Ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trên đa tạp
Ánh xạ tiếp xúc
1.1.1 Định nghĩa Giả sử M và N là hai đa tạp khả vi, f : M N là ánh xạ khả vi và điểm pM Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ f tại p (hay vi phân của ánh xạ f tại p) là ánh xạ: f *|P : TpM Tf(p)N, được xác định như sau: Đối với mỗi véc tơ v Tp(M) là véc tơ tiếp xúc tại điểm p = r(t 0 ) với mỗi đường cong r(t) trong M thì f *|P (v)Tf(p)N là véc tơ v’ tiếp xúc tại f r(t 0 ) =f(p) với đường cong f r(t) trong N
Trong bài viết này, chúng ta xem xét định nghĩa về véc tơ tiếp xúc tại điểm p với các đường cong r(t) và x(t) Cụ thể, nếu v(f) dt d f r(t)t0 với mọi f thuộc Fp, thì véc tơ tiếp xúc f*|P(v) = v’ được xác định bởi v’(g) dt d (gfr(t))f(t0) với mọi g thuộc Ff(p) Để đảm bảo tính chính xác của định nghĩa này, cần chứng minh rằng nó không phụ thuộc vào việc chọn đường cong r(t), tức là hai đường cong f r(t) và f x(t) tại điểm f(p) phải có cùng một véc tơ tiếp xúc Điều này được chứng minh thông qua việc chỉ ra rằng dt d gf r(t)t0 = dt d gfx(t)t0 với mọi g thuộc Ff(p), do v tiếp xúc tại p với cả r(t) và x(t).
Do đó hệ thức này cũng xẩy ra với F = g f ⊡ iii) Nếu v Tp(M) và v dt d r(t)t0 thì: v'= f*p(v) = f*p ( dt d r(t)t0) dt d f r(t)t 0
1.1.2 Mệnh đề a) f *|P là ánh xạ tuyến tính b) v[gf] = (f*|P(v)) (g); g F f(p) c) Cho f : M N và g : NK là các ánh xạ khả vi, khi đó:
Chứng minh a) Giả sử v1 là véc tơ tiếp xúc với x(t) tại p = x(t0), v2 là véc tơ tiếp xúc với y(t) tại p = y(t 0 ), g F p, ta chứng minh ánh xạ f *|P : TPM Tf(P)N tuyến tính Thật vậy: f*|P (v1 + v2) (g) = (v1 + v2)(g f)
Vậy f *|p là ánh xạ tuyến tính ⊡ b) Vì gf F p nên theo định nghĩa véc tơ tiếp xúc v của đường cong r(t) tại p = r(t0) ta có: v[g f] dt d g f(r(t))t 0 (1)
Mặt khác vì f *p (v) là véc tơ tiếp xúc với đường cong f(r(t)) tại f(p) = f(r(t0)) nên theo định nghĩa véc tơ tiếp xúc ta có:
Từ (1) và (2) suy ra v[g f] = (f *|p (v))(g) ⊡ c) Với mọi y F(gf(p)) và vT P M ta có:
1.1.3 Mệnh đề Nếu f: M N là vi phôi thì f*|p là song ánh và
Chứng minh rằng f là vi phôi dẫn đến f -1 cũng là vi phôi Đối với ánh xạ đồng nhất id trên đa tạp M, ta có id *p (v) = v cho mọi v thuộc TpM Áp dụng mệnh đề 1.1.2, ta nhận được v = (id) *|p (v) = (f -1 f) *|p (v) = (f -1 ) *|f(p) f *|p (v) cho mọi v thuộc TpM Từ đó, ta suy ra (f -1 ) *| f(p) f *|p = idTpM.
Vì id là đơn ánh nên suy ra f *|p là đơn ánh (2)
Do sự bình đẳng giữa f -1 và f nên tương tự (1), ta có: f*|p (f -1 )*|f(p) = idT f ( p ) N
Vì id là toàn ánh nên suy ra f*|p là toàn ánh
Từ (2) và (4) suy ra f *|p là song ánh
Vì f*|p là song ánh nên tồn tại (f*|p) -1 , do đó từ (1) và (3) suy ra:
1.1.4 Mệnh đề Cho M là đa tạp khả vi với bản đồ địa phương
(U, x) và N là đa tạp khả vi với bản đồ địa phương (V, y), f: M N là ánh xạ khả vi, J f p là ma trận Jacobi của hàm f tại p Khi đó [f *|P v] = Jf p [v]
Chứng minh Ánh xạ f : M N f*|P : TPM
Ta có: v i =v(yi) = (f*|Pv)(yi) (1)
Mặt khác, theo định nghĩa véc tơ tiếp xúc ta lại có: v(g f) = g f ( t ) t t 0 dt d
Do đó: (f*|Pv)(yi)=v(yi f) =
Vậy [v ] = Jf p [v] hay là [f*|Pv] = Jf p [v] ⊡
Định nghĩa véc tơ tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn đường cong (t), và chúng ta đã chứng minh được tính tuyến tính của f *|P.
Các dạng vi phân trên đa tạp
Bây giờ ta kí hiệu:
A k p ={ là dạng k-tuyến tính, phản xứng trên T p M}
1.2.1 Định nghĩa k- dạng vi phân trên M là ánh xạ tuyến tính
Từ định nghĩa ta thấy rằng ( X 1 ,X 2 , ,X k ) là một hàm số từ M
IR.; Xi B (M) Xác định bởi: (( X1,X2, ,Xk))(x)= x((X1)x,(X2)x, ,(Xk)x
Ta nói khả vi trên M nếu và chỉ nếu ( X1,X2, ,Xk) khả vi với mọi bộ (X 1 ,X2, ,Xk); Xi B (M) và ta ký hiệu k (M) = { khả vi trên
1.2.2 Các phép toán về dạng vi phân
Trên không gian vi phân k (M), chúng ta định nghĩa phép cộng và phép nhân cho các dạng vi phân bậc k Cụ thể, với các dạng vi phân , thuộc k (M) và j thuộc F (M), ta ký hiệu + và j , cả hai đều thuộc k (M), được xác định theo các quy tắc nhất định.
Khi đó dễ kiểm tra thấy rằng k (M) trở thành một F (M) - môđun
Ta chú ý rằng: Với hàm số jF (M) thì dj 1 (M), xác định bởi
(dj)p(ap) = ap[j] với a TpM ( đôi khi viết tắt (dj) p (ap) = dj(ap) hoặc dj
Ta gọi tích ngoài của và ’ là phần tử của k+ℓ (M) được ký hiệu bởi ’ và được xác định bởi hệ thức ( ’)(p) = (p) ’(p) ,
1.2.4 Nhận xét Trong hệ toạ độ {U a , ja} ta luôn có sự biến đổi:
i 1 , , ik d xi1 dxik Biểu thức này được gọi là biểu thức toạ độ của trong {Ua, ja}
- Khi k =1 ta có: U = 1 dx 1 + + n dx n
- Khi k =2 trong hệ toạ độ địa phương ta có:
1.2.5 Mệnh đề i) ( ’) = (- 1) kℓ ’ ii) ( ’) ” = (’ ”). iii) Giả sử 1 , , l 1 (M) khi đó: 1 2 ℓ ℓ (M) và
Sign 1 ( x ( 1 ) , x ( xl ) )= det ( i ) xi iv) Xét tổng trực tiếp (M) = 0 (M) + 1 (M) + + n (M) =
(i j ), khi đó (M) trở thành một đại số và được gọi là đại số ngoài hay đại số phân bậc
, f là hàm số, được gọi là 1- dạng
, được gọi là k+1 dạng, d còn được gọi là toán tử vi phân ngoài
1.2.7 Mệnh đề a) Nếu f là hàm của C 1 và là 1- dạng của lớp C 1 thì: d(f ) = (df) + fd b) Giả sử k (M), ’ ℓ (M) là các dạng vi phân lớp C n , n 1 Khi đó: d( ’) = (d ) ’ + (-1) k (d ’)
= ( df ) fd ⊡ b) +) Ta cần chứng minh d là ánh xạ tuyến tính
( i1, ,ik + ’i1, ,iℓ)dx i1 dx i2 dx ik i) d( +’) = d + d’
+) Xét trên hệ toạ độ {U a , j a }aI ta có:
= j.j’ dxi1 dxik dxj1 dxjl d ( ’) = d ( j.j’) dx i1 dx ik dx j1 dx jl
1.2.8 Ví dụ Trong M = IR 3 cho = xdy, ’ = ydz
Cách 1 Ta có ’ = xdy ydz = xydy dz d ( ’) = d (xy) dy dz
= ydx dy dz + xdy dy dz
= ydx dy dz (vì dy dy = 0)
Cách 2 Áp dụng định lý 1.2.7b, ta có: d ( ’) = d (xdy) ydz + (-1) 1 xdy d(ydz)
= ydx dy dz + (-1) 1 xdy dy dz (do dy dy = 0)
1.2.9 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của vi phân ngoài)
Nếu k (M) là dạng vi phân lớp C n , n 1 thì d(d) = 0
Vì dxi dxi = 0 nên sẽ tồn tại dxi dxi = 0 trong
, suy ra k j i i j i j i dx dx x dx x
Nhóm Lie
Nhóm Lie và các tính chất của nhóm Lie
2.1.1 Định nghĩa Tập G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) G là một nhóm ii) G là đa tạp khả vi lớp C ∞ iii) Các phép toán trong G: j : G x G G
: G G a (a) = a -1 là các ánh xạ khả vi
Nhận xét Điều kiện iii) tương đương với điều kiện sau :
: G x G G (X, Y) xy -1 là ánh xạ khả vi lớp C ∞
2.1.2 Ví dụ GL(n, R) là tập các ma trận vuông thực, cấp n, không suy biến xem như một nhóm đối với phép nhân các ma trận và xem như một đa tạp con mở trong đa tạp R n 2 cũng là một nhóm Lie (giao hoán khi n =1 và không giao hoán khi n >1)
+) GL(n, R) là một nhóm : Lấy A,B GL(n, R), ta có : det(A.B -1 ) = det A.detB -1 = det A
Do đó A.B -1 GL(n, R) nên GL(n,R) là nhóm con của Mat(n,R)
+) GL(n,R) là một đa tạp khả vi:
Xét ánh xạ det : Mat(n, R) R
(trong đó là tích của n phần tử thuộc n dòng và n cột khác nhau của X)
Do đó ánh xạ xác định như trên là ánh xạ liên tục
Ta lại có det(Mat(n, R)\GL(n, R)) = {0} là tập đóng trong R với tôpô tự nhiên, suy ra det -1 ({0}) = Mat(n, R)\ GL(n, R) là tập đóng trong Mat(n,
GL(n, R) là tập hợp các ma trận khả nghịch trong Mat(n, R) và được coi là một đa tạp khả vi, vì nó là một tập mở trong không gian các ma trận này.
+) Các ánh xạ: f: (GL(n, R), GL(n, R)) GL(n, R)
A A -1 là các ánh xạ khả vi
Từ đó suy ra GL(n, R) là một nhóm Lie
2.1.3 Mệnh đề Giả sử a là một phần tử cố định của nhóm Lie G
Các ánh xạ sau đây là các vi phôi: i) Phép tịnh tiến phải theo a:
Ra : G G x R a (x) = xa; x G ii) Phép tịnh tiến trái theo a:
La : G G x La(x) = ax; x G iii) Phép lấy nghịch đảo : j : G G x j(x) = x -1 , x G
Chứng minh Ta đi chứng minh R a là vi phôi
Ta chứng minh rằng hàm R là liên tục bằng cách cho bất kỳ lân cận y của xa, ta có thể tìm lân cận U của x sao cho R a (U) nằm trong y Cụ thể, nhờ tính liên tục của phép toán nhóm trong G, sẽ tồn tại lân cận U của x và lân cận V của a.
Nhưng Ra(U) = Ua UV Do vậy Ra(U) y , tức U chính là lân cận cần thiết
Mặt khác (Ra) -1 là liên tục Ta lưu ý rằng:
Do vậy, nếu ký hiệu xa = y thì (Ra) -1 = y ya -1 , nghĩa là (Ra) -1 = Ra-
Do vậy R b liên tục đối với b G
Vậy là (Ra) -1 liên tục, tức Ra-1 liên tục
Ký hiệu là phép toán nhóm trong G và ký hiệu : f : G G x G x f(x) = (x , a); với mọi x G thế thì : f
R a = 0 f Ánh xạ đã cho là khả vi
Theo định nghĩa ánh xạ khả vi từ đa tạp tới đa tạp và theo định nghĩa đa tạp tích dễ kiểm tra rằng f khả vi; Ra = 0 f khả vi
- Chứng minh (Ra) -1 khả vi : vì (Ra) -1 và Rb khả vi đối với mọi b G nên (R a ) -1 khả vi
Vậy R a là một vi phôi
Chứng minh cho trường hợp L a và j tương tự ⊡
2.1.4.Nhận xét Các ánh xạ L a ; R a ; xác định như trên lần lượt được gọi là phép tịnh tiến trái, phép tịnh tiến phải, phép tự đẳng cấu trong trên G
2.1.5 Mệnh đề Mỗi nhóm Lie G là một đa tạp khả song
2.1.6 Mệnh đề Giả sử nhóm G là nhóm Lie, a G, F là tập đóng trong G, khi đó Fa, aF, F -1 đều là các tập đóng trong G
Chứng minh -Ta chứng minh Fa đóng; Thật vậy, theo trên thì
Ra : G G; x Ra(x) = xa là đồng phôi, mặt khác R a biến tập đóng F thành tập đóng R a (F) = Fa Fa đóng
- Chứng minh tương tự đối với aF và F -1 ⊡
2.1.7 Mệnh đề Giả sử G là nhóm Lie , V là tập mở trong G và P là tập bất kỳ trong G Khi đó VP, PV, V -1 đều là các tập mở trong G
Chứng minh - VP mở trong G; lấy a P, phương pháp tương tự như chứng minh mệnh đê 2.1.6 ta có Va mở trong G VP =Va mở trong G
- Tương tự đối với PV, V -1 ⊡
2.1.8 Mệnh đề Đối với bất kỳ hai phần tử p,q thuộc nhóm Lie G đều tồn tại phần tử a G sao cho qua phép tịnh tiến phải Ra thì p biến thành q và tồn tại b G sao cho Lb(p) = q
Chứng minh - Chứng minh tồn tại duy nhất a G
+) Tồn tại: giả sử a = p -1 q thì khi đó R a (p) =pa = pp -1 q = q
+) Tính duy nhất: giả sử tồn tại ay sao cho R ay (p) = q, khi đó q=pay=pa ay = a
- Chứng minh tương tự đối với b ⊡
2.1.9 Mệnh đề Mỗi nhóm Lie G đều là không gian tôpô chính quy Chứng minh Ta chứng minh đối với bất kỳ tập F đóng trong G và x
G và F có những lân cận V của x và U của F sao cho V và U không giao nhau Để chứng minh điều này, ta chỉ cần xem xét trường hợp x là đơn vị e của G.
Vì phép toán nhóm là khả vi nên phải liên tục, lại vì ee -1 = e và G\F là lân cận của e, nên tồn tại lân cận mở V của e để V -1 G\F
Do yV mở U = yV mở
Ta chứng minh U là một lân cận của F và là lân cận muốn tìm.Thật vậy:
Vì V chứa e nên yV chứa y U chứa F
2.1.10.Mệnh đề Mỗi nhóm Lie liên thông G được sinh ra bởi lân cận mở tuỳ ý V của đơn vị e của nó
Cũng nhận thấy y(y -1 ) mở trong G
Thật vậy, ánh xạ j : G G x j(x) = x -1 ; x G đồng phôi Thế mà V mở trong G, do đó j(V) = V -1 mở trong G
V V -1 = y mở trong G ⊡ b) Ký hiệu y là nhóm con sinh bởi y thế thì y là hợp của tất cả các phần tử có dạng W i (y -1 ) j , trong đó :
W i = y y y (i lần) (y -1 ) j = y -1 y -1 y -1 (j lần) Nhưng y -1 = y y = U W k (1) Lại do y mở trong G W k mở trong G (2)
Từ (1) và (2) y G là mở trong G y cũng đóng trong G
Vì y ứ, vừa đóng, vừa mở trong G liên thông nên y=G, vậy y sinhra G
⊡ c) Từ y sinh ra G và y V (vì y=V V -1 ) nên chính V sinh ra G
2.1.11 Định nghĩa Nhóm con Y (theo nghĩa đại số) của nhóm Lie
G gọi là nhóm Lie con của G nếu Y là đa tạp con của G, sao cho nhóm Y này là một nhóm Lie
Ví dụ : (R + , x) là nhóm Lie con của (R * , x) Thật vậy :
(R + , x) là nhóm con của nhóm (R * , x)
R + là tập mở trong R * nên nó là đa tạp con
2.1.12 Định lý (Elie Cartan) Cho G là nhóm Lie, nếu Y là nhóm con (theo nghĩa đại số) và là tập đóng trong G thì Y là nhóm Lie con
2.1.13 Định lý (Ado) Mọi nhóm Lie hữu hạn chiều đều là nhóm Lie con của nhóm GL(n, R) với một n nào đó.
Trường véc tơ bất biến trái và dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie
Trường véc tơ bất biến trái
3.1.1 Định nghĩa Trường véctơ X khả vi trên nhóm Lie G được gọi là trường véctơ bất biến trái nếu (La)* X = X, a G
Nghĩa là ((La)*e)(Xe) = Xa ; a G
3.1.2.Ví dụ Lấy G =R n , với aR n , L a : R n R n p a+p (tức là phép tịnh tiến: (x 1, x 2, , x n ) ( a 1 + x 1, a 2 + x 2, , a n + x n ))
Giả sử X là trường véc tơ bất biến trái trên R n , thì (La)*X = X
Vậy X là trường véc tơ bất biến trái trên R n khi và chỉ khi X là trường véc tơ song song trên R n
1 Mỗi trường véc tơ bất biến trái hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó tại đơn vị
Thật vậy, với X là trường véc tơ bất biến trái trên nhóm Lie G,
2 Ta ký hiệu G = {X B (G) X bất biến trái trên G}; Khi đó G là một không gian vectơ thực
3 Ánh xạ j : G T eG; X Xe là một đẳng cấu tuyến tính
Do đó dimG = dim G hằng hằng
3.1.4 Mệnh đề Tích Lie của 2 trường véc tơ bất biến trái trên nhóm
Lie G là một trường véc tơ bất biến trái
Chứng minh Với mọi X, Y G , a G ta có :
3.1.5 Hệ quả Tập G các trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie G là một đại số Lie và G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G
3.1.6 Bổ đề Nếu : G K là một đồng cấu (đại số) từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H, thì: 0 La = L(a) 0
Chứng minh Ta có ( 0 La)(p) = (La(p))
3.1.7 Mệnh đề Cho : G K là đồng cấu giữa các nhóm Lie, kí hiệu G, K theo thứ tự là đại số Lie của nhóm Lie G và K, XG ,
YK Nếu *|e X e = Y e’ , thì *|a (X a ) = Y(a) , aG, (e’ là đơn vị của Y)
Chứng minh Từ định nghĩa ta có (L a ) *|e X e =X a
Ta có Y(a) = (L(a))*|e Ye’ (theo (gt))
Mặt khác *|a(Xa) = *|a((La)*|e(Xe)) (theo (1))
3.1.8 Hệ quả Giả sử : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G X,
Y là các trường véctơ bất biến trái trên G sao cho *|a X e = Y e thì * X = Y
3.1.9 Mệnh đề Giả sử : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G và X là trường véc tơ bất biến trái trên G Khi đó * (X) cũng là trường vectơ bất biến trái trên G
Chứng minh Ta giả sử XG, ta phải chứng minh * (X) G.
Ta có 0 La = L(a) 0 , aG (theo 3.1.6) (*) Đặt a= -1 (b), bG Khi đó ta có (a) =b
Thay vào (*) ta có o L-1(b) = o La = L(a) o = Lb o
Vậy * (X) là trường véc tơ bất biến trái ⊡
3.1.10 Hệ quả Nếu : G G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G thì
* là tự đẳng cấu của đại số Lie G của G
Chứng minh Giả sử X, Y G, ta kiểm tra
- * biến trường véc tơ bất biến trái thành trường véc tơ bất biến trái ( theo mệnh đề 3.1.9 )
- * bảo tồn ba phép toán trong G, tức là
3.1.11 Mệnh đề Cho X G, ta có X G - const
Chứng minh i) Điều kiện cần Do XG nên ta có:
- const ii) Điều kiện đủ - const (ap) = (p), aG
Bây giờ ta xét trường vectơ bất biến trái X trên G được sinh bởi nhóm 1 - tham số {j t }
3.1.12 Mệnh đề Mỗi trường véc tơ bất biến trái trên nhóm Lie đều là trường véc tơ đầy đủ trên nhóm Lie đó
Chứng minh Giả sử A là trường véc tơ bất biến trái trên nhóm Lie
G Ta phải chứng minh A sinh ra một nhóm 1-tham số toàn cục trên G
Giả sử A sinh ra một nhóm 1-tham số địa phương j trên Ie X U, với U chứa đơn vị e của G Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một nhóm 1-tham số j’ xác định trên Ie X G mà A sinh ra j’ Cụ thể, j’ được xác định bằng công thức j’(t, a) = La o j(t, e) = La o j t(e) với mọi a thuộc G.
Vì phép tịnh tiến trái L a là phép biến đổi khả vi trên G, A bất biến đối với L a và A sinh ra j t nên L a o j t = j t o L a (Mệnh đề 2.2.8)
Do đó j’ (t, a) = L a o j t(e) =j t o L a (e) = j t(ae) = j t(a) = j(t, a) Điều này chứng tỏ j = j’, tức là nhóm 1-tham số địa phương j xác định trên I e X G
Vậy A là trường véc tơ đầy đủ trên G ⊡
Ta ký hiệu a t = jt(e), thì a0 = jt(e) = e và at + s = at as; t, s R, ta có:
1 at = {at(at) -1 = a-t, tR} là nhóm con (theo nghĩa đại số) của nhóm
G Nhóm con này được gọi là nhóm con 1 - tham số của G sinh bởi X
3 (L at ) *e X e là vectơ tiếp xúc với đường cong t a 2t tại điểm a t
3.1.14 Định nghĩa - ánh xạ exp Ánh xạ exp : G G
X exp X = a1; ( với a 1 = j 1(e)G ) được gọi là ánh xạ mũ của G
3.1.15 Mệnh đề exp a = a a , với a R, và X G
Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này ta cần bổ đề sau
3.1.16 Bổ đề Giả sử trường vectơ X được sinh ra bởi nhóm 1 - tham số j = {j t} Khi đó với a 0 của R, trường vectơ aX được sinh bởi nhóm 1 - tham số y = {j at}
Thật vậy Giả sử X p tiếp xúc với đường cong x(t) = j t (p) tại điểm p = j(0, p) Ta có : Xp[f] = d dtf x(t)t = 0
Giả sử trường Y được sinh ra bởi y = {j at } Khi đó, ta cũng có
= a ds d f j(s, p)s = 0 (Ở đây ta thay s = at)
Do vậy Y p [f] = a.Xp[f] ; p G, ta suy ra Y = a X
Bây giờ ta trở lại chứng minh mệnh đề 3.1.15
Do aX cũng là một trường vectơ bất biến trái sinh ra bởi y(s,p)với s at Theo định nghĩa ánh xạ exp ta có exp(aX) = y 1 (e)
Vậy trường vectơ aX được sinh bởi nhóm1 - tham số y = {j at} ⊡
k-dạng vi phân bất biến trái
Trong mục này ta luôn giả sử G là nhóm Lie n-chiều, {X 1 , X 2 , , X n } là trường mục tiêu bất biến trái
3.2.1.Định nghĩa Dạng vi phân trên nhóm Lie G được gọi là dạng vi phân bất biến trái nếu L * a = , với aG
3.2.2.Nhận xét Nếu là dạng vi phân bất biến trái thì d cũng là dạng vi phân bất biến trái
Theo nhận xét 3.2.2.ii) ta có: d(f * ’) = f * (d’), f khả vi Áp dụng cho f là phép tịnh tiến trái L a và theo định nghĩa 3.2.1 ta có:
3.2.3.Mệnh đề Tập G * tất cả các 1-dạng vi phân bất biến trái trên nhóm Lie G tạo thành một không gian con của không gian véc tơ 1 (G) các 1-dạng vi phân trên G
Chứng minh Ta biết rằng 1 (G) làm thành một R-không gian véc tơ với hai phép toán:
Bây giờ ta phải chứng minh: i) G * thì G * ;
Thật vậy, từ G * suy ra L * a = , aG Do đó ta có:
Thật vậy, La * 1 = 1 , La * 2 = 2, nên ta có:
3.2.4.Mệnh đề Giả sử G * , X G khi đó (X) là hàm hằng trên
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng, với bất kỳ xG ta đều có:
(X)(x) = (X)(e), (e là phần tử đơn vị của nhóm G)
Thật vậy, vì (L x )*(Xe) = e nên: (Lx)*e(Xe) = (LxX)x= Xx (vì X G).
3.2.5.Mệnh đề Với AG, BG, G * , ta có hệ thức sau:
(gọi là phương trình Maurer-Cartan)
Đối với bất kỳ một dạng vi phân ω trên đa tạp khả vi M và bất kỳ các trường véc tơ khả vi A, B trên M, chúng ta có thể chứng minh rằng có những kết quả quan trọng liên quan đến mối quan hệ giữa chúng.
Theo giả thiết thì M là nhóm LieG còn A, BG , G * , áp dụng mệnh đề 3.2.4 ta có (A), (B) là những hàm hằng
3.2.6 Mệnh đề Nếu là k-dạng vi phân bất trái trên G, là ℓ-dạng vi phân bất trái trên G thì là kℓ -dạng vi phân bất biến trái trên G
Vậy là bất biến trái ⊡