BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ KIM NHUNG CẤU TRÚC CỦA NỬA NHÓM GIAO HOÁN VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ KIM NHUNG CẤU TRÚC CỦA NỬA NHÓM GIAO HOÁN VỚI TÍNH CHẤT MỞ RỘNG IĐÊAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN - 2011 4 MỤC LỤC Trang MỞ M UỞĐẦ .6 CH NG 1ƯƠ KI N TH C CHU N BẾ Ứ Ẩ Ị 8 1.1. B ng v n a d n. B ng các n a nhómă à ử à ă ử .8 1.2. Phân tích m t n a nhóm giao hoán th nh n a d n v i các th nh ph n ộ ử à ử à ớ à ầ Archimede .11 1.3. I êan v n a nhóm nđ à ử đơ .16 CH NG 2ƯƠ C U TRÚC C A N A NHÓM GIAO HOÁNẤ Ủ Ử V I T NH CH T M R NG I ÊANỚ Í Ấ Ở Ộ Đ .21 2.1. N a nhóm Archimede v i IEPử ớ 23 2.2. C u trúc c a n a nhóm giao hoán v i tính ch t m r ng i êanấ ủ ử ớ ấ ở ộ đ 25 2.3. N a nhóm i êan giao hoán có tính ch t m r ng i êanử đ ấ ở ộ đ .31 K T LU NẾ Ậ 36 TÀI LI U THAM KH OỆ Ả 37 MỞ ĐẦU Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan (IEP) nếu đối với nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T, tồn tại một iđêan J của S sao cho J I T = I. Khái niệm này liên quan đến khái niệm nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng được nhà toán học D. Alan đưa ra vào năm 1971: Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) nếu với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi tương đẳng σ trên T, tồn tại một tương đẳng ρ trên S sao cho ρ ∩ (TxT) = σ . Trong những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế 21, một số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng và mở rộng iđêan đã được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu. Luận văn dựa trên bài báo ''The structure of commutative semigroups with the ideal extention property '' của tác giả K.D. Aucoin đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 1999 để tìm hiểu cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan và mối liên hệ giữa các nửa nhóm này với các nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng tương đẳng. Luận văn chia làm hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về: 1.1. Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm. 1.2. Phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phần Archimede. 1.3. Iđêan và nửa nhóm đơn. Chương 2. Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày: 2.1. Nửa nhóm Archimede với tính chất mở rộng iđêan. 6 2.2. Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan. 2.3. Nửa nhóm iđêan giao hoán có tính chất mở rộng iđêan. Luận văn thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sự biết ơn sâu sắc tới Thầy, đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi trong học và tập dượt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa toán, Khoa sau Đại học, Tổ Đại số cùng quý thầy, cô giáo trong Khoa toán của trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo cùng với các bạn đồng nghiệp. Cuối cùng, một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đã nhận được trong thời gian qua. Nghệ An, năm 2011 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm 1.1.1. Định nghĩa. Mỗi quan hệ ≤ trên một tập X được gọi là một thứ tự bộ phận của X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng ký hiệu a < b để chỉ a ≤ b và a ≠ b.(ký hiệu > (hay ≥ ) để chỉ quan hệ ngược với quan hệ < (hay ≤ )). 1.1.2. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S. Khi đó quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f (e, f ∈ E) nếu ef = fe = e là một thứ tự bộ phận trên E. Chứng minh. Giả sử e, f, g ∈ E. Thế thì, vì e ∈ E nên 2 e e= , do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ. (1) Hơn nữa, nếu e ≤ f, f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó ≤ phản đối xứng. (2) Ta lại có: nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = fe = e và gf = fg = f nên: eg = (ef)g = e(fg) = ef = e, ge = g(fe) = (fg)e = fe = e. Do đó, e ≤ g nên ≤ bắc cầu. (3) Từ (1), (2), (3), suy ra ≤ là một thứ tự bộ phận trên E.  1.1.3. Định nghĩa. Quan hệ ≤ xác định trong Bổ đề 1.1.2 được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập con của X . i) Phần tử ∈b X được gọi là cận trên của Y nếu ≤y b với mọi ∈y Y ; ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu 8 ≤b c với mọi cận trên c của Y (nếu Y có một hợp trong X thì rõ ràng hợp đó là duy nhất); iii) Phần tử ∈a X được gọi là cận dưới của Y nếu ≤a y với mọi ∈y Y ; iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu ≤d a với mọi cận dưới d của Y (nếu Y có một giao trong X thì rõ ràng giao đó cũng duy nhất); v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới) nếu mỗi tập con gồm hai phần tử { } ,a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp (giao) của { } ,a b sẽ được ký hiệu là ∪a b (hay ∩a b ); vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới; vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao. 1.1.5. Ví dụ. 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp. Vì giao của tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y. Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ “tương đẳng trên S”. 2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S. 1.1.6. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S 9 đều là lũy đẳng. Giả sử S là một băng. Khi đó S = E và S được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận tự nhiên ( ≤ ∈, ( , )a b a b S nếu và chỉ nếu ab = ba = a). 1.1.7. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên S. Giao a b∩ của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao. Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.2, quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên S(= E). Ta chứng tỏ rằng tích ab(=ba) của hai phần tử ∈,a b S trùng với cận dưới lớn nhất của { } ,a b . Từ 2 (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = a b ab= và 2 ( ) (aa)b=aa ab b ab= = suy ra ≤ab a . Tương tự ≤ab b nên ab là cận dưới của { } ,a b . Giả sử ≤c a và ≤c b . Thế thì ( ) ( )ab c a bc ac c= = = và tương tự, =( ) ,c ab c từ đó ≤c ab . Do đó ab là cận dưới lớn nhất của { } ,a b . Suy ra S là nửa dàn dưới. Mệnh đề đảo là hiển nhiên.  1.1.8. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Khi đó nếu đặt ≤a b khi và chỉ khi ( )ab ba b= = thì ( , )S ≤ là nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho thống nhất, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.1.4. Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới nếu không nói thêm gì. 1.1.9. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. S X Y= × là tích Decartes của X và Y. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt 1 1 2 2 1 2 ( , )( , ) ( , )x y x y x y= với 1 2 1 2 , ; ,x x X y y Y∈ ∈ . Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y× . Lý do của tên gọi đó như sau: Ta hãy tưởng tượng X Y× là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm 10