1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Phan trọng hồng Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ Chuyên ngành: giải tích Mã số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phan lê na Vinh - 2009 Mục lục Trang lời nói đầu 3 Chơng I. Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định .5 1.1. Tính ổn định của phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 5 1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 7 1.3. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân phi tuyến . . . 15 1.4. Ma trận Hermite .17 1.5. Phổ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất 19 Chơng II. Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ . .20 2.1.Tính ổn định của hệ sai phân .20 2.2. Các kí hiệu và bổ đề .22 2.3. Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận 24 kết luận 32 tài liệu tham khảo 33 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn, với lí do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ và đ- ợc áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng . Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống đợc nhiều nhà toán học nghiên cứu, ngời đầu tiên đặt nền móng cho lĩnh vực này là V.lyapunov và đến nay đã trở thành một hớng nghiên cứu trong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa của hệ điều khiển. Trong thc t, cỏc h ng lc phn ln c mụ t bi cỏc phng trỡnh toỏn hc phi tuyn. gii bi toỏn n nh cỏc h phi tuyn Lyapunov ó a ra hai phng phỏp: - Phng phỏp th nht: nghiờn cu tớnh n nh thụng qua s m Lyapunov hoc da trờn h xp x tuyn tớnh. Nu v phi tt, cú th xp x h ó cho bng h tuyn tớnh tng ng, thỡ tớnh n nh khi ú s c rỳt ra t tớnh n nh h xp x tuyn tớnh. - Phng phỏp th hai (phng phỏp trc tip): da vo s tn ti ca mt lp hm trn c bit gi l hm Lyanpunov m tớnh n nh ca h c th trc tip qua du ca o hm theo hm v phi ca h ó cho. Nội dung của đề tài là dựa vào bài báo của hai tác giả Sreten B.Stojanovic, Dragutin Lj. Debeljkovic (2004) về ổn định tiệm cận khi xét phơng trình sai phân có thời gian trễ = +=+ n j jj hkxAkxAnx 1 0 )()()1( để tìm hiểu và nghiên cứu một số điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ. 3 . Luận văn gồm hai chơng: Chơng 1. Trình bày Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov, gồm các nội dung sau: 1.1. Tính ổn định của phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov 1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 1.3. tính ổn định của hệ phơng trình vi phân phi tuyến 1.4. Ma trận Hermite 1.5. Phổ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất Chơng 2. Về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ. Đây là nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau: 2.1. Các kí hiệu và bổ đề. 2.2. Tính ổn định của hệ sai phân 2.3. Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của cô giáo TS. Phan Lê Na. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo đã dành cho tác giả những sự quan tâm và giúp đỡ tận tình trong quá trình hoàn thành luận văn. Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh, đặc biệt là các Thầy cô giáo trong tổ Giải tích cùng các bạn học viên cao học 15 Toán, những ngời đã quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Rất mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè. Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHNG 1 MT S KIN THC CA Lí THUYT N NH PHNG trình vi phân theo nghĩa liapunov 4 Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định. VÝ dô các khái niệm về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ma trận Hermite, phæ cña hÖ ph- ¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh và tính chất cơ bản đối với các hệ vi phân (xem [1], [2],[3][4]). 1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân theo nghĩa Liapunov Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân x & = f(t, x) , t ≥ 0 (1.1) trong đó x(t) ∈ R n là vectơ trạng thái hệ, f: R + × R n → R n là hàm vectơ cho trước. Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0 luôn có nghiệm. Khi đó nghiệm được cho bởi công thức x(t) = x 0 + 0 ( , ( )) ∫ t t f s x s ds . 1.1.1 Định nghĩa ([3]). Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số 0 > e ,t 0 ≥ 0 sẽ tồn tại 0 > δ (phụ thuộc vào 0> ε , t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t 0 ) = y 0 của hệ thoả mãn 0 0 y x− < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức ( ) ( )y t x t− < , ε ∀t ≥ t 0 . Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiÖm khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thời gian t ≥ t 0 . 1.1.2 Định nghĩa ([3]). Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số 0 > δ sao cho với 0 0 y x− < δ thì lim ( ) ( ) 0 t y t x t →∞ − = . Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y 0 gần với giá trị ban đầu x 0 sẽ tiến tới gần x(t) khi t → ∞ . Khi đó: 5 - Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ 0 > ε , t 0 ∈ R + sẽ tồn tại số 0 > δ (phụ thuộc vào ε , t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn 0 x < δ thì t x < ε với mọi t ≥ t 0 . - Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số 0 > δ sao cho nếu 0 x < δ th× lim ( ) 0 t x t →∞ = . Nếu số 0 > δ trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban đầu từ t 0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều). 1.1.3 Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 thoả mãn ( )x t ≤ 0 ( )t t Me δ − − , ∀t ≥ t 0 tức l nghià ệm 0 của hệ kh«ng những ổn định tiệm cận m mà ọi nghiệm của nã tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo h m sà ố mũ. 1.1.4 Ví dụ. Xét phương trình vi phân x & (t) = a(t)x, t ≥ 0 trong đó a(t): R + → R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) = . 0 )( 0 ∫ t t da ex ττ Do đó kiểm tra được hệ là ổn định nếu 0 ( ) t t a d τ τ ∫ ≤ µ (t 0 ) < + ∞, Vµ là ổn định đều nÕu số )( 0 t µ là hằng số không phụ thuộc vào t 0 ; nếu 0 lim ( ) t t t a d τ τ →∞ = −∞ ∫ thì hệ phương trình đã cho ổn định tiệm cận. 6 1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyÕn tÝnh XÐt hệ tuyến tính x & (t) = Ax(t) t ≥ 0, (1.3) trong đó ma trận A cì (n × n). Nghiệm của hệ (1.3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi x(t) =e )( 0 ttA − 0 x t ≥ t 0 . 1.2.1 Định lý ([4]). (Sylvester conditions) Ma trận A cì (n × n) là xác định dương nếu det(D i ) > 0, i = 1, 2 … n và xác định âm nếu (-1) i det(D i ) > 0, i = 1, 2,… n. Trong đó ., .,,, 333231 232221 131211 3 2221 1211 2111 AD aaa aaa aaa D aa aa DaD n =           =         == Bổ để 1 ([4]) . Giả sử A, B là các ma trận vuông cì (n × n). Khi đó nếu I + AB khả nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa (I + BA) -1 = I - B (I + AB) -1 A. Điều ngược lại cũng đúng. Bổ đề 2 ([4]). Giả sử A, B, C là các ma trận vuông cì (n × n) , B khả nghịch. Khi đó ta có các khẳng định sau: i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I + CB -1 A là không suy biến. ii) Nếu B + AC không suy biến thì (B + AC) -1 = B -1 - B -1 A(I + CB -1 A) -1 CB -1 . Bổ đề 3 ([4]). Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với ε là một số dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau (F + G)' (F + G) ≤ (1 + ε ) F'F + (1 + ε -1 ) G'G . Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn về tính ổn định của hệ (1.3) thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. 7 1.2.2 Định lý. Hệ (1.3) là ổn định tiÖm cËn khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là ,0Re < λ với mọi λ ∈ λ (A). Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý 1.2.1) áp dụng cho ,)( λ λ ef = ta có ,) .( 1 1 21 k t k etzzze q k k kkk At λα α ∑ = − +++= trong đó: k λ là các giá trị riêng của A, k α là chỉ số mũ bội của các k λ trong phương trình đa thức đặc trưng của A, Z ki là các ma trận hằng số . Do đó ta có đánh giá sau Re Re 1 1 1 1 1 1 k k k k i i q q t t At i i k k k i k i e t e Z t e Z α α λ λ − − = = = = ≤ = ∑∑ ∑∑ . Vì 0Re < k λ nên t x → 0 khi t → + ∞. Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t 0 ) = x 0 của hệ (1.3) thoả mãn điều kiện ( )x t ≤ µ 0 x 0 ( )t t e δ − − , ∀t ≥ t 0 (1.4) với 0,0 >> δµ nào đó. Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một )( 0 A λλ ∈ sao cho .0Re 0 ≥ λ Khi đó với vectơ riêng x 0 ứng với 0 λ này ta có Ax 0 = 00 x λ và khi đó nghiệm của hệ với ®iÒu kiÖn ®Çu x(0) = x 0 là x 0 (t) = x 0 0 t e λ lúc đó 0 Re 0 0 ( ) t x t x e λ = . Do ®ã nghiệm x 0 (t) tiến tới + ∞ khi t →+∞, vô lý với điều kiện (1.4). Định lý được chứng minh. 1.2.3 Ví dụ. Xét tính ổn định hệ      −= −−= 212 211 25 4 1 2 xxx xxx & & ta thấy         − −− = 125 4 1 2 A . 8 Vậy giá trị riêng của A là λ 1,2 = i2 2 3 ±− , hệ là ổn định tiệm cận. Như vậy để xét một hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không, ta chỉ cần tìm nghiệm phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A. Đôi khi việc tìm các giá trị riêng của A Víi số chiều lớn là khó (khi đó đa thức đặc trưng cũng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trưng cũng sẽ gặp khó khăn.Định lý dưới đây cho ta một phương pháp khác để xác định tính ổn định của hệ. 1.2.4 Định lý. Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (1.4) đã cho là f(z) = z n + a 1 z n-1 + … + a n , khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k = 1,2, …, n là dương thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức là, hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó det D 1 = a 1 , det D 2 = det 1 3 2 1 a a a    ÷   det D k = det , .000 . .0 .1 . 3231 2242 12531                 − − − k k k k a aaa aaa aaaa k = 2,3, …, n, và a r = 0, nếu r > n. 1.2.5 Ví dụ. XÐt tÝnh æn ®Þnh cña ph¬ng tr×nh vi ph©n x (4) + x (3) + 3x (2) + 2x + 1 = 0, ta có phương trình đặc trưng là f( λ ) = λ 4 + λ 3 + 3 λ 2 + 2 λ + 1. Dễ kiểm tra được: det D 1 = 1, det D 2 = 31 21 = 1 > 0 det D 3 = 210 131 021 = 1 > 0; det D 4 = 1000 0210 0131 0021 = 1 > 0. 9 Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận. Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.3) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov hay phương trình Sylvester dạng: ' A X +XA=-Y (LE) trong đó X, Y là các ma trận (n × n) và gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.3), từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm. Theo Định lý 1.2.2, điều này tương đương hệ (1.3) là ổn định tiệm cận. Định lý sau đây cho phép chúng ta tìm được điều kiện để hệ (1.3) ổn định tiệm cận. 1.2.6 Định lý. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương X. Chứng minh. Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0. Với x(t) là một nghiệm tuỳ ý của (1.3) với ,)( 00 xtx = t 0 ∈ R + , ta xét hàm số ,)(),())(( >=< txtXxtxV ∀t ≥ t 0 . Ta có ><+>=< xXxxxXtxV dt d && ,,))(( > ′ += < xxXAXA ,)( .)(),( ><−= txtYx Do đó ∫ ><−=− t t dssxsYxtxVtxV 0 .)(),())(())(( 0 Vì X là xác định dương nên V(x(t)) ≥ 0, với mọi t ≥ t 0 và do đó 0 ( ), ( )< > ∫ t t Yx s x s ds ≤ V(x 0 ) = <Xx 0 , x 0 >. Mặt khác, vì Y là xác định dương, nên tồn tại số 0> α sao cho 10 . 0 0 của nó có số mũ đặc trưng hữu hạn. 18 Chơng 2 về một tính chất ổn định tiệm cận của hệ sai phân có thời gian trễ Trong chơng này chúng ta đa ra một. vào thời gian ban đầu từ t 0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều). 1.1.3 Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn