trắc địa trong không gian metric
Cung trắc địa, đường trắc địa
1.1.1 Định nghĩa: Đường cong trong không gian metric X là một hàm liên tục : a b ; X với a b ; , a b a gọi là điểm đầu, b gọi là điểm cuối Ta nói là đường cong trong X đi từ a đến b
Ví dụ: Hàm số : 1;1 2 t t t ; 2 là một hàm liên tục trong 2 , 1 A 1;1 , 1 B 1;1 Do đó là một đường cong trong 2 đi từ A đến B
1.1.2.Định nghĩa : Cung trắc địa trong không gian metric X là hàm bảo toàn khoảng cách : a b ; X với a b a b , ,
Nhận xét : Cung trắc địa : a b ; X là đơn ánh, liên tục nên nó cũng là đường cong trong X
1) Đường cong : 1;1 2 t t t ; 2 không là cung trắc địa vì nó không bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì
2) Cho x y, là 2 điểm phân biệt trong không gian Ơclit E n Hàm
là cung trắc địa của
E n đi từ x đến y Thật vậy, s t, 0; x y ta có:
Suy ra là hàm bảo toàn khoảng cách và 0 x , x y y là cung trắc địa đi từ x đến y
1.1.3.Định lí: Cho x y, là 2 điểm phân biệt trong E n và : a b ; E n là đường cong trong E n đi từ x đến y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
1)Đường cong là cung trắc địa
2) Đường cong thỏa mãn phương trình y x t x t a y x
3) Đường cong có đạo hàm không đổi ' : a b ; E n với chuẩn bằng 1 Chứng minh:
Từ 1) suy ra 2): Giả sử là cung trắc địa, đặt l b a
Xét đường cong : 0; l E n cho bởi s a s x Ta có s t , 0; : l
Suy ra là cung trắc địa và
và l phụ thuộc tuyến tính Do đó tồn tại số k 0 sao cho :
Từ 3) suy ra 1): Giả sử ' t không đổi với mọi
; ' ' t a b t a Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:
Vậy là cung trắc địa
1.1.4 Định nghĩa : Đoạn trắc địa nối từ x đến y trong không gian metric X là ảnh của một cung trắc địa : a b ; X mà điểm đầu là x, điểm cuối là y Kí hiệu là x y ,
Trong không gian E^n, đoạn thẳng nối hai điểm x và y được xác định bởi hai đầu mút x và y Đoạn thẳng này được định nghĩa là tập hợp các điểm z thuộc E^n, với z được biểu diễn dưới dạng z = x + λ(y - x), trong đó 0 ≤ λ ≤ 1.
thì t 0; y x : 0;1 ảnh của chính là đoạn thẳng với các mút x,y
Vậy là cung trắc địa
1.1.5 Định nghĩa: Không gian metric X là không gian lồi trắc địa khi và chỉ khi với mỗi cặp điểm phân biệt x,y của X có duy nhất một đoạn trắc địa trong X nối từ x đến y
Ví dụ: E n là không gian lồi trắc địa
1.1.6 Định nghĩa: Không gian metric X là không gian liên thông trắc địa khi và chỉ khi mỗi cặp điểm phân biệt x,y của X được nối bởi 1 đoạn trắc địa trong X
Không gian metric lồi trắc địa là một dạng không gian liên thông trắc địa, nhưng không phải mọi không gian liên thông trắc địa đều là không gian lồi trắc địa Ví dụ minh họa cho nhận xét này sẽ được trình bày trong mục 1.3.
1.1.7 Định lí: Cho x y , và y z , là các đoạn trắc địa lần lượt nối từ x đến y và từ y đến z trong không gian metric X Khi đó, tập x y , y z , là đoạn trắc địa nối từ x đến z trong X khi và chỉ khi
) Điều kiện cần: Giả sử x y , y z , là đoạn trắc địa nối từ x đến z, tức là có 1 cung trắc địa : a c ; X sao cho a x , c z Vì
, y x y y z , nên tồn tại b a c ; sao cho:
) Điều kiện đủ: Giả sử có d x z , d x y , d y z ,
Gọi : a b ; X và : b c ; X lần lượt là các cung trắc địa đi từ xđếnyvà từ y đến z
Khi đó với a s t c ta có các trường hợp sau:
Suy ra d s , t t s là hàm bảo toàn khoảng cách trên
a c ; và a x , c z là cung trắc địa đi từ x đến z mà ảnh của là x y , y z , Vậy x y , y z , là đoạn trắc địa nối từ x đến z
1.1.8.Mệnh đề: Đoạn trắc địa nối 2 điểm x, y trong không gian metric
Thật vậy, đặt A z X d x y : , d x z , d z y , ta có:
+) Giả sử z A d x y , d x z , d z y , Vì x y , là đoạn trắc địa nối 2 điểm x y, nên x y , là ảnh của một cung trắc địa : a b ; X sao cho a x , b y b a d x y , d x z , d z y ,
1.1.9 Định nghĩa: Các điểm x y z, , của E n được gọi là thẳng hàng, với y nằm giữa x và z, khi và chỉ khi y nằm trên đoạn thẳng nối x đến z
1.1.10 Hệ quả: Các điểm x y z, , của E n thẳng hàng, với y nằm giữa x và z khi và chỉ khi x z x y y z
Trong không gian metric X và Y, hàm : X Y bảo toàn khoảng cách địa phương nếu và chỉ nếu với mỗi điểm a thuộc X, tồn tại một số r lớn hơn 0, sao cho hàm duy trì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong hình cầu mở B a r.
- Đường trắc địa trong không gian metric X là ảnh của một hàm liên tục bảo toàn khoảng cách địa phương :J X với J
Suy ra đoạn trắc địa là đường trắc địa nhưng ngược lại chưa chắc đúng
Ví dụ: Đường trắc địa trong không gian E n là đường thẳng thuộc E n
Không gian metric X được coi là không gian trắc địa đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi đoạn trắc địa xác định bởi cung trắc địa α: [a, b] → X có thể được mở rộng thành đường trắc địa duy nhất thông qua hàm λ: → X.
Không gian metric X được coi là không gian trắc địa toàn phần nếu và chỉ nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x và y trong X, tồn tại một đường trắc địa của X nối liền cả hai điểm này.
Ví dụ: E n là không gian trắc địa đầy đủ, đồng thời cũng là không gian trắc địa toàn phần.
Độ dài cung
Cho a và b là hai số thực với a < b Một phân hoạch P của đoạn [a, b] là dãy hữu hạn {t₀, t₁, , tₘ} các số thực thỏa mãn a = t₀ < t₁ < < tₘ = b Chuẩn của phân hoạch P được định nghĩa là P = max{tᵢ - tᵢ₋₁; ∀ i = 1, m}.
Giả sử \(\mathcal{P}[a, b]\) là tập hợp các phân hoạch của đoạn \([a, b]\) Hai phân hoạch \(P\) và \(Q\) thuộc \(\mathcal{P}[a, b]\) được gọi là \(Q\) mịn hơn \(P\) khi mỗi số hạng của \(P\) là số hạng của \(Q\) Do đó, ta định nghĩa sự sắp thứ tự của \(\mathcal{P}[a, b]\) là: \(Q \leq P\) nếu và chỉ nếu \(Q\) mịn hơn \(P\).
Giả sử : a b ; X là đường cong trong không gian metric X và
P t t 0 , , , 1 t m là một phân hoạch của a b ; Độ dài P - nội tiếp của được định nghĩa là : 1
1.2.1.Định nghĩa: Độ dài của đường cong : a b ; X là
- a b , cũng là một phân hoạch của a b ; Ta có
- Đường cong được gọi là đường cầu trường được nếu và chỉ nếu
Ví dụ: Cho : a b ; X là cung trắc địa và P t t 0, , ,1 t m là một phân hoạch của a b ; Khi đó :
Suy ra b a là đường cầu trường được
1.2.2 Định lí: Giả sử : a c ; X là đường cong, b là một số nằm giữa a và c; : a b ; X , : b c ; X là các hạn chế của Khi đó ta có , hơn nữa là đường cầu trường được khi và chỉ khi , là các đường cầu trường được
+) Giả sử R là một phân hoạch của đoạn a c ; R ' R b cũng là một phân hoạch của a c ; R ' P Q với P a b ; và Q b c ; Rõ ràng R'R , R , ' R , P , Q
hay là đường cầu trường được khi và chỉ khi , là các đường cầu trường được
Nhận xét: Giả sử x y, là hai điểm phân biệt của không gian metric X liên thông trắc địa, : a b ; X là đường cong đi từ x đến y Khi đó
Dấu bằng xảy ra nếu là cung trắc địa Như vậy
ánh xạ lên a b ; một đoạn trắc địa từ x đến y và
, d x t là hàm không giảm của t Do đó bước ngắn nhất từ x đến y là dọc một đoạn trắc địa từ x đến y
1.2.3 Độ dài đường trắc địa từng khúc:
Giả sử t t 0, , ,1 t m là một phân hoạch của đoạn a b ; và
là dãy các đường cong mà điểm cuối của i 1 là điểm đầu của i Tích của 1 , 2 , , m là đường cong 1 2 m : a b; X cho bởi 1 2 m t i t với t i 1 t t i Nếu mỗi i là cung trắc địa thì
là đường trắc địa từng khúc Theo định lí 1.2.2 thì 1 2 m là đường cầu trường được và 1 2 m 1 2 m
Giả sử : a b ; X là một đường cong trong không gian metric X liên thông trắc địa P t t 0, , ,1 t m là một phân hoạch của đoạn a b ; từ đó có thể tạo ra một đường trắc địa từng khúc 1 2 m : a b; X, trong đó mỗi đoạn i là cung trắc địa nối từ t i 1 đến t i Đường trắc địa từng khúc này được gọi là nội tiếp trong và có thể biểu diễn dưới dạng ,P 1 .2 m Do đó, độ dài của được xác định là suprema của độ dài các đường trắc địa từng khúc nội tiếp .
1.2.4 Độ dài cung trong không gian Ơclit: Đường cong C 1 trong không gian Ơclit E n được định nghĩa là đường cong khả vi : a b ; E n với đạo hàm liên tục ' : a b ; E n , ' a là đạo hàm bên phải của tại a, ' b là đạo hàm bên trái của tại b.Ta có: Định lí: Nếu : a b ; E n là đường cong C 1 thì là đường cầu trường được và chiều dài của được tính theo công thức b ' a
Giả sử P t t 0, , ,1 t m là một phân hoạch của a b ; Ta có:
Suy ra là đường cầu trường được và b ' a
Với a c d b, giả sử c d , là hạn chế của trên c d ; Xét hàm
được định nghĩa bởi a 0 và t a t , ; t a ;
Giả sử a t t h b, theo định lí 1.2.2 ta có:
Tương tự với bất đẳng thức a t h t b Cho h0 ta có:
Đường trắc địa trên mặt cầu
Hình cầu đơn vị S n trong n 1 được định nghĩa là tập
S x x Metric Ơclit d E trên S n được định nghĩa là
, d E x y x y Ta sẽ định nghĩa một metric đặc trưng cho riêng S n Trước tiên ta cần nhắc lại tích có hướng các vectơ trong 3
1.3.1 Định nghĩa: Giả sử x y, là các vectơ trong 3 , x x x x 1, 2, 3 ,
1, 2, 3 y y y y Tích có hướng của hai vectơ x y, , kí hiệu x y ,được định nghĩa là một vectơ có tọa độ là: x y x y 2 3 x y x y 3 2; 3 1x y 1 3;x y 1 2 x y 2 1
1.3.2.Định lí: Nếu x y z, , , w là các vectơ trong 3 thì ta có:
Định lý trên có thể được chứng minh thông qua tọa độ vectơ và định nghĩa của tích có hướng Số thực \((x, y, z) \times\) được gọi là tích hỗn tạp của \(x, y, z\) Từ định lý này, ta có thể suy ra rằng \((x, y, z) \times = (y, z, x) \times = (z, x, y) \times\).
Từ 2) suy ra x y x 0 và x y y 0 Như vậy vectơ x y trực giao với cả hai vectơx y,
Nếu x và y khác vectơ không thì x y x y sin x y , với x y , là góc hình học giữa hai vectơ x y,
1.3.3 Định nghĩa: Cho x y, là các vectơ trong S n và x y , là góc hình học giữa hai vectơ x y, Khoảng cách cầu giữa x và y được định nghĩa là số thực d S x y , x y ,
Chú ý: 0d S x y , x y , và d S x y , y x Hai vectơ x y, của S n được gọi là đối xứng tâm khi và chỉ khi y x
1.3.4 Định lí : Hàm khoảng cách cầu d S là một metric trên S n , gọi là metric cầu
Do phép biến đổi trực giao của n+1 tác động lên S n, khoảng cách cầu được bảo toàn, cho phép chúng ta thực hiện các biến đổi trực giao trên các vectơ x, y, z của S n.
Giả sử x, y, z là ba vectơ bất kỳ trong không gian S n, chúng sẽ tạo ra một không gian vectơ con có chiều lớn nhất bằng 3 trong không gian n+1 Do đó, ta có thể giả định rằng x, y, z nằm trong không gian con 3 chiều của n+1 với cơ sở trực chuẩn {e1, e2, e3} Điều này dẫn đến giả thiết rằng n=2.
cos x y, y z, cos x y, cos y z, sin x y, sin y z,
Dấu bằng xảy ra khi x y y z x y y z x y và y z là hai vectơ cùng phương, cùng chiều
Vậy d S là một metric trên S n
Metric d E và metric d S đều tạo ra một topo trên S n Không gian metric S n, với metric cầu d S, được gọi là không gian cầu n chiều Phép đẳng cự từ S n vào chính nó được gọi là phép đẳng cự cầu Lưu ý rằng hàm này: S n → S n.
là phép đẳng cự cầu khi và chỉ khi nó là phép đẳng cự với metric d E trên S n vì : 1 2
1.3.5 Định nghĩa: Đường tròn lớn của S n là giao của S n với một không gian vectơ con hai chiều của n 1
Cho hai điểm x và y trên mặt cầu S n, nếu x và y độc lập tuyến tính, thì hệ hai vectơ {x, y} sẽ tạo ra một không gian con hai chiều V(x, y) trong không gian n+1 Từ đó, tập hợp S(x, y) = S n ∩ V(x, y) sẽ là đường tròn lớn duy nhất của S n chứa cả hai điểm x và y.
Nếu x y, phụ thuộc tuyến tính thì y kx Do x y, S n nên
1 1 x y k do x y, phân biệt y x hay hai điểm x y, là đối xứng tâm Khi đó mọi đường tròn lớn của S n nếu chứa x thì chứa x
1.3.6 Định nghĩa: Ba điểm x y z, , của S n được gọi là cộng tuyến cầu khi và chỉ khi có một đường tròn lớn của S n chứa cả x y z, ,
1.3.7 Bổ đề: Nếu ba điểm x y z, , thuộc S n và x y , y z , x z , thì ba điểm x y z, , cộng tuyến cầu
Với ba vectơ x, y, z, ta có thể tạo ra một không gian con có số chiều tối đa là 3, do đó giả sử n = 2 Từ chứng minh của định lý 1.3.4, ta có thể kết luận rằng nếu θ(x, y) + θ(y, z) = θ(x, z) thì điều này tương đương với việc tích chéo (x × y) và (y × z) lớn hơn 0.
Suy ra x y và y z phụ thuộc tuyến tính x y y z 0
Giả sử \( x, y, z \) là ba vector không đồng phẳng trong không gian \( S^n \) với \( y \neq 0 \) Khi đó, \( x, y, z \) sẽ phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là chúng nằm trong một không gian vector con hai chiều của \( S^{n+1} \) Điều này cho thấy rằng \( x, y, z \) thuộc một đường tròn lớn của \( S^n \), tức là chúng tạo thành một cộng tuyến cầu trong không gian.
1.3.8 Định lí: Cho : a b ; S n là đường cong trong S n với b a Các điều kiện sau là tương đương:
1)Đường cong là cung trắc địa
2)Tồn tại các vectơ trực giao x y, trên S n sao cho
3)Đường cong thỏa mãn phương trình vi phân '' 0
Gọi A là một phép biến đổi trực giao của n 1 , ta có A ' A ' thỏa mãn (3) khi và chỉ khi A cũng thỏa mãn (3) Do đó ta có thể tác động vào
bằng các biến đổi trực giao
Từ (1) suy ra (2) : Giả sử là cung trắc địa Lấy t a b ; ta có:
Theo bổ đề 1.3.7 thì a , t , b là cộng tuyến cầu
Mặt khác, hàm số a , b không đối xứng tâm vì điều kiện b b a Điều này dẫn đến việc a , b nằm trên một đường tròn lớn duy nhất S của S n, và ảnh của được chứa trong S Do đó, có thể giả sử n = 1 Theo công thức của phép quay, ta có thể áp dụng các giá trị cos và sin tương ứng.
thì a biến thành e 1 Vậy ta có thể giả sử
Giả sử e₁(α)(t) = α(a)(t) = cos(θ)α(a, t) = cos(t - a); ∀ t ∈ [a, b] Tương tự, e₂(α)(t) = ±sin(t - a); ∀ t ∈ [a, b] Vì α liên tục và b - a < π, nên dấu "+" hay dấu "−" trong đẳng thức trên luôn đúng với mọi t Do đó, ta có thể giả sử α(t) = [cos(t - a)]e₁ + [sin(t - a)]e₂, trong đó e₁ và e₂ là các vectơ trực giao của Sₙ.
Từ (2) suy ra (1) : Giả sử có các vectơ trực giao x y, của S n sao cho
Lấy s t, sao cho a s t b, ta có:cos s , t s t
Do t s b a nên s , t t s bảo toàn khoảng cách cầu Suy ra là cung trắc địa
Từ (2) suy ra (3): Giả sử t cos t a x sin t a y
Từ (3) suy ra (2): Giả sử '' 0; t a b ;
Vì : a b ; S n nên t 1; t a b ; t t 1 Đạo hàm hai vế theo t ta có: 2 t ' t 0 t và ' t trực giao với mọi
t a và ' a cũng trực giao Khi đó:
Vậy t cos t a x sin t a y với x a , y ' a và x y, là các vectơ trực giao với chuẩn bằng 1
Trong không gian cầu S n với metric cầu d S(x, y) = θ(x, y), cho hai điểm phân biệt x và y, nếu x và y không đối xứng tâm, sẽ tồn tại duy nhất một đường tròn lớn S của S n chứa cả hai điểm này Đoạn trắc địa trong S n nối x đến y chính là cung nhỏ của S nối hai điểm x và y.
Thật vậy, ta có S thuộc không gian con hai chiều V của n 1 Đặt e 1 x, lấy e 2 V sao cho e 2 trực giao với e 1 và e 1 e 2 1 Khi đó e e 1, 2 là một cơ sở của V
Xét hàm : 0; x y , S n cho bởi t e 1coste 2sint, ta có :
Hình vẽ 1.3.1 Theo định lí 1.3.8 thì là cung trắc địa nối từ x đến y và ảnh của chính là cung nhỏ của S vì 0 x y ,
Nếu x và y có đối xứng tâm y = -x, thì đoạn trắc địa nối từ x đến y là nửa đường tròn lớn của không gian cầu S n Điều này dẫn đến việc có vô số đoạn trắc địa trong S n nối từ x đến y Do đó, không gian cầu S n được coi là không gian liên thông trắc địa nhưng không phải là không gian lồi trắc địa.
1.3.9.Định lí: Ảnh của hàm : S n là đường trắc địa khi và chỉ khi có các vectơ trực giao x y, của S n sao cho t cos t x sin t y
Giả sử x y, là các vectơ trực giao của n 1 sao cho t cos t x sin t y
Khi đó ' t sin t x cos t y , ' ' t c o s t x s i n t y thỏa mãn phương trình vi phân '' 0 hạn chế của trên a b ; , với a b , là cung trắc địa theo định lí 1.3.8 Vậy ảnh của là đường trắc địa
Ngược lại, giả sử ảnh của là đường trắc địa trên S n Theo định lí 1.3.8 hàm thỏa mãn phương trình vi phân '' 0 nên
Theo chứng minh của định lí 1.3.8 thì
là các vectơ trực chuẩn
1.3.10.Hệ quả: Đường trắc địa của S n là các đường tròn lớn của nó
1.3.11 Định lí: Một đường cong : a b ; S n là đường cầu trường được trong S n khi và chỉ khi là đường cầu trường được trong n 1 Hơn nữa độ dài cầu của bằng độ dài Ơclit của
) Ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi :
Do đó ta có : 2 4 2 1 cos 2 ;
Theo bất đẳng thức (*) ta có:
) Gọi P là một phân hoạch của đoạn a b ; và S , P , E , P lần lượt là độ dài cầu và độ dài ƠclitP- nội tiếp của Ta có :
E lần lượt là độ dài cầu và độ dài Ơclit của Vậy là đường cầu trường được trong S n là đường cầu trường được trong n 1
) Giả sử P và tập , sup s , t t s Ta có :
Vì : a b ; S n là liên tục đều nên , 0 theo S E (2)
Tập lồi trong không gian metric
Tập lồi trong không gian vectơ
- Giả sử V là không gian vectơ thực Trong V cho hai vectơ x y, Đoạn thẳng có các mút x y, , kí hiệu là x y , được định nghĩa như sau:
- Tập AV được gọi là tập lồi nếu với mọi x y, thuộc A thì
Chú ý: Đoạn thẳng x y , còn được định nghĩa là tập
1) a b , là một tập lồi với a b V, Thật vậy: x y , a b , ta có x a 1 b , 0 1 ; y a 1 b , 0 1
Khi đó 0;1 : z x 1 y 1 a 1 1 b Đặt t 1 Vì , , 0;1 nên t 0 và
2) Trong không gian Ơclit, hình cầu mở B x r ; y E n y x r là tập lồi Thật vậy: x y , B x r , ta có y x r và z x r Khi đó
Suy ra y z , B x r , B x r , là tập lồi
2.1.2 Định nghĩa: Giả sử V là không gian vectơ Tổ hợp lồi của hữu hạn các vectơ x x 1 , 2 , ,x n V là
2.1.3 Định lí: Cho V là không gian vectơ, tập AV Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử của nó
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử A là tập lồi Lấy x i A đặt
Ta chứng minh zA theo quy nạp
(vì A là tập lồi) Vậy mệnh đề đúng với n2
+) Giả sử mệnh đề đúng với n k 2 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n k 1 Xét
1 3 k nên tồn tại i nào đó khác 1 Không mất tính tổng quát, giả sử
Tập A là một tập lồi, có nghĩa là nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử bên trong nó Để A được coi là tập lồi, điều kiện cần và đủ là A phải chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử của chính nó.
Suy ra x y , A z : x 1 y A với 0 1 x y , A A là tập lồi
2.1.4 Mệnh đề: Cho V là không gian vectơ, tập AV Tập A lồi khi và chỉ khi A A A ; , 0, , , trong đó
+) Nếu 0 thì mệnh đề luôn đúng
+) Nếu và không đồng thời bằng 0 thì 0
Điều kiện cần: Giả sử A là tập lồi Ta chứng minh A A 1 A với 0 1.Thật vậy a A:
Ngược lại: a A 1 A , giả sử a a 1 1 a 2 với a a 1 , 2 Aa là tổ hợp lồi của a a 1 , 2 a A A 1 A A
Vậy A A 1 A Điều kiện đủ : Giả sử A A 1 A ta chứng minh A là tập lồi
1) Giao khác rỗng của một họ tùy ý các tập lồi là tập lồi
2) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) các tập lồi là tập lồi
3) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi
1) Giả sử A i i I là họ các tập lồi của không gian vectơ V Đặt i i I
Khi đó x y, A x y, A i ; i I mà A i là tập lồi
Suy ra x y , A A là tập lồi
2) Giả sử A i i 1, n là các tập lồi của không gian vectơ V Đặt
Vì x y i , i A i ; i 1,n, A i là tập lồi nên
Suy ra x y , A A là tập lồi
3) Gọi V, W là gian vectơ trên và f V: W là ánh xạ tuyến tính +) Gọi A là tập lồi của V , ta chứng minh f A là tập lồi của W
Với mọi x y , f A thì tồn tại a b, Asao cho f a x f b , y Khi đó với 0;1 : z x 1 y f a 1 f b f a 1 b
Vì A là tập lồi nên a 1 b A z f A f A là tập lồi của W +) Gọi B là tập lồi của W, ta chứng minh f 1 B là tập lồi của V
Thật vậy, lấy a b , f 1 B thì f a , f b B Khi đó với 0;1 :
Suy ra f 1 B là tập lồi
2.1.6.Bổ đề: Nếu A là tập lồi trong không gian vectơ topo thì A và int A cũng là tập lồi
+) Lấy x y, A thì tồn tại hai dãy x n và y n trong A sao cho n , n x x y y khi n .Với 0;1 ta cần chứng minh
Xét dãy z n cho bởi z n x n 1 y n Ta có z n z khi n
Vì A là tập lồi nên z n x n 1 y n A z n A z A A là tập lồi
+) Lấy x y, intA thì có một lân cận U của x sao cho U A Khi đó với 0;1 xét tập U 1 y u 1 y u U Do A là tập lồi nên u 1 y A ; u U U 1 y A
Xét z x 1 y U 1 y A U 1 y là một lân cận của z trong A z intAint A là tập lồi
2.1.7 Định nghĩa : Cho V là không gian vectơ, AV Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của A, kí hiệu là co A
Nhận xét: - co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A
2.1.8.Định lí: Cho V là không gian vectơ, AV Khi đó co A là tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc A
Gọi B là tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc A Ta cần chứng minh B co A
+) co A là tập lồi nên co A chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử của nó mà A co A suy ra B co A
+) Dễ thấy AB nên để chứng minh co A B ta chỉ cần chứng minh
B là tập lồi Thật vậy, x y, B ta có :
Suy ra z là tổ hợp lồi của các phần tử x y i , j A z B B là tập lồi
Suy ra co A B Vậy B co A
1) Nếu A B, là các tập lồi trong không gian vectơ V thì
2) Nếu x co A thì co A x co A
mà co A B là tập lồi Suy ra
+) Lấy x co A B thì theo định lí 2.1.7 ta có:
Ta xét các trường hợp sau :
thì x là tổ hợp lồi của các phần tử b j B mà B là tập lồi nên xB Mặt khác BC( ứng với 0) x C
, tương tự trường hợp trên suy ra xA x C
2) Giả sử x co A A x co A co A x co A
Ngược lại A A x co A co A x coA co A x
2.1.10.Định lí: Giả sử A B, V, b V thì:
Suy ra kco A co kA co kA kco A , k
Suy ra co A b co A b co A b co A b
Suy ra co A B co A co B Mặt khác co A co A B B co A B co B
Suy ra co A co B co A B co A B co A co B
Tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa
2.2.1 Định nghĩa: Giả sử X là không gian metric Tập A X được gọi là tập lồi trắc địa nếu với mọi x y, thuộc A thì đoạn trắc địa x y , A
1) Cho x y, là hai điểm phân biệt trong không gian metric X Đoạn trắc địa x y , là tập lồi trắc địa Thật vậy, vì x y , là đọan trắc địa trong X nên nó là ảnh của một cung trắc địa : a b ; X sao cho a x và b y
Khi đó với u v , x y , , tồn tại s t , a b s ; , t sao cho s u ,
Gọi là hạn chế của trên s t ; liên tục và
, , d m n d m n m n bảo toàn khoảng cách trên s t ; hay là cung trắc địa đi từ u đến v u v , là đoạn trắc địa và
Vậy x y , là tập lồi trắc địa trong không gian metric X
2) Cho X là không gian Oclit thì đoạn trắc địa trong X là đoạn thẳng của X và tập lồi trắc địa trong X chính là tập lồi ta đã nhắc đến ở mục 2.1
3) Nửa cầu đóng của S 2 là tập lồi trắc địa Thật vậy , giả sử H là nửa cầu đóng của S 2 với biên là đường tròn lớn S Lấy x y, là hai điểm phân biệt bất kì thuộc H Ta xét 2 trường hợp:
+) Nếu x y, S thì cung nhỏ của S nối x đến y chính là đoạn trắc địa trong H x y , H
+) Nếu x y, không cùng thuộc S thì x y, không thể đối xứng tâm Có duy nhất một đường tròn lớn S' của S 2 chứa cả x và y và 0 x y ,
Suy ra cung nhỏ của S' nối x đến y nằm trong H x y , H
Vậy H là tập lồi trắc địa
4) Hình cầu mở trong không gian metric X chưa chắc là tập lồi trắc địa
sup 1;0 1 z B 0,1 không là tập lồi trắc địa
2.2.3.Định lí: Giao khác rỗng của một họ tùy ý các tập lồi trắc địa là tập lồi trắc địa
Giả sử A i i I là họ các tập lồi trắc địa của không gian metric X Đặt i i I
Khi đó x y, A x y, A i ; i I Theo giả thiết A i là các tập x y
(x,y,z) T lồi trắc địađoạn trắc địa x y , A i ; i I x y , A Alà tập lồi trắc địa
Cho x y z, , là 3 điểm không cộng tuyến cầu của S 2 , không có 2 điểm nào trong 3 điểm x y z, , đối xứng tâm Gọi S x y , là đường tròn lớn duy nhất của
S 2 chứa cả x và y; H x y z , , là nửa cầu đóng của S 2 với S x y , là biên và z thuộc phần trong của nó Tam giác cầu với các đỉnh x y z, , được định nghĩa là : T x y z , , H x y z , , H y z x , , H z x y , ,
2.2.4 Hệ quả : Tam giác cầu là một tập lồi trắc địa
2.2.5.Định lí : Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi trắc địa qua phép đẳng cự là tập lồi trắc địa
Gọi \( (X_d, X) \) và \( (Y_d, Y) \) là các không gian metric với metric tương ứng Ánh xạ \( f: X \to Y \) là một phép đẳng cự từ \( X \) vào \( Y \), đồng nghĩa với việc \( f \) cũng là đơn ánh Cụ thể, với mọi \( u \in Y \), tồn tại \( x \in X \) sao cho \( f(x) = u \) Nếu có \( x' \in X \) sao cho \( f(x') = u \), thì \( d_Y(f(x), f(x')) = d_Y(u, u) = 0 \).
Mặt khác, do f đẳng cự nên d Y f x f x , ' d X x x , ' d X x x , ' 0 ' x x f
) Giả sử A là tập lồi trắc địa trong X Ta có u v , f A tồn tại , x yA sao cho f x u , f y v Do x y , A và A là tập lồi trắc địa nên có cung trắc địa : a b ; X sao cho a x , b y và
Xét hàm : a b ; Y cho bởi t f t ; t a b ; là hàm bảo toàn khoảng cách vì là hợp thành của các phép đẳng cự Ngoài ra :
Suy ra là cung trắc địa trong Y nối từ u đến v
Vì t A ; t a b ; nên t f t f A ; t a b ; Suy ra đoạn trắc địa u v , f A f A là tập lồi trắc địa
) Giả sử B là tập lồi trắc địa trong Y Khi đó x y , f 1 B ta có
f x u B và f y v B có cung trắc địa : a b ; Y sao cho
(vì f là đơn ánh) và s t , a b ; : d X s , t d X f 1 s , f 1 t
Suy ra là cung trắc địa đi từ x đến y
Suy ra đoạn trắc địa x y , f 1 B f 1 B là tập lồi trắc địa
2.2.6 Định lí: Nếu không gian vectơ X là không gian định chuẩn , A là tập lồi trắc địa trong X thì A là tập lồi
Nếu X là không gian định chuẩn thì trong X xác định một metric
, d x y x y Để chứng minh A là tập lồi, ta chứng minh
thì z x 1 y A Thật vậy, vì A là tập lồi trắc địa nên x y, A thì đoạn trắc địa x y , A Khi đó:
Suy ra z x y , A A là tập lồi
Chú ý : Ví dụ 2.2.2.4 cho thấy mệnh đề đảo của định lí trên là không đúng
2.2.7 Định lí: Nếu X là không gian vectơ Ơclit và A là tập lồi trong X thì A là tập lồi trắc địa
Lấy x y, A và z thuộc đoạn trắc địa x y , , z x z , y , ta chứng minh z A Thật vậy, vì z x y , nên d x y , d x z , d z y , x y x z z y
Bình phương 2 vế ta có: x y x, y xz x, z z y z, y 2 xz zy
mà A là tập lồi z A Vậy A là tập lồi trắc địa
2.2.8 Định nghĩa: Bao lồi trắc địa của tập A trong không gian metric X là giao của tất cả các tập lồi trắc địa trong X chứa A, kí hiệu là d co A
Như vậy theo định lí 2.2.3, bao lồi trắc địa là tập lồi trắc địa và nếu A là tập lồi trắc địa thì d co A A
2.2.9 Mệnh đề: Nếu x d co A thì d co A x d co A
Ta có: x d co A A x d co A d co A x d co A
Mặt khác A A x d co A x d co A d co A x
2.3 Hàm lồi trong không gian metric
2.3.1 Định nghĩa: Cho A là tập lồi trắc địa trong không gian metricX
Ta nói hàm f A: là hàm lồi trắc địa nếu
2.3.2 Định lí: Cho A là tập lồi trắc địa Hàm f A: là hàm lồi trắc địa trên A khi và chỉ khi hợp thành của f với mọi cung trắc địa xác định trên một khoảng J có ảnh trong A là hàm lồi trên J (theo nghĩa thông thường)
Giả sử : ; a b A là một cung trắc địa có ảnh trong A t A t ; a b ; Đặt a x , b y x y , A và z x y z , : t t , a b ;
Vì a b ; là tập lồi trong nên t 1 a b , 0 1 t a b a t a
Khi đó f A: là hàm lồi trắc địa
2.3.3 Định lí: Nếu f g, là các hàm lồi trắc địa và 0 thì f g và
f cũng là các hàm lồi trắc địa
Giả sử A là tập lồi trắc địa trong không gian metric, f g A, : là các hàm lồi trắc địa và 0 Với mọi x y, A, x y z , x y , ta có:
Vậy f g và f cũng là các hàm lồi trắc địa
2.3.4 Định nghĩa: Giả sử A là tập lồi trắc địa trong không gian metric
X và f A: là hàm lồi trắc địa trên A Tập hợp
F xA f x được gọi là tập mức của hàm lồi f
2.3.5 Định lí: Tập mức F của hàm lồi f là tập lồi trắc địa
Giả sử A là tập lồi trắc địa và f A: là hàm lồi trắc địa trên A
Với mọi x y, F x , y ta có f x và f y Mặt khác
Suy ra z F x y , F F là tập lồi trắc địa ;
2.3.6 Định nghĩa : Cho X d , là không gian với metric d Metric d được gọi là metric F nếu x y, X và 0;1 tồn tại z X sao cho:
2.3.7 Định lí: Giả sử X d , là không gian metric F, A là tập lồi trắc địa trong X và f A: là hàm lồi trắc địa Khi đó f là nửa liên tục dưới tại x 0 A khi và chỉ khi với mọi 0 tồn tại 0 sao cho x A ta có: f x 0 f x nếu d x x , 0 và f x 0 f x d x x , 0
+) Ta có f là hàm nửa liên tục dưới tại x 0 A 0 0 sao cho nếu d x x , 0 thì f x 0 f x
thì 0 1 Vì d là metric F nên tồn tại zA sao cho
2.3.8 Định lí: Giả sử X d , là không gian metric F, A là tập lồi trắc địa trong X, f A: là hàm lồi trắc địa và x 0 A Nếu có lân cận V của x 0 sao cho f x 0 f x x V thì f x 0 f x x A
Giả sử yA V\ và f y f x 0 Vì V là tập mở nên có hình cầu mở
B x V Mặt khác, d là metric F nên tồn tại đủ bé để d x y 0, Khi đó zX thỏa mãn d x z 0, d x y 0, zB x 0, V và 0 sao cho:
Vì f là hàm lồi trắc địa nên
Suy ra f z 1 f x 0 f y f x 0 f x 0 f y Theo giả sử f y f x 0 f x 0 f y 0 f x 0 f z mâu thuẫn với giả thiết là f x 0 f z z V Vậy f x 0 f x x A
2.3.9 Định nghĩa: Giả sử A là tập lồi trắc địa trong không gian metric, : f A là hàm lồi trắc địa và x 0 A Ta định nghĩa hàm f bởi:
2.3.10 Định lí: Cho A là tập lồi trắc địa trong không gian metric,
: f A là hàm lồi trắc địa và x 0 A Nếu f x 0 0 thì
Gọi N x 0 là tập các lân cận mở của x 0 thì
Hàm lồi trong không gian metric
Trong luận văn này chúng tôi đã đạt được những kết quả sau:
* Trình bày chi tiết các khái niệm cung trắc địa, đoạn trắc địa, đường trắc địa và một số tính chất của chúng
Độ dài của cung trong không gian metric được định nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm trên đường cong Từ khái niệm này, ta có thể khẳng định rằng đoạn trắc địa là đường cong ngắn nhất nối hai điểm trong không gian metric.
* Tập hợp và chứng minh chi tiết một số tính chất của tập lồi trong không gian vectơ
* Trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của tập lồi trắc địa trong không gian metric
* Trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của hàm lồi trắc địa trong không gian metric
Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các tính chất của tập lồi trắc địa và hàm lồi trắc địa trong các không gian sử dụng các metric khác nhau trong thời gian tới.