab)∗ = b∗ a∗ Ta dễ dàng nhận hệ sau 2.2.11 Hệ L1 đại số đối xứng Cuối ta nghiên cứu số ánh xạ bất biến với phân bố nhóm tơpơ compact 2.2.12 Định nghĩa Một phân bố nhóm tơpơ compact G dạng tuyến tính liên tục u: Cc (G) → R Nếu f ∈ Cc (G) giá trị u f , ký hiệu u(f ) Cho f : G → G ánh xạ riêng liên tục u phân bố G Khi ánh xạ f∗ u : xác định bởi: (f∗ u)(ϕ) = u(ϕ ◦ f ), 35 với ϕ ∈ Cc (G), ánh xạ riêng nghĩa nghịch ảnh tập compact tập compact 2.2.13 Định nghĩa Một phân bố u gọi bất biến trái (tương ứng bất biến phải) G (Lg )∗ u = u, (tương ứng (Rg )∗ u = u,) ∀g ∈ G Một phân bố u gọi song bất biến G vừa bất biến trái bất biến phải G Giả sử G nhóm tơpơ compact Khi đó, độ đo Haar µ G độ đo trái phải Hơn nữa, độ đo Radon nên độ đo hữu hạn Do đó, ta giả thiết µ(G) = Ta dùng ký hiệu dg thay cho dµ(g) Với phân bố u, ta đặt πG u(f ) = ((Lg )∗ u)(f )dg, ∀f ∈ Cc (G) (2.9) G Định lý sau đưa số tính chất thú vị hàm πG 2.2.14 Định lý Giả sử u phân bố trên nhóm tơpơ compact G Khi i) πG ánh xạ tuyến tính ii) πG u bất biến trái G iii) Nếu u bất biến trái G πG u = u Chứng minh i) Giả u1 , u2 phân bố G, ∀f ∈ Cc (G), ∀α, β ∈ R, ta có: ((Lg )∗ (αg1 + βg2 ))(f )dg πG (αu1 + βu2 )(f ) = G ((Lg )∗ u2 )(f )dg ((Lg )∗ u1 )(f )dg + β =α G G = (απG u1 )(f ) + β(πG u2 )(f ) = (απG u1 + βπG u2 )(f ), ∀f ∈ Cc (G) 36 Do πG (αu1 + βu2 ) = απG u1 + βπG u2 Vậy πG ánh xạ tuyến tính ii) Giả u1 , u2 phân bố G, ∀f ∈ Cc (G), ∀g, h ∈ G, ta có: (Lg )∗ πG u (f ) = πG u(f ◦ Lg ) ((Lh )∗ u)(f ◦ Lg )dh = G = (Lg )∗ (((Lh )∗ u)(f ))dh G = ((Lg ◦ Lh )∗ u)(f )d(gh) G = ((Lgh )∗ u)(f )d(gh) G = πG u(f ), ∀f ∈ Cc (G) Suy (Lg )∗ πG u = FG u Vậy πG u bất biến trái G iii) Giả sử u phân bố bất biến trái G f ∈ Cc (G), ta có: πG u(f ) = ((Lg )∗ u)(f )dg = G G = u(f ) dg = u(f ), ∀f ∈ Cc (G) G Do πG u = u u(f )dg 37 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày hệ thống vấn đề sở nhóm tơpơ, độ đo để xây dựng độ Haar nhóm tơpơ compact địa phương Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt Mệnh đề 1.3.3, Mệnh đề 1.3.5 2) Trình bày khái niệm, ví dụ tính chất độ đo Haar Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.6, Nhận xét 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8 Trình bày phương pháp chứng khác với tài liệu [1] tồn độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương, Định lý 2.1.5 3) Dựa vào độ đo Haar, chúng tơi trình bày cách xây dựng lớp đại số Banach (cịn gọi đại số nhóm) Chứng minh số kết liên quan đến đại số nhóm mà tài liệu đưa không chứng minh tính chất đơn vị (Định lý 2.2.6), tính đối xứng (Mệnh đề 2.2.10) Đưa tính chất tính bất biến phân bố nhóm tơpơ compact thông qua lớp ánh xạ (Định lý 2.2.14) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, NXB Giáo Dục [2] Bourgade P (2009), Conditional Haar measures on classical compact groups, Ann Probab 37, no 4, 1566-1586 [3] Dedic L (1990), On Haar measure on SL(n, R), Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 47(61), 56-60 [4] Kushnirsky E (2004), On some Haar measures on reductive groups, Amer J Math 126, no 3, 649-670 [5] Milnes P (1992), Haar measure and compact right topological groups, Bull Austral Math Soc 45, no 3, 399-413 [6] Naimark, M A (1972),Normed algebras, Translated from the second Russian edition by Leo F Boron Third edition WoltersNoordhoff Series of Monographs and Textbooks on Pure and Applied Mathematics Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen [7] Rudin W (1987), Real and complex analysis, Third edition, McGraw-Hill Book Co., New York ... thức độ đo nhóm tơpơ sở cho việc xây dựng độ đo Haar Chương 2: Độ đo Haar vài ứng dụng Nội dung chương trình bày khái niệm, tính chất tồn độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương vài ứng dụng nhóm. .. là: Độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương vài ứng dụng Nội dung ln văn trình bày kiến thức cần thiết để xây dựng khái niệm độ đo Haar, phương pháp chứng minh tồn độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa. .. độ đo Haar nhóm tơpơ compact địa phương vài ứng dụng nhóm tơpơ compact 2.1 Độ đo Haar Mục trình bày khái niệm, tính chất tồn độ đo Haar Các kết trích từ [1] 2.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm tơpơ compact