Kián thực cỡ sð
Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao
1.3.1 H m ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵn ành thực Kazorati DĐu hiằu nhên biát phử thuởc tuyán tẵnh
1.3.2 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp n thuƯn nhĐt
1.3.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt hằ số hơng1.3.4 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
MậT VI ÙNG DệNG CếA PHìèNG TRNH
Mởt số ựng dửng khĂc
CH×ÌNG1 KIN THÙC CÌ SÐ
1.1 KhĂi niằm vã sai phƠn
X²t h m số mởt bián thỹc y(t) v h >0. ành nghắa 1.1.1 Biºu thực:
∆y(t) = y(t+h)−y(t) (1.1) ữủc gồi l sai phƠn hỳu hÔn thự nhĐt hay sai phƠn hỳu hÔn cĐp mởt cừa y(t).
Mở cách tỹ nhiển ta sẽ mớc ảnh hưởng của hàm y(t) là xác định tổ hợp các yếu tố mà ta tiến hành xem xét Chú ý rằng trong lý thuyết vi phân, hàm chính là số gia của đối số, còn ∆y(t) chính là số gia của hàm số tại điểm t Trong tài liệu của chúng ta, số h còn có tản gồi là bứt Sai phân hữu hạn có thể được sử dụng để xác định bội biểu thức.
Vẵ dử 1.1.2 ối vợi n = 2 ta cõ:
= (y(t+ 2h)−y(t+h)−(y(t+h)−y(t)) = y(t+ 2h)−2y(t+h) +y(t). º tiằn lủi v nhĐt quĂn vã m°t logic ta s³ kẵ hiằu ∆ 0 y(t) = y(t) Bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc khổng khõ º chựng minh ữủc sai phƠn hỳu hÔn bêc n l tuyán tẵnh, tực l :
GiĂ trà ∆ n y(t) dạ d ng ữủc biºu diạn qua giĂ trà cừa h m y(t) tÔi cĂc iºm t, t+h, , t+ nh Ta cõ ữủc cổng thực sau Ơy:
Ta i chựng tọ cổng thực trản bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc.
Hiºn nhiản vợi n = 1 cổng thực (1.3) cõ dÔng ∆y(t) = −y(t) +y(t+ h), chẵnh l (1.1) GiÊ sỷ (1.3)thọa mÂn khi ối vợi sai phƠn hỳu hÔn cĐp n−1, ta câ:
(−1) n−k−1 C n−1 k y(t+kh). Ð sè h¤ng thù nh§t ta °t k+ 1 = m, khi â: n−1
(−1) n−m C n−1 m−1 y(t+ mh), v lÔi viát m := k, ta nhên ữủc biºu thực P n k=1
M°t khĂc ta lÔi cõ C n−1 k−1 +C n−1 k = C n k v C n−1 0 = C n−1 n−1 = 1 Do õ cổng thực cuối ta viát ữủc dữợi dÔng:
Cổng thực (1.3) chứng minh rằng trong cổng thực, ta có thể thể hiện phép biến đổi của số m = n−k và sự dụng cổng thực C(n, k) = C(n, n−k) Khi áp dụng điều này, chúng ta nhận thấy tính chất đối xứng trong các tổ hợp.
Mởt cĂch ho n to n tữỡng tỹ, bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, ta cụng chựng minh ữủc cổng thực: y(t+ nh) n
C n k ∆ k y(t)) (1.5) ành nghắa 1.1.3 Phữỡng trẳnh cõ dÔng:
F(t, y(t), y(t+h), , y(t+nh)) = 0 (1.6) ữủc gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn.
Náu trong (1.6) ta biºu diạn cĂc sai phƠn hỳu hÔn bợi cổng thực (1.3) thẳ ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
G(t, y(t), y(t+h), , y(t+nh)) = 0 (1.7) ành nghắa 1.1.4 Phữỡng trẳnh (1.7) ữủc gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn c§p n.
Vẵ dử 1.1.5 XĂc ành bêc cừa phữỡng trẳnh sau Ơy:
Để giải phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng biến đổi sau: ∆³y(t) + ∆²y(t) - ∆y(t) - y(t) = y(t + 3h) - 2y(t + 2h) Khi đặt τ = t + h, ta nhận được phương trình y(τ + h) - 2y(τ) = 0, đây là một phương trình sai phân cấp mở Điều này có nghĩa là hàm liên tục y(t) được gọi là nghiệm của phương trình (1.7) nếu thay thế nó vào phương trình ta sẽ nhận được nghiệm thực cho phương trình đó.
Vẵ dử 1.1.7 H m sốy = 3 t l nghiằm cừa phữỡng trẳnhy(t+2)−9y(t) 0 trản R.
Ró r ng mồi h m số cõ dÔng y(t) = C(t)3 t , vợi C(t) l h m tuƯn ho n vợi chu ký T = 2 cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho.
Tiáp theo ta s³ luổn giÊ sỷ h = 1 Khi õ phữỡng trẳnh (1.7) cõ dÔng:
G(t, y(t), y(t+ 1), , y(t+n)) = 0 (1.8) ành nghắa 1.1.8 Nghiằm (rới rÔc) cừa phữỡng trẳnh (1.8) tữỡng ựng t¤i iºm t0 ∈ Z + l chuéi sè y0, y1, , yk, sao cho:
G(t 0 +k, y k , , y k+n ) = 0 (1.9) vợi k = 0,1,2, , cỏn Z + l têp cĂc số nguyản dữỡng.
Bài toán Cauchy liên quan đến việc tìm nghiệm của phương trình (1.7) nhằm xác định y(t) với các điều kiện ban đầu y(t₀) = y₀, y(t₀ + 1) = y₁, , y(t₀ + n−1) = yₙ₋₁ Các giá trị y₀, y₁, , yₙ₋₁ được gọi là các giá trị ban đầu của nghiệm y(t), trong đó t₀ được xác định là thời điểm ban đầu.
Náu y(t) là nghiệm liên tục của phương trình (1.7) trên khoảng [t0, +∞), và khi xét dãy y(t0), y(t0 + 1), , y(t0 + k), thì nó sẽ là nghiệm rời rạc của (1.7) Tiếp theo, ta đặt t0 = 0 Khi y(t) là nghiệm rời rạc, ta sẽ viết dưới dạng y(t) và thực hiện các bước xác định các giá trị của nghiệm.
Chúng ta giỷ sỷ phữỡng trẳnh (1.7) ch¿ cõ thº giÊi ữủc tữỡng ựng ối vợi y(t+ n) v y(t), tực l biºu diạn ữủc dữợi dÔng: y(t+n) = Φ1(t, y(t), y(t+ 1), , y(t+n−1)) (1.10) v y(t) = Φ 2 (t, y(t+ 1), , y(t+n)) (1.11)
Náu h m Φ 1 (t, u 1 , u 2 , , u n ) xác định bì và phải cửa phương trình (1.10) nhằm xác định tối ưu điểm t ∈ Z + và giá trị cửa u 1 , u 2 , , u n theo một nghiệm rời rạc duy nhất được xác định, nếu với mỗi số t 0 ∈.
Z+, y0, y1, , yn−1 ữủc cho trữợc Lúc õ biºu thực yn+k = Φ1(t0 + k, y k , y n+k−1 ) biºu diạn cổng thực truy hỗi, º thổng qua õ ra xĂc ành ữủc y n , y n+1 ,
Tiáp theo, º i án khĂi niằm iºm duy nhĐt nghiằm Cauchy cừa phữỡng trẳnh (1.7), ta xem x²t mởt vẵ dử ỡn giÊn sau Ơy:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu khác nhau Cụ thể, với điều kiện y(0) = 1, ta thu được dãy số 1, 1, , 1, trong khi với điều kiện y(0) = -1, dãy số trở thành -1, 1, , 1 Điều này cho thấy sự tồn tại của các nghiệm khác nhau tùy thuộc vào điều kiện ban đầu Hơn nữa, một nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy được xác định bởi tập hợp các giá trị (t0, y0, y1, , yn−1) ∈ Z+ × Rn, nếu nó thỏa mãn các điều kiện ϕ(t0) = ϕ0, ϕ(t0 + 1) = ϕ1, , ϕ(t0 + n−1) = ϕn−1.
(yk, yk+1, , y k+n−1 ) 6= (ϕ 1 , ϕk+1, , ϕ k+n−1 ), tực l vợi cĂc iãu kiằn khĂc nhau thẳ sinh ra cĂc nghiằm khĂc nhau.
Phương trình sai phân có dạng vỏ số nghiệm, có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán trong thực tế Một ví dụ điển hình là phương trình y''(t+1) + y''(t) + 1 = 0, thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị tại các thời điểm khác nhau.
Náu nhữ ỏi họi h mΦ2(t, u1, u2, , u2) và phải cừa phương trình (1.11) thỏa mãn các điều kiện tường tự như các điều kiện đối với Φ1(t, u1, u2, , u2) nhằm đảm bảo tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy Định nghĩa 1.1.11 chỉ ra rằng D là một tập con của không gian n+1 chiều.
R n+1 v mối iºm cừa D ãu l iºm tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn Cauchy (1.7) H m y(t) = y(t, C 1 , , C n ) ữủc gồi l nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.7), náu thọa mÂn hai iãu kiằn:
1 Vợi mồi giĂ trà cho trữợc C1, , Cn h m  cho l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.7),
2 Mồi nghiằm cừa b i toĂn Cauchy (1.7) vợi iãu kiằn Ưu ữủc lĐy tứ
D cõ thº nhên ữủc tứ nghiằm tờng quĂt mởt cĂch duy nhĐt.
1.2 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt
∆y(t) =f(t), t ∈ Ω 0 (1.12) hay y(t+ 1) = y(t) +f(t) °t v o phữỡng trẳnh cuối lƯn lữủt cĂc giĂ trà t = t0, t = t0 + 1, , t = n− 1, rỗi cởng dỗn lÔi v tián h nh ời bián n:= t ta nhên ữủc: y(t) = C + t−1
X k=t 0 f(k), C = y(t0) (1.13) º ỵ rơng phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởty 0 (x) = f(x) tữỡng ựng vợi (1.13) câ d¤ng: y(x) =C +
BƠy giớ ta tián h nh xem x²t phữỡng trẳnh: y(t+ 1) = y(t)p(t), p(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 (1.14) LƯn lữủt °t v o (1.14) cĂc giĂ trà t= t0, t = t0+ 1, , t = n−1 rỗi nhƠn vá vợi vá, sau õ thỹc hiằn ời bián n := t, ta nhên ữủc: t
Náu y(t 0 ) 6= 0 thẳ tứ iãu kiằn p(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 suy ra y(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 GiÊn ữợc cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh (1.15) cho Qt−1 k=t 0y(k) 6= 0, ta nhên ữủc cĂc nghiằm khổng suy bián c ua phữỡng trẳnh (1.14). y(t) =y(t0) t−1
Y k=t 0 p(k), y(t0) 6= 0 (1.16) °t y(t 0 ) := C ta nhên ữủc nghiằm tờng quĂt cừa (1.15) cõ dÔng: y(t) = C t
Chú ý rằng, trong trường hợp phương trình (1.17) có chứa hằng số C bằng 0, ta có thể rút gọn biểu thức thành phương trình (1.15) Điều này cho thấy, khi áp dụng lối vào cổng thực của phương trình vi phân cấp một với biến số phân ly y, ta nhận được công thức y(x) = Ce.
Phữỡng trẳnh (1.14) cỏn ữủc coi l trữớng hủp riảng cừa phữỡng trẳnh sau ¥y: y(t+ 1) = p(t)y(t) + f(t), p(t) 6= 0, t ∈ Z + (1.19)
Bài viết này trình bày về việc xây dựng nghiệm tường quát của phương trình trạng thái dưới sự giải quyết của bội Lagranger Chúng ta sẽ xem xét phương pháp xây dựng nghiệm tường quát cho phương trình trạng thái, được gọi là phương pháp biến thiên hướng số hay còn gọi là phương pháp Lagranger Trong đó, C trong (1.19) được coi như là một hàm phụ thuộc vào t, với y(t) = C(t) t−1.
Y k=t 0 p(k) (1.20) cho ta nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.19) °t (1.20) v o (1.19) ta nhên ữủc:
Phữỡng trẳnh cuối cõ dÔng (1.12), do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh trản cõ thº viát ữủc dữợi dÔng (1.13) :
! −1 °t biºu thực nhên ữủc ối vợi C(t) v o (1.20) ta thu ữủc: y(t) t−1
Ta tián h nh xem x²t thảm mởt phữỡng phĂp nỳa º xĂc ành nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.19), cõ tản gồi l phữỡng phĂp Becnulli Ta s³ i tẳm y(t) dữợi dÔng y(t) =u(t)v(t) Ta cõ: y(t+ 1) = u(t+ 1)v(t+ 1) = p(t)u(t)v(t) +f(t), u(t+ 1)∆v(t) =p(t)u(t)v(t)−u(t+ 1)v(t) +f(t).
Ta chồn h mu(t)sao chou(t+1) = u(t)p(t), vẵ dử nhữu(t) =Q t−1 k=t
0p(k). Cỏn h m v(t) ữủc xĂc ành tứ phữỡng trẳnh u(t+ 1)∆v(t) = f(t) Hay
0p(k) −1 , do dõ theo (1.13) ta nhên ữủc: v(t) = C + t−1
Cổng thực cuối cùng của phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng y' = p(x)y + f(x), trong đó y(x) được biểu diễn dưới dạng hàm số mũ Phương pháp giải phương trình này cho phép xác định các giá trị của y(x) thông qua các hàm số liên quan đến p(x) và f(x), giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hệ thống.
Trong nghiên cứu về mối quan hệ giữa các biến trong hệ thống, chúng ta nhận thấy rằng trong phương pháp tính toán, giá trị của số bản tràn nhọ hơn giá trị của số bản dữ liệu thực tế Đặc biệt, trong phương pháp tính toán nhân, có thể xảy ra hiện tượng giá trị bằng 1 Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phương trình sai phân cấp một Riccati với dạng sau: y(t+ 1)y(t) + ay(t+ 1) + by(t) + c = 0, với a, b, c là các hằng số thực Thực hiện phép biến đổi y(t) = u(t) + δ, với δ là một hằng số, chúng ta có được phương trình mới: u(t+ 1)u(t) + (a+δ)u(t+ 1) + (b+δ)u(t) + δ² + (a+b)δ + c = 0.
LĐy δ chẵnh l giĂ trà nghiằm cừa phữỡng trẳnh δ 2 + (a + b)δ + c = 0.Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh u(t) = 0 tữỡng ựng vợi nghiằm y(t) = δ Náu cho y(t) 6= δ, thỹc hiằn ph²p ời bián v(t) = u(t) 1 = y(t)−6 1
Khi õ ối vợi v(t) ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
(b+δ)v(t+ 1) + (a+δ)v(t) + 1 = 0 náu b+δ 6= 0 v a+δ 6= 0 thẳ Ây chẵnh l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt Náu b+ δ = 0 thẳ ta cõ ữủc c = ab, tữ a+δ = 0 ta cụng nhên ữủc c = ab.
Phữỡng trẳnh (1.22) trong trữớng hủp n y (a+δ = 0) cõ dÔng y(t+ 1) y(t) +ay(t+ 1) +by(t) +ab = 0, hay [y(t+ 1) +b][y(t) +a] = 0 Ph÷ìng trẳnh nhên ữủc ch¿ cõ hai nghiằm y(t) = −b v y(t) =−a.
Phương trình y(t+1)y(t) + 2y(t+1) + y(t) - 4 = 0 có thể được giải bằng cách thay thế biến y(t) bằng u(t) + δ, trong đó δ là nghiệm của phương trình bậc hai δ² + 3δ - 4 = 0 Từ đó, ta tìm được δ = 1, dẫn đến phương trình u(t+1)u(t) + 3u(t+1) + 2u(t) = 0 Khi u(t) = 0, ta có nghiệm y(t) = 1 cho phương trình ban đầu Tiếp theo, khi thay u(t) = e(t), ta nhận được phương trình mới, trong đó y(t) không bằng 1.
2. Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh n y tẳm ữủc theo cổng thực (1.21), v °t v o t0 = 0 Ta cõ ữủc: v(t)
− 1 5 Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh ban Ưu ữủc cho bði cổng thực: y(t) = 1
C − 3 2 t − 1 5 + 1 º ỵ rơng nghiằm y(t) = 1 cõ thº nhên ữủc mởt cĂch hẳnh thực khi trong cổng thực nghiằm tờng quĂt ta cho C = ∞.
Vẵ dử 1.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh: p(t)y(t+ 1) +q(t)y(t+ 1)y(t)−y(t) = 0, p(t) 6= 0, t ∈ Z + v xem x²t trữớng hủp riảng khi p(t) = 2, q(t) = 3.
Chú ỵ rơng y(t) = 0 l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho Tiáp theo ta °t v(t) = y(t) 1 (tực l i tẳm nhỳng nghiằm y(t) 6= 0 ), nhên ữủc phữỡng trẳnh v(t+ 1) = p(t)v(t) +q(t) vợi nghiằm tờng quĂt l v(t) t−1
Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l y(t) = 1 v(t)
−1 v nghiằm y(t) = 0 Trong trữớng hủp p(t) = 2, q(t) = 3 ta cõ ữủc: y(t) = C2 t −3 −1
1.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao
1.3.1 H m ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh. ành thực Kazorati DĐu hiằu nhên biát phử thuởc tuyán tẵnh ành nghắa 1.3.1 CĂc h m số ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) ữủc gồi l phử thuởc tuyán tẵnh trản têp Ω, náu tỗn tÔi bở số C 1 , C 2 , , C n khổng ỗng thới bơng khổng º cho ¯ng thực sau ữủc thọa mÂn:
C1ϕ1(t) +C2ϕ2(t) + + Cnϕn(t) = 0, t ∈ Ω. ành nghắa 1.3.2 CĂc h m số ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) ữủc gồi l ởc lêp tuyán tẵnh trản têp Ω, náu tứ ¯ng thực
Ta lữu ỵ mởt v i tẵnh chĐt hiºn nhiản sau Ơy cừa cĂc h m phử thuởc tuyán tẵnh:
1 Náu trong cĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) cõ h m l khổng thẳ cĂc h m  cho phử thuởc tuyán tẵnh.
2 CĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) l phử thuởc tuyán tẵnh khi v ch¿ khi cõ mởt h m biºu thà dữợi dÔng tờ hủp tuyán tẵnh cừa cĂc h m cỏn lÔi.
3 Náu trong cĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) cõ k h m phử thuởc tuyán tẵnh (k < n), thẳ cĂc h m ( n h m) l phử thuởc tuyán tẵnh.
