1 MỤC LỤC Mở đầu Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị Sự tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ đơn trị đa trị 26 2.1 Sự tồn điểm trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị 26 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian o-mêtric 31 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động điểm bất động chung có nhiều ứng dụng Giải tích, lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Đây chủ đề chuyên gia Giải tích quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) không gian mêtric đầy đủ Dựa vào kết người ta mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Một hướng mở rộng nghiên cứu tồn điểm bất động, điểm trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Mục đích dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu lí thuyết điểm bất động, điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian mêtric, không gian mêtric nón Từ xem xét đưa số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian o-mêtirc Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị Trong chương này, trình bày số kết tồn điểm bất động chung hai, ba, ánh xạ đơn trị không gian mêtric, mêtric nón Chương Sự tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Trong chương này, trình bày số kết tồn điểm trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, đưa số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian o-mêtric Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban lãnh đạo Trường Đại Học Vinh Tác giả xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích Khoa Toán Trường Đại Học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế mặt kiến thức thời gian nên Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ Chương trình bày số kết điểm bất động chung ánh xạ đơn trị 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết có cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho tập X hàm d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: 1) d (x , y) với x , y ∈ X d(x,y) = x = y ; 2) d (x , y) = d (y, x ) với x , y ∈ X ; 3) d (x , z ) ≤ d (x , y) + d (y, z ) với x , y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (X,d) hay đơn giản X 1.1.2 Một số kí hiệu Cho (X,d) không gian mêtric Ta kí hiệu - K(X) tập hợp tất tập compact khác rỗng X; - CL(X) tập hợp tất tập đóng khác rỗng X; - CB(X) tập hợp tất tập đóng bị chặn khác rỗng X; - I ánh xạ đồng X; - (h) = {h(x ) : x ∈ X }, ánh xạ h : X → X ; - H mêtric Hausdorff CL(X) xác định H (A, B ) = max{d (a, B ), d (A, b)} với A, B ∈ CL(X ), d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B}, d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}, δ(A, B) = sup{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}; - Ω : (R+ )5 → R+ hàm đơn điệu tăng theo biến, với t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈ R+ = {r ∈ R : r 0} + + + + Ω(t+ , t2 , t3 , t4 , t5 ) = inf{Ω(s1 , s2 , s3 , s4 , s5 ) : sj ∈ (tj , +∞) ∀j = 1, 2, 3, 4, 5}, + + + Ω(t1 , t+ , t3 , t4 , t5 ) = inf{Ω(t1 , s2 , s3 , s4 , s5 ) : sj ∈ (tj , +∞) ∀j = 2, 3, 4, 5}; - σj : R+ → R+ (j = 1, 2), σ1 (t) = Ω(0+ , 0+ , t+ , t+ , t+ ), σ2 (t) = Ω(t, 0+ , 0+ , t+ , 0+ ); - ζ : R+ → R+ xác định ζ(t) = max{σ1 (t), σ2 (t)}; - α, D : X × X → R+ hàm xác định α(x, y) = Ω(d(Sx, f x), d(Sy, f y), d(Sx, Sy), d(f x, Sy), d(Sx, f y)), D(x, y) = Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y)) với x, y ∈ X , ánh xạ f, S : X → X ánh xạ F : X → CL(X) Trong phần sau không giải thích thêm ta hiểu (X,d) không gian mêtric hàm hiểu phần kí hiệu 1.1.3 Định nghĩa ([5]) Cho X không gian mêtric, f S ánh xạ từ X vào X Ta nói cặp (f,S) thỏa mãn điều kiện A có dãy {xn }∞ n=0 thuộc X cho Sxn+1 = f xn := yn với n = 0, 1, 2, 1.1.4 Định nghĩa ([5]) Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện A Ω(t, s, t, 0, t+ s) < s với s, t ∈ R+ , t < s 1.1.5 Định nghĩa ([5]) Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện B nếu: (i) Tồn hàm đơn điệu tăng ϕ : R+ → R+ , ϕ(t) < t ∀t ∈ (0, ∞), (ii) Với t ∈ R+ tồn tập số It = φ số thực không âm βi , γi (i ∈ It ) cho sup{γi : i ∈ It } < 1, Ω(t, t, 2t, t, t + s) ≤ sup{(1 + βi )t + γi s : i ∈ It } với s ∈ [t, 2t], Ω(t, t, t, 0, λt t) ≤ ϕ(t), λt = sup + βi : i ∈ It − γi 1.1.6 Định nghĩa ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) không gian mêtric (X,d) gọi tương thích dãy {d(f1 f2 xn , f2 f1 xn )} → với {xn } dãy X cho dãy {f1 xn }, {f2 xn } hội tụ X có giới hạn 1.1.7 Định nghĩa ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) từ X vào X gọi tương thích yếu f1 f2 x = f2 f1 x với x ∈ X cho f1 x = f2 x * Chú ý Nếu (f, S) tương thích tương thích yếu 1.1.8 Định nghĩa ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) không gian mêtric (X, d) gọi liên tục phụ thuộc u ∈ X dãy {f1 f2 xn } hội tụ tới f1 u {f2 f1 xn } hội tụ tới f2 u với {xn } dãy X cho {f1 xn } {f2 xn } hội tụ tới u, với u ∈ X 1.1.9 Định nghĩa Một tập P không gian Banach E gọi nón thỏa mãn điều kiện sau: 1) P tập đóng khác rỗng P = {0}; 2) < a, b ∈ R x, y ∈ P ⇒ ax + by ∈ P ; 3) P ∩ (-P) = {0} Cho nón P ⊆ E Ta định nghĩa quan hệ thứ tự phận ≤ E với nón P x ≤ y y − x ∈ P Ta viết x < y x ≤ y x = y ; x y y − x ∈ intP, intP phần P Nón P gọi chuẩn tắc có số k ≥ cho ∀x, y ∈ E, ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ k y (1) Số k nhỏ thõa mãn điều kiện (1) gọi số chuẩn tắc P 1.1.10 Định nghĩa Cho E không gian Banach, P nón E với intP = φ ≤ thứ tự phận E xác định P Giả sử X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → E thỏa mãn 1) ≤ d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X , d gọi mêtric nón X (X, d) gọi không gian mêtric nón Giả sử {xn } dãy không gian mêtric nón X, x ∈ X - Nếu với c tồn n0 ∈ N cho với n > n0 , d(xn , x) c, dãy {xn } gọi hội tụ (hoặc dãy {xn } hội tụ) tới x x gọi giới hạn dãy {xn }.Ta viết lim xn = x xn → ∞ n → ∞ n→∞ - Nếu với c tồn n0 ∈ N cho với n, m > n0 , d(xn , xm ) c, dãy {xn } gọi dãy Cauchy X - Nếu dãy Cauchy X hội tụ X gọi không gian mêtric nón đầy đủ *Chú ý Ta định nghĩa khác hội tụ dãy dãy Cauchy không gian mêtric nón sau - Nếu P nón chuẩn tắc, xn ∈ X hội tụ tới x ∈ X d(xn , x) → n → ∞ Ngoài xn ∈ X dãy Cauchy d(xn , xm ) → n, m → ∞ 1.1.11 Định nghĩa Giả sử X, Y hai tập khác rỗng Kí hiệu 2Y họ tất tập Y Ta gọi ánh xạ từ X vào Y ánh xạ đơn trị hay hàm đơn trị gọi ánh xạ từ X vào 2Y ánh xạ đa trị hay hàm đa trị 1.1.12 Định nghĩa Giả sử f, g : X → X G, T : X → U với U ⊂ 2X Ta viết f x thay cho f (x) Sx thay cho S(x), x ∈ X Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f x = x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động T x ∈ T x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f T x = f x ∈ T x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f g x = f x = gx Điểm x ∈ X gọi điểm trùng f g f x = gx Điểm x ∈ X gọi điểm trùng f T f x ∈ T x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung T G x ∈ T x∩Gx 1.1.13 Định nghĩa Giả sử f : X → X T : X → 2X Ta nói f T giao hoán yếu f T x ⊂ T f x với x ∈ X 1.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị Trong mục ta dùng kí hiệu mục 1.1.2 1.2.1 Bổ đề ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy {d(yn , yn+1 )}∞ n=0 hội tụ tới 0, σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞) d(f x, f y) ≤ α(x, y) với x, y ∈ X Khi {yn } dãy Cauchy 1.2.2 Bổ đề ([5]) Nếu Cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điều kiện A B d(f x, f y) ≤ α(x, y) với x, y ∈ X , dãy {d(yn , yn+1 )}∞ n=0 hội tụ tới 1.2.3 Bổ đề ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy {yn } nói Định nghĩa 1.1.3 hội tụ tới z ∈ X d(f x, f y) ≤ α(x, y) với x, y ∈ X Khi khẳng định sau (i) Nếu σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞) f p = Sp với p ∈ X f p = z Hơn f S có điểm bất động chung điểm trùng khác z σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞) (ii) Nếu σ2 (t) < t với t ∈ (0, ∞) z ∈ (S), tồn w ∈ X cho f w = Sw = z (iii) Nếu ζ(t) < t với t ∈ (0, ∞), z ∈ (S) (f, S) tương thích yếu f z = Sz = z (iv) Nếu σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞), S liên tục z (f, S) tương thích Sz = z (v) Nếu σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞), f liên tục z (f, S) tương thích f z = z (vi) Nếu σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích liên tục phụ thuộc z f z = Sz = z 10 Chứng minh Vì (f, S) thỏa mãn có điều kiên A nên tồn {xn } ⊂ X cho Sxn+1 = f xn = yn (i) Giả sử σ1 (t) < t với t ∈ (0, ∞) f p = Sp với p ∈ X Khi đó, ta có α(p, xn+1 ) = Ω(d(Sp, f p), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sp, Sxn+1 ), d(f p, Sxn+1 ), d(Sp, f xn+1 )) = Ω(d(f p, f p), d(yn , yn+1 ), d(f p, yn ), d(f p, yn ), d(f p, yn+1 )) = Ω(0, d(yn , yn+1 ), d(f p, yn ), d(f p, yn ), d(f p, yn+1 )) với n ∈ N Do lim α(p, xn+1 ) ≤ Ω(0, 0+ , d(f p, z)+ , d(f p, z)+ , d(f p, z)+ ) n→∞ Từ ta có lim α(p, xn+1 ) ≤ σ1 (d(f p, z)) n→∞ Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với x, y ∈ X , suy d(f p, yn+1 ) ≤ α(p, xn+1 ) với n ∈ N (2) Lấy giới hạn hai vế (2) n → ∞ ta d(f p, z) ≤ σ1 (d(f p, z)) ≤ d(f p, z) Do d(f p, z) = hay f p = z = Sp Từ suy S f có điểm bất động chung điểm trùng khác z (ii) Giả sử σ2 (t) < t với t ∈ (0, ∞) z ∈ (S) Khi đó, tồn w ∈ X cho z = Sw ∈ X Ta có α(w, xn+1 ) = Ω(d(Sw, f w), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sw, Sxn+1 ), d(f w, Sxn+1 ), d(Sw, f xn+1 )) = Ω(d(z, f w), d(yn , yn+1 ), d(z, yn ), d(f w, yn ), d(z, yn+1 )) với n ∈ N Do yn → z n → ∞, nên 27 2.1.3 Bổ đề ([5]) Giả sử cặp (F, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điều kiện A C H(F x, F y) ≤ Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y)) ∞ với x, y ∈ X Khi {vn }∞ n=1 = {Sun+1 }n=0 dãy Cauchy, {un }∞ n=0 dãy nói Định nghĩa 2.1.2 2.1.4 Định lý ([5]) Giả sử cặp (F, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điều kiện A C H(F x, F y) ≤ Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y)) ∞ với x, y ∈ X Khi đó, {vn }∞ n=1 = {Sun+1 }n=0 dãy Cauchy Nếu dãy {vn } hội tụ tới z ∈ S(X) σ2 (t) < t với t ∈ (0, ∞), Sw ∈ F w với w ∈ X , z = Sw hay w điểm trùng S F Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.3 ta có dãy {vn } dãy Cauchy Giả sử {vn } hội tụ tới phần tử z ∈ S(X) w ∈ X cho z = Sw Ta có D(w, un+1 ) = Ω(d(z, F w), d(vn , vn+1 ), d(z, ), d(vn , F w), d(z, F un+1 )) với n ∈ N.Ta biết lim D(w, un+1 ) ≤ Ω(d(z, F w), 0+ , 0+ , d(z, F w)+ , 0+ ) n→∞ = σ2 (d(z, F w)) Từ giả thiết định lí, ta có d(vn+1 , F w) = d(Sun+2 , F w) ≤ H(F un+1 , F w) = H(F w, F un+1 ) ≤ D(w, un+1 ) với n ∈ N Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức (9) n → +∞, ta d(z, F w) ≤ σ2 (d(z, F w)) (9) 28 Vì σ2 (t) < t với t ∈ (0, ∞), nên d(z, F w) ≤ σ2 (d(z, F w)) ≤ d(z, F w) Do d(z, F w) = Vì F w tập đóng, suy z ∈ F w hay Sw ∈ F w Vậy w điểm trùng S F 2.1.5 Hệ ([5]) Giả sử ϕ : R+ → R+ ánh xạ đơn điệu tăng ∞ ϕn (t) < +∞ cho với t ∈ (0, ∞), (F, S) thỏa mãn điều kiện n=1 A H(F x, F y) ≤ ϕ(max{d(Sx, Sy), d(Sx, F x), d(Sy, F y), [d(Sy, F x) + d(Sx, F y)]}) với x, y ∈ X Khi {yn } = {Sxn+1 } dãy Cauchy Nếu dãy {yn } hội tụ tới z ∈ S(X) Sw ∈ F w, với w ∈ X , z = Sw, tức w điểm trùng F S Chứng minh Giả thiết ϕ đảm bảo ϕ(t) < t với t ∈ (0, ∞) Ta xác định Ω : (R+ )5 → R+ công thức Ω(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = ϕ(max{t1 , t2 , t3 , [t4 + t5 ]}) với t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈ R+ Rõ ràng Ω hàm đơn điệu tăng theo biến Khi Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y)) = ϕ(max{d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), [d(Sy, F x) + d(Sx, F y)]}) Theo giả thiết ta có H(F x, F y) ≤ ϕ(max{d(Sx, Sy), d(Sx, F x), d(Sy, F y), 29 [d(Sy, F x) + d(Sx, F y)]}) = Ω(d(Sx, F x), d(Sy, F y), d(Sx, Sy), d(Sy, F x), d(Sx, F y)) với x, y ∈ X Chọn σ2 (t) = ϕ(t) với t ∈ (0, ∞) σ2 (t) < t với t ∈ (0, ∞) Áp dụng Định lí 2.1.4 suy điều phải chứng minh 2.1.6 Định lý ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric compact, S T ánh xạ từ X vào CL(X) Giả sử ánh xạ f, g : X → X thỏa mãn δ(Sx, T y) < max d(f x, gy), H(f x, Sx), H(gy, T y), [d(f x, T y) + d(gy, Sx)], H(f x, Sx)H(gy, T y) d(f x, T y)d(gy, Sx) , d(f x, gy) d(f x, gy) với x, y ∈ X với f x = gy SX ⊆ gX , T (X) ⊆ f X Nếu f S g T liên tục f S g T có điểm trùng u với Su = {f u} T u = {gu} Chứng minh Không tính tổng quát ta giả thiết f S liên tục Khi H(f x, Sx) hàm liên tục X Vì X không gian compact nên tồn u ∈ X cho H(f u, Su) = inf{H(f x, Sx) : x ∈ X} Dễ dàng thấy có điểm y ∈ Su thõa mãn d(f u, y) = H(f u, Su) Vì SX ⊆ gX nên tồn v ∈ X cho y = gv Do ta có hệ thức d(f u, gv) = H(f u, Su) với gv ∈ Su Tương tự, ta có hai điểm w, x ∈ X , cho d(gv, f w) = H(gv, T v), d(f w, gx) = H(f w, Sw), f w ∈ T v , gx ∈ Sw Bây ta chứng minh H(f u, Su).H(gv, T v) = 30 Giả sử H(f u, Su).H(gv, T v) > Khi đó, từ δ(Su, T v) < max d(f u, gv), H(f u, Su), H(gv, T v), [d(f u, T v) + d(gu, Sv)] H(f u, Su)H(gv, T v) d(f u, T v)d(gv, Su) , d(f u, gv) d(f u, gv) = max H(f u, Su), H(gv, T v), [d(f u, gv) + H(gv, T v)] = max{H(f u, Su), H(gv, T v)} suy H(gv, T v) ≤ δ(Su, T v) < max{H(f u, Su), H(gv, T v)} = H(f u, Su) (10) Tương tự, ta có H(f w, Sw) ≤ δ(Sw, T v) < max{H(gv, T v), H(f w, Sw)} = H(gv, T v) (11) Từ (10) (11) suy H(f w, Sw) < H(gv, T v) < H(f u, Su) = inf{H(f x, Sx) : x ∈ X} Đây điều mâu thuẫn Do H(f u, Su).H(gv, T v) = 0, suy H(f u, Su) = H(gv, T v) = 0, tức Su = {f u} T v = {gv} 2.1.7 Định lý ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric compact, S T ánh xạ từ X vào CL(X) Giả sử ánh xạ f, g : X → X thỏa mãn H(Sx, T y) < max d(f x, gy), d(f x, Sx), d(gy, T y), [d(f x, T y) + d(gy, Sx)], d(f x, Sx)d(gy, T y) d(f x, T y)d(gy, Sx) , d(f x, gy) d(f x, gy) với x, y ∈ X với f x = gy SX ⊆ gX , T X ⊆ f (X) Nếu f S g T liên tục f S g T có điểm trùng 31 Chứng minh Không tính tổng quát ta giả thiết f S liên tục X Khi d(f x, Sx) liên tục Sx tập compact nên đạt giá trị nhỏ u ∈ X Tương tự phần chứng minh Định lí 2.1.6, tồn v, w ∈ X cho d(f u, gv) = d(f u, Su), d(gv, f w) = d(gv, T v) d(f w, gx) = d(f w, Sw), gv ∈ Su, f w ∈ T v, gx ∈ Sw Giả sử d(f u, Su).d(gv, T v) > Tương tự chứng minh Định lí 2.1.6 ta d(f w, Sw) ≤ d(gv, T v) < d(f u, Su) Điều mâu thuẫn với d(f x, Sx) đạt giá trị nhỏ u Do d(f u, Su).d(gv, T v) = 0, suy d(f u, Su) = d(gv, T v) = 0, tức f u ∈ Su gv ∈ T v Vậy u điểm trùng f S v điểm trùng g T 2.1.8 Hệ ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric compact, S T ánh xạ từ X vào CL(X) Giả sử ánh xạ f, g : X → X thỏa mãn H(Sx, T y) < max d(f x, gy), d(f x, Sx), d(gy, T y), [d(f x, T y) + d(gy, Sx)] với x, y ∈ X với f x = gy SX ⊆ gX , T X ⊆ f X Nếu f S g T liên tục f S g T có điểm trùng 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian o-mêtric 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, d : X × X → R Hàm d gọi o-mêtric X thõa mãn điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X ; 2) d(x, y) = x = y ; 3) Tập U ⊂ X mở d(x, X\U ) > với x ∈ U , 32 d(x, X\U ) = inf{d(x, y) : y ∈ X\U } Không gian tôpô X với o-mêtric d gọi không gian o-mêtric kí hiệu (X, d) X không cần d Không gian o-mêtric X gọi đầy đủ {xn } dãy X cho ∞ d(xn , xn+1 ) < ∞ n=1 tồn x ∈ X cho lim d(x, xn ) = n→∞ 2.2.2 Nhận xét Giả sử {xn } dãy không gian o-mêtric x ∈ X Khi đó, d(xn , x) hội tụ tới {xn } hội tụ tới x 2.2.3 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian o-mêtric f : X → X Hàm f gọi d-liên tục x ∈ X {xn } ⊂ X d(x, xn ) → d(f x, f xn ) → Hàm f gọi d-liên tục d-liên tục điểm X Không gian (X, d) gọi thỏa mãn điều kiện (W4 ) {xn }, {yn } dãy X x ∈ X cho d(x, xn ) → 0, d(yn , xn ) → d(x, yn ) → 2.2.4 Bổ đề 1) Giả sử với x ∈ X hàm y −→ d(x, y) nửa liên tục X Khi đó, E ∈ K(X) a ∈ X tồn b ∈ E cho d(a, b) = d(a, E); 2) Giả sử Y ⊂ X {xn } dãy X Khi lim d(Y, xn ) = n→∞ tồn dãy {yn } Y cho lim d(yn , xn ) = n→∞ 33 2.2.5 Định lý Giả sử (X, d) không gian o-mêtric đầy đủ, thỏa mãn điều kiện (W4 ) f : X → X T : X → K(X) cho T X ⊂ f X Khi đó, (i) T ánh xạ f–co, tức tồn h ∈ [0, 1) cho H(T x, T y) ≤ hd(f x, f y) với x, y ∈ X ; (ii) Với x ∈ X hàm y −→ d(x, y) nửa liên tục X ; (iii) f d-liên tục giao hoán yếu với T f T có điểm trùng Chứng minh Lấy x0 ∈ X Vì T x0 tập đóng compact X hàm y −→ d(x, y) nửa liên tục nên theo Bổ đề 2.2.4 tồn z ∈ T x0 cho d(f x0 , T x0 ) = d(f x0 , z) Mặt khác T x0 ⊂ T X ⊂ f X nên tồn x1 ∈ X cho f x1 = z ∈ T x0 Do d(f x0 , f x1 ) = d(f x0 , T x0 ) Lại T x1 compact nên tương tự tồn x2 ∈ X cho f x2 ∈ T x1 d(f x1 , f x2 ) = d(f x1 , T x1 ) Tiếp tục lí luận tương tự ta xây dựng dãy {xn } X thỏa mãn f xn+1 ∈ T xn d(f xn , f xn+1 ) = d(f xn , T xn ), n = 0, 1, Vì f xn ∈ T xn−1 nên theo (i) ta có d(f xn , f xn+1 ) = d(f xn , T xn ) ≤ sup{d(y, T xn ) : y ∈ T xn−1 } 34 ≤ H(T xn−1 , T xn ) ≤ hd(f xn−1 , f xn ), n = 1, 2, Từ suy d(f xn , f xn+1 ) ≤ hd(f xn−1 , f xn ) ≤ h.hd(f xn−2 , f xn−1 ) ≤ ≤ hn d(f x0 , f x1 ) = hn d(f x0 , T x0 ), n = 1, 2, Vì h ∈ [0, 1) nên ∞ hn [d(f x0 , T x0 )] < ∞ n=1 Do ∞ d(f xn , f xn+1 ) < ∞ n=1 Nhờ giả thiết (X, d) đầy đủ, tồn y ∈ X cho lim d(y, f xn ) = Vì f n→∞ d-liên tục nên ta có lim d(f y, f xn ) = Mặt khác theo (i) ta có n→∞ H(T y, T f xn ) ≤ hd(f y, f xn ), n = 1, 2, Do lim H(T y, T f xn ) = n→∞ Từ f xn+1 ∈ T xn với tính chất giao hoán yếu f T ta có f f xn+1 ∈ f T xn ⊂ T f xn , n = 1, 2, Vì d(T y, f f xn+1 ) ≤ sup{d(T y, z) : z ∈ T f xn } ≤ H(T y, T f xn ) → Điều chứng tỏ lim d(T y, f xn+1 ) = hay lim d(T y, f xn ) = n→∞ n→∞ Theo Bổ đề 2.2.4 tồn {yn } ⊂ T y cho lim d(yn , f xn ) = n→∞ Kết hợp với lim d(f y, f xn ) = (X, d) thỏa mãn (W4 ) ta kết luận n→∞ lim d(f y, yn ) = n→∞ 35 Theo Nhận xét 2.2.2, yn → f y Vì T y đóng {yn } ⊂ T y nên f y ∈ T y Vậy y điểm trùng f T 2.2.6 Định lý Giả sử (X, d) không gian o-mêtric đầy đủ thỏa mãn điều kiện (W4 ) cho với x ∈ X hàm y −→ d(x, y) nửa liên tục k : [0, +∞) → [0, +∞) hàm không giảm, k(0) = 0, k(v) < v với v > 0.Cho f g : X → X , F G; X → K(X) ánh xạ thỏa mãn (i) F X ⊂ f X, GX ⊂ gX ; (ii) f g d-liên tục; (iii) H(F x, F y) ≤ k(d(f x, f y)), H(Gx, Gy) ≤ k(d(gx, gy)), d(f x, f y) ≤ k(max{d(f x, Gy), d(F x, gy)}) với x, y ∈ X ; ∞ (iv)Tồn x0 , y0 ∈ X k n (d(f x0 , F x0 )) < ∞ cho n=1 ∞ k n (d(gx0 , Gx0 )) < ∞; n=1 (v) (f, F ) (g, G) cặp giao hoán yếu có điểm trùng u t tương ứng Khi f, g, F, G có điểm bất động chung Chứng minh Theo (v) u điểm trùng f F nên f u ∈ F u Mặt khác f F giao hoán yếu nên ta có f f u ∈ f F u ⊂ F f u Tương tự, cặp (g, G) ta có gt ∈ Gt ggt ∈ gGt ⊂ Ggt Do ta có d(f x, Gt) ≤ d(f x, gt), d(F u, gy) ≤ d(f u, gy) với x, y ∈ X Từ (iii) ta có ≥ d(f u, gt) − k(max{d(f u, Gt), d(F u, gt)}) ≥ d(f u, gt) − k(max{d(f u, gt), d(f u, gt)}) 36 = d(f u, gt) − k(d(f u, gt)) Từ giả thiết k(v) < v với v > suy d(f u, gt) > vế phải bất đẳng thức lớn Do đó, ta có điều mâu thuẫn Từ suy d(f u, gt) = Tương tự, d(f f u, f u) > ta có ≥ d(f f u, gt) − k(max{d(f f u, Gt), d(F f u, gt)}) ≥ d(f f u, f u) − k(max{d(f f u, f u), d(f f u, f u)}) = d(f f u, f u) − k(d(f f u, f u)) > Đây điều mâu thuẫn Do f f u = f u Tương tự, ta có ggt = gt Như gt = f u = f f u ∈ F f u, gt = ggt ∈ Ggt tức f u điểm bất động chung f, g, F, G Bây giờ, giả sử a b hai điểm bất động chung f, g, F, G mà a = b Khi đó, d(a, b) > Do đó, ta có ≥ d(f a, gb) − k(max{d(f a, Gb), d(F a, gb)}) ≥ d(f a, gb) − k(max{d(f a, gb), d(f a, gb)}) = d(a, b) − k(d(a, b)) Đây điều mâu thuẫn Do a = b 2.2.7 Định lý Với điều kiện Định lí 2.2.5 giả thiết thêm k : [0, +∞) → [0, +∞) hàm không giảm, k(0) = 0, k(v) < v với v > d(f x, f y) ≤ k(max{d(f x, T y), d(T x, f y)}) với x, y ∈ X, f T có điểm bất động chung 37 Chứng minh Theo Định lí 2.2.5, tồn u ∈ X cho f u ∈ T u Vì f T giao hoán yếu nên f f u ∈ f T u ⊂ T f u Do đó, ta có ≥ d(f f u, f u) − k(max{d(f f u, T u), d(T f u, f u)}) ≥ d(f f u, f u) − k(max{d(f f u, f u), d(f f u, f u)}) = d(f f u, f u) − k(d(f f u, f u)) Nếu d(f f u, f u) > vế phải bất đẳng thức lớn Do đó, ta có điều mâu thuẫn Từ suy d(f f u, f u) = 0, tức f u = f f u ∈ T f u Như f u điểm bất động chung f T Giả sử a b hai điểm bất động chung f T Nếu a = b d(a, b) > Do ≥ d(f a, gb) − k(max{d(f a, T b), d(T a, f b)}) ≥ d(a, b) − k(max{d(a, b), d(a, b)}) = d(a, b) − k(d(a, b)) Đây điều mâu thuẫn Từ suy a = b 2.2.8 Định lý Giả sử (X, d) không gian o-mêtric f, g : X → X , F, G : X → 2X thỏa mãn (1) ϕ(d(f x, gy), d(f x, Gy), d(F x, gy)) ≤ với x, y ∈ X , ϕ : (R+ )3 → R hàm giảm theo t2 , t3 , ϕ(t, t, t) > với t > 0; (2) (f, F ) (g, G) cặp ánh xạ giao hoán yếu; (3) Tồn u, v điểm trùng (f, F ) (g, G) tương ứng Khi f u, gv điểm bất động chung f, g, F, G 38 Chứng minh Vì u điểm trùng f F nên f u ∈ F u Do (f, F ) giao hoán yếu nên f F u ⊂ F f u Do f f u ∈ f F u ⊂ F f u Từ suy d(f u, F u) = d(f f u, F f u) = Tương tự, ta có gv ∈ Gv , ggv ∈ Ggv Ta chứng minh f u = gv Giả sử f u = gv Khi từ điều kiện (1) ta có ≥ ϕ(d(f u, gv), d(f u, Gv), d(F u, gv)) ≥ ϕ(d(f u, gv), d(f u, gv), d(f u, gv)) > Đây điều mâu thuẫn Do đó, ta có f u = gv Ta chứng minh f f u = f u Giả sử f f u = f u Khi đó, ta có ≥ ϕ(d(f f u, gv), d(f f u, Gv), d(F f u, gv)) ≥ ϕ(d(f f u, f u), d(f f u, f u), d(f f u, f u)) > Ta có điều mâu thuẫn Do f f u = f u Vậy f u điểm bất động chung f, F Tương tự, ta có ggv = gv Do f u = gv điểm bất động chung f, g, F, G 2.2.9 Hệ Giả sử (X, d) không gian o-mêtric f1 , f2 , g1 , g2 ánh xạ từ X vào X Khi đó, (1) ϕ(d(f1 x, g1 y), (f2 x, g1 y), d(f1 x, g2 y)) ≤ với x, y ∈ X (2) Tồn u, v ∈ X cho f1 u = f2 u, f1 f2 u = f2 f1 u g1 v = g2 v, g1 g2 v = g2 g1 v Khi f1 , f2 , g1 , g2 có điểm bất động chung 39 Chứng minh Đặt f = f1 , F = f2 , g = g1 , G = g2 Theo Định lí 2.2.8 f1 , f2 , g1 , g2 có điểm bất động chung a ∈ X Giả sử b ∈ X điểm bất động chung f1 , f2 , g1 , g2 mà a = b Khi d(a, b) > Do đó, từ (1) ta có ≥ ϕ(d(f1 a, g1 b), d(f2 a, g1 b), d(f1 a, g2 b)) = ϕ(d(a, b), d(a, b), d(a, b)) > Đây điều mâu thuẫn Do a = b 40 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày cách có hệ thống số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị, điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, điểm trùng ánh xạ đơn trị đa trị không gian mêtric, không gian o-mêtric không gian mêtric nón - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh Bổ đề 1.2.3, Định lý 1.2.4, Hệ 1.2.5, Định lý 2.1.4 - Đưa chứng minh số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị đa trị không gian o-meetric định lý Định lý 2.2 5, Định lý 2.2.6, Định lý 2.2.7, Định lý 2.2.8 Hệ 2.2.9 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Arshad and A Azam (2010), Fixed Point Results via Iterates of Four Map in TVS-valued Cone Metric Space, Proceedings of the World Congress on Engineering, Vol.3 [2] A Azam and M Arshad (2009), Common Fixed Point of Generalized Contractive Maps in Cone Metrric Space , Bulletin of Iranian Mathematical Society, Vol 35, No.2, pp 255-264 [3] Z Liu and J S Ume (2004), Coincidence Point for Multivalued MAppings , Rostock Math Kolloq 58, pp.87-91 [4] Z Liu (2004), Coincidence Theorems for Contractive Type Multivalued Mappings , Bull Malays Math Sci, Vol.2, No.27, pp.111-116 [5] S V R Naidu (2002), Fixed Point and Coincidence Point Theorems for a pair of Single-Valued and Multi-Valued Maps , Hindawi Publishing Corp, pp.17-33 [...]... = 0, β = và ta có 1 là điểm bất động chung của ba ánh 7 xạ S, T và f 26 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TRÙNG NHAU VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ĐA TRỊ Chương này trình một số kết quả về sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị 2.1 Sự tồn tại điểm trùng nhau của một ánh xạ đơn trị và một ánh xạ đa trị Trong mục này ta vẫn dùng các kí hiệu... vào CL(X) Giả sử các ánh xạ f, g : X → X thỏa mãn 1 H(Sx, T y) < max d(f x, gy), d(f x, Sx), d(gy, T y), [d(f x, T y) + d(gy, Sx)] 2 với mọi x, y ∈ X với f x = gy và SX ⊆ gX , T X ⊆ f X Nếu f và S hoặc g và T liên tục thì f và S hoặc g và T có một điểm trùng nhau 2.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và các ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một. .. 1.2.8 Bổ đề ([2]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ S, T, f : X → X có duy nhất một điểm trùng nhau u ∈ X Nếu (S, f ) và (T, f ) tương thích yếu, thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Vì u là điểm trùng nhau của S, T và f nên f u = Su = T u = v ∈ X Từ giả thiết các cặp (S, f ) và (T, f ) tương thích yếu, ta có Sv = Sf u = f Su = f v và T v = T f u = f T u = f v ... là một điểm trùng nhau của S, T và f Vì u tồn tại duy nhất do đó v = u Vậy v là điểm bất động chung duy nhất của S, T và f 1.2.9 Định lý ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X thỏa mãn d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)] + γd(f x, f y) với mọi x, y ∈ X , trong đó α, γ ∈ [0, 1) với 2α + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và. .. vậy các ánh xạ T và f không thõa mãn điều kiện của Định lí 1.2.9 Do đó, Định lí 1.2.9 và các Hệ quả 1.2.10, 1.2.11, 1.2.12 đều không áp dụng được ở đây Bây giờ, ta xác định các ánh xạ S : X → X bởi S(x) = 1 với mọi x ∈ X Khi đó, d(Sx, T y) = (0, 0) nếu y = 2 5 ( , 5) nếu y = 2 7 và 5 αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y) = ( , 5) 7 5 nếu y = 2, α = γ = 0 và β = Do đó các điều kiện của Định lí. .. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X thỏa mãn d(T x, T y) ≤ γd(f x, f y) với mọi x, y ∈ X , trong đó 0 ≤ γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X) là không gian con đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Hệ quả... } hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây là đúng (i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác z (ii) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì Sz = z (iii) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z (iv) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z (v) Nếu σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ (S) thì tồn tại w ∈ X sao cho f w =... tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với γ = 0 1.2.13 Định lý ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ S, T, f : X → X thỏa mãn d(Sx, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y) với mọi x, y ∈ X , với α, β, γ là các số thực không âm α +... thì các khẳng định sau đây đúng (i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác z (ii) Nếu z ∈ (S) thì tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z (iii) Nếu z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu thì f z = Sz = z (iv) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = Sz = z (v) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z (vi) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại. .. đó α, γ ∈ [0, 1) với 2α + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm bất động chung 1.2.10 Hệ quả ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k , các ánh xạ T, f : X → X thỏa 19 mãn d(T x, T y) ≤ αd(f x, T y) + ... Chương Sự tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Trong chương này, trình bày số kết tồn điểm trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, đưa số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn. .. KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Trình bày cách có hệ thống số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ đơn trị, điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, điểm trùng ánh xạ đơn trị đa trị. .. cứu tồn điểm bất động, điểm trùng ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị, điểm bất động chung ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Mục đích dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu lí thuyết điểm bất động, điểm trùng