Về tiêu chuẩn baer đối với tác động trên nửa nhóm

Kiến thức cơ sở 5

Phạm trù và hàm tử

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về phạm trù và một số phạm trù cụ thể như phạm trù các vật, nhóm, vành, R-môđun và môđun Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến, cùng với một số hàm tử đặc biệt như hàm tử quên và hàm tử biểu diễn.

Tích và đối tích

Bài viết này trình bày khái niệm tích và đối tích, cùng với các phạm trù liên quan đến chúng Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về vật đẩy kéo phổ dụng và vật kéo phổ dụng trong cùng một phạm trù, cùng với các khái niệm liên quan khác.

Tiêu chuẩn Baer đối với tác động trên nửa nhóm 18

Định nghĩa tác động

Chúng tôi bắt đầu bằng việc giới thiệu khái niệm S-tác động, bao gồm các yếu tố co rút và co rút tuyệt đối, đồng thời chứng minh rằng tính nội xạ và tính co rút tuyệt đối trong phạm trù S-tác động là tương đồng Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm I-nội xạ và nội xạ yếu trong bối cảnh các S-tác động.

2.2 Tác dụng đầy đủ Côsi

Trình bày khái niệm dãy Côsi và dãy Côsi đầy đủ trên các S- tác động 2.4 Tiêu chuẩn Baer đối với các tác động trên nửa nhóm

Trình bày các lớp nhóm sao cho tính nội xạ trùng với tính đầy đủ, từ đó nhận được một số lớp vị nhóm μ ≈ S e, với tác động của chúng thỏa mãn tiêu chuẩn Baer.

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến PGS.TS Lê Quốc Hán cùng các thầy cô giáo trong tổ Đại số, những người đã hỗ trợ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.

Dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy cô và bạn bè.

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù và hàm tử

1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù A bao gồm trong nó các lớp vật Ob(A); đối với hai vật tùy ý A B, Ob(A), tập Mor( , )A B gọi là tập các cấu xạ từ

A đến B; đối với ba vật bất kỳ A B C, , Ob(A) một luật hợp thành (tức là ánh xạ)

Mor B C, Mor A B, Mor A B, đồng thời các tiên đề sau phải thỏa mãn:

PT1 Hai tập Mor  A B ,  và Mor  A B ', '  không giao nhau, trừ trường hợp

A A và BB', trong trường hợp đó chúng bằng nhau

Mỗi vật A thuộc tập Ob(A) đều có một cấu xạ id A trong Mor(A, B), mà tác dụng đồng nhất lên các phần tử của tập Mor(B, A) và Mor(A, B) từ bên trái và bên phải.

PT3 Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp nó xác định), nghĩa là nếu f  Mor  A B ,  , g  Mor  B C ,  và h  Mor  C D ,  thì

 h g  f  h  g f  đối với các vật A B C D, , , Ob(A)

1.1.2 Chú ý Lớp tất cả các cấu xạ của phạm trù sẽ được ký hiệu là Ar(A)(Từ chữ "arrows of A "-"các mũi tên của A ") Đôi khi, ta sẽ dùng cách viết " f  Ar  A " để biểu thị f là một cấu xạ nào đó của A , nghĩa là một phần tử thuộc một tập hợp Mor  A B ,  nào đó, trong đó A B, Ob(A)

Trong trường hợp đã hiểu rõ cấu xạ của phạm trù, chúng ta có thể gọi chính lớp các vật đó là phạm trù.

Phần tử f  Mor  A B ,  cũng được viết dưới dạng f A: B hoặc

Cấu xạ f được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại cấu xạ :g B A sao cho

Nếu AB thì ta cũng gọi đẳng cấu là tự đẳng cấu

Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu, và tập hợp các tự đồng cấu này được ký hiệu là End(A) Từ các tiên đề đã nêu, ta có thể suy ra rằng End(A) là một vị nhóm.

Giả sử AOb(A) Ký hiệu Aut( )A là tập các tự đẳng cấu của A Khi đó Aut( )A cùng với phép hợp thành cấu xạ là một nhóm

1.1.3 Ví dụ a/ Giả sử S là một phạm trù mà các vật là các tập và các cấu xạ là các ánh xạ của các tập Khi đó S được gọi là phạm trù các tập Ba tiên đề P1, P2, P3 được thỏa mãn một cách tầm thường b/ Giả sử Grp là phạm trù các nhóm, nghĩa là phạm trù mà các vật là các nhóm còn cấu xạ là các đồng cấu nhóm Ba tiên đề về phạm trù được thỏa mãn Tương tự, ta có phạm trù các vị nhóm được ký hiệu là Mon; phạm trù các nhóm Aben được ký hiệu là Ab c/ Ngoài ra còn có các phạm trù khác như phạm trù các vành được ký hiệu là Ring, phạm trù các R-môđun, được ký hiệu là R-MOD, phạm trù các môđun được ký hiệu là MOD,

1.1.4 Chú ý Giả sử A là một phạm trù Ta có thể lấy các cấu xạ thuộc A làm vật thuộc phạm trù mới C Nếu f A :  B và g A : '  B ' là hai cấu xạ của A (do đó là các vật thuộc C ), thì ta định nghĩa cấu xạ f  f ' (trong

C ) là cặp cấu xạ    ,  trong A sao cho biểu đồ sau giao hoán: nghĩa là  f g 

C là một phạm trù quan trọng trong toán học Tương tự như ánh xạ của các tập, việc trang bị cho    ,  bằng các chỉ số của f và f ' là cần thiết, nhưng trong thực tế, chúng ta thường không sử dụng chỉ số hóa này.

Về đề tài này, có nhiều phương pháp trình bày khác nhau Chúng ta có thể chú trọng vào các cấu xạ của A với vật xuất phát cố định, hoặc tập trung vào các cấu xạ có vật cuối cố định.

Chẳng hạn, giả sử A là một vật nào đó của A và giả sử A A là phạm trù mà vật là các cấu xạ

:  f X A của A trong đó A là vật cuối Cấu xạ trong A A từ f X: A đến

:  h X Y của A sao cho biểu đồ sau là giao hoán nghĩa là h f g

1.1.5 Định nghĩa Giả sử C là một phạm trù nào đó Vật POb( )C được gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C ,

Vật P trong đối tượng Ob(C) được gọi là vật tận cùng hoặc vật kéo phổ dụng nếu với mỗi X thuộc Ob(C), tập Mor(P, X) chỉ có một phần tử duy nhất.

Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là vật phổ dụng

Chú ý rằng vì vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên nếu , '

P P là vật phổ dụng thuộc C thì giữa chúng tồn tại một đẳng cấu xác định duy nhất

1.1.6 Ví dụ Giả sử :f SF là ánh xạ từ tập S vào một nhóm F nào đó,

:  g S G là một ánh xạ khác như thế Nếu ( )f S sinh ra F, thì tồn tại nhiều nhất một đồng cấu  từ nhóm F vào nhóm G sao cho biểu đồ sau giao hoán

Trong phạm trù C, các vật được định nghĩa là các ánh xạ từ tập S vào các nhóm Nếu f: S → G và f': S → G' là hai vật thuộc phạm trù này, thì cấu xạ từ f đến f' được hiểu là một đồng cấu φ: G → G' sao cho φ ∘ f = f' Điều này có nghĩa là biểu đồ của hai ánh xạ này giao hoán.

Gọi ( , )F f là nhóm tự do trên tập S Thế thì ( , )F f chính là vật khởi đầu của phạm trù C

Bây giờ ta chuyển sang khái niệm hàm tử

1.1.7 Định nghĩa Giả sử A, B là các phạm trù Hàm tử hiệp biến F từ A vào B là một quy tắc đặt mỗi vật AOb(A) ứng với mỗi vật ( )F A nào đó thuộc B và mỗi cấu xạ f A: B ứng với một cấu xạ F f     : F A  F B   sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

HT1 Đối với mọi AOb(A), có F id   A  id F   A

HT2 Đối với :f AB g B, : C là hai cấu xạ thuộc A thì

Tác động đầy đủ Côsi

Trong tiết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm tính đầy đủ đối với các

S- tác động Khái niệm này đóng vai trò quan trọng để nhận được Tiêu chuẩn Baer Thực tế, trong trường hợp khi một đơn vị e được bổ sung vào nửa nhúm S, người ta nhận được vị nhúm S e trong đú S là iđêan phải tối đại duy nhất của S e Thế thì S- nội xạ là một khái niệm đối với S e - tác động mà nó yếu hơn tính nội xạ yếu Và tính đầy đủ là một sự thể hiện đối với các tác động trên nửa nhóm S, theo nghĩa A là đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi ánh xạ S- tác động SA có thể mở rộng được thành ánh xạ S- tác động S e A, trong đó S e được xem như một S- tác động với phép toán hai ngôi của nó như tác động

Tính đầy đủ được áp dụng đầu tiên cho các đại số chiếu (projection algebras), liên quan đến các tác động trên vị nhóm (∞, min).

2.2.1 Định nghĩa Một dãy Côsi (Cauchy sequence) trên S- tác động A là một họ   a s s S  các phần tử của A thỏa mãn a t s a st đối với tất cả s t, S

Giới hạn (limit) của dãy Côsi   a s s S  trên A trong một mở rộng B nào đó của A là phần tử bB sao cho b s a s đối với tất cả sS

Dễ dàng chứng minh Bổ đề sau

2.2.2 Bổ đề Một dãy   a s s S  trên một S- tác động A có một giới hạn trong mở rộng B nào đó của A nếu là một dãy Côsi

Lưu ý rằng giới hạn của một dãy Côsi trên tác động A trong một mở rộng B không nhất thiết phải là duy nhất, trừ khi B tách biệt, tức là bs = b s' với mọi s thuộc S, thì b sẽ bằng b'.

2.2.3 Định nghĩa Một S- tác động A được gọi là đầy đủ (complete) nếu mỗi dãy Côsi trên A có một giới hạn

2.2.4 Chú ý Chú ý rằng một dãy Côsi trên một A- tác động là một cách phát biểu khác của một tác động từ S đến A Và theo quan điểm này, một dãy Côsi f S:  A có một giới hạn nếu nó có thể mở rộng được thành một ánh xạ tác động :f S e A Như vậy, A là một S- tác động đầy đủ nếu và chỉ nếu A là S- nội xạ như trên S e - tác động.

Tiêu chuẩn Baer

Chúng ta sẽ xem xét một số lớp nửa nhóm, trong đó tính nội xạ tương ứng với tính đầy đủ Từ lập luận đã trình bày ở phần đầu của tiết trước, chúng ta có thể rút ra một số lớp vị nhóm.

M S e mà tác động của chúng thỏa mãn Tiêu chuẩn Baer

Trước hết, chúng ta xét định lý sau

2.3.1 Định lý Mỗi S - tác động nội xạ là đầy đủ

Chứng minh Áp dụng Chú ý 2.2.4 hoặc chứng minh trực tiếp nó như sau: Giả sử A nội xạ, và   a s s S  là một dãy Côsi trên A Xét mở rộng

B A a  của A bởi tác động   a s s S  ta t đối với tS Vì A nội xạ nên tồn tại một ánh xạ tác động f B: A sao cho f | A id Giả sử

   s s S  f a  a Thế thì at f    a s s S   t f    a s s S  , t  f a   t a t đối tất cả tS và từ đó a là một giới hạn của   a t t S 

2.3.2 Chú ý Chú ý rằng điều đảo lại của Định lý trên có thể không đúng

Mỗi nửa nhóm S có một đơn vị trái đầy đủ như một tác động S- mà không cần phần tử không, do đó không nội xạ Việc đặt câu hỏi về thời điểm các tác động đầy đủ với zero trở thành nội xạ là hợp lý Ví dụ dưới đây chứng minh rằng câu trả lời cho câu hỏi này là phủ định.

2.3.3 Ví dụ Xét nửa nhóm S  2,3,4, ,.  và S- tác động A0,1,2,3,  với tớch lấy làm tỏc động của nú Thế thỡ dóy Cụsi trờn A cú dạng   ms s S  , đối với mN m, 0 nào đó Các dãy được đưa ra dạng trên rõ ràng là dãy Côsi Đảo lại, giả sử   a s s S  là dãy Côsi trên A, thế thì đối với tất cả , , t st s t sS a sa a t Do đó a 2 chẵn, vì nếu a 2 2k1 với k0 nào đó thì

Giả sử \( a^2 = 2m \) với \( m \geq 0 \), ta có \( a_s = ms \) cho mọi \( s \in S \) Điều này chứng tỏ rằng tập \( A \) đầy đủ, vì mọi dãy \( \{ ms \}_{s \in S} \) hội tụ về \( m \in A \) Tuy nhiên, \( A \) không nội xạ, vì nếu mở rộng \( B \) của \( A \) bao gồm tất cả các phần tử của \( A \) và tất cả bội của 1.5, thì không tồn tại đồng cấu \( f: B \to A \) với \( f|_A = id_A \) Nếu \( f \) là đồng cấu như vậy và \( f(1.5) = n \), thì sẽ có mâu thuẫn xảy ra.

Sau khi thảo luận, chúng ta tìm các nửa nhóm sao cho các tác động trên chúng có phần tử zero, dẫn đến tính đầy đủ và tính nội xạ, từ đó chúng trở nên trùng nhau Chúng ta ký hiệu Id_r(S) là poset của tất cả các iđêan phải của S.

(được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm)

2.3.4 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm sao cho  Id r   S ,   ,  là một đại số Bun Thế thì một S - tác động A với ít nhất một phần tử zero là đầy đủ nếu và chỉ nếu nó nội xạ

Bằng cách áp dụng Mệnh đề 2.1.3 và Định lý 2.3.1, chúng ta chứng minh rằng nếu một S-tác động A là đầy đủ, thì nó sẽ trở thành một cái co rút tuyệt đối Giả sử B là một mở rộng của A, chúng ta định nghĩa ánh xạ g từ B đến A.

Nếu a0 là phần tử zero của A và ab là một giới hạn của dãy Côsi, thì g là một ánh xạ tác động Đối với s thuộc S và b thuộc B, I_b là một iđêan phải, do đó S - I_b cũng là một iđêan phải theo giả thiết Nếu s thuộc I_b, ta có bsS nằm trong A, dẫn đến g(bs) = bs = a_s b = g(b_s) Đối với s thuộc S - I, ta cũng có bsS thuộc B - A.

2.3.5 Hệ quả Nếu S là một nửa nhóm sao cho  Id r   S , ,  là một đại số Bun, thế thì Tiêu chuẩn Baer đúng đối với tất cả S - tác động với ít nhất một e phần tử zero

Các nửa nhóm zero trái và phải là những ví dụ minh hoạ cho giả thuyết của Định lý Cụ thể, với nửa nhóm zero trái S, ta có Id r(S) = P(S), trong khi đối với nửa nhóm zero phải, Id r(S) = {S} hoặc ∅.

2.3.6 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm thoả mãn điều kiện: đối với mỗi cặp phần tử s t, S st, s (hay st t) Thế thì mỗi S - tác động với phần tử zero là đầy đủ nếu và chỉ nếu nó nội xạ

Có nhiều ví dụ về các nửa nhóm thỏa mãn Id r(S), trong đó S là một đại số Bun Một ví dụ cụ thể là nửa nhóm S, đảm bảo rằng Id r(S) cũng là một đại số Bun.

Id r S khác 2    , S  và khác P S   như sau

2.3.7 Ví dụ Giả sử S   s t p r , , ,  với ss  sr    s ts tr , st sp  t tt tp, ps pr   r rs rr, pt  pp  p rt rp Thế thì

Id r S là một đại số Bun 2 2 =    , , S     s t , , p r , 

Lớp các nửa nhóm khác thoả mãn Tiêu chuẩn Baer là lớp các nửa nhóm xyclic

2.3.8 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm xyclic vô hạn Thế thì mỗi S - tác động A với ít nhất một phần tử zero là đầy đủ nếu và chỉ nếu nó nội xạ

Chứng minh Trước hết chú ý rằng mỗi nửa nhóm xyclic vô hạn đẳng cấu với

 * ,   (xem [6]) Do đó, chúng ta chứng minh kết quả đối với các tác động trên S   ,  

Giả sử A là một S- tác động với ít nhất một phần tử zero và nó đầy đủ Để chứng minh A là cái co rút tuyệt đối, giả sử B là một mở rộng của A Đối với b thuộc -B A, hãy lấy S1 b và S2 b là hai tập con của S sao cho bS1 b nằm trong A.

Ánh xạ thu hẹp g từ B đến A được xác định trên A như ánh xạ đồng nhất Đối với b thuộc -B A và bS là tập con của -B A, ánh xạ g được cho bởi g(b) = a0, trong đó a0 là phần tử không của A Để xác định g cho các phần tử b khác, cần xem xét các điều kiện tương ứng.

BA, trước hết chú ý rằng S 2 b hữu hạn hễ khi nào S 1 b   Điều đó là vì, lấy

1 mS b , chúng ta thấy rằng đối với mỗi n n ,  m bn ,  b m    n  m    A

Thực ra, nếu n là phần tử nhỏ nhất của sao cho b n A, thế thì