Tính cực tiểu độ dài của đường trắc địa trên đa tạp riemann

Liên thông và đường trắc địa trên đa tạp Riemann

Đa tạp Riemann 5

1.1.1 Khái niệm đa tạp Riemann

Cho M là một đa tạp khả vi với cấu trúc Riemann g trên M, được định nghĩa là một ánh xạ p g p với p thuộc M Trong đó, g p là tích vô hướng trong không gian tiếp tuyến T M p và phụ thuộc khả vi vào p, tức là g(X, Y)(p) = g(X, Y)p p p, và g là một hàm khả vi theo p.

Khi đó ( M, g) được gọi là một đa tạp Riemann

1.1.2 Ví dụ a) Cho X, Y ∈ V(R n ), g (X, Y) =  ( , ) x y X Y, với X Y tích vô hướng thông thường,  ( , ) x y > 0 là hàm khả vi Khi đó, g là cấu trúc Riemann

 X= 0 b) Kí hiệu H =   x y ,  R y 2  0  với cấu trúc Riemann ,   can, trong đó:

    y , can là cấu trúc Riemann chính tắc ( tích vô hướng ) trên

2, gọi là nửa mặt phẳng Poincaré Khi đó (H, g) là một đa tạp Riemann hai chiều

Chứng minh: H là đa tạp với atlas: {U= H,   i d }

( x x 1 , 2 ) ( x x 1 , 2 ) i d là ánh xạ đồng nhất nên i d là đồng phôi

Do đó (H,g) là một đa tạp hai chiều

* g là cấu trúc Riemann trên H

Vậy (H,g) là một đa tạp Riemann hai chiều

1.1.3 Mệnh đề ( xem [1]) Cho M là một đa tạp khả vi, N là một đa tạp Riemann và f : M  N là một dìm Ta đặt: g( X, Y) = h( f X f Y * , * ), h là metric Riemann trên N Khi đó ( M, g) là đa tạp Riemann

Chứng minh : Ta cần chứng minh g là một metric Riemann

= g( X, Y) + g( X, Z) +) g( X,  Y) = h( f X f * , * ( )  Y ) =h( f X * ,  f Y * ) = h( f X f Y * , * ) =  g( X, Y) +) g( X, X) = h( f X f X * , * )  0 ( do h là metric Riemann) g( X, X) = 0  f X * = 0 X= 0 ( do f dìm)

Vậy g là metric Riemann ( hay ( M, g) là đa tạp Riemann)

Trong đa tạp Riemann M với metric g Giả sử  là đường cong khả vi cho bởi tham số hóa

 : J  M t  (t) với J là một khoảng mở trong (J= (a, b)) Độ dài của  được ký hiệu là l ( )  và được xác định bởi công thức: ( ) ( ', ') b a l    g   dt

Khoảng cách Riemann giữa hai điểm x và y trên đa tạp liên thông Riemann

( M, g), ký hiệu d(x,y), là infimum độ dài cung d(x,y) của tập hợp tất cả độ dài các đường cong trơn từng khúc nối hai điểm x và y

Ánh xạ khả vi f: (Mg) → (Ng) được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu và chỉ nếu với mọi p ∈ M, ta có g(f(p)) = g(p)(X, Y) cho mọi X, Y ∈ B(M) Ánh xạ f được coi là vi phôi đẳng cự khi nó không chỉ là ánh xạ đẳng cự mà còn là song ánh.

- Nếu f là ánh xạ đẳng cự thì f là phép nhúng

- Nếu f là ánh xạ đẳng cự thì f bảo toàn góc của các phương tiếp xúc và f bảo toàn độ dài đường cong.

Liên thông trên đa tạp Riemann 9

Cho đa tạp khả vi M, ký hiệu V(M) là tập các trường vectơ khả vi trên M, F(M) là tập hợp các hàm khả vi trên M

1.2.1 Định nghĩa Liên thông tuyến tính là ánh xạ

(X, Y)  X Y , thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1.2.2 Ví dụ a) Cho M = R n ,   D Khi đó  là liên thông tuyến tính

Thật vậy: D là đạo hàm của trường vec tơ Y theo vectơ X, ta có các tính chất:

Do đó: D là liên thông tuyến tính,

Mà   D   là liên thông tuyến tính b) Cho M = R 3 ,  X Y  D Y X  5 X  Y Khi đó  là liên thông tuyến tính

Vậy  là liên thông tuyến tính

1.2.3 Định nghĩa Liên thông tuyến tính  trên đa tạp Riemann M được gọi là liên thông Levi–civita nếu và chỉ nếu  thỏa mãn hai tiên đề sau: i) T(X,Y) =  X Y  Y X   X Y ,   0   X Y ,  (f)  X.Y(f) Y.X(f) ,    X Y ,  V (M)) ii) Z (X.Y)   ( Z X).Y (   Z Y).X  X Y Z , ,  V (M)

Thật vậy: Theo ví dụ 1.2.2, ta có: D liên thông tuyến tính

Vậy D liên thông Levi-civita

Mở rộng kết quả trên ta có b) Cho M khả song , Y  V (M) , Y  Y E 1 1   Y E n n , M có trường mục tiêu

 E E 1 , 2 , , E n  ,  X Y   X (Y ), , X(Y ) ; 1 n  X  V (M) Khi đó  liên thông Le vi– civita

Chứng minh (Kiểm tra trực tiếp như ở ví dụ a)

1.2.5 Định lý (xem [5]) Giả sử  M g ,  là đa tạp Riemann Khi đó tồn tại duy nhất một liên thông Levi- Civita  trên M

Trên đa tạp khả vi M, đường cong khả vi c từ J đến M có trường vectơ vận tốc c' dọc theo c Giả sử M có liên thông tuyến tính , phép đạo hàm của trường vectơ dọc theo đường cong được xác định dựa trên liên thông này.

1.2.6 Định nghĩa Với mỗi trường vectơ V dọc đường cong c: J  M, đạo hàm của một trường vectơ V dọc đường cong c, ký hiệu V' (hay DV dt ), là trường vectơ dọc c sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

- (V+W)'=V'+W' (V, W là 2 trường vectơ bất kỳ dọc c)

- (fV)'=f'V+fV' (V là trường vectơ dọc c và f là hàm số xác định trên J)

- Nếu V là trường vectơ dọc c cảm sinh bởi trường vectơ Y trên M (V t =Y c(t) ) thì V t '( )   c t '( ) Y

Trường vectơ V dọc đường cong c gọi là trường song song nếu DV dt = 0

1.2.7 Định lý (xem [5]) Phép đạo hàm trường vectơ dọc một đường cong tương ứng với một liên thông tuyến tính là xác định duy nhất

Chứng minh Trong hệ tọa độ địa phương (u 1 , u 2 ,…, u n ), giả sử trường vectơ V dọc đường cong c có tọa độ địa phương (v1, v2,…, vn),

 n k k n j i k ij i j k u dt v du dt dv dt

, trong đó hàm  ij k xác định bởi

  Điều này suy ra sự xác định và duy nhất của đạo hàm trường vectơ dọc đường cong □

Đường trắc địa trên đa tạp Riemann 13

1.3.1 Định nghĩa Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann và là liên thông Levi- Civita trên M Đường cong  : I  M khả vi lớp C 2 được gọi là đường trắc địa nếu trường vectơ  ' là trường vectơ song song dọc đường cong  , nghĩa là :

Theo Định lý 1.2.7, trong hệ tọa độ địa phương (u1, u2,…, un), đường cong c được xác định bởi c(t)=(u1(t), u2(t),…, un(t)) và đạo hàm của nó là c’(t)=(u’1(t), u’2(t),…, u’n(t)) Đường cong c được coi là đường trắc địa khi c’ là trường song song dọc theo c.

Theo phương trình trên, trong không gian Ơclit, liên thông Levi-Civita có các hàm liên thông Do đó c(t)=(u1(t), u 2 (t),…, u n (t)) là đường trắc địa khi và chỉ khi

Từ đó Đây là phương trình của các đường thẳng trong không gian.

1.3.2 Mệnh đề (xem [2]) Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann Với mọi p  M và v  T M p có tồn tại một khoảng mở I      ,  và một đường trắc địa duy nhất

Chứng minh : Giả sử  U x ,  là một bản đồ trên M sao cho p U  và đặt i i

Giả sử  : I  M  J   là đường cong khả vi,

Do đó  là đường trắc địa khi và chỉ khi ij

Hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu được xác định bởi q(0) = x(p) và w(0) = x* p(v) Trong khoảng mở I = (-ε, ε), tồn tại nghiệm duy nhất (γ₁, γ₂, , γₙ) thỏa mãn điều kiện ban đầu: (γ₁(0), γ₂(0), , γₙ(0)) = q₀ và (γ₁(0), γ₂(0), , γₙ(0)) = w₀.

1.3.3 Ví dụ (xem [2]) Giả sử S 2   p  3 | p  1  là mặt cầu đơn vị trong không gian Ơclit 3 – chiều 3 Giả sử p  S 2 với vectơ đơn vị e sao cho e p ,  0 và

, e 1 e  Xét đường tròn lớn xác định như sau:  :  S 2 t (cos t)p+ (sin t) e thì  (0)  p và  '(t)  (-sin t)p+ (cos t) e

Vậy  '(t) là trường vectơ song song dọc đường tròn lớn  (t), tức  (t) là đường trắc địa

1.3.4 Mệnh đề (xem [2]) Giả sử v  T M p là một vectơ tiếp xúc tại p  M và giả sử c  là một hằng số bất kỳ Đường trắc địa  cv là xác định tại t nếu đường trắc địa  v xác định tại ct Khi đó  cv (t)   v (ct)

Chứng minh Với mọi p  M và v  T M p Xét đường trắc địa cực đại  v : I  M sao cho:  v (0)  p và  ' (0) v  v Đặt:  (t)   v (t),   t c  1 I

Nên   '(t)  '(t)   c  '(ct) c  '(ct)   c 2  '(ct)  '(ct)  0

Suy ra  (t) là đường trắc địa vả  (c t)  1   v (t)

Mặt khác  cv (0)   p  (0) và  ' (0) cv  cv   '(0)

Phiếm hàm tác dụng và Phiếm hàm độ dài 15

1.4.1 Định nghĩa Giả sử  : I  M là một đường cong khả vi Một biến phân của  là ánh xạ khả vi:   :    ,  x I  M , (s), sao cho ∈

Nếu I    a b , thì biến phân  được gọi là riêng nếu với mọi ∈ thì

Cho M là đa tạp Riemann, 0  a  b  1 ;  : [ a , b ]  M là đường cong khả vi Đặt E t dt b a b a (  )    ' ( ) 2 , L b a (  )  b t dt a

E a b được gọi là hàm tác dụng

L b a được gọi là hàm độ dài

    đối với các hàm số f và g, lấy f=1 và g=  ' suy ra

L   Đặc biệt khi (a, b)=(0, 1) thì L 2 (  )  E (  ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi g(t)=  ' ( t ) const, tức tham số tỷ lệ với độ dài đường cong.

1.4.2 Mệnh đề (xem [9]) Giả sử  M g ,  là đa tạp Riemann Một đường cong khả vi  : I  M là đường trắc địa nếu và chỉ nếu:

( ) 0 0 b a t t d E dt    , với  là biến phân riêng của    a b , ,   a b ,  I

Chứng minh: Xét ánh xạ khả vi:   :    ,  x I  M

       là các trường vectơ dọc 

Giả sử  là biến phân riêng của    a b , , thì:

Do  là biến phân riêng nên Y (a)  Y(b)  0

( ) 0 0 b a t t d E dt    khi và chỉ khi  X X  0

Tức là  là đường trắc địa

1.4.3 Mệnh đề (xem [9]) Giả sử  M g ,  là đa tạp Riemann,  là biến phân riêng của đường cong    a b , ,   a b ,  I Khi đó nếu và chỉ bằng một phép đổi tham số, là đường trắc địa.

Tính cực tiểu độ dài của đường trắc địa 18

Đa tạp Riemann đầy trắc địa 18

2.1.1 Định nghĩa Cho p  M ,   T M p , có khoảng tối đại chứa 0 là J ( )   R mà

    là đường trắc địa với  (0)  p ,  '(0)   Đường đó ký hiệu là   và gọi là đường trắc địa tối đại

2.1.2 Nhận xét a) Giả sử  : ( ) J   M là đường trắc địa tối đại qua p và   '(0)  , ta xét ánh xạ : k : 1 J ( ) M t , (kt); t J ( )

Từ mệnh đề 1.3.4, có thể suy ra rằng đường trắc địa qua điểm p tiếp xúc với đường k Nếu xét hàm số : ( ) J   M t, thì hàm số (t) xác định đường trắc địa tối đại tiếp xúc với  Đối với mọi t thuộc J( ) , ta có J('(t) 0) = J(t ) - 0, cho thấy khoảng tối đại của đường trắc địa  tiếp xúc với '(t).

2.1.3 Định nghĩa Đa tạp Riemann  M , ,  được gọi là đầy trắc địa nếu mọi đường trắc địa tối đại của nó  : J  M xác định trên toàn bộ R  J

2.1.4 Định lý (xem [5]).Cho M là đa tạp Riemann, với hai điểm x, y thuộc M, đặt d x y ( , )  in f { d ( ),   là đường cong nối x và y}

Thế thì d là một metric trên M

Dễ dàng chứng minh rằng x=y khi và chỉ khi x thuộc vào y Mỗi đường cong nối x với y đều tương ứng với một đường cong nối y với x, và độ dài của hai đường cong này là như nhau.

+) Tiếp theo, ta có , ∈ Thật vậy, giả sử ngược lại, tức tồn tại x,y,z sao cho , khi đó có để

Tồn tại đường cong nối x và y sao cho sao cho  ,    1 d y z  2 d 

Tồn tại đường cong nối x và y sao cho sao cho  ,    2 d y z  2 d  Gọi là đường cong nối x và z hợp thành từ hai đường ,

Vậy , ∈ Do đó d là một metric và (M, d) là không gian metric

2.1.5 Định nghĩa Ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann với liên thông tuyến tính là ánh xạ: exp :   M ; v a exp( )v a (1, )v a Trong đó  là đường trắc địa tối đại trên M và   { v a  T M a a ;  M và khoảng xác định J v ( ) a của đường trắc địa tối đại  : ( ) J v a  M t ;   (t, ); t  J( )  chứa đoạn   0,1 }

Chú ý, exp định nghĩa như trên là một ánh xạ khả vi Tại mỗi a  M , exp được ký hiệu là exp a

2.1.6 Định lý Hopf-Rinow (xem   5 ) Đối với đa tạp Riemann liên thông (M,g), các tính chất sau là tương đương : i) Ánh xạ exp xác định tại mọi điểm ∈ và mọi ∈ ii) Mọi đường trắc địa tối đại xác định trên R iii) (M, d) là một không gian mêtric đầy đủ ( tức mọi dãy Cauchy trong  M d ,  đều hội tụ cũng tức là mọi tập đóng, bị chặn trong  M d , là tập compact )

Trên đa tạp Riemann liên thông đầy trắc địa, cho bất kỳ hai điểm p và q nào, luôn tồn tại một đường trắc địa cực tiểu nối chúng Tuy nhiên, điều ngược lại không nhất thiết phải đúng.

Trường hợp đặc biệt: Mọi đa tạp Riemann liên thông, compact là đa tạp Riemann đầy trắc địa

Sau đây ta xét tính đầy trắc địa của một số đa tạp Riemann hai chiều:

2.1.7 Ví dụ a) Không gian Ơclit là đa tạp Riemann đầy đủ, ở đây các đường trắc địa tối đại là các đường thẳng b) Mặt cầu trong không gian 3 chiều là đầy đủ, ở đây các đường trắc địa tối đại là các đường tròn lớn (xác định trên R).

Tính cực tiểu địa phương của đường trắc địa 21

2.2.1 Định nghĩa Cho  M g ,  là một đa tạp Riemann, hai điểm x và y thuộc M Một đường trắc địa nối x và y được gọi là đường trắc địa cực tiểu nếu độ dài của nó bằng với khoảng cách d x y ( , ),tức là độ dài đường trắc địa không lớn hơn độ dài của đường cong bất kỳ trong M nối x với y

Một đa tạp Riemann là lồi trắc địa nếu mỗi điểm x có thể nối với một điểm y bằng duy nhất một đường trắc địa cực tiểu

2.2.2 Hệ quả ( xem   5 ) Mọi đường cong khả vi trong M nối x với y có độ dài

(x, y) d đều là đường trắc địa qua một phép đổi tham số

2.2.3 Định nghĩa Đường cong trong đa tạp Riemann M được gọi là cực tiểu địa phương nếu hai điểm đủ gần nhau trên đường cong, độ dài cung đoạn của đường cong nối hai điểm đó không lớn hơn độ dài mọi đường cong trong M nối hai điểm đó

Giả sử M là một đa tạp khả vi, và TM là phân thớ tiếp xúc của M, đồng thời ánh xạ này là một đường cong khả vi Chúng ta có phiếm hàm tác động lên M nhờ vào lực F như sau:

Ta tìm hiểu đường cực tiểu phiếm hàm A trong số các đường cong cùng chung hai điểm mút

Xét biến phân riêng một tham số của đường cong , là cực tiểu phiếm hàm A nếu tương ứng với biến phân ta có:

2.2.4 Định lý (xem [7]) Đường cong  0 thỏa mãn khi và chỉ khi nó thỏa mãn các phương trình

Phương trình này được gọi là phương trình Euler- Lagrange

Tính chất cực tiểu địa phương của đường cong tương ứng với phiếm hàm xác định bởi ánh xạ F cho bởi

2.2.5 Định lý (xem [7]) Giả sử rằng ma trận là xác định dương khi x cố định Khi đó nếu  0 , thỏa mãn phương trình Euler- Lagrange thì nó cực tiểu hóa   địa phương Tức là, với mỗi đoạn con đủ nhỏ   a b 1, 1 của   a b , , đường cong  0  a b 1 , 1  là cực tiểu trong các đường cong nối p 1 =  0 ( a 1 ) với q 1 =  0 ( b 1 )

Xét ánh xạ với g là metric Riemann Kiểm tra trực tiếp ta có là xác định dương Khi đó đối với hàm tác dụng, ta có kết quả sau

2.2.6 Định lý (xem [7]) Giả sử là đường cong nối hai điểm p, q và cực tiểu hóa hàm tác dụng , tức với mọi đường cong nối hai điểm p và q Khi đó là đường trắc địa cực tiểu, tức có độ dài ngắn nhất trong tất cả các đường nối p và q

Từ các định lý 2.2.5 2.2.6 suy ra

2.2.7 Hệ quả Trong đa tạp Riemann, các đường trắc địa cực tiểu địa phương về độ dài.

Đường trắc địa cực tiểu toàn cục 23

2.3.1 Định nghĩa Đường cong trong đa tạp Riemann gọi là cực tiểu toàn cục (độ dài) nếu độ dài của nó không lớn hơn độ dài của mọi đường cong cùng chung hai đầu mút

2.3.2 Định lý (xem [6]) Với mọi p  M , tồn tại lân cận W p và  > 0 sao cho với

2 điểm bất kỳ thuộc W p có một và chỉ một đường trắc địa có độ dài bé hơn  nối

2.3.3 Định lý (xem [6]) Với W và  thỏa mãn định lý 2.3.2 và giả sử ánh xạ

 :   0,1  M là đường trắc địa nối 2 điểm của W có độ dài bé hơn  và ánh xạ

 :   0,1  M là đường cong khả vi từng khúc có chung 2 đầu mút với  Khi đó ta có:

  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi     0,1       0,1 

2.3.4 Hệ quả (xem [6]) Giả sử  :   0,1  M là đường cong với tham số tự nhiên và không dài hơn bất kỳ đường cong trong M có chung hai đầu mút với

 Khi đó  là đường trắc địa

Để chứng minh rằng đoạn đủ bé của  thuộc lân cận W, ta xét đường trắc địa chung giữa hai đầu mút với  trong lân cận này có độ dài nhỏ hơn  Theo Định lý 2.3.3 và giả thiết của , suy ra đường trắc địa và đoạn của  trong lân cận này có ảnh chung Vì  là tham số hóa tự nhiên, nên  trùng với đường trắc địa trong lân cận W, từ đó khẳng định rằng  là đường trắc địa trên toàn cục.

2.3.5 Định lý (xem [6]) Giả sử M là đa tạp Riemann compăc Khi đó tồn tại

Trong không gian M, với bất kỳ hai điểm nào, nếu khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn một giá trị nhất định δ > 0, sẽ tồn tại một đường trắc địa duy nhất nối hai điểm đó, và đường trắc địa này sẽ có chiều dài tối thiểu.

2.3.6 Ví dụ Ứng dụng tính chất trên ta thấy rằng các đường trắc địa trên siêu cầu trong không gian Ơclit có ảnh nằm trên đường tròn lớn ( giao của 2- phẳng qua tâm với siêu cầu) Thật vậy, giả sử p,q là hai điểm gần nhau thuộc một đường trắc địa trên siêu cầu sao cho đoạn trắc địa này là cực tiểu và duy nhất nối p và q Xét phép đối xứng trong không gian Ơclit qua 2- phẳng qua tâm siêu cầu và p, q Qua phép đối xứng ảnh đoạn trắc địa cũng là trắc địa và có độ dài bằng nó

Do tính duy nhất, ảnh của đoạn trắc địa phải trùng với nó, dẫn đến việc đoạn trắc địa thuộc hai mặt phẳng và do đó nằm trên đường tròn lớn, là giao điểm của hai mặt phẳng với siêu cầu Điều này cho thấy toàn bộ đoạn trắc địa có ảnh thuộc đường tròn lớn Để chứng minh tính cực tiểu toàn cục của đoạn trắc địa, nguyên lý liên quan đến dạng vi phân, gọi là nguyên lý dạng cỡ, được áp dụng Nội dung của nguyên lý này liên quan đến 1- dạng cỡ được trình bày dưới đây.

2.3.7 Nguyên lý dạng cỡ (xem [8]) Cho 1- dạng đúng  (tức trên một đa tạp Riemann,  x (v ) 1 x  với mọi vectơ đơn vị tại mọi điểm x của đa tạp Khi đó, nếu  là dạng vi phân độ dài trên đường cong chính qui có hướng T, tức

  với T x là vectơ tiếp xúc đơn vị mọi x thuộc T, thì T có độ dài ngắn nhất so với mọi đường cong trên miền và có chung các điểm mút với T

 gọi là dạng cỡ đối với đường cong T

Chú ý: Theo bổ đề Poincare, trên một miền đồng phôi với R n , mỗi dạng vi phân đóng (vi phân ngoài của dạng bằng dạng 0) cũng là dạng vi phân đúng

2.3.8 Ví dụ (Áp dụng nguyên lý dạng cỡ)

Sử dụng nguyên lý dạng cỡ, chúng ta có thể chứng minh tính cực tiểu toàn cục của các đường trắc địa trên một số đa tạp Riemann Cụ thể, đoạn thẳng trong không gian Ơclit là đường có độ dài ngắn nhất so với các đường cong nối hai điểm biên.

Phép đẳng cự bảo toàn độ dài đường cong, vì vậy chỉ cần xem xét đoạn thẳng trên trục tọa độ trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn là đủ.

Ta có một dạng vi phân đúng với mọi vectơ tiếp xúc Mặt khác, vectơ tiếp xúc đơn vị của đoạn thẳng được xét cho thấy rằng theo nguyên lý dạng cỡ, đoạn thẳng này là dạng cỡ đối với đoạn thẳng trên trục Do đó, độ dài của đoạn thẳng là ngắn nhất trong số các đường cong có cùng hai đầu mút Đoạn thẳng Lobasepxki trong nửa phẳng Poincare là một ví dụ điển hình cho điều này.

Trong nửa phẳng Poincare, các đường trắc địa được phân loại thành hai loại: nửa đường thẳng vuông góc với trục x và nửa đường tròn có tâm trên trục x Để chứng minh tính chất cực tiểu của đoạn trắc địa trong nửa đường thẳng vuông góc với trục x, chúng ta xem xét hệ tọa độ chính tắc (x,y) và dạng vi phân 1 Dạng này là đóng, do đó trên nửa phẳng Poincare, nó trở thành dạng đúng Vectơ tiếp xúc đơn vị tại điểm (x,y) được xác định, và chúng ta cũng xem xét vectơ tiếp xúc đơn vị bất kỳ tại mỗi điểm, dựa trên cơ sở chính tắc trong mặt phẳng Ơclit Đối với tích vô hướng trên nửa phẳng Poincare, chúng ta có các mối quan hệ cần thiết để phân tích.

Theo nguyên lý dạng cỡ, đoạn trắc địa cực tiểu toàn cục có thể được xác định trên nửa đường tròn tâm trên trục x Qua phép nghịch đảo đối với đường tròn này, đoạn trắc địa biến thành đoạn trắc địa thuộc nửa đường thẳng vuông góc với trục x Do phép đẳng cự bảo toàn độ dài đường cong, tính cực tiểu của đoạn trắc địa trên nửa đường thẳng suy ra tính cực tiểu của đoạn trắc địa trên nửa đường tròn.

Xét mặt cầu trong không gian Ơclit 3 chiều cho bởi tham số hóa r ( , )     x  c os cos ,y= cos sin , z =sin      

Tương ứng với hệ tọa độ   , ta có các trường vectơ tọa độ

( , )   r' ( , )     sin c os , -sin sin , cos     

Các hệ số của metric trên mặt cầu trong tham số hóa trên là

Xét dạng vi phân tọa độ d  Dạng đúng d  có d  (    )  1 và d  ( ) v  a với

  Nếu v là vectơ đơn vị, tức v  a 2  b 2 cos 2   1, ta có d  ( ) v  a  1

Dạng cỡ d  tương ứng với cung của nửa đường tròn lớn (kinh tuyến - đường tọa độ ), do đó cung này có độ dài nhỏ nhất so với các cung khác trên mặt cầu có chung các điểm mút.

Trong luận văn này chúng tôi đã làm được những kết quả như sau:

+) Trình bày một số khái niệm cơ bản về đa tạp Riemann

+) Trình bày khái niệm và một số tính chất của liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann, đường trắc địa trên đa tạp Riemann

Công thức biến phân thứ nhất là một công cụ quan trọng trong toán học, được áp dụng để phân tích sự thay đổi của các hàm số Đối với hàm độ dài, công thức này giúp xác định độ biến thiên của chiều dài theo các biến số Trong khi đó, công thức biến phân thứ nhất đối với hàm tác dụng cho phép nghiên cứu sự ảnh hưởng của các yếu tố đến giá trị của hàm tác dụng Các tính chất và mệnh đề liên quan đến công thức này cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các biến và sự biến đổi của hàm, góp phần vào việc giải quyết các bài toán phức tạp trong lĩnh vực toán học và vật lý.

+) Trình bày khái niệm, cho ví dụ và chỉ ra các điều kiện tương đương về đa tạp Riemann đầy trắc địa

+) Trình bày các khái niệm, tính chất về tính cực tiểu địa phương của đường trắc địa

Đường trắc địa cực tiểu toàn cục là một khái niệm quan trọng trong hình học Riemann, với các tính chất nổi bật liên quan đến nguyên lý dạng cỡ Việc áp dụng nguyên lý này giúp chứng minh tính cực tiểu toàn cục của đường trắc địa trong một số đa tạp Riemann, từ đó làm rõ vai trò của đường trắc địa trong việc tối ưu hóa khoảng cách trên bề mặt cong.

Hướng phát triển tiếp theo của luận văn này là nghiên cứu sâu về tính chất cực tiểu độ dài của đường trắc địa trên đa tạp Riemann với mật độ.