1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỒ VĂN NGỌC ĐỘ DÀI CỦA BIỂU DIỄN NỬA NHÓM ĐỐI VỚI NHÓM TUYẾN TÍNH ĐẶC BIỆT XẠ ẢNH PSL(2;p) LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Vinh 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC ……………………………………………….…… ……… LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………………2 Chương Biểu diễn nửa nhóm………………………………………… 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự ………………………………… …4 1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm…………………….………12 Chương Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p)…………… … 18 2.1 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn PSL(n,p)…….18 2.2 Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm PSL(2,p)……22 KẾT LUẬN …………………………………………………… …………31 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………….……32 MỞ ĐẦU Một biểu diễn nửa nhóm tập hợp thứ tự , A bảng chữ ℜ quan hệ A+- nửa nhóm tự A Một nửa nhóm S gọi xác định biểu diễn nửa nhóm S ≅ A+/ρ, ρ tương đẳng A+ sinh quan hệ ℜ , kí hiệu S= Cho trước quan hệ nửa nhóm (r,s) ∈ ℜ Trong r = a1a2…am s = b1b2…bn với ∈ A bi ∈ B, độ dài (r,s) m + n kí hiệu |(r,s)| Độ dài biểu diễn nửa nhóm Σ||, với (r,s) ∈ ℜ Giả sử G nhóm, trước hết G nửa nhóm nên ta xét biểu diễn nửa nhóm G Nếu G nhóm hữu hạn, ta chọn A ℜ hữu hạn biểu diễn G = G biểu diễn hữu hạn Nhờ tính chất đặc biệt G (G nhóm G hữu hạn ) tìm biểu diễn G cách tường minh Bài tốn tìm biểu diễn nửa nhóm hữu hạn nhóm hữu hạn G số tác giả nghiên cứu Mục đích luận văn dựa báo ”On the minimal length of semigroup presentation ) hai tác giả C.M.Campbell P.P.Campell đăng tạp chí Novi Sad.J.Math năm 2004 (xem [7]) để tìm hiểu độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p) Luận văn gồm hai chương: Chương Biểu diễn nửa nhóm Trong chương chúng tơi hệ thống lại kiến thức liên quan đến nửa nhóm tự do, vị nhóm tự biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p) Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn PSL(n, p) sau xét đến độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm PSL(2;p) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, người đặt vấn đề trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo sau Đại học, thầy, cô giáo Khoa Bộ môn Đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ thầy, giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG BIỂU DIỄN NỬA NHÓM Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết nửa nhóm vị nhóm có sử dụng luận văn 1.1 Nửa nhóm tự do.Vị nhóm tự Tiết trình bày nửa nhóm tự vị nhóm tự 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Một tập X S gọi sinh S cách tự S = S ánh xạ α o : X → P (trong P nửa nhóm bất kì) mở rộng thành đồng cấu α o : S → P cho α X =α o Khi ta nói α mở rộng đồng cấu ánh xạ α o Nếu S sinh tự tập S gọi nửa nhóm tự 1.1.2 Ví dụ (N*, +) nửa nhóm tự với x = {1} tập sinh tự Nếu α o : X → P ánh xạ, ta định nghĩa α : N * → P α(n) = α0(1)n Khi α X = α o α đồng cấu, : α(m+n) = α0(1)m+n = α0(1)m α0(1)n = α(m) α(n) (N*, ) nửa nhóm tự Thật : Giả sử X ⊆ N*, chọn P = (N*,+) giả sử α0 (n) = n , ∀n∈X Nếu α : (N*, ) → P đồng cấu α0(n) = α0(1.n) = α(1) + α(n) α(1) = 0∉(P) Như α mở rộng α0 1.1.3 Định lí Nếu S sinh tự X α o : X → P ánh xạ, α0 có mở rộng đồng cấu α :S → P Chứng minh.Theo định nghĩa, α0 có mở rộng Giả sử α : S → P β : S → P mở rộng đồng cấu α0 Khi với x∈S, x = x1x2….xn với phần tử xi ∈ X đó, X sinh S Thế α(x) = α(x1) α(x2)…α(xn) = α0(x1) α0(x2)…α0(xn) = β(x1) β(x2)…β(xn) = β(x1x2…xn) = β(x) α = β 1.1.4 Định lí Một nửa nhóm tự đẳng cấu với nửa nhóm từ A+ với bảng chữ A+ Chứng minh Giả sử S sinh tự tập X ⊆ S A bảng chữ với |A| = |X| Khi tồn song ánh ψ o : A → X Vì A sinh A+ cách tự nên tồn mở rộng toàn cấu ψ : A+ → S Vì ψ o−1 : X → A song ánh S sinh tự X nên ψ o−1 có mở rộng toàn cấu thỏa mãn điều kiện: − βψ A = βψ o = ( β / X )ψ o = ψ o 1ψ o = iA Vì iA : A → A mở rộng cách tới đẳng cấu đồng iA+ : A+ → A+ nên βψ = iA+ Vì βψ = iA+ song ánh nên ψ đơn ánh ψ song ánh Từ ψ đẳng cấu Mặt khác, giả sử tồn đẳng cấu ψ : A+ → S Khi s = ψ ( A) S ψ có ánh xạ ngược ψ-1 :S → A+ đẳng cấu Xác định ánh xạ ψ o =ψ A X = ψ ( A) Giả sử P nửa nhóm tùy ý α o : X → P ánh xạ Thế ánh xạ α oψ o : A → P mở rộng cách thành đồng cấu γ : A+ → P Xét ánh xạ β = γψ −1 : S → P Đó đồng cấu ψ −1 γ đồng cấu Hơn nữa, với x ∈ X, β (x) = γ (ψ −1 (x)) = α oψ oψ o−1 (x) = α o (x) β X = α o , nghĩa β mở rộng đồng cấu α0 Theo định nghĩa S sinh tự X 1.1.5 Hệ i) Nếu S sinh tự tập X S ≅ A+ |A| = |X| ii) Nếu S R nửa nhóm sinh tự tương ứng X Y cho | X| = |Y| S ≅ R 1.1.6 Hệ Mỗi nửa nhóm tự có luật giản ước Chứng minh Suy từ luật giản ước có A+ Bây chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil – Jacotin nửa nhóm tự dựa nhân tử hóa phấn tử Giả sử X ⊆ S Chúng ta nói x = x1x2…xn phân tích thành nhân tử x X xi ∈ X, i = 1,2,…, n Nếu X sinh S phần tử x ∈ S có nhân tử hóa X Nói chung phân tích khơng nhất, nghĩa xảy x 1x2….xn = y1y2…yn với xi ∈ X , yj ∈ X xk ≠yk 1.1.7 Định lí Một nửa nhóm S sinh tự X phần tử x thuộc S có nhân tử hóa X Chứng minh Trước hết ta nhận xét khẳng định Định lí 1.1.7 thỏa mãn với nửa nhóm A+ Giả sử A bảng chữ cho |A| = |X| α0: X  A song ánh Giả thiết X sinh S Giả sử x = x1x2…xn = y1y2…ym hai nhân tử hóa x X α mở rộng đồng cấu α0 α(x) = α0(x1) α0(x2)…α0(xn) = α0(y1) α0(y2)… α0(ym) hai nhân tử hóa α(x) A Vì A+ thỏa mãn khẳng định định lí, nên ta phải có α0(xi) = α0(yi) với ∀i = 1, 2,….,n (và m = n) Vì α0 song ánh nên xi = yi, với i = 1, 2,…, n Và S thỏa mãn khẳng định Định lí 1.1.7 Giả sử S thỏa mãn điều kiện kí hiệu β o = α o−1 giả sử β : A+ → S mở rộng đồng cấu β0 Khi β tồn ánh (vì X sinh S ) đơn ánh ( β(u) = β(v) với u,v ∈A+, u ≠v β(u) có hai cách nhân tử hóa khác X : trái giả thiết) Vậy β song ánh đẳng cấu 1.1.8 Định nghĩa Đối với nửa nhóm S, tập B(S) = S\S2 = {x ∈ S | ∀y, z ∈ S : x ≠ yz } gọi sở S Từ định nghĩa suy phần tử x∈S nằm B(S) x khơng biểu diễn thành tích hai phần tử tùy ý thuộc S Kết sau thuộc Lévi – Dubreil – Jacotin 1.1.9 Định lí Một nửa nhóm S tự B(S) sinh S cách tự Chứng minh Đặt X = B(S) Nếu X sinh S cách tự S nửa nhóm tự theo Định nghĩa 1.1 Giả sử S nửa nhóm tự Ta chứng minh X sinh S cách tự do.Trước hết, ta ý X tập S khơng có ước thuộc S, X ≠φ X sinh S.Thật vậy, giả sử a = bc b,c ∈X a = xyz…hoặc q trình kết thúc ta thu biểu diễn a dạng tích phần tử thuộc X với số n lớn tùy ý tồn phần tử a1,a2…an ∈S cho a = a1a2…an Nếu a = a1a2…an a1,a1a2, a1a2a3,…, a1a2…an-1 ước bên trái a, chúng khác nửa nhóm tự có luật giản ước khơng có lũy đẳng Vì n lớn tùy ý nên mâu thuẫn với Định lí 1.1.4 định nghĩa nửa nhóm từ Vậy X sinh S Giả sử x 1x2…xn = y1y2…ym xi, yj ∈ X đặt x2…xn = x y2…ym = y x1x = y1y nên x1 = y1 x1,y1 có ước Khả thứ hai khơng xảy theo định nghĩa X Bây tương tự thu x = y2 tiếp tục trình khơng q max{n, m} bước, ta tới n = m x i = yi với i=1,2,… n Như phần tử thuộc S biểu diễn cách dạng tích phần tử thuộc X Do S sinh tự X 1.1.10 Ví dụ 1.Giả sử A = {a, b, c} bảng chữ Các từ ab, bab, ba sinh nửa nhóm nửa nhóm từ A+ Nửa nhóm S = ab, ba, bab A+ khơng tự do, phần tử w = babab có hai cách nhân tử hóa khác S: w = ba.bab = bab.ab 2.Giả sử A = {a, b, c} T = ab, ba, bab A+ Khi T nửa nhóm tự A+ Thật tồn hai cách nhân tử hóa w = u u2…un = v1 v2 …vm từ w thuộc T, u = v1 (và tính giản ước có từ ngắn với hai cách nhân tử hóa khác nhau: u2…un = v2 …vm) u1 = aa v = abb (hoặc đối xứng, u1 = aab v1 = aa) Nhưng, trường hợp khơng thể tìm u2, u2 có phải bắt đầu chữ b 1.1.11 Định nghĩa Vị nhóm M gọi vị nhóm tự sinh tự tập X với ∉ X X ∪ {1} tập sinh M ánh xạ α o : X → P (trong P vị nhóm) mở rộng thành đồng cấu vị nhóm α : M → P , nghĩa α X = α o α (1M ) = 1P 1.1.12 Định lí Nếu S nửa nhóm tự S1 vị nhóm tự ngược lại 1.1.13 Hệ Vị nhóm từ A* vị nhóm tự với bảng chữ A 1.1.14 Định lí Một vị nhóm M vị nhóm tự M\{1} nửa nhóm tự Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập M\{1} nửa nhóm M Điều thỏa mãn,vì khơng 1M có hai cách nhân tử hóa khác 10 Phần cịn lại khẳng định định lí suy từ định nghĩa 1.1.11 Ngoài kết tương tự nửa nhóm tự do, ta cịn có số kết khác sau 1.1.15 Định lí i) Một vị nhóm M sinh tự X x ∈ M\{1} có nhân tử hóa X ii) Mỗi vị nhóm tự ảnh đồng cấu vị nhóm từ A* với bảng chữa A chọn thích hợp iii) Một vị nhóm tự M đẳng cấu với vị nhóm từ A* với bảng chữ A 1.1.16 Định nghĩa Đối với tập X ⊆ A* từ kí + hiệu X = X A∗ nửa nhóm mà X sinh vị nhóm từ A * nghĩa X+ gồm tất tích từ nhóm X ∗ + Cũng vậy, vị nhóm tương ứng kí hiệu X = X ∪ { 1} Chú ý ∈ X X ∗ = X + Nếu w ∈ A∗ từ ta viết w* thay cho {w}* Giả sử u,v ∈A+ Thế u gọi nhân tử v v = w1uw2 với từ w1, w2 thuộc A*; u gọi tiền tố (hậu tố) v v ≡ u.w (hay tương ứng v ≡ w.u ) với w ∈ A∗ Độ dài |w| từ w ∈ A* số chữ có w; w = a 1,a2,…aa với ∈ A w = n Độ dài từ rỗng qui ước không 1.1.17 Bổ đề Nếu u1u2 = v1v2 A* u1 tiền tố v1 v1 tiền tố u1, nghĩa tồn từ w ∈ A* cho u1 = v1w v1 = u1w Trước hết ta chứng minh tiêu chuẩn khác tính tự vị nhóm vị nhóm từ Đối với vị nhóm M A * sử 22 2.1.5 Định lí Jordan – Dickson Đối với trường hữu hạn K tuỳ ý, nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(n,K) đơn, trừ hai trường hợp: PSL(2,2) PSL(2,3) Chứng minh Trước hết xét trường hợp n = Theo (3) nhóm PSL(2, 2) PSL(2, 3) có cấp tương ứng 12 chúng khơng phải nhóm đơn (các nhóm cấp đẳng cấu với (Z6, +) đẳng cấu với nhóm phép S3 nhóm cấp 12 khơng phải nhóm đơn ) Bây ta giả sử K ≥ Giả sử H ước chuẩn nhóm G = SL(2, K), chứa tất ma trận vô hướng ( ± e ) ma trận a ( khơng phải ma trận vô hướng ) Chúng ta chứng tỏ H = SL(2, K) với α ∈ K , kí hiệu tij (α ) = e + α eij e ma trận đơn vị eij ma trận mà phần tử dòng i, cột j phần tử khác Thế H chứa ma trận t12 (λ ) với λ ≠ Thật vậy, trước hết giả sử a21 = , nghĩa 1 a = α  0   ∗÷ ÷ α÷  Nếu α = , tìm ma trận t12 (λ ) ma trận ± a Nếu α ≠ , dùng giao hốn tử [ a, t12 ] = t12 (1 − α ) , tij ký hiệu tij (1) Bây giả sử a21 ≠ với β khác không tuỳ ý thuộc K * xác định đơn trị ma trận a β b =  11  a21β ∗  ÷ −a11β  thuộc SL(2, K) H chứa ma trận  c = −b aba =  β    −1  ∗ ÷ ÷ 2÷ β  23 Nếu K ≠ , tồn β với điều kiện β ≠ với tư cách truyền ứng tìm được, lại sử dụng giao hoán tử [ e, t12 ] = t12 (1 − β ) Còn lại trường hợp K = Chúng ta chọn β = , c = t12 ( a (a11 + a22 )) Nếu 21 xét ma trận tra = a11 + a22 ≠ c truyền ứng t12 (λ ) cần tìm Nếu −1 thân tra = 0, cần thay a ma trận a * =  a, t12  ,   tra* = + a21 ≠ Bây ta chứng minh nhóm H chứa tất ma trận bắc cầu truyền ứng, H = SL(2, K) Thật vậy, H chứa tất ma trận bắc cầu truyền ứng t12 (*), 1 ρ  0  −1  1 0÷ t (λ )  β ÷ 12  0 ρ÷    0÷ = t (λρ ) ÷ 12 ρ÷  t12 (λρ )t12 (λσ ) −1 = t12 (λ ( ρ − σ )) Và ρ − σ chạy toàn K với ρ , σ tuỳ ý Cuối −1  −1  −1  ÷ t12 (λ )  ÷ = t21 ( −λ ) 1  1  Do việc xét n = kết thúc - Bây ta xét trường hợp n ≥ K trường hợp tuỳ ý Giả sử H nhóm chuẩn tắc SL(n, K), chứa tất ma trận vô hướng chứa ma trận a ma trận vô hướng Cần chứng tỏ H = SL(n, K) Trong tính tốn tiếp theo, ma trận w viết dạng w= ∑w e Vì ma trận a khác ma trận vơ hướng, khơng giao hốn rs rs với ma trận tij Thay số dòng cột cần thiết, ta xem 24 x = [ a, t21 ] ≠ e Chúng ta ký hiệu y = a-1, tính tốn trực tiếp chứng tỏ  ∗ y12 a12 K y12 a1n   ÷ M M ÷ x=e-  M ∗ y a L y a ÷ n 12 n 1n   - Nhóm H chứa ma trận khác đơn vị dạng  ∗ ∗   0÷ z =  ∗ ∗ ÷  ÷ e÷  *   Điều hiển nhiên, a12 = = a1n = Giả sử a12 ≠ chẳng hạn, dùng z = u −1 xu u = e − a n ∑a e 12 i =3 1i i - Nhóm H chứa ma trận khác đơn vị dạng 1  v= *    0  ÷ 0÷ ÷ * ÷ e÷  Thật thế: [ z, t31 ] = e − ( z11 − 1)e31 − z13e32 , [ z, t32 ] = e − z21e31 − ( z22 − 1)e22 Nếu giao hốn tử khác e, dùng làm v Giả sử hai hoán tử e Khi    0÷ ÷ z =   ÷ e÷  *   25 Nếu n =3 hay zi1 = zi = tất i ≥ , dùng v = z Nếu chẳng hạn z41 , z42 không đồng thời 0, v lấy giao [ z, t34 ] = e − z41e31 − z42e32 hốn tử - Nhóm H chứa ma trận truyền ứng bắc cầu.Thật vậy, v32 = , dùng v; v32 ≠ , dùng t21 (λ ) −1 vt21 (λ ) = e + (v31 + λ v32 )e31 + v32 e32 với λ thích hợp Cuối cùng, ta chứng minh nhóm H chứa tất ma trận bắc cầu truyền ứng H = SL(n, K) Thật vậy, f ik−1tij (λ ) f ik = tkj (λ ) f lj−1tkj (λ ) flj = tkl ( −λ ) dik ( µ ) −1 tij (λ )dik ( µ ) = tij (λµ ), i, j, k, l đôi khác nhau, fik = e − eii − ekk + eik − eki , dik ( µ ) ma trận đường chéo cho thành phần đường chéo dòng thứ i thứ k , µ ≠ cịn phần tử cịn lại ( đường chéo ) µ W Định lý chứng minh 2.2 Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm PSL(2, p) 2.2.1 Các định nghĩa Giả sử A bảng chữ Ký hiệu A+ nửa nhóm tự A chứa tất từ không rỗng A, F(A) nhóm tự từ rút gọn A ∪ A−1 ∪ {ε } , A-1 bảng chữ mà phần tử biểu diễn phần tử A ε biểu diễn từ rỗng Một biểu diễn nửa nhóm cặp có thứ tự , ℜ ⊆ A+ x A+ Trong biểu diễn ta gọi A tập sinh R hệ thức Nếu hai A R hữu hạn, ta có biểu diễn ( nửa nhóm ) hữu hạn 26 Một nửa nhóm S gọi xác định biểu diễn nửa nhóm + S≅A ρ tương đương A + sinh ρ ℜ Thay A+ F(A) định nghĩa cho ta khái niệm biểu diễn nhóm ( hữu hạn ) khái niệm nhóm xác định biểu diễn (nhóm) Cho trước hệ thức nửa nhóm (r, s) r = a 1a2…am s = b1b2…bn, với ∈ A bi ∈ A, độ dài ( r, s) kí hiệu |(r, s)| m + n Thế độ dài biểu diễn nửa nhóm ∑ ( r , s )∈R (r , s) Khi xét hệ thức nhóm (r, s) với r = a 1a2…am, s = b1b2…bn, ∈ A ∪ A−1 ∪ ε bi ∈ A ∪ A−1 ∪ ε , thường qui ước ε = Các định nghĩa tương tự nhóm Các định nghĩa lớp rộng biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn vị nhóm biểu diễn nửa nhóm ngược, xem [3] định nghĩa Số khuyết biểu diễn hữu hạn | ℜ |-|A| số khuyết nửa nhóm nửa nhóm biểu diễn hữu hạn T, kí hiệu def S (T ) , số khuyết cực tiểu tất biểu diễn nửa nhóm hữu hạn xác định T: def S (T ) = min{ số khuyết P |P biểu diễn nửa nhóm hữu hạn xác định T} Tương tự số khuyết nhóm nhóm biểu diễn hữu hạn K số khuyết cực tiểu tất biểu diễn nhóm hữu hạn K, kí hiệu defG ( K ) Hai kết sau chứng minh [5] 27 2.2.2 Định lí Nếu A, ℜ biểu diễn nhóm K cho | ℜ | ≥| A|, tồn biểu diễn nửa nhóm B | Q xác định K thỏa mãn Q−B =ℜ− A Từ trực tiếp nhận được: 2.2.3 Định lí Giả sử K nhóm biểu diễn hữu hạn Nếu defG ( K ) ≥ (nói riêng, K nhóm hữu hạn ) def S ( K ) = defG ( K ) 2.2.4 Chú ý Chúng ta ln ln tìm B cho |B| ≤ |A| + defG ( K ) = def S ( K ) [5] 2.2.5 Các kết Trong [6] đưa biểu diễn nhóm PSL(2,p), p số nguyên tố lẻ, sau : x, y | x = 1, ( xy )3 = 1, ( xy xy (1) ( p +1) )2 y p = Từ phép chứng minh Định lí 2.2.2 suy biểu diễn nửa nhóm PSL(2, p), p số nguyên tố lẻ, x, y | y xy (2) ( p +1) xy xy xy xy xy xy ( p +1) ( p +1) ( p +1) + p 2 xy xy xy xy ( p +1) + p ( p +1) + p xyx = x, = ( xy )3 , x y5 xy ( p +1) xy xy ( p +1) + p x=y Hơn nữa, [3] chứng tỏ cách sử dụng biểu diễn nhóm trên, biểu diễn tốt PSL(2, p), p số nguyên tố lẻ cho x, y | x = x, yxyxy = x, ( xy xy (3) ( p +1) )2 y p +1 = y Chú ý biểu diễn nửa nhóm PSL(2, p), p số nguyên tố lẻ Một chủ đề quan tâm lí thuyết nhóm tổ hợp khảo sát biểu diễn với độ dài cực tiểu nhóm khác (xem, chẳng hạn 28 ,[4] ) Độ dài ngắn, độ cực tiểu thực biểu diễn tập sinh cực tiểu vấn đề quan tâm luận văn Chúng tơi tìm hiểu lời giải đáp câu hỏi biểu diễn nửa nhóm nhóm PSL(2, p) p số nguyên tố lẻ Độ dài biểu diễn nửa nhóm (2) 2p + 14 +1+2p +13 + + 4p +29 +1 = 8p + 64 độ dài (3) +1 + +1+ 2p +14+1 = 2p + 25 Có biểu diễn nửa nhóm tốt khác PSL(2, p) với p số nguyên tố lẻ hay khơng? Một biểu diễn nhóm PSL(2, p) p số nguyên tố lẻ cho Sidki xem [9]: x, y | x p = 1, y p = 1, ( xy ) = 1, ( x y ( p +1) ) = 1, ( x y ) = 1 p +1 p +1 ≡ (mod p ) thích hợp Từ biểu diễn có (modp) hay ≡ 4 thể đưa đến biểu diễn nhóm có hiệu lực sau PSL(2, p) p số nguyên tố lẻ (Xem [7]) : x, y | x p = ( xy ) , y p = ( x y ( p +1) )2 , ( x y )2 = 2.2.6 Định lí Một biểu diễn nửa nhóm P PSL(2, p) p số nguyên tố lẻ là: x, y | x p +1 = x, y p = x p , yxyxy = y, ( x y ( p +1) )2 = x p , ( x y )2 = y p Chứng minh Ta chứng tỏ x p đơn vị trái phần tử sinh có nghịch đảo trái x p x p tác động đơn vị trái x p x = x p +1 = x x p y = x p yxyxy = yx p +1 yxy = yxyxy = y 29 Tương tự, có x p −1 x = x p y p −1 y = y p = x p Như phần tử sinh có nghịch đảo trái Do đó, theo kết [3], P xác định nhóm đẳng cấu với nhóm xác định biểu diễn nhóm x, y | x p = 1, y p = 1, ( xy ) = 1, ( x y ( p +1) ) = 1, ( x y ) = W Trên ta bàn độ dài biểu diễn Cần ý hai biểu diễn nửa nhóm biểu diễn nhóm dựa kết Sidki, xem Định lí 2.2.6, nói chung, độ dài lớn biểu diễn cho (1) (3) Từ phép chứng minh Định lí 2.2.6, ta thu bổ đề sau: 2.2.7 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử sinh x, y Nếu x k +1 = x, y i = x k , uxv = y S, k i số nguyên dương, u , v ∈ {x,y}* , S xác định nhóm Chứng minh Như phép chứng minh cuối ta chứng tỏ x k đơn vị trái tồn nghịch đảo trái tương ứng với đơn vị trái Giả sử u , v ∈ {x,y}* Thế x k x = x k +1 = x x k uxv = y i uxv = uy i xv = ux k +1v = uxv Cũng vậy, có k −1 i k x k −1 x = x k y y = y = x Như kết Chúng ta nhận kết sau 2.2.8 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử sinh x, y Nếu x i y = y , y i x = x ux = vy, i, j > u , v ∈ {x,y}* , S xác định nhóm 30 Chứng minh Phép chứng minh tương tự Chúng ta chứng tỏ y j đơn vị trái khả nghịch trái y j nghịch đảo trái y suy từ ý yjy = yjxxi-1y = xiy = y Để chứng tỏ tồn phần tử nghịch đảo trái x ta chứng minh sau Trước y j = yj-1 y Bằng cách sử dụng hệ thức x i y = y , y j x = x ta tạo từ vy, điều tạo tiền tố w ∈ {x,y}* , rốt có yj = wvy = wux Do nghịch đảo trái x wu W Từ bổ đề ta nhận 2.2.9 Hệ Giả sử G nhóm xác định biểu diễn nhóm P = x, y | x i = 1, y j = 1, ℜ ℜ ≠ Thế thì: Độ dài nửa nhóm G ≤ độ dài nhóm P + ∆ + “ thay ”, “ thay ” tăng độ dài đạt cách thay x-1 với xi-1 y-1 với yj-1 Ta có: 2.2.10 Hệ Giả sử K = x, y nhóm sinh phần tử cấp hữu hạn Ký hiệu l2, s ( K ) độ dài nửa nhóm cực tiểu K xét K sinh hai phần tử sinh nửa nhóm; l2,G ( K ) có định nghĩa rõ ràng Giả sử o(x) o(y) cấp phần tử sinh K Thế l2, s ( K ) ≤ l2,G ( K ) + o( x ) + o( y ) + + " thay ” Trường hợp có n - phần tử sinh kết luận Trong [7] đưa biểu diễn nhóm PSL(2, p) với p số nguyên tố lẻ x, y | x p +1 = x, y p = x p , yxyxy = y, ( x y ( p +1) )2 = x p , ( x y )2 = y p 31 độ dài biểu diễn (13 p + 43) (15 p + 43) Một kết tốt đạt cách xét biểu diễn nhóm PSL(2,p) với p số nguyên tố lẻ - Renshaw đưa 1985 (xem [7]): x, y | x p = ( y x ( p +1) ) = 1, xyx = yxy Ở độ dài biểu diễn nhóm ( có hiệu lực ) 2p + 15 Trước trình bày kết ta cần xét số bổ đề sau 2.2.11 Bổ đề Giả sử Sp nửa nhóm xác định biểu diễn x, y | x p y = y, xyx = yxy, ( y x ( p +1) )2 x = x Thế yp thuộc tâm SP Chứng minh.Ta có y p x = y p −1 yx = y p −1x p −1 xyx = y p −1x p −2 xyxy = y p −1x p −3 xyxy = = y p xy p = y p −1 yxyy p −1 = y p − yxyxy p −1 = y p −1 yxyx y p −1 = xyx p yy p − = xy p Như vậy, kết Bổ đề 2.2.11 W Chú ý phép chứng minh cuối phụ thuộc vào hệ thức x p y = y xyx = yxy 2.2.12 Bổ đề Giả sử Sp nửa nhóm xác định biểu diễn nửa nhóm x, y | x p y = y, xyx = yxy,( y x ( p +1) Thế y = yx p Sp Chứng minh Chúng ta thấy )2 x = x 32 y = x p y = x p −1 xy = x p −1 y x = x p −1 y x =K ( p +1) ( p +1) y x p −1 xyxx yyyyx ( p +1) ( p +1) xy y = x p yx p = yx p Bây nhận định lý sau 2.2.13 Định lí Một biểu diễn nửa nhóm PSL(2, p) với p số nguyên tố lẻ là: x, y | x p y = y, xyx = yxy, ( y x ( p +1) )2 x = x Chứng minh Trước hết ta chứng minh x p đơn vị trái nửa nhóm Sp Đẳng thức xpy = y hệ thức xác định Để chứng minh x px = x ý : x p x = x p yy x = y4 x ( p +1) ( p +1) y4x y4x ( p +1) ( p +1) 2 x x = x Do xp đơn vị trái Sp Chú ý kết với Bổ đề 2.2.12 chứng tỏ x p đơn vị phải Sp Như Sp có đơn vị nhất, xp Sử dụng Bổ đề 2.2.11 2.2.12 chứng tỏ y p đơn vị trái xp = yp (điều suy xp = ypxp = yp) y p y = yyy p −1 = yx p y p = yxy p x p −1 = yxyy p −1x p −1 = = xyxyy p − x p −1 = L = x p −1 xyxx p −1 = x p yx p = x p y = y Ta lại có y p x = y p y4 x = y4 x ( p +1) ( p +1) −1 2 y4x ( p +1) x = y4x y p −1 yxyy x ( p +1) +1 ( p +1) −1 y p xy x ( p +1) +1 33 = y4 x ( p +1) −1 = y4 x =L y p − yxyxy x ( p +1) −1 = y4 x y p −3 yxyx y x ( p +1) −1 = y4 x yxyx p −1 y x ( p +1) = x p ( y4 x = ( y4 x ( p +1) +1 2 yx p y3 x ( p +1) ( p +1) 2 ( p +1) +1 ( p +1) +1 ( p +1) +1 )2 x )2 x = x Do yp đơn vị trái xp = yp Tiếp theo chứng tỏ nghịch đảo trái phần tử sinh tồn Rõ ràng, yp-1 nghịch đảo trái y, xp-1yp cho kết đòi hỏi phần tử sinh x xp-1yp x = xpyp = xpyyp-1 = yp Như Sp xác định nhóm với đơn vị xp hệ thức xp = yp Bằng cách sử dụng thơng tin thấy biểu diễn xác định nhóm đẳng cấu với nhóm xác định biểu diễn nhóm x, y | x p = 1, xyx = yxy, ( y x ( p +1) )2 = mà biểu diễn Renshaw nhóm PSL(2, p) W 2.2.14 Hệ Độ dài biểu diễn nửa nhóm 2p+19 Cuối cùng, ý độ dài cực tiểu biểu diễn nhóm tập sinh tối tiểu xét nhóm đơn khơng – aben với cấp < 105 (xem [4] ) Mặc dầu độ dài cực tiểu biểu diễn họ nhóm chưa xét đến Trước thấy rằng, ba biểu diễn nhóm đơn PSL(2, p) với p số nguyên tố lẻ, biểu diễn nửa nhóm chúng có độ dài 8p + 64 ( biểu diễn (2)), 2p + 25 ( biểu diễn (3)), xem 2.2.5 2p + 19 ( Định lí 2.2.13 ) Các biểu diễn nửa nhóm đạt sau khảo sát biểu diễn nhóm PSL(2, p) mà độ dài chúng 2p + 21, 2p + 21 2p + 15 tương ứng Điều so với 34 độ dài tốt chứng minh 12 biểu diễn nhóm PSL(2,5) cho x, y | x = 1, y = 1, ( xy )3 = ( xem [4] ) Dựa biểu diễn này, nhận biểu diễn nửa nhóm với độ dài 17 cho x, y | x y = y , y x = x, yxy = x Điều so với độ dài tốt 17 cho kết Bằng cách sử dụng chương trình viết đại số tuyến tính ( xem [8]), dựa ý tưởng từ [10] người ta chứng minh PSL(2, 5) thực chất có độ dài nửa nhóm cực tiểu 17 Chúng ta tìm thấy PSL(2, 7) có biểu diễn nửa nhóm cực tiểu x, y | x y = y, y3 x = x, xyxyx = yxy xy với độ dài 22 Chúng ta sử dụng hai kỹ thuật tính tốn lý thuyết để tìm biểu diễn với độ dài cực tiểu cho nhóm PSL(2, p), p số nguyên tố lẻ Cần ý biểu diễn nửa nhóm với độ dài cực tiểu nhóm biểu diễn nhóm với độ dài cực tiểu nhóm Một ví dụ SL(2, 5) xác định biểu diễn ( nửa nhóm ) hay nhóm với độ dài cực tiểu x, y | x = yx y, y = xy x ( Xem [12] ) 35 KẾT LUẬN Luận văn thực công việc sau : Hệ thống lại số kiến thức sở nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do; biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm cấu trúc tự tương ứng Hệ thống lại kết nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn PSL(n,p), với p số nguyên tố lẻ Chứng minh chi tiết Định lí Jordan-Dickson tính đơn nửa nhóm (Định lí 2.1.5) Hệ thống hóa số biểu diễn nửa nhóm nhóm PSL(n, p) thu dựa kết biểu diễn nhóm Chứng minh chi tiết kết biểu diễn nửa nhóm tốt cho PSL(2, p) (Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.13) Trên sở đó, tìm biểu diễn nửa nhóm với độ dài cực tiểu cho PSL(2, p) số trường hợp đặc biệt (p=5, p=7) Việc tìm biểu diễn nửa nhóm với độ dài cực tiểu nhóm PSL(2, p), với p số nguyên tố lẻ, trường hợp tổng quát toán mở mà chúng tơi tiếp tục tìm hiểu thời gian tới 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt-G.B Prestơn(1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch tiếng việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lí thuyết nửa nhóm lí thuyết nhóm, Trường ĐH Vinh Tiếng Anh [3] H.Aink, C.M Campbell, O’ Connor, N.Ruskuc (2000), ”The semigroup efficiency of groups and monoids”, Proc.Roy, Irish Acad, Scct A 100A, 171176 [4] C.M.Campell, G.Havas, C.Ramsay, E.F.Rovertson (2004) “Nice efficient presentation for all small groups anf their covers”, LMS J Comput Math 266-283 [5] C.M.Campell, J.D.Mitchell, N.Ruskuc (2002), “On defining groups efficiently with out using inverses”, Math.Proc.Cambridge Philos Soc 133, 31-36 [6] C.M Campell, E.F.Robertson (1980), “A deficiency zero presentation for SL(2;p)”, Bull.London Math Soc 12, 17-20 [7] C.M Campbell, P.P.Campell, (2004) , “On the minimal length of semigroup presentation”, Novi Sad J.Math., Vol 34, Noz, 17-26 [8] GAP (2003), Groups, “Algorithms and Programming”, version 4.3, Aachen, St Andrews (http:www-gap, dcs St - adrews, ac uk/ -gap) [9] S.Sidki (1975), “HK ∩ KH in group”, Trabalho de Matemática, 96, Universidate Brasilia ... Chương Biểu diễn nửa nhóm? ??……………………………………… 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự ………………………………… …4 1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm? ??………………….………12 Chương Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính. .. nhóm tự do, vị nhóm tự biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm để làm sở cho việc trình bày chương sau 4 Chương Độ dài cực tiểu biểu diễn nửa nhóm nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p) Trong... CHƯƠNG ĐỘ DÀI CỰC TIỂU CỦA BIỂU DIỄN NỬA NHĨM ĐỐI VỚI NHĨM TUYẾN TÍNH ĐẶC BIỆT XẠ ẢNH PSL(2,P) 2.1 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn PSL(n,p) 2.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, nhóm