K- dạng vi phân với giá trị vectơ
K- dạng vi phân với giá trị vectơ
Trong chương này, chúng ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann thực n- chiều và U là tập mở trong M Ta ký hiệu:
+) T u M là không gian vectơ tiếp xúc với M tại u U
+) A T M R k ( u , m ) { u :T M u T M u R m u : ánh xạ k- tuyến tính phản ứng}
, ( , m ) u u k u u A T M R được gọi là dạng vi phân bậc k xác định trên U M với giá trị trong R m
Ta quy ước: Một dạng vi phân bậc 0 là một ánh xạ f U: R m
Từ u :T M u T M u m R, nên u có dạng (1(u), , m (u)), trong đó
Vì vậy, ta có sự biểu diễn: = (1, , m ); j k (M R, ); i = 1, 2, , m (các j là các k - dạng vi phân thực xác định trên U)
được gọi là khả vi nếu và chỉ nếu các j khả vi
Từ nay, khi nói k - dạng vi phân với giá trị trong R m , ta hiểu là k - dạng vi phân khả vi
khả vi khi và chỉ khi (X 1, , X n ) khả vi; (X 1, , X n ); X j B(U); j = 1, , n
Ta ký hiệu: k (U, R m ) = {| là k- dạng vi phân trên U lấy giá trị trong R m }
k (M, R m ) = {| là k- dạng vi phân trên M lấy giá trị trong R m }
k (U) được trang bị các phép toán như sau:
Phép nhân với một hàm khả vi:
Nhận xét: k (U; R m ) là một môđun trên vành T (U)
Giả sử M = R 3 , (R 3 với tọa độ (x, y, z)); ta xét:
= (xdz dy, ydz dz, zydx dz) Khi đó là 2 - dạng vi phân trên R 3 với giá trị vectơ trong R 3 ( 2 (R 3 , R 3 ))
Giả sử k (M, R m ); l (M, R m ) Tích ngoài của và được ký hiệu
và được xác định bởi:
Theo định nghĩa ta có: ( )(X1, , X k )
Xét M = R 3 , = (xdx dy, ydy dz, xydx dz)
= (ydx, xdy, xydz) Thật vậy, ta có: = (0, 0, 0)
Trong đó: f 0 (M, R m ) và f j là hàm tọa độ của f; với j = 1, , m,
Giả sử k (M, R m ) và = (1, , m ) thì vi phân ngoài của được ký hiệu là d và được xác định: d = (d1, , d m )
Ta có: d = (dx dy, ydx dz + xdy dz)
Theo mệnh đề 1.4 ta có: = (1 1, , m m )
K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ
Nhóm Lie
Tập G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) G là một nhóm; ii) G là đa tạp khả vi lớp C ; iii) Các phép toán trong G
(a, b) (a, b) = ab và : G G a (a) = a 1 là các ánh xạ khả vi
Nhận xét Điều kiện iii) tương ứng với điều kiện sau:
(a, b) ab 1 là ánh xạ khả vi lớp C
GL(n, R) là tập hợp các ma trận vuông thực cấp n không suy biến, được coi là một nhóm dưới phép nhân ma trận và đồng thời là một đa tạp khả vi Vì vậy, GL(n, R) được xác định là một nhóm Lie.
GL(n, R) là tập hợp các ma trận không suy biến với phép toán nhân thông thường Trong GL(n, R), tồn tại phần tử đơn vị là ma trận đơn vị I, và mỗi ma trận A thuộc GL(n, R) đều có ma trận nghịch đảo A⁻¹.
GL(n, R) là một đa tạp khả vi
ThËt vËy: Ta xÐt ánh xạ det : Mat(n, R) R
Do đú ỏnh xạ det là ỏnh xạ liờn tục và det(Mat(n, R)\GL(n, R)) = {0} là tập đóng trong R với tôpô tự nhiên
Ta suy ra det 1 ({0}) = Mat(n, R)\GL(n, R) là tập đóng trong Mat(n, R) Do đó
GL(n, R) là đa tạp con mở của Mat(n, R) Hay GL(n, R) là đa tạp con trong
Các ánh xạ f : (GL(n, R), GL(n, R)) GL(n, R)
A A 1 là các ánh xạ khả vi
Từ đó suy ra GL(n, R) là một nhóm Lie
Giả sử a là một phần tử cố định của nhúm Lie G, chúng ta có các ánh xạ sau: i) Phép tịnh tiến phải theo a: R_a: G → G x R_a(x) = xa, ∀x ∈ G; ii) Phép tịnh tiến trái theo a: L_a: G → G x L_a(x) = ax, ∀x ∈ G; iii) Phép tịnh tiến nghịch đảo: φ: G → G x φ(x) = x⁻¹, ∀x ∈ G.
Ta chứng minh R a là vi phôi
Để chứng minh rằng R là một phép toán liên tục, ta cần chỉ ra rằng với bất kỳ lân cận V của a, tồn tại một lân cận U của x sao cho R(U) nằm trong V Nhờ tính liên tục của phép toán nhóm φ trong G, ta có thể tìm thấy lân cận U của x và lân cận V của a sao cho tích UV nằm trong V.
Nhưng R a (U) = U a UV Do vậy R a (U) y, tức U chính là lân cận cần thiết Mặt khác, ta cã: id(x) = x
Ký hiệu là phép toán nhóm trong G và ký hiệu: f : G G G x f(x) = (x, a); với mọi x G
Mà ánh xạ đó cho là khả vi và f khả vi; Nên R a f khả vi
T-ơng tự ánh xạ (R a ) 1 khảvi
Vậy R a là một vi phôi
Chứng minh t-ơng tự nh- trên, ta cũng thu đ-ợc ánh xạ L a và là các vi phôi
Trường vectơ bất biến trái
Trường vectơ X khả vi trên nhóm Lie G được gọi là trường vectơ bất biến trái nếu (L a )* X = X ; a G
Lấy G = R n , với a R n , L a : R n R n p a + p (tức là phép tịnh tiến: (x 1, x 2, , x n ) (a 1 + x 1, a 2+ x 2, , a n + x n ))
Giả sử X là trường vectơ bất biến trái trên R n thì:
X là tr-ờng vectơ song song trên R n
Vậy X là trường vectơ bất biến trái trên R n khi và chỉ khi X là trường vectơ song song trên R n
1) Mỗi trường vectơ bất biến trái hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó tại đơn vị
Thật vậy, X là trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G, a G, ta có:
2) Ta ký hiệu: G = {X B (G)X bất biến trái trên G}; khi đó G là một không gian vectơ thực
3) Ánh xạ : G T e G; X X e là một đẳng cấu tuyến tính
Tích Lie của hai trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G là một trường vectơ bất biến trái
Tập G các trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G là một đại số Lie và G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G
Nếu : G K là một đồng cấu (đại số) từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H thì:
Cho : G K là đồng cấu giữa các nhóm Lie, ký hiệu G , K theo thứ tự là đại số Lie của nhóm Lie G và K, X G , Y K Nếu * | e X e = Y e’ thì * | a X a = Y (a) ,
Từ định nghĩa ta có: (L a ) * | e X e = X a (1)
Ta có: Y (a) = (L (a)) * | e Y e’ (theo giả thiết)
Giả sử : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G X, Y là các trường vectơ bất biến trái trên G sao cho * | a X e = Y e thì * X = Y
Giả sử : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G và X là trường vectơ bất biến trái trên G Khi đó * (X) cũng là trường vectơ bất biến trái trên G
Ta giả sử X G, ta phải chứng minh *(X) G
Ta có: L a = L (a) , a G (theo Bổ đề 2.9) (*) Đặt a = 1 (b), b G Khi đó ta có (a) = b
Vậy *(X) là trường vectơ bất biến trái
Nếu : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G thì * là tự đẳng cấu của đại số Lie G của G
Giả sử X, Y G, ta kiểm tra:
* biến trường vectơ bất biến trái thành trường vectơ bất biến trái (theo Mệnh đề 2.12)
* bảo tồn ba phép toán trong G , tức là:
Chứng minh: i) Điều kiện cần Do X G nên ta có:
là hàm hằng ii) Điều kiện đủ - const (a, p) = (p), a G
Bây giờ ta xét trường vectơ bất biến trái X trên G được sinh bởi nhóm 1- tham số { t }
Mỗi trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie đều là trường vectơ đầy đủ trên nhóm Lie đó
Giả sử A là trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G Ta phải chứng minh A sinh ra một nhóm 1- tham số toàn cục trên G
Giả sử A sinh ra một nhóm 1-tham số địa phương trên I U, trong đó U chứa đơn vị e của G Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một nhóm 1-tham số ’ xác định trên I G mà A sinh ra ’, bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm tham số này.
Vì phép tịnh tiến trái L a là phép biến đổi khả vi trên G, A bất biến đối với L a và A sinh ra t nên L a t = t L a
Do đó: ’(t, a) = L a t(e) = t L a (e) = t(a, e) = t(a) = (t, a) Điều này chứng tỏ = ’ trên I U tức là nhóm 1- tham số địa phương xác định trên I G
Vậy A là trường vectơ đầy đủ trên G
Ta ký hiệu a t = t (e), thì a 0 = t (e) = e và a t+s = a t a s ; t, s R, ta có:
1) a t = {a t | (a t ) 1 = a t , t G} là nhóm con (theo định nghĩa đại số) của nhóm con G Nhóm con này được gọi là nhóm con 1- tham số của G sinh bởi X
3) (L at )*e X e là vectơ tiếp xúc với đường cong t a 2t tại điểm a t
2.17 Định nghĩa - ánh xạ exp Ánh xạ exp : G G
X expX = a 1 (với a 1 = 1(e) G) được gọi là ánh xạ mũ của G
2.18 Mệnh đề exp = a với R và X G
Chứng minh: Để chứng minh Mệnh đề này ta cần Bổ đề sau:
Giả sử trường vectơ X được sinh ra bởi nhóm 1- tham số = {t} Khi đó với
0 của R, trường vectơ X được sinh bởi nhóm 1- tham số = {t } Thật vậy, giả sử X p tiếp xúc vời đường cong x(t) = t (p) tại điểm p = (0, p)
Giả sử trường Y được sinh ra bởi = {t } Khi đó, ta cũng có:
Vậy trường vectơ X được sinh bởi nhóm 1- tham số = {t }
Bây giờ ta trở lại chứng minh mệnh đề 2.18
Do X cũng là một trường vectơ bất biến trái sinh ra bởi (s, p) với s = t
Theo định nghĩa ánh xạ exp ta có exp(X) = 1(e) = (, e) = (e) = a.
K- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ
K- dạng vi phân với giá trị vectơ (1, , m ) trên nhóm Lie G được gọi là k- dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ nếu L * a = ; a G
Cho GR 2 , = (dx, dy), 1 R 2 , R 2 Khi đó là 1-dạng vi phân bất biến trái
Thật vậy: Đặt = ( 1 , 2 ) = (dx, dy) ; a G ta có:
Vậy là 1- dạng vi phân bất biến trái trên R 2 và nhận giá trị trong R 2
1) Giả sử ( , , 1 m ) bất biến trái j bất biến trái ; j 1, , m
2) Nếu (1, , m ) là k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ thì d cũng là k - dạng vi phân bất biến trái với giá trị vectơ
Thật vậy, ta có: d(f * (1, , m )) = f * d(1, , m ); f khả vi Áp dụng cho f là phép tịnh tiến trái L a và theo định nghĩa 2.17 ta có:
3) k ( ,G R m ) bất biến trái và X 1 , , X k bất biến trái thì (X 1 , , X k ) là tr-ờng vectơ song song trong R m
Vậy (X 1 , , X k ) là tr-ờng vectơ song song trong R m
Nếu là k - dạng vi phân bất biến trái trên G, là - dạng vi phõn bất biến trái trên G thì là k dạng vi phân bất biến trái trên G
Theo mệnh đề 1.18 - chương 1, ta có:
Suy ra là k - dạng vi phân bất biến trái trên G
Ví dụ : Giả sử GR 2 , (dx dy, ) 1 (R 2 , R 2 )
Chứng minh rằng là 2 - dạng vi phân bất biến trái
Ta có: = (dxdy, dx dy) = ( 1 1 , 2 2 )
Chứng minh tương tự ta cũng có: L a ( 2 2 ) = 2 2 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra L a ( ) = (L a ( 1 1 ), L a ( 2 2 ))
là k – dạng vi phân bất biến trái, là đẳng cấu từ GG Khi đó * bất biến trái
Chứng minh rằng * là dạng vi phõn bất biến trỏi
Thật vậy, đặt ( , 1 2 ) = (dxdy, dydz)
Ta đi chứng minh bất biến trái
T-ơng tự, ta cũng chứng minh đ-ợc 2 bất biến trái
Ta đi chứng minh bất biến trái
Chứng minh t-ơng tự, ta cũng tính đ-ợc 2 = 6 1
Do đó ( 2 , 6 ) 1 1 = (-2dxdy, 6dxdy)
Mặt khác theo ví dụ trên thì 1 = dxdy luôn bất biến trái
Suy ra 1 , 2 bất biến trái
