BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG ĐÌNH TRUNG NỬA NHĨM SỐ VỚI CHIỀU NHÚNG TỐI ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG ĐÌNH TRUNG NỬA NHĨM SỐ VỚI CHIỀU NHÚNG TỐI ĐẠI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại 1.1 Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số 1.2 Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại 10 Nửa nhóm số Arf nửa nhóm số bão hịa 18 2.1 Nửa nhóm số Arf 18 2.2 Nửa nhóm số bão hịa 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 MỞ ĐẦU Cho S tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử S đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn S gọi nửa nhóm số Nếu n1 , , ne số nguyên dương cho gcd(n1 , , ne ) = tập hợp < n1 , , ne >= {n1 λ1 + + ne λe | λ1 , , λe ∈ N} nửa nhóm số Ngược lại nửa nhóm số có dạng Mỗi nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu Hệ sinh tối tiểu hữu hạn Giả sử S nửa nhóm số {n1 , n2 , , ne }, (với n1 < n2 < < ne ) hệ sinh tối tiểu S Khi số n1 gọi bội S kí hiệu m(S) Số nguyên e lực lượng hệ sinh tối tiểu S gọi chiều nhúng S ký hiệu e(S) Ta có bất đẳng thức e(S) ≤ m(S) Trong trường hợp dấu đẳng thức xẩy tức e(S) = m(S) nửa nhóm số S gọi có chiều nhúng tối đại Mặc dù khái niệm nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại đời cách tự nhiên Lý thuyết nửa nhóm số Tuy nhiên, chúng trở nên đặc biệt ý nhờ ứng dụng Đại số giao hốn Chúng nguồn cho ví dụ vành giao hốn với tính chất tối đại Hai lớp nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại quan tâm nhiều nửa nhóm có tính chất Arf nửa nhóm số bão hịa Hai lớp nửa nhóm liên quan đến vấn đề giải kỳ dị đường cong Chúng có nhiều ứng dụng Đại số giao hốn, Hình học đại số Đại số mã sửa sai Tổng hợp từ nhiều báo viết nửa nhóm số trước đó, [3], J.C Rosales, P.A García-Sán chez viết nửa nhóm số cách hoàn chỉnh Nội dung luận văn trình bày số tính chất nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại dựa theo [3] Nội dung nằm Chương [3] Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn viết thành hai chương Chương Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Trong chương trình bày số tính chất đặc trưng nửa nhóm số với số chiều nhúng tối đại Cách xây dựng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại từ nửa nhóm số cho trước 1.1 Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số 1.2 Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Chương Nửa nhóm số Arf nửa nhóm số bão hịa Trong chương chúng tơi trình bày hai lớp nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại quan tâm nhiều nửa nhóm số Arf nửa nhóm số bão hịa 2.1 Nửa nhóm số Arf 2.2 Nửa nhóm số bão hịa Luận văn hồn thành Trường Đại học Sài Gịn hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Cơ, người tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy giáo Khoa Sư phạm Tốn trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại học Sài Gòn Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Trân trọng! Sài Gòn, tháng 08 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA NHÓM SỐ VỚI CHIỀU NHÚNG TỐI ĐẠI 1.1 Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số 1.1.1 Nửa nhóm số Cho S tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử S đóng kín phép cộng N \ S tập hợp hữu hạn S gọi nửa nhóm số Nếu n1 , , ne số nguyên dương cho gcd(n1 , , ne ) = tập hợp < n1 , , ne >= {n1 λ1 + + ne λe | λ1 , , λe ∈ N} nửa nhóm số Ngược lại nửa nhóm số có dạng 1.1.2 Số bội chiều nhúng nửa nhóm số Một hệ sinh nửa nhóm số S gọi hệ sinh tối tiểu tập thực khơng thể sinh S Mỗi nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu Hệ sinh tối tiểu gồm hữu hạn phần tử Giả sử {n1 , n2 , , ne }, (với n1 < n2 < < ne ) hệ sinh tối thiểu nửa nhóm số S Khi số n1 gọi bội S kí hiệu m(S) Số nguyên e lực lượng hệ sinh tối tiểu S gọi chiều nhúng S ký hiệu e(S) Ta ln có bất đẳng thức e(S) ≤ m(S) Trong trường hợp dấu đẳng thức xẩy tức e(S) = m(S) nửa nhóm số S gọi có chiều nhúng tối đại 1.1.3 Tập Apéry Tập Apéry công cụ tốt để nghiên cứu nửa nhóm số Cho S nửa nhóm số n ∈ S, n = Khi tập Apéry n S Ap(S, n) = {s ∈ S | s − n ∈ / S} Nếu x phần tử sinh nhỏ của nửa nhóm số S n ∈ S\{0, x} x − n ∈ / S Điều kéo theo x ∈ Ap(S, n) Bổ đề sau cho thấy Ap(S, n) hệ thặng dư đầy đủ mod n mà phần tử bé thuộc S 1.1.4 Bổ đề Cho S nửa nhóm số n phần tử khác khơng S Khi Ap(S, n) = = w(0), w(1), , w(n − 1) , w(i) phần tử bé S đồng dư với i theo môđun n với i ∈ 0, 1, , n − Bổ đề 1.1.4 cho ta thấy lực lượng tập hợp Ap(S, n) n ta dễ dàng xác định tập Ap(S, n) 1.1.5 Ví dụ 1) Cho S =< 5, 7, > Khi S = 0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, → ký hiệu → có nghĩa số nguyên lớn 14 thuộc tập hợp i) S nửa nhóm số với số bội m(S) = chiều nhúng e(S) = ii) S khơng có chiều nhúng tối đại e(S) < m(S) iii) Dựa vào Bổ đề 1.1.4 ta thấy Ap(S, 5) tập hợp gồm phần tử thuộc S hệ thặng dư đầy đủ mod Do Ap(S, 5) = 0, 7, 9, 16, 18 2) Cho S =< 2, > Khi đó: S = {0, 2, 3, 4, →} i) S nửa nhóm số có chiều nhúng tối đại m(S) = e(S) = ii) Dựa vào Bổ đề 1.1.4 ta thấy Ap(S, 3) tập hợp gồm phần tử thuộc S hệ thặng dư đầy đủ mod Do Ap(S, 3) = {0, 4, 5} 1.1.6 Số Frobenious giống Trong giảng mình, nhà tốn học Frobenius đề cập đến vấn đề đưa công thức xác định số ngun lớn mà khơng biểu thị tuyến tính qua tập hợp số nguyên dương có ước chung lớn với hệ số nguyên khơng âm Ơng đặt câu hỏi việc xác định có số ngun dương khơng biểu thị tuyến tính Sử dụng thuật ngữ nửa nhóm số, vấn đề thứ tương đương với việc đưa công thức xác định số ngun lớn khơng thuộc nửa nhóm số S thơng qua phần tử hệ sinh tối tiểu S Phần tử gọi số Frobenius S Số Frobenius S kí hiệu F (S) xác định sau: F (S) = max(Z \ S) Ta biết với nửa nhóm số S tập hợp G(S) = N \ S hữu hạn gọi độ hở S Để giải vấn đề thứ hai, việc xác định có số ngun dương khơng biểu thị tuyến tính qua tập hợp số nguyên dương có ước chung lớn với hệ số 10 nguyên không âm, người ta đưa khái niệm giống S , kí hiệu g(S), lực lượng tập hợp G(S), đơi cịn gọi bậc kỳ dị S 1.1.7 Số giả Frobenius kiểu Cho S nửa nhóm số (i) Số nguyên x gọi số giả Frobenius x ∈ / S x + s ∈ S với s ∈ S \ (ii) Tập hợp số giả Frobenius nửa nhóm S ký hiệu PF(S) (iii) Lực lượng PF(S) gọi kiểu của nửa nhóm số S ký hiệu t(S) 1.2 Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại đặc trưng qua tập Apéry sau 1.2.1 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu {n1 , n2 , , ne } (với n1 < n2 < < ne ) Khi S có chiều nhúng tối đại Ap(S, n1 ) = {0, n2 , , ne } Chứng minh Chúng ta dễ dàng chứng minh {n2 , n3 , , ne } ⊆ Ap(S, n1 )\{0} Mặt khác số phần tử Ap(S, n1 ) n1 Do e = n1 Ap(s, n1 ) = {0, n1 , n2 , , ne } Từ mệnh đề ta có hệ sau đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại thông qua giống kiểu 20 Chú ý giao hữu hạn nửa nhóm số nửa nhóm số Ví dụ sau cho thấy tính chất khơng trường hợp vơ hạn 2.1.6 Ví dụ Có thể dễ dàng thấy n, n + = {0} n∈N Từ định nghĩa ta dễ dàng suy mệnh đề 2.1.7 Mệnh đề Giao hữu hạn nửa nhóm số Arf nửa nhóm số Arf Cho S nửa nhóm số Do phần bù S N hữu hạn nên tập nửa nhóm số Arf chứa S hữu hạn Mệnh đề 2.1.7 đảm bảo giao nửa nhóm số nửa nhóm số Arf Chúng ta ký hiệu giao Arf(S) gọi bao đóng Arf S Dễ thấy bao đóng Arf S nửa nhóm số Arf bé (theo quan hệ bao hàm) chứa S Nếu X tập khác rỗng N với gcd(X) = X nửa nhóm số Bất kỳ nửa nhóm số Arf chứa X phải chứa X Điều cho thấy bao đóng Arf X Arf( X ) Vì vậy, ta viết Arf(X) thay cho Arf( X ) Việc xác định tập nửa nhóm số chứa nửa nhóm số cho trước vấn đề khơng hấp dẫn Thậm chí phải đâu nửa nhóm số Arf số chúng, sau khơng cần tính tốn giao tất chúng khơng cần phải nhỏ Sau chúng tơi trình bày phương pháp hiệu để xác định bao đóng Arf giới thiệu [4] 2.1.8 Bổ đề Cho S vị nhóm của vị nhóm cộng số tự nhiên N Khi S = {x + y − z|x, y, z ∈ S, x ≥ y ≥ z} vị nhóm N S ⊆ S 21 Chứng minh Cho x ∈ S Khi x+x−x ∈ S , S ⊆ S Rõ ràng S ⊆ N Bây lấy a, b ∈ S Theo định nghĩa S tồn x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 ∈ S cho xi ≥ yi ≥ zi , i ∈ 1, a = x1 + y1 − z1 , b = x2 + y2 − z2 Từ đó, a + b = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) − (z1 + z2 ) Rõ ràng x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ∈ S x1 + x2 ≥ y1 + y2 ≥ z1 + z2 Vậy a + b ∈ S Với vị nhóm S cho trước N n ∈ N , ta định nghĩa S n sau: • S = S, • S n + = (S n ) Mệnh đề sau cho thấy dãy dừng bao đóng Arf S 2.1.9 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Khi tồn k ∈ N cho S k = Arf(S) Chứng minh Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp theo n, dễ dàng chứng minh S n ⊆ Arf(S) với n ∈ N Theo Bổ đề 2.1.8, ta có S n ⊆ S n+1 S ⊆ S n với n ∈ N Như lưu ý trên, số nửa nhóm số chứa S hữu hạn, từ S k = S k+1 với số k ∈ N Suy S k nửa nhóm số Arf Khi S k ⊆ Arf(S) Arf(S) nửa nhóm số Arf nhỏ chứa S , ta kết luận S k = Arf(S) Mặc dù đặc trưng tốt chưa cách tính S k Vì cần tìm phương pháp hiệu để tìm bao đóng Arf nửa nhóm số 2.1.10 Bổ đề Cho m, r1 , , rp , n ∈ N cho gcd({m, r1 , , rp }) = Khi m + m, r1 , , rp n ⊆ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Chứng minh Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo n Với n = ta 22 chứng minh m + m, r1 , , rp ⊆ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Lấy i, j ∈ {1, , p} Khi m, m + ri , m + rj ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Do m + ri + rj = (m + ri ) + (m + rj ) − m ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Bây giờ, với k ∈ {1, , p}, ta có m, m + ri + rj , m + rk ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rk ) , m+ri +rj +rk = (m + ri + rj )+(m + rk )−m ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rk ) Bằng cách lặp lại phương pháp với a, a1 , , ap ∈ N, có (a + 1) m + a1 r1 + + ap rp ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) m + m, r1 , , rp ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Giả sử m + m, r1 , , rp n ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ), ta chứng minh m + m, r1 , , rp Cho a ∈ m + m, r1 , , rp n+1 n+1 ∈ Arf (m, m + r1 , , m + rp ) Khi a = m + b với b ∈ m, r1 , , rp Suy tồn x, y, z ∈ m, r1 , , rp n n+1 cho x ≥ y ≥ z x + y − z = b Khi ta có a = m+b = m+x+y−z = (m+x)+(m+y)−(m+z) ∈ Arf(m, m+r1 , , m+rp ), 23 giả thiết quy nạp m + x, m + y, m + z ∈ m + m, r1 , , rp n ⊆ Arf(m, m + r1 , , m + rp ) Từ ta có phương pháp để tính bao đóng Arf thuật toán Euclid mở rộng 2.1.11 Mệnh đề Cho m, r1 , , rp số ngun khơng âm có ước chung lớn Khi Arf(m, m + r1 , , m + rp ) = (m + Arf(m, r1 , , rp )) ∪ {0} Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.9 Bổ đề 2.1.10, ta có (m + Arf(m, r1 , , rp )) ∪ {0} ⊆ Arf(m, m + r1 , , m + rp ) Đối với bao hàm thức ngược lại m, m+r1 , , m+rp ∈ (m+Arf(m, r1 , , rp )∪ {0} nửa nhóm số Arf (theo Mệnh đề 2.1.3) Từ suy Arf(m, m + r1 , , m + rp ) ⊆ (m + Arf(m, r1 , , rp )) ∪ {0} Số Frobenius bao đóng Arf tính sau 2.1.12 Bổ đề Cho m, r1 , , rp số ngun khơng âm có ước chung lớn Khi F(Arf(m, m + r1 , , m + rp )) = m + F(Arf(m, r1 , , rp )) Bây có đủ yếu tố cần thiết để tìm phần tử bao đóng Arf tập gồm số nguyên không âm với ước chung lớn Cho X ⊆ N\{0} cho gcd(X) = Ta định nghĩa theo quy nạp dãy tập N sau: 24 • A1 = X, • An+1 = (x − minAn | x ∈ An \{0}) ∪ {minAn } Từ thuật tốn Euclid cách tính gcd(X), ta thấy tồn q = min{k ∈ N|1 ∈ Ak } thỏa mãn mệnh đề sau 2.1.13 Mệnh đề Với ký hiệu trên, ta có Arf(X) = {0, minA1 , minA1 + minA2 , , minA1 + + minAq−1 , →} Chứng minh Do ∈ Aq nên Arf(Aq ) = N Do theo Mệnh đề 2.1.11 ta có Arf(Aq−1 ) = (minAq−1 + N) ∪ {0} Từ suy Arf(Aq−1 ) = {0, minAq−1 , →} Theo giả thiết quy nạp ta có Arf(Aq−i ) = ({0, Aq−i , Aq−i + Aq−i+1 , , Aq−i + + Aq−1 , →} Bây ta phải chứng minh Arf(Aq−i−1 ) = ({0, Aq−i−1 , Aq−i−1 +Aq−i , , Aq−i−1 + + Aq−1 , →} Từ Mệnh đề 2.1.11, ta có Arf(Aq−i−1 ) = (min Aq−i−1 ) + Arf(Aq−i ) ∪ {0} Sử dụng giả thiết quy nạp Hệ 2.1.12 ta suy điều cần chứng minh 2.1.14 Ví dụ Tìm Arf(7, 24, 33) Ta có A1 = {7, 24, 33}, min≤ A1 = 25 A2 = {7, 17, 26}, min≤ A2 = A3 = {7, 10, 19}, min≤ A3 = A4 = {3, 7, 12}, min≤ A4 = A5 = {3, 4, 9}, min≤ A5 = A6 = {1, 3, 6}, min≤ A6 = Do Arf(7, 24, 33) = {0, 7, 14, 21, 24, 27, →} 2.2 Nửa nhóm số bão hịa 2.2.1 Định nghĩa Một nửa nhóm số S gọi bão hòa điều kiện sau thỏa mãn: Nếu s, s1 , , sr ∈ S cho si ≤ s với i ∈ {1, , r} z1 , , zr ∈ Z cho z1 s1 + + zr sr ≥ s + z1 s1 + + zr sr ∈ S 2.2.2 Ví dụ Nửa nhóm số S = 7, 11, 13, 15, 16, 17, 19 Ví dụ 2.1.5 nửa nhóm Arf khơng bão hịa 7, 11 ∈ S 12 = 11 + × 11 − × ∈ / S Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy nửa nhóm số bão hịa Arf, có chiều nhúng tối đại 2.2.3 Bổ đề Mỗi nửa nhóm số bão hịa có tính chất Arf Cho A ⊆ N a ∈ A\{0}, đặt dA (a) = gcd{x ∈ A | x ≤ a} 2.2.4 Bổ đề Cho S nửa nhóm số bão hịa s ∈ S Khi s + dS (s) ∈ S 26 Chứng minh Cho {s1 , , sr } = {x ∈ S | x ≤ s} Khi tồn số nguyên z1 , , zr cho z1 s1 + + zr sr = dS (s) Do S nửa nhóm số bảo hịa nên ta có s + dS (s) ∈ S Sau thấy tính chất đặc trưng cho nửa nhóm số bảo hịa Trước hết ta có bổ đề sau 2.2.5 Bổ đề Cho A tập khác rỗng gồm số nguyên dương cho gcd(A) = a + dA (a) ∈ A với a ∈ A Khi a + kdA (a) ∈ A với k ∈ N, A ∪ {0} nửa nhóm số Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo dA (a) Chú ý dA (a) > Chúng ta dA (a) = a+k ∈ A Ta chứng minh điều quy nạp theo k Trường hợp k = hiển nhiên Giả sử a + k ∈ A Vì = dA (a + k) ≤ dA (a) = ta có dA (a + k) = Do a + k + = a + k + dA (a + k) ∈ A Bây ta giả sử a ∈ A dA (a ) < dA (a) a + kdA (a ) ∈ A với k ∈ N Vì gcd(A) = 1, tồn b ∈ A cho dA (b) = Nếu dA (a + kdA (a)) = dA (a) a + kdA (a) ∈ A a + (k + 1)dA (a) = a + kdA (a) + dA (a + kdA (a)) ∈ A Từ hai ý này, ta suy tồn số nguyên dương t cho a + tdA (a) ∈ A dA (a + tdA (a)) < dA (a) Do dA (a + tdA (a)) < dA (a), theo giả thiết quy nạp, ta nhận (a + tdA (a)) + kdA (a + tdA (a)) ∈ A 27 với k ∈ N Rõ ràng, dA (a + tdA (a)) chia hết dA (A) Do tồn số nguyên dương l cho dA (a) = ldA (a + tdA (A)) Từ suy k a + tdA (a) + dA (a) ∈ A l với k ∈ N, a + (t + n)dA (a) ∈ A với n ∈ N Từ cách xác định t, ta suy a + kdA (a) ∈ A với k ∈ {0, , t} Vì đến kết luận a + kdA (a) ∈ A, ∀k ∈ N Cuối cùng, chứng minh A ∪ {0} nửa nhóm số Vì gcd(A) = nên cần với a, b ∈ A a+b ∈ A Thật vậy, khơng tính tổng qt ta giả sử a ≤ b Khi dA (b) chia hết dA (a) tồn λ ∈ N cho dA (a) = λdA (b) Mặt khác, dA (a) chia hết a, a = µdA (a) với số µ ∈ N Vì a + b = µdA (a) + b = µdA (b) + b thuộc A Bổ đề chứng minh hoàn toàn 2.2.6 Mệnh đề Cho A tập khác rỗng N cho ∈ A gcd(A) = Các phát biểu sau tương đương: (1) A nửa nhóm số bão hịa; (2) a + dA (a) ∈ A với a ∈ A\{0}; (3) a + kdA (a) ∈ A với a ∈ A\{0} k ∈ N Chứng minh (1) ⇒ (2) : Suy từ Bổ đề 2.2.4 (2) ⇒ (3) : Suy từ Bổ đề 2.2.5 (3) ⇒ (1) : Theo Bổ đề 2.2.5, ta có A nửa nhóm số Cho a, a1 , , ar ∈ A với ≤ a với i ∈ {1, , r} z1 , , zr số nguyên cho z1 a1 + + ar zr ≥ Vì ≤ a, nên dA (a) chia hết với i ∈ {1, , r} Do đó, tồn k ∈ N cho z1 a1 + + zr ar = kdA (a), a + z1 a1 + + zr ar = a + kdA (a) ∈ A 28 Suy A nửa nhóm số bão hịa Bây tập trung vào tính chất tương tự tính chất đưa Mệnh đề 2.1.3 Hệ 2.1.4 nửa nhóm số Arf Như ta thấy tính chất chưa phong phú 2.2.7 Mệnh đề Cho S nửa nhóm số Các phát biểu sau tương đương: (1) S nửa nhóm số bão hịa; (2) Tồn x ∈ S ∗ cho (x + S) ∪ {0} nửa nhóm số bão hịa Chứng minh (1) ⇒ (2) : Giả sử S = {0, s1 , s2 , , sn , | < s1 < s2 < < sn < } Ta chứng minh (s1 + S) ∪ {0} = {0, s1 , s1 + s1 , s1 + s2 , | < s1 < s1 + s1 < s1 + s2 < } nửa nhóm số bão hòa Theo Mệnh đề 2.2.6, ta cần với n ∈ N s1 + sn + gcd{0, s1 , s1 + s1 , , s1 + sn } ∈ (s1 + S) ∪ {0} Vì S nửa nhóm số bão hòa nên sn + gcd{0, s1 , s2 , , sn } ∈ S Hơn gcd{0, s1 , s1 + s1 , , s1 + sn } ∈ S} = gcd{0, s1 , s2 , , sn } ∈ S}, s1 + sn + gcd{0, s1 , s1 + s1 , , s1 + sn } ∈ (s1 + S) ∪ {0} (2) ⇒ (1) : Nếu S = {0, s1 , s2 , , sn , | < s1 < s2 < < sn < } 29 (x+S)∪{0} = {0, x, s1 +x, , sn +x | < x < s1 +x < < sn +x < } Vì gcd{0, x, x + s1 , , x + sn } = gcd{0, x, s1 , , sn } nên ta có gcd{0, x, x + s1 , , x + sn } chia hết gcd{0, s1 , , sn } Do tồn k ∈ N cho k(gcd{0, x, x + s1 , , x + sn }) = gcd{0, s1 , , s + n} Theo Mệnh đề 2.2.6, ta muốn chứng minh S nửa nhóm số bão hịa cần sn + gcd{0, s1 , , sn } ∈ S với n Do (x + S) ∪ {0} nửa nhóm số bão hịa, theo Mệnh đề 2.2.6, ta có x + sn + k(gcd{0, x, x + s1 , , x + sn }) ∈ (x + S) ∪ {0} sn + gcd{0, s1 , , sn } ∈ S Từ chứng minh ta thu hệ sau 2.2.8 Hệ Cho S nửa nhóm số Khi S nửa nhóm số bão hòa (m(S) + S ∪ {0}) nửa nhóm số bão hịa 2.2.9 Ví dụ Nửa nhóm S = 5, 7, 8, 9, 11 nửa nhóm số bão hịa Từ Hệ 2.2.8 ta suy (5 + S) ∪ {0} −5 + S ∗ nửa nhóm số bão hịa 2.2.10 Bổ đề Cho S tập hợp thực N Khi đó, S nửa nhóm số bão hòa tồn số nguyên dương x1 , , xn cho S = {0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xn , →} 30 gcd{x1 , , xk } ∈ {xk+1 , xk+1 + xk+2 , , xk+1 + + xn , →} với k ∈ {1, , n} Chứng minh Điều kiện cần Vì S nửa nhóm số bão hịa nên S nửa nhóm số Arf Do theo Hệ 2.1.4, tồn số nguyên dương x1 , , xn cho S = {0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xn , →} Vì S bão hòa, với k ∈ {1, , n}, (x1 + + xk ) + gcd{0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xk } ∈ S gcd{0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xk } = gcd{x1 , , xk }, nên ta có (x1 + + xk ) + gcd{x1 , , xk } ∈ {0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xn , →}, hay cách tương đương gcd{x1 , , xk } ∈ {xk+1 , xk+1 + xk+2 , , xk+1 + + xn , →} với k ∈ {1, , n} Điều kiện đủ Theo Mệnh đề 2.2.6, ta cần chứng minh (x1 + + xk ) + gcd{0, x1 , x1 + x2 , , x1 + + xk } ∈ S với k ∈ {1, , n} Theo nhận xét điều tương đương với việc chứng minh (x1 + + xk ) + gcd(x1 , , xk ) ∈ S Điều suy từ giả thiết 31 Cũng nửa nhóm số Arf, từ định nghĩa ta suy giao hữu hạn nửa nhóm số bão hịa nửa nhóm số bão hịa 2.2.11 Mệnh đề Giao hữu hạn nửa nhóm số bão hịa nửa nhóm số bão hịa Điều cho phép định nghĩa bao đóng bão hịa nửa nhóm số (hoặc tập gồm số ngun khơng âm có ước chung lớn 1) ta làm nửa nhóm số Arf Cho trước nửa nhóm số S , ta ký hiệu Sat(S) giao tất nửa nhóm số bão hịa chứa S , nói cách khác, nửa nhóm số bão hịa bé chứa S Ta gọi nửa nhóm bao đóng bão hịa S Bao đóng bão hịa nửa nhóm (hay tập gồm số ngun khơng âm có ước chung lớn 1) tính tốn sau 2.2.12 Mệnh đề Cho n1 , , ne số nguyên dương cho n1 < n2 < < ne gcd(n1 , , ne ) = Với i ∈ {1, , e}, đặt di = gcd(n1 , , ni ) với j ∈ {1, , p−1} đặt kj = max{k ∈ N|nj +kdj < nj+1 Khi Sat(n1 , , ne ) = {0,n1 , n1 + d1 , , n1 + k1 d1 , n2 , n2 + d2 , , n2 + k2 d2 , , ne−1 , ne−1 + de−1 , , ne−1 + ke−1 de−1 , ne , ne + 1, →} Chứng minh Đặt A = {0,n1 , n1 + d1 , , n1 + k1 d1 , n2 , n2 + d2 , , n2 + k2 d2 , , ne−1 , ne−1 + de−1 , , ne−1 + ke−1 de−1 , ne , ne + 1, →} Rõ ràng A khác rỗng ∈ A, gcd(A) = a + dA (a) ∈ A với a ∈ A Theo Mệnh đề 2.2.6, S nửa nhóm số bão hịa, {n1 , , ne } ⊂ A nên ta có Sat(n1 , , ne ) ⊆ A Đối với bao hàm thức ngược lại ta lấy a ∈ A Khi tồn i ∈ {1, , e} k ∈ N cho a = ni + kdi (chú ý de = 1) Vì i ∈ {1, , e} ⊂ 32 Sat(n1 , , ne ) nên ta có dSat(n1 , ,ne ) (ni ) chia hết di , tồn l ∈ N cho di = ldSat(n1 , ,ne ) (ni ) Từ Mệnh đề 2.2.6, ta có ni + tdSat(n1 , ,ne ) (ni ) ∈ Sat(n1 , , ne ) với t ∈ N a = ni + kdi = ni + kldSat(n1 , ,ne ) (ni ) ∈ Sat(n1 , , ne ) 2.2.13 Ví dụ Sat({12, 20, 26, 35}) = {0, 12, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 35, →} 33 KẾT LUẬN Dựa vào [3], chúng tơi trình bày số tính chất nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Cụ thể chúng tơi trình bày nội dung sau Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Cách xây dựng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại từ nửa nhóm số cho trước Hai lớp nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại quan tâm nhiều nửa nhóm số Arf nửa nhóm số bão hịa 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Mass [2] T Numata (2015), Almost symmetric nummerical semigroup with small number of generator, Ph D thesis at Graduate School of Integrated Basic Science, Nihon University [3] J.C Rosales, P.A García- Sán chez (2009), Numerical semigroups, Development in mathematics, Vol 20, Springer [4] J.C Rosales, P.A García- Sán chez, J.I.García-García, M.B.Branco (2004), Arf numerical semigroups, J.Algebra 276, 3-12 [5] J.C Rosales, P.A García- Sán chez, J.I.García-García, M.B.Branco (2004), Saturated numerical semigroups, Houston J.Math 30, 321 330 ... Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại 1.1 Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số 1.2 Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại 10 Nửa nhóm số Arf nửa nhóm số. .. thấy từ nửa nhóm số cho trước ta nhận vơ số nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Các nửa nhóm số khác sinh nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại khác Tất nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại xây... 1.1 Nửa nhóm số chiều nhúng nửa nhóm số 1.2 Một số đặc trưng nửa nhóm số với chiều nhúng tối đại Chương Nửa nhóm số Arf nửa nhóm số bão hịa Trong chương chúng tơi trình bày hai lớp nửa nhóm số với