Một số định lý về nhóm hữu hạn

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ NHÓM

Khái niệm về nhóm

Nhóm là một tập hợp không rỗng các phần tử của G, cùng với một phép toán hai ngôi được gọi là phép nhân, ký hiệu là “.”, và phải thỏa mãn các tiên đề nhất định.

(1) Phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa là:

(2) G có phần tử đơn vị, tức là  e  G sao cho se = e.a = a; a  G

(3) Với mỗi phần tử a  G tồn tại trong G phần tử a’ sao cho a.a’ = a’.a e

Ta thường dùng kí hiệu (G, ) để chỉ G là một nhóm đối với phép toán nhân (.)

Nếu phép toán trên nhóm G thoả mãn điều kiện a.b = b.a, a,b G thì nhóm G được gọi là nhóm Abel (hay là nhóm giao hoán)

1.1.2 Ví dụ a) Tập hợp tất cả các số nguyên Z, tập hợp tất cả các số hữu tỷ Q, tập hợp tất cả các số thực R, tập hợp tất cả các số phức C với phép toán cộng lập thành nhóm Abel Các nhóm này lần lượt được kí hiệu là (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) b) Tập hợp tất cả các số hữu tỉ khác 0, tập hợp tất cả các số thực khác 0, tập hợp tất cả các số phức khác 0, tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương, tập hợp tất cả các số thực dương, tập hợp tất cả các số phức có môđun bằng 1, tập hợp tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1 với phép toán nhân lập thành nhóm giao hoán Các nhóm này lần lượt được kí hiệu là (Q * , ), (R *, , ), (C * , ), (Q + , ), (R + , ), (C 1 , ), (C1,n, ) c) Tập hợp tất cả các vectơ trong không gian với phép toán cộng vectơ là một nhóm giao hoán với đơn vị (phần tử trung hòa) là vectơ không d) Tập hợp các ma trận vuông không suy biến có các thành phần thuộc trường k cho trước với phép toán nhân các ma trận lập thành một nhóm Nhóm này thường được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường k và kí hiệu là GL(n, k) Nhóm này không giao hoán e) Tập hợp S n gồm tất cả các phép thế bậc n, tức là các song ánh từ {1 2, , n} lên chính nó với phép toán tích ánh xạ làm thành một nhóm Nhóm này không giao hoán

1.1.3 Tính chất Từ định nghĩa của nhóm G ta có một số tính chất sau: i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất ii) Mỗi phần tử x  G có phần tử nghịch đảo duy nhất iii) Trong G thực hiện được luật giản ước bên phải và bên trái, nghĩa là

x, y, z  G: xy = xz ( hoặc yx = zx)  y = z iv) Trong một nhóm phương trình xa = b (ax = b) có nghiệm duy nhất x ba -1 (x = a -1 b) v) Trong nhóm G x, y G  (xy) -1 = y -1 x -1

Tổng quát: Cho x1, x2, , xn là các phần tử của một nhóm G Khi đó:

Các điều kiện (2) và (3) trong định nghĩa nhóm có thể được đơn giản hóa Cụ thể, nếu G là tập hợp có phép toán thỏa mãn tính chất kết hợp, thì G là một nhóm nếu tồn tại phần tử đơn vị trái e và mỗi phần tử x trong G đều có phần tử x’ trong G sao cho x’x = e Hơn nữa, G cũng là một nhóm nếu và chỉ nếu với mọi a, b trong G, các phương trình ax = b và ya = b đều có nghiệm trong G.

Trong tính chất vi), có thể thay thế phần tử đơn vị trái e bằng phần tử đơn vị phải e, đồng thời điều kiện x’x = e có thể được thay bằng điều kiện xx’ = e Ngoài ra, trong điều kiện các phương trình có nghiệm trong vii), ta có thể thay thế bằng điều kiện aG = G và Ga = G, với mọi a thuộc G.

Các tính chất i) – v) có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh các tính chất vi) và vii) được trình bày trong tài liệu tham khảo ở cuối khóa luận và thường được gọi là các định nghĩa tương đương của nhóm.

1.1.4 Định lý Cho G là một nhóm với phần tử đơn vị kí hiệu là e và gG Nếu g r = g k với hai số nguyên dương r và k khác nhau Khi đó tồn tại số nguyên dương t sao cho g t = e Nếu kí hiệu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho g m = e thì

(2) g t = e khi và chỉ khi m là ước của t

Giả sử r > k và từ đẳng thức g^r = g^k, ta nhân cả hai vế với (g^k)^(-1) = g^(-k) = (g^(-1))^k, dẫn đến g^(r-k) = e Do đó, tồn tại một số nguyên dương t sao cho g^t = e.

Ta chọn số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho g m = e

Bây giờ, nếu 0  i < j < m và g i = g j thì j – i < m và g j-i = e Điều này trái với sự lựa chọn của m Vì vậy (1) được chứng minh

Nếu t là bội số của m (t = mk với k là số nguyên), thì ta có g^t = g^(mk) = (g^m)^k = e^k = e Ngược lại, nếu g^t = e, ta có thể chứng minh rằng t là bội số của m Dựa vào tính chất 1.1.3(iv), ta có thể viết t = mg + v (với 0 ≤ v < m), và từ đó suy ra e.

Từ sự lựa chọn của m thì không thể có 0 < v < m Do đó v = 0  m là một ước số của t và (2) được chứng minh

Bây giờ ta xét g n , cũng như chứng minh trên, ta có n = mq + w, 0  w < m và g n = g w Điều này chứng tỏ có (3)

1.1.5 Cấp của phần tử của nhóm

Giả sử G là một nhóm với đơn vị e, một phần tử a thuộc G được gọi là có cấp vô hạn nếu a m khác e với mọi m lớn hơn 0 Ngược lại, nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho a m = e, thì m được gọi là cấp của a.

Nhóm con

Chúng ta bắt đầu phần này từ việc nhắc lại định nghĩa và tiêu chuẩn nhận biết của nhóm con

1.2.1 Định nghĩa Một tập con S khác rỗng của một nhóm (G, ) được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối với phép toán và nếu (S, ) là một nhóm

1.2.2 Mệnh đề Tập S , S  G, (S, ) là nhóm con của (G, ) khi và chỉ khi

Chứng minh Điều kiện cần: (S, ) là nhóm con của (G, ) nên theo định nghĩa

(S, ) là một nhóm Do đó ta có: a, b  S thì a.b  S và  a S thì a -1  S Điều kiện đủ: Vì S   nên tồn tại x S Khi đó x -1  S và x.x -1 S, tức là phần tử đơn vị e của G thuộc S

Vì S  G nên tính chất kết hợp của phép toán đã có trên G cũng có trên tập hợp S

Do với mỗi phần tử aS ta có phần tử a -1 S nên mỗi phần tử trong S đều có nghịch đảo thuộc S

Vậy S làm thành một nhóm đối với phép toán của G, tức là S là một nhóm con của G

1.2.3 Mệnh đề Giả sử G là một nhóm và S là tập hợp con khác rỗng của G

(S,.) lập thành một nhóm con của G khi và chỉ khi: a, b  S: ab -1  S

Để chứng minh, điều kiện cần là hiển nhiên Điều kiện đủ là do S khác rỗng, nên tồn tại phần tử a thuộc nhóm G, với a thuộc S Từ điều kiện trong mệnh đề, ta có e = aa⁻¹ thuộc S.

Vậy theo Mệnh đề 1.2.2 ta có S là nhóm con của G

Mệnh đề sau đây là một ứng dụng của tiêu chuẩn nhận biết nhóm con

1.2.4 Mệnh đề Nếu A và B là các nhóm con của G thì A  B là nhóm con của G Chứng minh Rõ ràng e A  B nên A  B   Với mọi x, y  A  B

Vì thế, A  B là nhóm con

Mệnh đề 2.1.4 khẳng định rằng giao của hai nhóm con thuộc một nhóm G cũng là một nhóm con Lập luận trong chứng minh của Mệnh đề 1.2.4 vẫn áp dụng cho trường hợp có một số hữu hạn n nhóm con của cùng một nhóm Để mở rộng kết quả này cho một số nhóm con tùy ý, có thể là vô hạn, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về họ phần tử của một tập hợp, trong đó các phần tử là nhóm con của một nhóm, tạo thành một họ nhóm con.

Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và I là một tập hợp, mỗi ánh xạ từ tập hợp I vào tập hợp X được gọi là một họ phần tử của X, được chỉ số hóa bởi tập hợp I.

Mỗi ánh xạ từ tập hợp I vào X hoàn toàn xác định khi biết ảnh của tất cả các phần tử trong I, do đó, ta có thể coi họ phần tử của X được chỉ số hóa bởi tập hợp I như một danh sách ảnh của các phần tử trong I qua ánh xạ này Nếu ánh xạ là đơn ánh, danh sách sẽ gồm các phần tử phân biệt; ngược lại, nếu không phải là đơn ánh, danh sách sẽ có những phần tử trùng nhau, cho thấy một phần tử được liệt kê nhiều lần Điều này giúp phân biệt họ phần tử với tập hợp các phần tử Thường thì, một họ phần tử của X chỉ số hóa bởi tập hợp I được ký hiệu là F = {xi, i ∈ I} hoặc {xi}i ∈ I Khi I là tập hợp rỗng, ta có họ rỗng.

Ta có thể khái quát Mệnh đề 1.2.4 cho trường hợp giao của một họ khác rỗng các nhóm con của một nhóm

1.2.5 Định lý Giao của một họ khác rỗng bất kỳ những nhúm con của một nhóm G là một nhóm con của G

Xét một họ các nhóm con \( A_a \) của nhóm \( G \) và gọi \( A \) là giao của chúng Ta có \( A \neq \emptyset \) vì phần tử trung lập \( e \) của \( G \) thuộc \( A_a \) với mọi \( a \in I \), do đó \( e \in A \) Lấy hai phần tử bất kỳ \( x, y \in A \), vì \( x, y \in A \) nên \( x, y \in A_a \) với mọi \( a \in I \) Do các \( A_a \) là những nhóm con, nên \( xy^{-1} \in A_a \) với mọi \( a \in I \).

Do đó, xy -1 thuộc A, chứng tỏ A là nhóm con của G Định lý 1.2.5 là cơ sở để định nghĩa nhóm con sinh bởi một tập hợp cho trước trong một nhóm Giả sử G là một nhóm và S là tập hợp con của G, thì họ các nhóm con của G chứa S là một họ không rỗng, vì G là nhóm con của chính nó Theo Định lý 1.2.5, giao của họ nhóm con này cũng là một nhóm con của G.

Mỗi nhóm con của G chứa tập hợp S, do đó giao của chúng cũng chứa S Giao của các nhóm con này là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S, và được gọi là nhóm con sinh bởi tập hợp S, ký hiệu là Từ đó, ta có định nghĩa về nhóm con sinh bởi tập hợp S.

1.2.6 Định nghĩa Cho S là một tập hợp con của một nhóm G Ta gọi giao của tất cả các nhóm con của G chứa tập hợp S là nhóm con của G sinh bởi tập hợp S và kí hiệu là Trường hợp S chỉ gồm duy nhất 1 phần tử a thì nhóm con sinh bởi {a} được kí hiệu đơn giản là và gọi là nhóm con cyclic sinh bởi phần tử a

Từ định nghĩa, ta thấy rằng là nhóm con nhỏ nhất của G chứa tập hợp S Nếu ký hiệu phần tử đơn vị của G là e, thì = {e} và = {e} Đối với một phần tử bất kỳ a thuộc G, ta có = {a^n | n ∈ Z} Như vậy, chúng ta có thể tổng quát hóa thành một mệnh đề sau.

1.2.7 Mệnh đề Cho G là một nhóm, S là một tập hợp con khác rỗng của G Khi đó = {a1 r(1).a2 r(2) an r(n)|aiS, r(i) = 1 hoặc -1, nN * , i = 1, 2, ., n}

Tập hợp A được xác định trong { } là một nhóm con của G, bao gồm tập hợp S và là nhóm con nhỏ nhất chứa S Vì S không rỗng, tồn tại phần tử s thuộc S trong nhóm G, dẫn đến việc s.s⁻¹ thuộc A, do đó e thuộc A Với phần tử x thuộc A, x có thể được biểu diễn như tích của một số hữu hạn phần tử Phần tử x⁻¹ cũng là tích của các phần tử tương tự nhưng với thứ tự chỉ số đảo ngược và số mũ đổi dấu Với x, y thuộc A, cả hai đều là tích của hữu hạn phần tử, vì vậy tích xy cũng thuộc A Do đó, A là một nhóm con của G.

Hiển nhiên rằng A chứa mỗi phần tử thuộc S, do đó A chứa S

Nếu nhóm con B của G chứa tập S, thì B sẽ bao gồm tất cả các phần tử s thuộc S và phần tử nghịch đảo s -1 Do đó, B sẽ chứa toàn bộ các phần tử của A Trong các nhóm G giao hoán, ta có ab = ba, dẫn đến aba -1 b -1 = e cho mọi a, b thuộc G Ngược lại, trong nhóm G không giao hoán, tồn tại các cặp phần tử a, b thuộc G sao cho aba -1 b -1 khác e Chúng ta sẽ nghiên cứu nhóm con của G được sinh ra từ tập hợp các phần tử có dạng aba -1 b -1.

1.2.8 Định nghĩa Cho G là một nhóm, a va b là các phần tử thuộc G Ta gọi tích aba -1 b -1 là hoán tử của hai phần tử a, b và kí hiệu là [a, b] Nhóm con của G sinh bởi tập hợp tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con hoán tử của G và kí hiệu là G’ G’ còn được gọi là đạo nhóm của G

Các nhóm con chuẩn tắc trong một nhóm G đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả cấu trúc của nhóm và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Bài viết này hệ thống hóa một số kiến thức liên quan đến các nhóm con chuẩn tắc.

1.2.9 Định nghĩa Cho G là một nhóm và A là một nhóm con của G A được gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu với mọi phần tử a thuộc A, mọi phần tử g thuộc G luôn có g -1 ag là phần tử thuộc A

Khi G là một nhóm và A là một tập con của G, với phần tử x thuộc G, hai tập hợp xA = {xa | a ∈ A} và Ax = {ax | a ∈ A} không nhất thiết phải bằng nhau Đối với các nhóm con chuẩn tắc, có một mệnh đề liên quan.

1.2.10 Mệnh đề Nhóm con A của nhóm G là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ nếu xA = Ax, với mọi x G

Chứng minh Giả sử A là nhóm con chuẩn tắc của G và x là phần tử bất kì thuộc

Đồng cấu nhóm

1.3.1 Định nghĩa Cho A và B là các nhóm và f: AB là một ánh xạ f được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f(a.b) = f(a).f(b), với mọi a, b thuộc A

Một đồng cấu nhóm f từ nhóm A vào nhóm B được phân loại theo tính chất của nó: nếu f là đơn ánh, thì được gọi là đơn cấu; nếu f là toàn ánh, thì được gọi là toàn cấu; và nếu f là song ánh, thì được gọi là đẳng cấu.

Nhóm A được gọi là đẳng cấu với nhóm B nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu nhóm từ A lên B

Sau đây chúng tôi hệ thống hóa một số mệnh đề về tính chất của đồng cấu nhóm mà không trình bày chứng minh chi tiết

1.3.2 Mệnh đề Cho f: AB là đồng cấu nhóm Khi đó ta có các khẳng định sau:

(iii) f(U) là nhóm con của B, với mọi nhóm con U của A;

(iv) f -1 (V) là nhóm con chuẩn tắc của A, với mọi nhóm con chuẩn tắc V của B;

(v) f(U) là nhóm con chuẩn tắc của Imf, với mọi nhóm con chuẩn tắc U của A

Từ Mệnh đề 1.3.3, ta kết luận rằng Imf là nhóm con của B và Kerf là nhóm con chuẩn tắc của A Điều này cho thấy f là toàn cấu nếu và chỉ nếu Imf = B Mệnh đề tiếp theo cung cấp một điều kiện để f trở thành đơn cấu thông qua Kerf.

1.3.3 Mệnh đề Cho f: A  B là một đồng cấu nhóm Khi đó f là đơn cấu nếu và chỉ nếu Kerf = e A

Mệnh đề sau đây thường được gọi là định lý cơ bản của đồng cấu nhóm

1.3.4 Mệnh đề Cho f: A  B là một đồng cấu nhóm Khi đó nhóm thương A/Kerf đẳng cấu với Imf

Hai định lí sau đây thường được gọi là các định lí đẳng cấu nhóm

1.3.5 Định lí đẳng cấu thứ nhất Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G sao cho AB Khi đó A cũng là nhóm con chuẩn tắc của B và ta có đẳng cấu: G/B  (G/A)/(B/A)

1.3.6 Định lí đẳng cấu thứ hai Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Khi đó ta có đẳng cấu AB/B  A/(AB)

1.3.7 Định lý Cho : G  H là một đồng cấu nhóm với hạt nhân N = ker Khi đó ánh xạ g: G/N  H cảm sinh từ ánh xạ  bằng cách đặt g (xN) = (x),

x  G là một đồng cấu nhóm và là một đơn cấu Hơn nữa nếu  là toàn cấu thì g là một đẳng cấu

Để chứng minh rằng g xác định là một ánh xạ, cần chỉ ra rằng nó không phụ thuộc vào cách chọn đại diện trên lớp ghép xN, tức là nếu xN = yN thì (x) = (y) Theo giả thiết, tồn tại các phần tử a, b thuộc N sao cho xa = yN Hơn nữa, từ giả thiết, có các phần tử a, b thuộc N sao cho xa - yb Với việc chú ý rằng (a) = (b) = eH, ta có thể suy ra kết luận cần thiết.

(x) = (x) eH = (x) (a) = (xa) = (yb) = (y) (b) = (y) eH = (y) g là một đồng cấu là hiển nhiên vì: g(xN.yN) = g(xyN) = (xy) = (x).(y) = g(xN)g(yN)

Mặt khác, từ g(xN) = e H  x  ker, tức xN = eGN

Vậy g là một đơn cấu

1.3.8 Định lý Cho : G  H là một toàn cấu và N là một nhóm con chuẩn tắc ker  của G Đặt M = (N) Khi đó, M là một nhóm con chuẩn tắc của H và ta có đẳng cấu

Chứng minh Để chứng minh M là nhóm con chuẩn tắc của H ta phải chỉ ra rằng y -1 by  M, y  H , b  M

Thật vậy, vì  là toàn cấu nên tồn tại x  G và a  N sao cho (x) = y và

1 1 1 y by   ( x))   a (x) x ax)    y Xét toàn cấu chính tắc P : H  H/M Vì  là một toàn cấu nên đồng cấu hợp thành của hai toàn cấu p ◦  : G  H/M cũng là một toàn cấu

Dễ thấy rằng Ker(P     1 (M)N Nếu a  1 (M)thì tồn tại bN,

(a) = (b)  ab )  1    a ( b))  1 e Điều này chứng tỏ ab -1  N, tức là a

Vậy suy ra Ker(P    Theo định lý 1.3.7 ta có:

1.3.9 Định lý Cho  là 1 toàn cấu từ G vào G với hạt nhân K Khi đó có sự tương ứng 1 -1 giữa các nhóm con H của G và nhóm con H của G chứa

K Trong sự tương ứng đó nhóm con chuẩn tắc tương ứng với nhóm con chuẩn tắc

{1} (Hình trên biểu thị mối quan hệ đó)

Chứng minh Cho H là nhóm con của G sao cho G  H  K Khi đó

H là một nhóm con của G, được xác định bởi hàm số (h) với h thuộc H Nếu H là một chuẩn tắc trong G, thì do  là một toàn cấu, H cũng sẽ là chuẩn tắc trong G Chứng minh cho điều này có thể được thực hiện như sau:

Cho hH và gG lấy tuỳ ý Chúng ta phải chứng minh ghg  1 H Do

 là toàn cấu nên tồn tại h H và g  G sao cho: (h) = h và (g) = g Khi đó do H là chuẩn tắc trong G nên ta có: ghg -1 H Do đó, (ghg )  1 H hay là

     Điều này chứng tỏ H là nhóm con chuẩn tắc của

Ánh xạ  được định nghĩa bởi (H) = H, và chúng ta sẽ chứng minh rằng  là một ánh xạ 1-1 từ tập hợp các nhóm con H của G, với điều kiện G ≥ H ≥ K, lên tập hợp các nhóm con của G.

Trước hết ta chứng minh đây là đơn ánh Giả sử H và J là 2 nhóm con như vậy của G sao cho H và J chứa K và (H) (J) Giả sử phần tử hH, ta có

(h)(H) (J) nên tồn tại jJ sao cho j) = (h) Kí hiệu phần tử đơn vị của G là 1, khi đó trong G ta có

Như vậy: j h  1 k với k K J Do đó, h jk  J H J

Tương tự, ta cũng có J H Do đó H = J Vậy  là một đơn ánh

Bây giờ ta chứng minh  là một toàn ánh Giả sử N là nhóm con của G

Ta xét N   x : (x)   N  Khi đó N là nhóm con của G chứa K, 1N và

   Rõ ràng φ(N) = N Cuối cùng, nếu N là nhóm con chuẩn tắc trong

G thì N là chuẩn tắc trong G, điều này có thể kiểm tra bằng việc tính toán dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

Trong nghiên cứu về nhóm và các nhóm con chuẩn tắc, vai trò của chúng là rất quan trọng Các nhóm con chuẩn tắc liên quan chặt chẽ đến các ánh xạ đồng cấu nhóm Bài viết này sẽ trình bày một số vấn đề liên quan đến nhóm con chuẩn tắc và quá trình chuẩn hóa các tập hợp trong một nhóm.

1.3.10 Định nghĩa Cho G là một nhóm Ta gọi tập hợp

Z = {aG| xa = ax, x  G} là tâm của nhóm G và kí hiệu là Z hay C(G)

1.3.11 Mệnh đề Tâm của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của G

Chứng minh Với mọi a, b thuộc Z và x thuộc G ta có

(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)

Với phần tử aZ ta chứng minh a -1 Z Thật vậy, với mọi xG ta có a -1 x = (x -1 a) -1 = (ax -1 ) -1 = xa -1 Vậy a -1 Z

Cuối cùng, với mọi aZ, mọi xG ta có x -1 ax = x -1 xa = ea = aZ

Vậy ta có Z là một nhóm con chuẩn tắc của G

Chú ý rằng điều kiện xa = ax, x  G tương đương với điều kiện xax -1 = a, x  G Do đó ta cũng có thể mô tả tâm Z của nhóm G như sau: Z = {aG| xax -1 = a, x  G}

Nhóm con H của nhóm G được coi là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ nếu điều kiện xH = Hx được thỏa mãn với mọi x thuộc G Khái niệm này có thể được mở rộng để định nghĩa các nhóm con chuẩn tắc tương tự.

1.3.12 Định nghĩa Cho G là một nhóm và S là một tập hợp con của G Ta gọi tập hợp {xG | xS = Sx} là cái chuẩn hóa của tập hợp S và Kí hiệu là NS

Khi S = {a}, Na được định nghĩa là tập hợp các phần tử x thuộc G sao cho xa = ax, tức là các phần tử giao hoán với a Tâm Z của nhóm G bao gồm tất cả các phần tử a thuộc G mà tại đó Na = G.

Trong định nghĩa về chuẩn hóa của tập hợp S, chỉ yêu cầu điều kiện xS = Sx, tức là với mỗi phần tử s thuộc S, tồn tại các phần tử s’ và s’’ cũng thuộc S sao cho xs = s’x và sx = xs’’ Điều này không yêu cầu phải có xs = sx cho mọi s thuộc S.

1.3.13 Mệnh đề Cho S là một nhóm con của nhóm G Khi đó N S là một nhóm con của G và S là một nhóm con chuẩn tắc của N S

Để chứng minh rằng N S là một nhóm con của G, giả sử a, b thuộc N S Ta có (ab)S = a(bS) = a(Sb) = (aS)b = (Sa)b S(ab), do đó ab cũng thuộc N S Để chứng minh rằng a -1 thuộc N S với mọi a thuộc N S, ta nhận thấy rằng nếu S là một nhóm con của G thì S -1 = S Từ đó, ta có a -1 S = (S -1 a) -1 = (aS -1 ) -1 = Sa -1 Như vậy, N S thỏa mãn các điều kiện để trở thành một nhóm con của G.

Với mọi phần tử a thuộc S, ta có aS = Sa, điều này chứng tỏ a thuộc NS Hơn nữa, với mọi a thuộc S và b thuộc NS, ta có ab thuộc Sb = bS, do đó tồn tại một phần tử a' thuộc S sao cho ab = ba' Kết quả là b⁻¹ab = b⁻¹ba'.

= a’ S Vậy S là nhóm con chuẩn tắc của NS

Chú ý rằng S là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi N S = G

Cho G là một nhóm và a là một phần tử của G Khi đó ánh xạ f: GG cho bởi f(x) = a -1 xa là một tự đồng cấu nhóm

1.3.14 Định nghĩa Tự đồng cấu f của nhóm G cho bởi f(x) = a -1 xa, với a là một phần tử nào đó của G được gọi là tự đồng cấu trong của nhóm G

Ta có mệnh đề sau;

1.3.15 Mệnh đề Cho G là một nhóm và S là một nhóm con của G Khi đó S là nhóm con chuẩn tắc của G khi và chỉ khi S bất biến đối với tất cả các tự đồng cấu trong của nhóm G, tức là f(S) = S, với mọi tự đồng cấu trong f của G.

NHÓM HỮU HẠN

Nhóm con của nhóm hữu hạn

Nhóm con của một nhóm hữu hạn luôn là một nhóm hữu hạn Trong chương 1, chúng tôi đã đề cập đến các lớp ghép bên phải và bên trái của một phần tử trong mối quan hệ với nhóm con Đối với các nhóm hữu hạn, số lượng lớp ghép này cũng là hữu hạn Bổ đề dưới đây sẽ làm rõ mối liên hệ giữa các phần tử trong các lớp ghép, số lượng lớp ghép và cấp bậc của nhóm hữu hạn G.

2.1.1.Định nghĩa Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, với mỗi x  G các tập hợp

  được gọi tương ứng là lớp kề phải (lớp ghép phải) và lớp kề trái (lớp ghép trái) của H bởi x

Vì He = H nên H cũng là lớp ghép phải của chính nó

2.1.2 Bổ đề Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con cấp m của G Với mỗi x 

G, lớp ghép trái xH gồm m phần tử

Chứng minh Xét ánh xạ f: H  xH xác định bởi f(a) = xa, a H

Khi đó, y xH, a = x -1 y  H sao cho: f(a) = xa = x(x -1 y) = (xx -1 )y = ey = y

 a1 = a2 (vì G là nhóm nên có luật giản ước)

Do đó, f là song ánh Suy ra H  xH mà H gồm m phần tử nên xH cũng gồm m phần tử

2.1.3 Định lý (Định lý Lagrange) Cấp của một nhóm hữu hạn bất kỳ là bội số cấp của mọi nhóm con cuả nó

Giả sử G là một nhóm hữu hạn có cấp n và H là nhóm con của G với cấp m Ta chứng minh rằng n chia hết cho m Để làm điều này, ta phân hoạch G thành các lớp ghép trái (hoặc lớp phải) và giả sử có k lớp ghép Vì số phần tử trong các lớp này đều bằng nhau và bằng m (cấp của H), nên số phần tử của G sẽ là mk Với giả thiết G có n phần tử, ta có n = mk, điều này chứng tỏ rằng |G| là bội của |H|, hay G = |H|.[G: H].

Trong định lý Lagrange, H được xem như một nhóm con của G Nếu H là nhóm con chuẩn tắc, ta có thể xây dựng nhóm thương, và cấp của nhóm thương chính là số lớp ghép trái của G theo H, tức là |G/H| = [G: H] Điều này dẫn đến những hệ quả quan trọng.

2.1.4 Hệ quả Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con chuẩn tắc của

G Khi đó cấp của G là một bội số cấp của nhóm thương G/H

Từ định lý 2.1.4 ta có thể tổng quát hóa nhƣ sau:

2.1.5 Định lý Giả sử T là một nhóm con của S và S là một con của G, trong đó

G là một nhóm hữu hạn Khi đó:

Chứng minh Giả sử {x1, …, xm}(tương ứng {y1, …yn} là các tập đại diện của các lớp kề trái của S trong G (tương ứng của T trong S) Khi đó,

    m G :S ; n S: T và G, S được phân tích thành các hợp rời rạc

Theo luật giản ước ta có: i i 1 i n m n i j i 1 j 1 x S x y T x y T

Vậy x y , i 1,m; j 1,n i j    là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G

 [G: T] = m.n = [G: S].[S: T] Định lý được chứng minh

Mỗi phần tử trong nhóm G sinh ra một nhóm con cyclic, và nếu G là nhóm hữu hạn, nhóm cyclic này cũng sẽ hữu hạn Cấp của nhóm cyclic được sinh bởi phần tử a được dùng để định nghĩa cấp của a Từ định lý Lagrange, chúng ta có thể rút ra những hệ quả quan trọng.

2.1.6 Hệ quả Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là một ước cấp cuả G

Một trường hợp đặc biệt của nhóm hữu hạn là các nhóm có cấp nguyên tố p, trong đó p chỉ có hai ước số là 1 và p Do đó, mọi phần tử của nhóm G có cấp hoặc là 1 (phần tử đơn vị e) hoặc là p Các phần tử khác e chỉ có thể có cấp p, dẫn đến việc mỗi phần tử khác e sinh ra một nhóm cyclic cấp p trong G Vì G chỉ có p phần tử, các nhóm con cyclic sinh bởi phần tử khác e phải bằng nhóm G Kết luận, G là nhóm cyclic.

2.1.7 Hệ quả Mọi nhóm hữu hạn cấp nguyên tố đều là nhóm cyclic và ta có thể chọn một phần tử bất kì khác đơn vị e của G làm phần tử sinh của nhóm G

Từ Hệ quả 2.1.7, chúng ta có thể nghiên cứu tính giao hoán của một số nhóm hữu hạn đơn giản Đầu tiên, chúng tôi sẽ chứng minh một Bổ đề liên quan đến các nhóm chỉ có phần tử cấp 1 và 2 Bổ đề này không chỉ giới hạn trong các nhóm hữu hạn, nhưng nó sẽ được áp dụng trong quá trình chứng minh mệnh đề tiếp theo, vì vậy chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về Bổ đề này.

2.1.8 Bổ đề Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị là e sao cho mọi phần tử x thuộc G thỏa mãn điều kiện x 2 = e Khi đó G là một nhóm giao hoán

Chứng minh Giả sử a và b là các phần tử bất kì của G Ta chứng minh ab = ba

Từ điều kiện x² = e với mọi x thuộc G, ta suy ra rằng x⁻¹ = x Điều này dẫn đến (ab)⁻¹ = ab, a⁻¹ = a, và b⁻¹ = b Hơn nữa, từ đẳng thức (ab)⁻¹ = b⁻¹ a⁻¹, ta có thể kết luận rằng ab = ba.

2.1.9 Mệnh đề Mọi nhóm có cấp bé hơn hay bằng 5 đều là nhóm giao hoán

Nếu nhóm G có cấp 1, thì G chỉ chứa phần tử đơn vị, do đó G là nhóm giao hoán Trong trường hợp G có cấp 2, 3 hoặc 5, vì các cấp này là số nguyên tố, G sẽ là nhóm cyclic và cũng là nhóm giao hoán Chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp G có cấp 4, khi đó cấp của mọi phần tử trong G sẽ bị giới hạn.

Nếu nhóm G có một phần tử cấp 4, thì G là nhóm cyclic và do đó là nhóm giao hoán Ngược lại, nếu G không có phần tử cấp 4, thì nó chỉ chứa phần tử e cấp 1 và ba phần tử còn lại có cấp bằng 2.

2 Những nhóm như vậy là nhóm giao hoán theo bổ đề 2.1.8

Tất cả các nhóm có cấp 7 đều là nhóm giao hoán vì chúng là nhóm cyclic với cấp nguyên tố Tuy nhiên, trong trường hợp các nhóm cấp 6, chúng có thể vừa giao hoán vừa không giao hoán Ví dụ, nhóm S3 là nhóm cấp 6 không giao hoán, trong khi nhóm cyclic cấp 6 lại là nhóm giao hoán Do đó, nhóm cấp 6 có thể có tính chất giao hoán hoặc không tùy thuộc vào cấu trúc của nhóm.

Phép thế bậc n được định nghĩa là một song ánh từ tập hợp {1, 2, …, n} vào chính nó Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu là.

Nhóm Sn được hình thành từ phép toán tích ánh xạ và còn được gọi là nhóm đối xứng cấp n Mỗi song ánh từ tập X lên X được xem là một phép thế của X, và tập hợp tất cả các phép thế này được ký hiệu là S(X) hoặc P(X) Khi áp dụng phép toán tích ánh xạ, P(X) trở thành một nhóm Nếu tập hợp X có n phần tử, P(X) được gọi là nhóm các phép thế bậc n Trong ký hiệu Sn, ta đã lấy X = {1, 2, …, n} Việc thay đổi X bằng một tập hợp khác có cùng n phần tử không ảnh hưởng đến các chứng minh, chỉ là sự chuyển dịch ngôn ngữ cho phù hợp Định lý sau đây sẽ làm rõ vai trò của các nhóm phép thế của một tập hợp.

2.1.10 Định lý (Định lý Keli) Mọi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng S n

Chứng minh Giả sử G {x , , x } 1 n là nhóm con hữu hạn cấp n; P(G) là nhóm các song ánh từ G lên G

Với mỗi a  G, ta có ánh xạ a: G  G cho bởi a(a) = axlà một song ánh Thật vậy, x, y  G nếu có  a (x)  a (y)

 ax = ay  x = y (sử dụng luật giản ước trong G) Vậy a là đơn ánh Với mọi g  G,  x = a -1 g  G thỏa mãn

Vậy  a là một song ánh Điều này chứng tỏ a là một phép thế của tập hợp G, tức là a P(G)

Chúng ta chứng minh ánh xạ : G  P(G) với aa là một đồng cấu nhóm Cụ thể, ta có a.b) = ab Đối với mọi x thuộc G, ta nhận thấy rằng ab(x) = (ab)x = a(bx) = a(bx) = a(b(x)) Từ đó, ta có (a b)(x), điều này chứng tỏ rằng ab = a b cho mọi a, b thuộc G.

G Do đó, (a.b) = (a) (b); a, b  G Vậy  là một đồng cấu nhóm từ G vào P(G)

Mặt khác, nếu a, b  G mà (a) = (b)  a = b  a(e) = b(e) (e là đơn vị của nhóm G)  ae = be  a = b Điều này chứng tỏ  là đơn ánh Vậy  là đơn cấu nhóm từ G vào P(G)

Vậy G  G), trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n, tức là

G đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế bậc n

2.1.11.Định lý Cho A và B là các nhóm con hữu hạn của nhóm G Khi đó

 , trong đó AB là tích các nhóm con A và B cho bởi: AB = {ab| aA, bB}

p – Nhóm và Nhóm con p- Sylow

2.2.1 Định nghĩa Cho p là một số nguyên tố Nhóm G được gọi là p - nhóm nếu cấp của mỗi phần tử của G là hữu hạn và là luỹ thừa của p

Nếu G là một nhóm hữu hạn và cấp của G là lũy thừa của một số nguyên tố p, thì cấp của mọi nhóm con và mọi phần tử của G cũng sẽ là lũy thừa của số nguyên tố p.

G và mọi nhóm con của G đều là các p- nhóm Các ví dụ sau đây thuộc loại nhóm như vậy

2.2.2 Ví dụ 1 Giả sử A 3 là nhóm các phép thế chẵn bậc 3 Khi đó cấp của A3 là 3

Khi đó cấp của e là 1 = 3 0 , cấp của f1 và f2 là 3 = 3 1 Vậy mọi phần tử của A3 đều có cấp là bội số của số nguyên tố 3 nên A 3 là 3- nhóm (p = 3)

2 Giả sử G là nhóm sinh bởi các phần tử a và b với quan hệ a 4 = b 2 = e và ba = a -1 b

Khi đó: G = {e; a; a 2 ; a 4 ; b ; ba; ba 2 ; ba 3 }

Nhóm G có cấp 2 và 3 bằng 8, do đó mọi phần tử trong nhóm G đều có cấp là ước số của 8 Các ước số của 8 bao gồm 1 (2^0), 2 (2^1), 4 (2^2) và 8 (2^3) Vì vậy, cấp của tất cả các phần tử trong G đều là lũy thừa của 2, cho thấy G là một 2-nhóm (với p = 2).

3 Mọi nhóm G thỏa mãn điều kiện x 2 = e trong Bổ đề 2.1.8 là một 2- nhóm (p = 2)

2.2.3 Mệnh đề Nhóm con, nhóm thương của p – nhóm là p – nhóm

Chứng minh i) Chứng minh nhóm con của một p - nhóm là p - nhóm

Giả sử G là một p-nhóm với cấp độ p^n, trong đó p là số nguyên tố và n là số tự nhiên Nếu H là nhóm con của G, thì cấp của H sẽ là ước số của p^n, tức là |H| = p^m với m là số tự nhiên không lớn hơn n Cấp của mỗi phần tử a thuộc H cũng là ước số của p^m Vì p là số nguyên tố, nên p^m chỉ có các ước số là lũy thừa của p, điều này chứng tỏ H là một p-nhóm Do đó, nhóm con của một p-nhóm luôn là p-nhóm Hơn nữa, nhóm thương của một p-nhóm G cũng là một p-nhóm.

Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của p – nhóm G, thì nhóm thương G/H được xác định bởi nhóm con chuẩn tắc H Cấp của nhóm thương G/H tương ứng với số lớp ghép của G theo nhóm con H, hay nói cách khác, |G/H| = [G: H].

Sử dụng công thức |G| = |H|.[G: H], với chú ý rằng |G| = p n và |H| = p m (n

 m), ta có [G: H] = p n-m Do đó |G/H| = p n-m Từ đó mọi phần tử của G/H có cấp là ước số của p n-m nên cũng là lũy thừa của p Vậy G/H là một p-nhóm

Giả sử có một họ các nhóm F = {Gi}i∈I với phần tử đơn vị e i của mỗi nhóm Gi Từ đó, ta xây dựng tích Descartes G của họ F và thực hiện phép toán theo từng thành phần, tạo thành một nhóm G Nhóm G này được gọi là tích trực tiếp của họ các nhóm F Đối với các p-nhóm hữu hạn, ta có một mệnh đề quan trọng.

2.2.4 Mệnh đề Tích trực tiếp của một họ hữu hạn các p- nhóm là p - nhóm

Chứng minh Giả sử  G | i 1,n i   là họ hữu hạn các p – nhóm và G là tích trực tiếp của họ đã cho Ta có n i  1 2 n i i  i 1

Phép toán trên G được xác định như sau: với g = (g1, g2, …, gn) và h = = (h1, h2, , hn), tích gh = (g1h1, g2h2, , gnhn)

Chúng ta chứng minh rằng G là một p-nhóm với cấp hữu hạn Mỗi phần tử g = (g1, g2,…, gn) của G có cấp là lũy thừa của p, vì gi thuộc p-nhóm Gi Giả sử p là cấp của g mi, với mỗi i = 1, 2, , n Khi đó, p1 là bội chung của các p và mi, tức là p1 ∈ G Điều này chứng tỏ rằng cấp của g là ước số của p1, và ước số này cũng là một lũy thừa của p Do đó, G khẳng định là một p-nhóm.

2.2.5 Định lý Giả sử G là p - nhóm cấp hữu hạn với p là số nguyên tố Khi đó tâm Z của G chứa thực sự nhóm con đơn vị {e}

Theo đẳng thức phân tích nhóm G theo lớp các phần tử liên hợp, ta có |G| = |Z| + aZ[G: Na] Vì G là một p-nhóm, nên p là ước của |G| và cũng là ước của [G: Na] với mọi aZ, dẫn đến p là ước của |Z|, từ đó suy ra |Z| > 1 Hơn nữa, phần tử đơn vị e của G thuộc tâm Z, do đó Z chứa thực sự nhóm con đơn vị {e}.

2.2.6 Hệ quả Nếu G là một p - nhóm hữu hạn thì G chứa nhóm con chuẩn tắc của cấp p

Chúng ta chứng minh rằng Z là một nhóm con của G Do p là ước của |Z|, nên Z chứa một phần tử c có cấp p Nhóm con cyclic C sinh bởi phần tử c được xác định là C = < c > = {1, c, …, c^(p-1)} Như vậy, C là nhóm con của G có cấp p.

Ta chứng minh C là nhóm con chuẩn tắc Thật vậy, với mọi x  G và c i C (c i cũng thuộc Z), ta có xc i x -1 = xx -1 c i = c i C

Như vậy C là một nhóm con chuẩn tắc của G có cấp p

2.2.7.Định lý Nếu G là p - nhóm hữu hạn của cấp p r thì có một chuỗi nhóm con:  1 G0 G1  Gr G sao cho G i là nhóm con chuẩn tắc của G và

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp theo r

Nếu r = 1 thì G 1 = G và điều phải chứng minh là đã rõ Theo hệ quả 2.2.6 thì G có nhóm con chuẩn tắc G 1 của cấp p

Xét GG / G 1 và đồng cấu tự nhiên : GG

Bây giờ G p r 1  và theo các giả thiết quy nạp có chuỗi:

Sao cho: G i chuẩn tắc trong G và G i 1  : G i   p

Giả sử Gi là nghịch ảnh của G, tức là i Gi = {g : g ∈ G | φ(g) ∈ G i}, thì Gi là nhóm con chuẩn tắc của G Từ đó, ta có Gi 1 + / Gi ≅ Gi 1 + / Gi = p.

2.2.8 Định lý Cho G là một p- nhóm hữu hạn và cho S là nhóm con thực sự của

G Khi đó N S chứa thực sự S

Chứng minh: Chúng ta biết rằng với mọi tập hợp con S của nhóm G ta luôn có

S NS Ta chứng minh N S chứa thực sự S

Bằng phương pháp quy nạp theo G Nếu G là abel (đặc biệt là khi |G| p) thì mỗi nhóm con là chuẩn tắc trong G

Hình trên minh hoạ mối liên hệ

Ta cũng thấy rằng Z là tâm của G được chứa trong NS, đối với mọi tập con của S của

Giả sử Z là một tập con của S, và G/Z là đồng cấu tự nhiên Nếu Z có ít nhất một phần tử, ta có thể kết luận rằng G/Z là một p-nhóm, và G/Z nhỏ hơn G Từ giả thiết quy nạp, ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các nhóm con này.

N của S S trong G chứa thực sự S

Giả sử N là nghịch ảnh của N S đối với , từ N S  S suy ra N  S Để hoàn thành chứng minh, ta giả sử N  N S Nếu g thuộc N và s thuộc S, thì (gsg) - 1 = (g) (s) (g) - 1 phải thuộc S, vì (g) thuộc N s Do đó, gsg - 1 thuộc S với mọi g thuộc N, dẫn đến gSg - 1 thuộc S cho mọi g thuộc N Cụ thể, vì N là nhóm con, ta có gSg - 1 thuộc S, từ đó suy ra S thuộc gSg - 1 Điều này chứng tỏ rằng nếu g thuộc N thì gSg - 1 = S, do đó N thuộc N s.

2.2.9 Hệ quả Mỗi nhóm con chỉ số p trong một p - nhóm hữu hạn là một nhóm con chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử S là một nhóm con chỉ số p của p- nhóm hữu hạn G

Ta có pG :SG : Ns N :Ss  Do NS chứa thực sự S, ta có

N :Ss 1 Do đó:pN :Ss  và 1G : Ns , tức là G = N s Điều này chứng tỏ

S là nhóm con chuẩn tắc của G

2.2.10 Định lý Cho G là một p - nhóm hữu hạn và S là nhóm con của G Nếu S bị chứa thực sự trong G thì tồn tại một nhóm con T của G sao cho:

(2): S là nhóm con chuẩn tắc của T

Chứng minh Ta biết rằng S là nhóm con chuẩn tắc thực sự của Ns Trong

NN / Ss có nhóm con T cấp p (hình trên)

Ta có nghịch ảnh T theo đồng cấu tự nhiên N s N, trong đó N là nhóm con của Ns chứa S Do {1} là nhóm con chuẩn tắc của T, nên S cũng là nhóm con chuẩn tắc của T.

2.2.11 Hệ quả Nếu G là một p- nhóm hữu hạn, khi đó mỗi nhóm con thật sự S của G có một chuỗi SH 0 H 1   H m G sao cho H i là chuẩn tắc trong

2.2.12 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố và |G|

= p r n, trong đó p không là ước của n Một nhóm con P của G được gọi là nhóm con p-Sylow của G nếu |P| = p r

2.2.13 Ví dụ Xét nhóm Z 12 có cấp 2 2 3 (p = 2, r = 2, n = 3) Trong Z 12 có nhóm con A = {0, 3, 6, 9} có cấp 4 = 2 2 Nhóm con A là nhóm con 2-Sylow của nhóm Z12

Trong phần sau đây chúng tôi trình bày lại các định lý thường được gọi là các định lý Sylow về các nhóm hữu hạn

2.2.14 Định lý (Định lí Sylow thứ nhất) Đối với một số nguyên tố p bất kì, mỗi nhóm hữu hạn G luôn có nhóm con p-Sylow

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số mũ của p trong cấp của G Nếu |G|

Nếu G là nhóm tầm thường {e}, thì {e} chính là nhóm con p-Sylow với r = 0 Trong trường hợp G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố không chia hết cho cấp của G, nhóm con p-Sylow của G cũng là nhóm con đơn vị Do đó, kết luận của định lý Sylow thứ nhất đúng trong các trường hợp này.

Xét trường hợp |G| = p^r n với p không là ước của n và r > 0, ta có G chứa một nhóm con S sao cho p không là ước của [G: S] Điều này dẫn đến việc p^r phải là ước của |S| Theo giả thiết quy nạp, nhóm con S chứa một nhóm con p-Sylow cấp p^r, và nhóm con này cũng là nhóm con p-Sylow của G Do đó, ta có thể giả thiết rằng đối với mọi nhóm con S của G, p là ước của [G: S] Từ đây, ta có thể rút ra đẳng thức phân tích cấp của nhóm G.

Theo định lý, ta có |G| = |Z| + aZ[G: Na], từ đó suy ra rằng p là ước của Z, vì p là ước của phần trong dấu  Kết quả đã biết cho thấy Z chứa một phần tử a cấp p, do đó là một nhóm con chuẩn tắc của G Xét G = G/, ta có |G| = p^(r-1)n Theo giả thiết quy nạp, G chứa nhóm con p-Sylow P cấp p^(r-1) Gọi P là nghịch ảnh của P qua phép chiếu tự nhiên, ta chứng minh |P| = p^r Vì P = P/, ta có kết quả mong muốn.