Một số định lý về dãy nhóm con chuẩn tắc

Các nhóm tác động

Trong luận văn này, phép toán trên một nhóm th-ờng đ-ợc ký hiệu theo lối nhân và đơn vị của nhóm đ-ợc ký hiệu là 1

Gọi G và H là hai nhóm, khi tồn tại một đồng cấu  từ G vào AutH (nhóm các tự đẳng cấu của H), ta nói rằng G tác động lên H thông qua , và G được xem là một nhóm toán tử trên H Đồng cấu  được gọi là một tác động của G.

Tác động không cần thiết là một đẳng cấu, cụ thể là đồng cấu tầm thường, tức là    g  1 cho mọi g thuộc G Qua tác động này, một nhóm tùy ý có thể tác động lên H Đối với mỗi g thuộc G,    g là một tự đẳng cấu của H, được ký hiệu là     g h.

H h h g ,  Tác động trên H đ-ợc cho nếu và chỉ nếu các t-ơng ứng

 đ-ợc xác định đối với mỗi g  G và thoả mãn các bổ đề công thức sau đây đối với mọi u , v  H và x , y  G

Bổ đề này khẳng định rằng, với mọi u, v thuộc H và x, y thuộc G, có ba điều kiện quan trọng: thứ nhất, \( uv(x) = u(x)v(y) \); thứ hai, \( u(xy) = u(xy) \); và thứ ba, \( u(1) = u \), trong đó 1 là đơn vị của G Điều kiện đầu tiên tương đương với việc khẳng định rằng \(\varphi(x)\) là một tự đồng cấu của H, trong khi điều kiện thứ hai là điều kiện đồng cấu của \(\varphi\) Cuối cùng, điều kiện thứ ba xác nhận rằng \(\varphi(1) = 1\) và đảm bảo rằng \(\varphi(g)\) là một tự đẳng cấu của H cho mọi g thuộc G.

1.1.3 Ví dụ Giả sử G và H là các nhóm con của nhóm L sao cho G  N L   H Phép liên hợp bởi một phần tử g  G cảm sinh một tự đẳng cấu  g của H

Hàm  là một đồng cấu từ G vào H Nh- vậy,  là một tác động của G trên

H và  g   h  h g với  g   h là liên hợp của h bởi phần tử g

1.1.4 Ví dụ Nếu G là một nhóm con của AutH thì phép nhúng G vào AutH là một tác động của G trên H

Khi phân tích tác động giữa các nhóm G và H, chúng ta đã tách biệt chúng để bảo đảm tính tổng quát Tuy nhiên, việc áp dụng sẽ dễ dàng hơn trong trường hợp cụ thể của ví dụ 1.1.3, khi cả hai nhóm nằm trong một nhóm lớn hơn và tác động được tạo ra thông qua phép liên hợp Do đó, việc xây dựng một nhóm lớn hơn là rất quan trọng.

Tích nửa trực tiếp

Mệnh đề 1.2.1 trình bày về tác động của nhóm G lên nhóm H Cụ thể, L được định nghĩa là tích Đề các của các tập hợp G và H, tức là tập hợp tất cả các cặp (g, h) với g thuộc G và h thuộc H Để xác định tích của hai phần tử trong L, ta sử dụng công thức cụ thể.

  g , h g ' , h '    gg ' ,      g ' h h '  thế thì L tạo thành một nhóm với phép toán trên

Ký hiệu 1 G và 1 H là đơn vị của các nhóm G và H Đối với g thuộc G và h thuộc H, ta có các định nghĩa (g) = (g, 1 H) và (h) = (1 G, h) Từ đó, ta xác định G = {(g) | g ∈ G} và H = {(h) | h ∈ H} Điều này cho thấy  là một đẳng cấu từ G lên G và  là một đẳng cấu từ H lên H, với H Δ L = G H.

G , trong đó 1   1 G , 1 H  là đơn vị của L Hơn nữa công thức

Chứng minh.Tr-ớc hết chúng ta kiểm tra luật kết hợp Giả sử g , u , x  G và

 g , h u , v    x , y   gu , h u v      x , y   gu x ,   h u v x y    g   ux ,   h u x v x y    g   ux , h ux   v x y 

Theo định nghĩa 1   1 ,1 G H  là đơn vị; nghịch đảo của g h , đ-ợc cho bởi

 g  1 ,  g  1 h  1  Do đó L tạo thành một nhóm với phép toán đ-ợc xác định ở trên Định nghĩa phép toán chứng tỏ rằng        gg '   g  g ' ,        hh '   h  h ' Do đó

 và  là các đồng cấu và G     G , H     H là các nhóm con Hơn nữa theo định nghĩa ta có       g , h   g  h ,        g 1  h  g     h g Từ đó H  L  G H Rõ ràng, ta có G  H   1 

1.2.2 Định nghĩa Nhóm L đ-ợc xây dựng trong mệnh đề 1.2.1 đ-ợc gọi là tích nửa trực tiếp của G và H với tác động 

Các nhóm con G và H được đồng nhất với G và H thông qua các đồng cấu tương ứng  và  Chúng ta xem xét G và H như các nhóm con của tích nửa trực tiếp L bằng cách áp dụng các phép đồng nhất giữa G với G và H với H.

Chú ý: Phép liên hợp bởi phần tử g của G cảm sinh một tự đẳng cấu của H mà nó trùng với tự đẳng cấu    g đ-ợc cho bởi tác động  của G lên H

Khi một nhóm toán tử G tác động lên một nhóm H, tập hợp các phần tử của H không thay đổi dưới tác động của mọi phần tử g trong G, được định nghĩa là: { h ∈ H | φ(g)(h) = h, ∀ g ∈ G } là một nhóm con của H Nhóm con này tương ứng với H ∩ CL(G) trong tích trực tiếp và được ký hiệu là CH(G) để mở rộng ý nghĩa của ký hiệu.

Khi làm việc với một nhóm G và nhóm toán tử phức tạp trên G, chúng ta có thể nhúng các nhóm này vào tích nửa trực tiếp, áp dụng các ký hiệu được đề cập trong bổ đề 1.2.3.

Trong ví dụ 1.1.3, nhóm con GH thuộc về nhóm L, tuy nhiên, cần lưu ý rằng GH không nhất thiết phải đẳng cấu với tích nửa trực tiếp tương ứng với  do các điều kiện cụ thể.

Trong lý thuyết nhóm, ký hiệu g không đúng trong L, dẫn đến quy tắc trong bổ đề 1.2.3 có thể mang hai nghĩa cho cùng một ký hiệu Tuy nhiên, tác động của phần tử g thuộc G lại có cùng một ký hiệu trên H trong L và trong tích nửa trực tiếp Do đó, hai định nghĩa này đều nhất quán và không gây ra sự nhầm lẫn.

Một nhóm G được gọi là tích nửa trực tiếp của hai nhóm con H và K nếu H là một phần của G và H nhân K bằng G, đồng thời H và K không có phần tử chung nào khác ngoài phần tử đơn vị Định nghĩa này không đối xứng giữa H và K, vì vậy nhóm con nào là chuẩn tắc trong G là yếu tố quan trọng trong việc xác định tính chất của tích nửa trực tiếp.

Tích nửa trực tiếp, như đã được định nghĩa trong định nghĩa 1.2.2, là một trong các tích nửa trực tiếp được đề cập trong định nghĩa 1.2.4 Chúng ta sẽ chứng minh rằng tích nửa trực tiếp này là đẳng cấu với một tích nửa trực tiếp khác thông qua một tác động nào đó Do đó, tính từ "trong" thường bị biến mất trong ngữ cảnh này.

1.2.5 Mệnh đề Giả sử G là tích nửa trực tiếp trong của các nhóm con H và

Giả sử    u là một đẳng cấu của H đ-ợc cảm sinh bởi phép liên hợp của

K u  Thế thì u là một tác động của K trên H , và tích nửa trực tiếp K và H theo  đẳng cấu với G

Trong ví dụ 1, chúng ta đã chứng minh rằng  là tác động của K lên H Giả sử L là tích nửa trực tiếp của K và H theo , thì phần tử của L sẽ được xác định dựa trên các yếu tố của K và H.

L là một cặp   k , h của các phần tử k  K và h  H Giả sử f là hàm đ-ợc xác định bởi   k , h  kh  G

Theo giả thiết, G  HK  KH nên f là toàn ánh Đối với k , u  K và h , v  H , định nghĩa tích trong L cho ta    k , h u , v   ku ,      u h v 

Trong không gian G, có công thức \( f(k, h, u, v) = ku(h(u, v)) \) Với \( h(u) = u^{-1} h u = \theta(h(u)) \), hai công thức này chứng minh rằng f là một đồng cấu Nếu phần tử \( (k, h) \) nằm trong hạt nhân của f, thì \( kh = 1 \) hay \( k = h^{-1} \in K \cap H = \{1\} \) Do đó, hạt nhân của f là \( \{1\} \), cho thấy f là đẳng cấu.

Cấu trúc của tích nửa trực tiếp không chỉ phụ thuộc vào các nhóm H và

G , mà còn phụ thuộc vào tác động  Nếu tác động  tầm th-ờng, nghĩa là

Tích trực tiếp của hai nhóm bất kỳ luôn tồn tại và được gọi là tích nửa trực tiếp phù hợp với tác động tầm thường Lớp đẳng cấu của tích trực tiếp này được xác định duy nhất bởi hai nhóm G và H.

Một tích nửa trực tiếp H và G là một tích trực tiếp nếu và chỉ nếu K là nhóm con chuẩn tắc trong G Nếu G là một tích trực tiếp, tác động của K trên H là tầm thường, dẫn đến H và K giao hoán với nhau theo từng phần tử Do đó, K phải là nhóm con chuẩn tắc trong G.

K giao hoán đ-ợc với nhau theo từng phần tử Do đó, G là một tích trực tiếp

1.2.6 Mệnh đề Giả sử rằng một nhóm là tích của hai nhóm con H và K sao cho H  K   1 (chẳng hạn, giả thiết rằng G là tích nửa trực tiếp của H và

K ) Thế thì mỗi phần tử g của G đ-ợc viết d-ới dạng hk , h  H , k  K một cách duy nhất Nếu G hữu hạn , thì G  H K

Chứng minh rằng G = HK cho phép g được viết dưới dạng g = hk Nếu hk = h'k' với h, h' ∈ H và k, k' ∈ K, thì ta có h'⁻¹h = 1 và k'k⁻¹ = 1, dẫn đến h = h' và k = k' Do đó, sự biểu diễn này là duy nhất Khẳng định cuối cùng là rõ ràng.

1.2.7 Bổ đề Nếu hai nhóm con H và K của một nhóm G thoả mãn các điều kiện H  K   1 , H  N G   K , K  N G   G , thế thì mỗi phần tử của H giao hoán đ-ợc với mỗi phần tử của K )

1.2.8 Định lý Giả sử U và V là hai tập con của nhóm G và L là nhóm con của G Nếu U là tập con của L thì UV  L  U  V  L 

1.2.9 Mệnh đề Giả sử G là tích nửa trực tiếp của các nửa nhóm con H và

K sao cho H G Thế thì N G   K  H giao hoán đ-ợc từng phần tử với K , và ta cã N G   K  H  C H   K , N G   K  KC H   N

Chứng minh Định lý đẳng cấu thứ hai chứng minh rằng N G   K  H  N G   K Vì H  K   1 nên K và N G   K giao hoán đ-ợc với nhau theo từng phần tử

(Theo Bổ đề 1.2.7) Do đó N G   K  H  C H   K áp dụng Định lý 1.2.8 cho

Giả sử  là một tác động của một nhóm G lên một nhóm H khác Một nhóm con U của H đ-ợc gọi là G bất biến nếu    g U  U , với mọi g  G

Chú ý Nếu một nhóm con U là bất biến, mỗi    g cảm sinh một tự đẳng cấu

 của U ; do đó G trở thành một nhóm toán tử trên U với cái thu hẹp  của 

Nếu một nhóm con G bất biến U chuẩn tắc thế thì G tác động lên nhóm th-ơng

H U Tác động đ-ợc xác định bởi   Ux g  Ux g Để chứng tỏ tác động này xác định chúng, ta cần chứng tỏ rằng

Ux  kéo theo Ux g  Uy g Nếu Ux  Uy , thế thì xy 1  U Vì U là G bất biến, nên   xy  1 g  x g   y  1 g  x g   y g  1  U và do đó Ux g  Uy g

Ch-ơng 2 Một số định lý về dãy nhóm con chuẩn tắc

2.1 Định lý mịn hoá Schreier

2.1.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Dãy

1 0 1 (1) đ-ợc gọi là dãy chuẩn tắc nếu G i  G , với mọi i =1,2, ,n

Dãy (1) đ-ợc gọi là dãy á chuẩn nếu G i  G i  1 , với mọi i = 0,1, ,n-1

G  1 đ-ợc gọi là th-ơng, còn n đ-ợc gọi là độ dài của dãy (1)

G  1 là nhóm xyclic, với mọi i = 0,1, ,n-1 thì G đ-ợc gọi là nhóm đa xyclic

Nhóm G đ-ợc gọi là mở rộng của nhóm A bởi nhóm B , nếu trong G tồn tại nhóm con chuẩn tắc H sao cho H  A , B

2.1.2 Định lý Giả sử G là một nhóm với dãy chuẩn tắc (1) i) Nếu H  G thì 1  H 0  H 1   H n  H , trong đó H i  G i  H là một dãy chuẩn tắc của H , hơn nữa i i i i

H  1   1 ; ii) Nếu H G thì khi lấy ảnh của các thành phần của dãy (1) qua đồng cấu tự nhiên

G p :  , chúng ta nhận đ-ợc dãy chuẩn tắc trong

G  1 là ảnh đồng cấu của i i

Chứng minh Hệ thức H i  H i  1 và G i  G i  1 , còn trong tr-ờng hợp dãy chuẩn tắc:

H i  , G i  G đ-ợc kiểm tra trực tiếp Hơn nữa, nếu sử dụng định lý đồng cấu, ta cã: i i i i i i i i i i G

1 Định lý đ-ợc chứng minh 

Hai dãy á chuẩn được xem là đẳng cấu khi chúng có độ dài bằng nhau và mỗi phần tử trong dãy này tương ứng một-một với phần tử trong dãy kia, với các phần tử tương ứng này đẳng cấu với nhau.

2.1.4 Định nghĩa +) Cặp   , G  gồm một tập  và một nhóm G đ-ợc gọi là một nhóm với miền toán tử  nếu tồn tại một hàm  :   End G , trong đó

End là tập tất cả các tự đồng cấu của 

+) Hàm  đ-ợc gọi là một tác động của  lên G ; mỗi phần tử thuộc  đ-ợc gọi là một toán tử

+) Một nhóm với miền toán tử  đ-ợc gọi là một  - nhóm Nếu    thì

 là một tự đồng cấu của G ; Chúng ta sẽ viết      x  x 

2.1.5 Ví dụ Nếu một nhóm Q là một nhóm toán tử trên G , thế thì cặp  Q, G  là một nhóm với miền toán tử Q

2.1.6 Định nghĩa Giả sử G là một - nhóm Một nhóm con H đ-ợc gọi là

 - bất biến, hay một  - nhóm con, nếu H   H đối với mọi   

Một số tính chất của đạo nhóm

2.2.1 Định nghĩa Một nhóm G gọi là nhóm giải đ-ợc nếu có một dãy pháp ảnh G 0  G  G 1   G r   1 sao cho mỗi nhóm th-ơng i i

2.2.2 Mệnh đề Giả sử f : G  G ' là một đồng cấu Khi đó

(ii) ker   f là nhóm con của G ;

(iii) Nếu H là nhóm con của G thì f   H   f   x x  H  là nhóm con của G ' Nếu H ' là nhóm con của G ' thì ảnh ng-ợc f  1   H '   x  G f   x  H '  là nhóm con của G ;

Đối với hai phần tử x và y trong G, ta có f(x) = f(y) nếu và chỉ nếu x và y thuộc cùng một lớp ghép phải của ker(f) Đặc biệt, nếu f là toàn ánh, thì f sẽ là đẳng cấu khi và chỉ khi ker(f) chỉ chứa phần tử đơn vị 1_G.

(v) Nếu hai tập con A và B liên hợp với nhau trong G thì f   A và f   B liên hợp trong G ' ;

Nếu G là một nhóm giải đ-ợc, thì mọi nhóm con và nhóm thương của G cũng đều là nhóm giải đ-ợc Ngược lại, nếu H là một nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương, thì điều này khẳng định tính chất giải đ-ợc của nhóm G.

G H giải đ-ợc thế thì G giải đ-ợc

Chứng minh Giả sử H là một nhóm con của nhóm giải đ-ợc G Thế thì G có dãy pháp ảnh   G i thoả mãn điều kiện của định nghĩa 2.2.1 Giả sử

H i  i  Thế thì H 0  H , H r   1 và H i  H i 1  G i vì G i  G i  1 nên định lý đẳng cấu thứ hai chứng minh rằng H i 1  H i và i i i i i

H  1 là một nhóm con của i i

G  1 Các phát biểu trên chứng tỏ rằng   H i là một dãy pháp ảnh của H sao cho mỗi th-ơng i i

H  1 là nhóm abel Do đó theo định nghĩa H là nhóm giải đ-ợc

Hơn nữa, Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc Giả sử

G f :  là đồng cấu chính tắc thì f   G i  G i Do đó theo mệnh đề 2.2.2(vi) ta cã G i  G i  1 Định lí Đẳng cấu thứ nhất chứng minh rằng i i i i

Nhóm th-ơng cuối cùng đẳng cấu với   

Nh- vậy,   G i là một dãy pháp ảnh của G H sao cho nhóm th-ơng i i

G  1 là nhóm abel với mọi i  1 , 2 , , r Do đó G H giải đ-ợc Để chứng minh điều ng-ợc lại ta cần đến bổ đề sau:

2.2.4 Bổ đề Giả sử G 0  G  G 1   G s   1 là một dãy pháp ảnh của

G  Giả sử G i là nhóm con t-ơng ứng của G i trong Định lí T-ơng ứng

G  , i  1 , 2 , , s ThÕ th× G 0  G  G 1   G s  H   1 là một dãy pháp ảnh của G , hơn nữa i i i i

Nếu G i là giải đ-ợc, tất cả các nhóm th-ơng i i G

G  1 có thể lấy là aben

Nếu H là một nhóm giải được, chúng ta có thể tối ưu hóa dãy trên thành một dãy mà tất cả các nhóm thương đều aben Do đó, G sẽ được coi là giải được.

2.2.5 Định nghĩa Giả sử x và y là hai phần tử của nhóm G Phần tử dạng xy y x  1  1 đ-ợc gọi là hoán tử của x và y ; ký hiệu x  1 y  1 xy    x , y

Nhóm con hoán tử của một nhóm G, được sinh ra bởi tất cả các hoán tử, được gọi là đạo nhóm hay nhóm con hoán tử, ký hiệu là G' hoặc G(1) hoặc D(G) Đạo nhóm thứ hai, là nhóm con hoán tử của nhóm con hoán tử, được ký hiệu là G''.

Tổng quát, nhóm con hoán tử của G   i đ-ợc viết là G   i  1 , và dãy nhóm con

G  đ-ợc gọi là dãy đạo nhóm Chúng ta viết     i i

Nếu G hữu hạn, ta có G     G   n , với số nguyên n nào đó

Dễ thấy   x , y  1  x và y là giao hoán,   x , y  x  1 x y    y  1 x y

2.2.6 Bổ đề Một đồng cấu chuyển một hoán tử thành hoán tử của các ảnh

Chứng minh Giả sử f là một đồng cấu Theo định nghĩa hoán tử , có

2.2.7 Hệ quả Đạo nhóm là bất biến hoàn toàn Đặc biệt, đạo nhóm là nhóm con đặc tr-ng Dãy đạo nhóm cũng bất biến hoàn toàn

Theo bổ đề 2.2.5, tập hợp các hoán tử ánh xạ vào chính nó bởi mọi tự đồng cấu cho thấy rằng G' là bất biến hoàn toàn Qua quá trình quy nạp, chúng ta có thể khẳng định điều này một cách chắc chắn.

2.2.8 Hệ quả Giả sử f : G  H là một đồng cấu nhóm từ G lên H Thế thì f ánh xạ đạo nhóm của G lên đạo nhóm của H : f  D   G   D  f   G 

Chứng minh: suy trực tiếp từ 2.2.5 

2.2.9 Hệ quả Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và G = G N

Giả sử H là nhóm con của G t-ơng ứng với đạo nhóm D   G sao cho

Chứng minh áp dụng hệ quả 2.1.8 đối với đồng cấu chính tử G lên G Thế thì,

D đ-ợc ánh xạ thành D (G ) Khẳng định suy ra từ định lý T-ơng ứng 

Định lý 2.2.10 cho rằng nếu D là đạo nhóm của G, thì nhóm thương G/H là nhóm Aben Nếu thay nhóm thương G/H bằng đạo chuẩn H Aben, thì H sẽ chứa D Do đó, D được xác định là đạo chuẩn nhỏ nhất đảm bảo rằng nhóm thương là Aben.

Chứng minh Trong nhóm th-ơng

G D luôn luôn có   x , y  1 Do đó x và y giao hoán đ-ợc với nhau Nếu

G H aben , ta lại có   x , y  1 Điều đó nghĩa là   x , y  H Vì D đ-ợc sinh ra bởi tất cả các hoán tử đ-ợc xác định trong G nên D  H 

Một nhóm G được coi là giải đ-ợc nếu và chỉ nếu dãy đạo nhóm của nó đạt giá trị 1 sau một số hữu hạn bước Điều này có nghĩa rằng G sẽ giải đ-ợc nếu và chỉ khi điều kiện này được thỏa mãn.

G với số nguyên n nào đó

Nếu G(n) = {1} với một n nào đó, thì dãy đạo nhóm sẽ là dãy pháp ảnh với các thương Abel, do đó G là nhóm giải được Để chứng minh mệnh đề đảo, chúng ta cần sử dụng bổ đề sau.

2.2.12 Bổ đề Nếu H là nhóm con của G thế thì đối với số nguyên d-ơng k tuú ý cã H   k  G   k )

Chứng minh rằng H là tập con của G, tức H ⊆ G, dẫn đến tập hợp các giao hoán tử của H, ký hiệu là H(1), là một phần của tập các hoán tử của G, ký hiệu là G(1), từ đó suy ra H(1) ⊆ G(1) Qua quy nạp, ta có H(k) ⊆ G(k) Tiếp theo, để chứng minh phần thứ hai của định lý 2.2.11, giả sử G là nhóm giải được, điều này dẫn đến sự tồn tại của dãy pháp ảnh {G_i} sao cho G_r = {1} và tất cả các thương i đều thỏa mãn điều kiện nhất định.

G  1 , ( i  1 , 2 , , r ) abel Chúng ta chứng minh rằng G   i  G i bằng quy nạp theo i Tr-ờng hợp i  0 là hiển nhiên Giả sử i  0 và G   i  1  G i  1 Vì i i

G  1 abel nên D   G i 1  G i theo định lí (2.2.6) Mặt khác, theo Bổ đề (2.2.8) và

G Do đó G   i  G i , do đó phép chứng minh

2.2.13 Hệ quả Nếu G là nhóm giải đ-ợc thế thì có một dãy đặc tr-ng

G sao cho các nhóm th-ơng i i

2.2.14 Hệ quả Nếu một nhóm không tầm th-ờng G giải đ-ợc, thế thì G chứa một nhóm con đặc tr-ng là nhóm abel khác   1

Dãy đạo nhóm là một dãy đặc trưng, đáp ứng các điều kiện của hệ quả 2.2.12 Đối với hệ quả 2.2.13, có thể chọn thành phần cuối cùng của dãy đạo nhóm khác với   1.

Định lý Krull - Remark - Schmidt

Tích trực tiếp của hai nhóm H và K được định nghĩa như là tích nửa trực tiếp với tác động tầm thường Do đó, tích trực tiếp của H và K là tích đề các H × K với phép toán được xác định là: (u, v)(x, y) = (ux, uy).

2.3.1 Định nghĩa Giả sử H 1 , H 2 , , H n là các nhóm Tích trực tiếp của các nhóm đó là tích đề các H 1  H 2   H n với phép toán :

 x 1 , x 2 , , x n  y 1 , y 2 , , y n    x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n  Khi đó mỗi nhóm H i đ-ợc gọi là một nhân tử trực tiếp.

Nếu 1 i là một đơn vị của H i thì  1 1 , 1 2 , , 1 n  là đơn vị của H 1  H 2   H n ; t-ơng tự    2 1 1 

1 , x , , x n   x  , x  , , x n  x Dễ kiểm tra đ-ợc tích trực tiếp thực sự là một nhóm và H 1  H 2   H n đẳng cấu với ( H 1  H 2   H n  1 )  H n

Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm H1, H2, , Hn Kí hiệu Ki là tập hợp tất cả các phần tử của G, trong đó đối với mọi j khác i, thành phần thứ j là phần tử đơn vị.

Thế thì K i là một nhóm con của G và ta có mệnh đề sau đây:

2.3.2 Mệnh đề (i) Nhóm con K i đẳng cấu với H i d-ới đẳng cấu

 1 , , x i , , 1 n   x i ; (ii) Nhóm con K i là chuẩn tắc trong G ;

(iii) Nếu K i  K j thì K i giao hoán theo từng phần tử với K j ;

(iv) G  K 1 K 2 K n và mỗi phần tử thuộc G đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng x n x x 1 2 víi x i  K i

Chứng minh Từ định nghĩa tích trong G , dễ dàng kiểm tra (i), (ii) và (iii) Phần tử của G có thể đ-ợc viết nh- là một tích các phần tử thuộc K i :

Sự phân tích này là duy nhất , bởi vì  x 1 , x 2 , , x n    y 1 , y 2 , , y n  nếu và chỉ nÕu x 1  y 1 , x 2  y 2 , , x n  y n 

2.3.3 Định lý Giả sử H 1 , H 2 , , H n là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

G sao cho G  H 1 H 2 H n Thế thì các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng: (i) Đối với mỗi i  1 , 2 , , n có H 1 H 2 H i  1  H i   1 ;

(ii) Mỗi phần tử của G có thể đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng x 1 x 2 x n trong đó i i H x  đối với tất cả i ;

Tồn tại một đẳng cấu G  H 1  H 2   H n, trong đó nhóm con H i của G tương ứng với nhóm con K i của tích trực tiếp Để chứng minh mệnh đề (i) dẫn đến (ii), ta dựa vào giả thiết G  H 1 H 2 H n, từ đó suy ra rằng mỗi phần tử của G có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các phần tử từ các nhóm con H i.

G đ-ợc viết d-ới dạng x 1 x 2 x n với x i  H i , i  1 , 2 , , n

Giả sử x 1 x 2 x m  y 1 y 2 y m với x i , y i  H i , đối với mọi i Đặt u  y 1 y 2 y m  1 ta có

  m m m x u x x x y Vế trái là một phần tử thuộc H m , trong khi đó vế phải là một phần tử thuộc H 1 / H 2 H m  1 Vì H 1 H 2 H i  1  H i   1 nên x m  y m

Do đó x 1 x 2 x m  1  y 1 y 2 y m  1 ` Lặp lại lý luận đó ta có thể kiểm tra đ-ợc tính duy nhất của sự phân tích Do đó điều kiện (i) kéo theo điều kiện (ii)

Để chứng minh rằng nếu i khác j, thì các phần tử u thuộc H i và v thuộc H j là giao hoán với nhau Theo định nghĩa, tích của u và v có thể được viết duy nhất dưới dạng tích của một phần tử từ H i và một phần tử khác từ H j.

 u vu   vuv  v u vu   1   1 Vì H i  G nên vuv 1  H i và u 1 vu  H j Bởi vậy, theo tính duy nhất của sự phân tích , có v  v u hay uv  vu

Giả sử g là một phần tử thuộc G, theo định lý (ii), g có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng g = x₁ x₂ xₙ, trong đó xᵢ thuộc Hᵢ cho mọi i Chúng ta định nghĩa hàm f từ g vào tích trực tiếp H₁ × H₂ × × Hₙ theo công thức f(g) = (x₁, x₂, , xₙ).

Giả sử h  y 1 y 2 y n , (y i  H i ) là sự phân tích của một phần tử khác thuộc G Vì x i giao hoán với y i đối với i  j , nên gh   x 1 y 1  x 2 y 2   x n y n  (*)

Nh- vậy, f    gh  x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n   f     g f h Do đó f là đồng cấu Dễ dàng kiểm tra lại các điều kiện còn lại của (iii)

(iii)  (i) Chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng K 1 K 2 K i  1  K i   1 Điều này là hiển nhiên, vì thành phần thứ i của một phần tử thuộc giao là 1 

2.3.4 Hệ quả Giả sử H 1 , H 2 , , H n là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

G sao cho H i là nguyên tố cùng nhau với H j đối với i  j Thế thì nhóm con sinh bởi các nhóm con chuẩn tắc H 1 , H 2 , , H n đẳng cấu với tích trực tiếp

Chứng minh: Nếu i  j , cấp của H i  H j chia hết cho cả H i và H j Do đó

H và H 1 H 2  H 1 H 2 Theo quy nạp, có H 1 H i = H 1 H i và

H Nh- vậy, điều kiện (i) của định lý 2.3.3 đ-ợc thỏa mãn, và H 1 H 2 H n đẳng cấu với tích trực tiếp 

Một nhóm G được gọi là tích trực tiếp của các nhóm chuẩn H1, H2, , Hn nếu G = H1H2 Hn và thỏa mãn ba điều kiện của định lý 2.3.3 Nếu nhóm G không thể phân tích được, nó được gọi là phân tích được trực tiếp Một họ các nhóm chuẩn {Hi} của G được xem là độc lập nếu nó thỏa mãn điều kiện 1) của định lý 2.3.3.

Theo định lý 2.3.3, nếu các nhóm con chuẩn tắc độc lập H₁, H₂, , Hₙ thì nhóm con sinh bởi chúng sẽ tạo thành tích trực tiếp Tuy nhiên, điều này không đúng với trường hợp ngược lại.

Giả sử H1, H2, , Hn là các nhóm và Ki là nhóm con của H1 × H2 × × Hn Theo định nghĩa, các nhóm Ki độc lập và H1 × H2 × × Hn là tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc H1, H2, , Hn Theo định lý 2.3.3, G đẳng cấu với tích trực tiếp H1 × H2 × × Hn và ánh xạ đẳng cấu Hi lên nhóm con Ki của tích trực tiếp Do đó, chúng ta có thể đồng nhất Hi với Ki và không cần phân biệt giữa tích trực tiếp trong và ngoài Chúng ta ký hiệu G = H1 × H2 × × Hn, trong đó G là tích trực tiếp trong của H1, H2, , Hn, và H i được gọi là nhân tử trực tiếp Nếu cả H và K là Ω - nhóm, thì tích trực tiếp H × K trở thành một

 - nhóm theo định nghĩa tác động của    nh- sau:   h , k    h  , k  

Quy tắc xác định một tác động từ nhóm  lên H  K cho thấy rằng nhóm  - H  K được gọi là tích trực tiếp của các nhóm  - H và K Nếu một nhóm  - G là tích trực tiếp trong của các nhóm chuẩn H 1, H 2, , H n và mỗi nhân tử H i là một nhóm , thì G sẽ là một nhóm -đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm  - H 1, H 2, , H n Để chứng minh khẳng định này, ta chỉ cần kiểm tra tính đẳng cấu.

G f : H 1  H 2   H n thoả mãn công thức f   g    f   g   Thật vậy, nếu

1 x x n x g  ( x i  H i ), thế thì f    g  x 1 , x 2 , , x n  Mặt khác, g   x 1  , , x  n , trong đó x i   H i Do đó ta có f    g   x 1  , , x n  

2.3.6 Mệnh đề Giả sử một  - nhóm là tích trực tiếp trong của các  - nhóm con H 1 , H 2 , , H m Giả sử N i là một  - nhóm con chuẩn tắc của H i đối với mỗi i Thế thì:

(i) Mỗi N i là một  - nhóm con chuẩn tắc của G ;

(ii) Giả sử N  N 1 N 2 N m Thế thì N là tích trực tiếp của các  - nhóm con

G N là  - đẳng cấu với tích trực tiếp của các  - nhãm m m

Nếu i khác j, thì H_i và H_j giao hoán theo từng phần tử, dẫn đến N_i cũng giao hoán với H_j khi i khác j Hơn nữa, N_G(N_i) bao gồm tất cả H_j, do đó N_i thuộc N_G, xác nhận rằng (i) là đúng.

Vì các phần tử N i độc lập, phần đầu của (ii) được suy ra từ định lý 2.3.3 Đối với mỗi phần tử x i của H i, giả sử x i là ký hiệu ảnh của x i thông qua đồng cấu chính tắc lên i i N.

H Hàm đ-ợc định nghĩa bởi g : x 1 x m   x 1 , , x m  là một - đẳng cấu từ G lên tích trực tiếp m m

1 Dễ thấy hạt nhân của nó là N  N 1 N 2 N m Do đó định lí T-ơng ứng chứng minh mệnh đề (ii) 

2.3.7 Mệnh đề Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm con H 1 , H 2 , , H m ThÕ th×:

Chứng minh (i) Trong tích trực tiếp quy tắc của tích trực tiếp đ-ợc cho bởi quy tắc (*) Do đó phần tử g nằm trong Z   G nếu và chỉ nếu thành phần

  i i Z H x  với mọi i Vậy (i) đ-ợc chứng minh

(ii) Ta có một đồng cấu chuyển một hoán tử thành một hoán tử của các ảnh

Do đó D   H i đ-ợc chứa trong D   G Giả sử D là vế phải của công thức (ii):

D  1  2   Thế thì D  D   G Mặt khác, mệnh đề 2.3.6 cho ta                          m    m

H aben nên theo mệnh đề 2.2.3 do đó G D aben và D  D   G Nh- vậy D  D   G 

Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm con H1, H2, , Hn, thì mỗi phần tử g thuộc G có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng g = x1 x2 xn, với xi thuộc Hi Quy tắc phép nhân (*) chứng minh rằng hàm ε: g → xi là một đồng câu từ G lên Hi.

2.3.8 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Một đồng cấu từ G vào chính nó đ-ợc gọi là một tự đồng cấu của G

Giả sử  và  là các tự đồng cấu của nhóm G, với G  và G  là các nhóm con của G Nếu các phần tử của G  giao hoán với các phần tử của G , chúng ta nói rằng G  giao hoán theo từng phần tử với G .

Chúng ta định nghĩa tổng của  và  nh- sau:

2.3.9 Định nghĩa Giả sử  và  là các tự đồng cấu của nhóm G và  là t-ơng ứng x  x  x  đ-ợc xác định trên G Khi đó:

Do đó  là một tự đồng cấu của G Ta định nghĩa tổng  và  là  và viết

   Khi G  và G  giao hoán theo từng phần tử, ta nói rằng  và  là khả tổng

Tổng của các tự đẳng cấu chỉ đ-ợc định nghĩa khi chúng khả tổng Tổng của chúng có tính chất giao hoán và kết hợp

               và các công thức sau cũng đúng:

Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm con H1, H2, , Hn, thì tồn tại các đồng cấu εi của G, trong đó ε1, ε2, , εn là các đồng cấu khả tổng chuẩn tắc thỏa mãn điều kiện: ε1 + ε2 + + εn = 1 và εi² = εi.

Chứng minh rằng vì \( \epsilon_i(G) = H_i \), từ mệnh đề 2.3.2 (iii) suy ra \( \epsilon_i(G) \) và \( \epsilon_j(G) \) giao hoán theo từng phần tử khi \( i \neq j \) Do đó, \( \epsilon_i \) và \( \epsilon_j \) là khả tổng, và từ đó kết luận rằng \( \epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_n \) là các tự đẳng cấu khả tổng từng đôi một.

Nếu g  x 1 x 2 x n , ( x i  H i ) thế thì ta có x i   i   g Do đó theo định nghĩa

  1   2    n   g   1     g  n g và  1   2    n  1 T-ơng tự ta có

 và  i   j   g   1 với i  j nên  i 2   i và  i  j  0 ( i  j ) Đối với mỗi   , có g   x 1  , , x  n Điều này kéo theo  i   g   x i  Do đó  i là một  - tự đẳng cấu