BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ HÙNG MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA TÍCH TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu 1.3 nh ngha c s Grăobner 1.4 Dãy khớp, độ dài môđun 1.5 Chiều Krull 1.6 Vành, môđun phân bậc 1.7 Số bội 1.8 Dãy quy 1.9 Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford Chiều, số bội, độ sâu số quy Castelnuovo - Mumford tích trộn lẫn iđêan 13 2.1 Chiều số bội 13 2.2 Độ sâu 19 2.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 24 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Các bất biến Đại số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong Đại số giao hốn, chiều, số bội, độ sâu, số quy CastelnuovoMumford bất biến quan trọng vành mơđun Tích trộn lẫn iđêan iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Chúng có dạng (Iq Jr + Ip Js )S , Iu (tương ứng Jv ) iđêan sinh tất đơn thức bậc u khơng chứa bình phương vành A := K [x1 , x2 , xn ] (t.ư bậc v B := K [y1 , y2 , yN ]), < p < q ≤ n, < r < s ≤ N S := K [x1 , x2 , xn , y1 , y2 , yN ] Chúng đưa Restuccia Villarreal (Xem [6] [9]) Một số bất biến đại số iđêan tính tốn báo gần [5] [7], [4] Kết [4] mở rộng kết [5] Chúng tơi nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết kết [4] Luận văn chia thành chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn như: Vành môđun phân bc, C s Grăobner, Ch s chớnh quy CastelnuovoMumford, Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương Chiều, số bội, độ sâu số quy Castelnuovo - Mumford tích trộn lẫn iđêan Luận văn thực hoàn thành Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng đến TS Đào Thị Thanh Hà với thầy cô giáo tổ Đại số tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thiện luận văn Mặc dầu cố gắng, song luận văn tránh thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu thầy, cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Đại học Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn giả thiết R vành giao hốn, có đơn vị M R- môđun 1.1 Thứ tự từ 1.1.1 Định nghĩa Thứ tự từ ≤ thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức K[x] thỏa mãn tính chất sau: (i) Với m ∈ M , ≤ m; (ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 Cho ≤ thứ tự từ Ta giả sử x1 > x2 > > xn Ta có số thứ tự từ quan trọng sau: 1.1.2 Định nghĩa Thứ tự từ điển thứ tự ≤lex xác định sau : x1 α1 xn αn δ2 ∆1 = ∆2 ; δ1 = δ2 ∆1 > ∆2 , giả thiết (ii) đầy đủ δ1 = δ2 ∆1 + = N Nếu khơng có giả thiết cơng thức khơng cịn trường hợp tổng qt Ví dụ lấy I1 = I2 ∆2 > ∆1 Khi theo Bổ đề 2.2.2 depth S S = depth = δ1 + ∆2 + 1, (I1 J2 + I2 J1 ) (I1 J2 ) vế phải công thức (i) phải δ1 + ∆1 23 2.2.4 Ví dụ Sử dụng ký hiệu Ví dụ 2.1.4 Theo ([3],Ví dụ 2.2), depthA/Ip = p − depthB/Jq = q − Vì với số nguyên ≤ q < s ≤ n ≤ t < r ≤ N, Định lý 2.2.3 cho ta depth S = min{q + r − 1, s + t − 1, s + r − 2} (Iq Jr + Is Jt ) = min{q + r, s + t} − 1, depth S = q + r − (Iq Jr + Is ) Theo Bổ đề 2.2.2 có depth S = s + r − (Is + Jr ) 2.2.5 Hệ Cho I1 ⊆ I2 ⊆ A, J1 ⊆ J2 ⊆ B iđêan khác thực Đặt dimA I1 = δ1 , dimA I2 = δ2 , dimB J1 = ∆1 dimB J2 = ∆2 Giả sử min{δ1 + ∆2 , δ2 + ∆1 } = δ1 + ∆1 Khi S/(I1 J2 + I2 J1 ) vành Cohen - Macaulay tất vành A/I1 , A/I2 , B/J1 , B/J2 vành Cohen -Macaulay δ1 = n−1, δ2 = n−2, ∆1 = N −1, ∆2 = N − Chứng minh Sử dụng ký hiệu Định lý 2.1.3 Giả sử S/(I1 J2 + I2 J1 ) vành Cohen - Macaulay Theo Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.3 có dim S S ≥ d1 + D2 ≥ δ1 + ∆1 ≥ depth (I1 J2 + I2 J1 ) (I1 J2 + I2 J1 ) 24 = dim S (I1 J2 + I2 J1 ) Bởi có d1 = δ1 D1 = ∆1 tương đương A/I1 , B/J1 vành Cohen - Macaulay Hơn ta có dimS/(I1 J2 + I2 J1 ) = d1 + D1 depthS/(I1 J2 + I2 J1 ) = δ1 + ∆1 , d1 ≤ n + D1 ≤ N + Lại theo Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.3, bất đẳng thức suy n + D2 ≤ dim S S = d1 + D1 = δ1 + ∆1 = depth (I1 J2 + I2 J1 ) (I1 J2 + I2 J1 ) ≤ δ1 + ∆2 + ≤ d1 + ∆2 + ≤ n + ∆2 ≤ n + D2 (4) Và N + d2 ≤ dim S S = d1 + D1 = δ1 + ∆1 = depth (I1 J2 + I2 J1 ) (I1 J2 + I2 J1 ) ≤ δ2 + ∆1 + ≤ d1 + D1 + ≤ δ2 + N ≤ d2 + N (5) Từ (4) ta D2 = ∆2 = D1 − 1, d1 = n − từ (5) ta d2 = δ2 = d1 − 1, D1 = N − Bởi hai vành A/I2 , B/J2 vành Cohen Macaulay δ2 = n − 1, ∆2 = N − Chiều ngược lại dễ dàng suy từ Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.3 2.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Nhắc lại số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc hữu hạn sinh E = ⊕n∈N En vành phân bậc chuẩn R = ⊕n≥0 Rn số xác dịnh regE = min{p/HRi + (E)q−i = 0, với q > p i ≥ 25 Với quy ước reg0 = −∞, R+ := ⊕n>0 Rn Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford bất biến quan trọng để đo phức tạp mơđun phân bậc Do điều quan tâm tính tốn số quy Castelnuovo - Mumford Các bất đẳng thức bổ đề trình bày ([2], Hệ 20.19) Chứng minh cho điều kiện đủ bất đẳng thức tương tự với Bổ đề 2.2.1 2.3.1 Bổ đề Giả sử 0→M →N →P →0 Là dãy khớp ngắn S- mơ đun phân bậc Khi (i) regN ≤ max{regM, regP }, dấu xảy regP = regM − 1; (ii) regM ≤ max{regN, regP + 1}, dấu xảy regN = regP ; (iii) regP ≤ max{regM − 1, regN }, dấu xảy regM = regN 2.3.2 Bổ đề Cho iđêan nhất, khác 0, I ⊂ A J ⊂ B Ta có: (i) regS/(I + J) = regA/I + regB/J; (ii) regS/(IJ) = regA/I + regB/J + Chứng minh (i) Theo [7, Hệ 11.27], TorS1 (S/(I), S/(J)) = (IJ)/((I) ∩ (J)) Từ Bổ đề 2.1.1 suy TorS1 (S/(I), S/(J)) = Bởi vậy, từ [5, Bổ đề 2.3] ta có : regS/(I + J) = regS/(I) + regS/(J) = regA/I + regB/J 26 (ii) Trước hết giả sử regA/I > regB/J > Theo Bổ đề 2.1.2 ta có dãy khớp → S/(IJ) → S/(I) ⊕ S/(J) → S/(I + J) → Từ regA/I > 0vregB/J > 0, có reg(S/(I) ⊕ S/(J)) = max{regS/(I), regS/(J)} = max{regA/I, regB/J} < regA/I + regB/J = regS/(I + J) Bởi vậy, theo Bổ đề 2.3.1(ii) regS/(IJ) = max{reg(S/(I) ⊕ +S/(J)), regS/(I + J) + 1} = regA/I + regB/J + Bây giả sử regB/J = 0, điều có nghĩa J sinh dạng tuyến tính tổng qt Chúng ta giả thiết J = (y1 , , ym ), ≤ m ≤ N Chúng ta biểu diễn quy nạp theo m, trường hợp có regS/(IJ) = regA/I + regB/J + = regA/I + Với m = 1, Chú ý y1 phần tử quy S -mơđun (I) (điều dễ dàng suy bng cỏch s dng c s Grăobner nh B đề 2.1.1.) Ta có (y1 I) ∼ = (I)(−1) Bởi regS/(y1 I) = reg(y1 I) − = reg(I) = + regS/(I) = + regA/I Với m > giả sử regS/(IJ) = regS/((y1 , , ym )I) = regA/I + 27 Chúng ta có I ⊆ ((y1 , , ym )I), y1 ⊆ (I), y1 = (I) ((y1 , , ym )I) : y1 = (I) Bởi ta có dãy khớp S -mơđun 0→ S S S K [x,y2 , , yN ] y1 ∼ (−1)→ → →0 = (I) ((y1 , , ym )I) ((y1 , , ym )I, y1 ) ((y2 , , ym )I) Theo giả thiết quy nạp, có K [x,y2 , , yN ] = regA/I + = regS/(J) = reg(S/(I))(−1) − ((y2 , , ym )I) reg Bởi vậy, theo Bổ đề 2.3.1 (i) regS/((y1 , , ym )I) = max regS/(I), reg K [x,y2 , , yN ] ((y2 , , ym )I) = regA/I + Như bổ đề chứng minh 2.3.3 Định lí Cho I1 ⊆ I2 ⊆ A, J1 ⊆ J2 ⊆ B iđêan khác Đặt reg A I1 = r1 , reg A I2 = r2 , reg B J1 = R1 , reg B J2 = R2 Giả sử max{r1 + R2 , r2 + R1 } = r1 + R1 Khi regS/(I1 J2 + I2 J1 ) = max{r1 + R1 , r1 + R2 + 1, r2 + R1 + 1} Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.2(ii) reg(S/(I1 J2 ) ⊕ S/(I2 J1 )) = max{regS/(I1 J2 ), regS/(I2 J1 )} = max{r1 + R1 , r2 + R1 } + regS/(I1 J1 ) = r1 + R1 + Giả thiết cho reg(S/(I1 J2 ) ⊕ S/(I2 J1 )) = regS/(I1 J1 ) 28 Bởi từ dãy khớp Bổ đề 2.1.2 0→ S S S S → → →0 ⊕ (I1 J1 ) (I1 ) (I2 J1 ) (I1 + I2 J1 ) Bổ đề 2.3.1(iii) có regS/(I1 J2 + I2 J1 ) = max{r1 + R1 , r1 + R2 + 1, r2 + R1 + 1} Chú ý giả thiết định lý hoàn thiện trường hợp sau (i) r1 = r2 R1 = R2 (ii) r1 = r2 R1 < R2 (iii) r1 < r2 R1 = R2 2.3.4 Ví dụ Giữ nguyên ký hiệu Ví dụ 2.1.4 Theo [4, Mệnh đề 2.2(b)], regA/Ip = p − regB/Jq = q − Bởi với số nguyên ≤ q < s ≤ n ≤ t < r ≤ N Định lý 2.3.3 cho ta regS/(Iq Jr + Is Jt ) = max{s + r − 2, s + t − 1, q + r − 1} = r + s − 2.3.5 Ví dụ Nếu khơng có giả thiết, cơng thức Định lý 2.3.3 khơng Chẳng hạn, xét I1 = I2 R1 < R2 , regS/(I1 J2 + I2 J1 ) = regS/(I1 J2 ) = r1 + R2 + 1, kết cơng thức Định lý 2.3.3 r1 + R1 + Chúng ta đưa ví dụ khác để khơng có giả thiết, regS/(I1 J2 + I2 J1 ) nhận giá trị khác với giá trị liệt kê vế phải công thức Định lý 2.3.3 Đặt I1 = (x4 y , x6 y ), I2 = (x6 , x4 y ), J1 = (z t3 , z 10 ), I1 = (z t3 , z 10 , z t4 ) Sử dụng CoCoA ta thấy regA/(I1 ) = 10, regA/(I2 ) = 6, regB/(J1 ) = regB/(J2 ) = 11 regS/(I1 J2 + I2 J1 ) = 20, không thuộc tập {r1 + R1 = 21, r1 + R2 + = 22, r2 + R1 + = 18} 29 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại cách chi tiết kết [4] Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: Trình bày số khái niệm sở Đại số giao hốn như: Vành mơđun phõn bc, C s Grăobner, Ch s chớnh quy CastelnuovoMumford, Trình bày chiều, số bội, độ sâu số quy Castelnuovo - Mumford tích trộn lẫn iđêan 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Vit [1] Lờ Tun Hoa (2003), C s Gră obner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] D Eisenbud (1995), Commutative algebra, With a view toward algebraic geometry Graduate Texts in Mathemmatics 150 Springer – Verlag [3] J Herzog and T Hibi (2006), Cohen-Macaulay polymatroidals, Eur J Comb 27, 513-517 [4] Le Tuan Hoa and Nguyen Duc Tam (2010), On some invariants of mixed product of ideals, Arch Math (Basel), 94, 327-337 [5] C Ionescu and Rinaldo (2008) , Some algebraic invariants related to mixed product ideals, Arch Math (Basel) 91, 20-30 [6] Restuccia and R Villareal (2001), On nomality of monomial ideals of mixed product, Communi Algebra, 29, 3571-3580 [7] G Rinaldo (2008), Betti numbers of mixed product ideals, Arch Math (Basel) 91, 416-426 [8] J J Rotman (1979), An introduction to homogical algebra, Acdemic Press [9] R Villareal (2001), Monomial Algebra, Marcel Dekker, New-York ... SỐ BỘI, ĐỘ SÂU VÀ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO - MUMFORD CỦA TÍCH TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN Tích trộn lẫn iđêan iđêan đơn thức khơng chứa bình phương có dạng (Iq Jr + Ip Js )S , Iu (tương ứng Jv ) iđêan. .. J1 )S tích trộn lẫn I1 , I2 J1 , J2 Chúng ta xác định số bất biến tích hỗn tạp bốn iđêan I1 , I2 , J1 , J2 Các bất biến là: Chiều, Bội số, Bậc, Chỉ số quy Castelnuovo - Mumford 2.1 Chiều số bội... biến Đại số ln nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Trong Đại số giao hoán, chiều, số bội, độ sâu, số quy CastelnuovoMumford bất biến quan trọng vành mơđun Tích trộn lẫn iđêan iđêan đơn thức không chứa