ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM        HOÀNG NHƯ QUỲNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Giải tích Cán bộ hướng dẫn PGS. TS. LÊ VĂN HẠP Huế, Khóa học 2007 - 2011 i LỜI CẢM ƠN Dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TS. Lê Văn Hạp, tôi đã nhận được đề tài để tìm hiểu và hoàn tất khóa luận tốt nghiệp của mình. Tôi xin phép được gửi lời cám ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận và học tập của mình. Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán, những người đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt những năm học vừa qua. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt là các bạn lớp Toán B, đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt chặng đường học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Hoàng Như Quỳnh ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm liên tục tuyệt đối và một số tính chất liên quan . . . . . . . . 3 1.3 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Đường gấp khúc Euler ứng với phép phân hoạch trên một đoạn . . 5 1.6 Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Định lý Azella - Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 Định lý Lebesgue về mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9 Định lý Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 9 2.1 Định lý Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Định lý Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Định lý thác triển nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG 21 3.1 Sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy dưới điều kiện Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy dưới điều kiện hàm tựa tăng 33 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 1 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết phương trình vi phân, đặc biệt là phương trình vi phân cấp một, người ta thường quan tâm đến việc tìm nghiệm bài toán Cauchy:    y  = f(x, y) (1) y(x 0 ) = y 0 (2). Vấn đề trung tâm của bài toán này là sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nó. Có nhiều kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1) - (2) này và chúng phụ thuộc vào từng lớp hàm f được khảo sát. Năm 1885, Peano đưa ra kết quả đầu tiên về sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (1) - (2) về phía bên phải khi f là hàm liên tục. Giảm nhẹ điều kiện liên tục của f, năm 1918 Carathéodory chỉ ra sự tồn tại nghiệm địa phương hầu khắp nơi của bài toán trên. Vào năm 1968, sử dụng phương pháp hàm dưới, G. S. Goodman cải thiện kết quả của Carathéodory bằng cách chỉ ra sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán (1) - (2). Trong những năm gần đây, nhiều kết quả mới đã được đưa ra, trong đó đáng chú ý là kết quả nghiên cứu của D. C. Biles và P. A. Binding với giả thiết f là hàm tựa tăng. Khóa luận này nhằm mục đích khảo sát tổng quan một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một và các dạng mở rộng của chúng, đưa ra một số ví dụ để so sánh các điều kiện của các lớp hàm f đã được khảo sát. Nội dung khóa luận chia làm ba chương. Chương I trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp theo. Chương II tổng quan các kết quả của Peano, Carathéodory và các định lý về thác triển nghiệm, đưa ra một số ví dụ so sánh và áp dụng. Chương III trình bày kết quả của G. S. Goodman về sự tồn tại nghiệm lớn nhất với giả thiết Carathéodory; kết quả của D. C. Biles và P. A. Binding về sự tồn tại nghiệm với giả thiết hàm tựa tăng. 2 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân là phương trình có chứa biến độc lập, hàm phải tìm (ẩn hàm) và các đạo hàm (hay vi phân) của nó. Phương trình vi phân cấp 1 giải được đối với đạo hàm có dạng x  = f(t, x) (1.1.1) trong đó f : G ⊂ R 2 → R. Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho trước. Trong khóa luận này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau: Tìm nghiệm của phương trình x  = f(t, x) (1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước x(t 0 ) = x 0 . (2)    x  = f(t, x) x(t 0 ) = x 0 . (1.1.2) 1.2 Hàm liên tục tuyệt đối và một số tính chất liên quan Định nghĩa 1.2.1. (Hàm liên tục tuyệt đối) Cho hàm F : [a, b] → R. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] nếu với mọi  > 0 cho trước đều tồn tại δ > 0 sao cho với mọi hệ khoảng (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), . . . , (a n , b n ) rời nhau n  i=1 (b i − a i ) < δ ⇒ n  i=1 |F (b i ) − F (a i )| < . Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I. Trong phần này, chúng ta giả sử µ là một độ 3 đo Lebesgue trên R. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm liên tục tuyệt đối được sử dụng trong khóa luận này. Định lý 1.2.1. [6] (tính liên tục tuyệt đối của tích phân) Nếu f khả tích trên A thì (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀E ⊂ A)  µ(E) < δ ⇒  E |f|dµ < ε  . Định lý 1.2.2. [6] Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng F (t) = F (a) + t  a f(s)ds, t ∈ [a, b], với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a, b]. Định lý 1.2.3. [6] (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi) Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a, b]. Khi đó tích phân bất định F (t) = t  a f(s)ds khả vi hầu khắp nơi trên [a, b] và F  (t) = f(t), với hầu khắp t ∈ [a, b]. Nhận xét 1.2.4. • Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường). • Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối. • Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối. 1.3 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x  = f (t, x) (1.1.1), với f : G ⊂ R 2 → R, người ta thường quan tâm đến hai loại nghiệm sau đây Định nghĩa 1.3.1. Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi liên tục ϕ : (a, b) ⊂R → R t → x = ϕ(t) sao cho với mọi t ∈ (a, b) thì (t, x) ∈ G ⊂ R 2 và thoả mãn phương trình (1.1.1). 4 Định nghĩa 1.3.2. Hàm liên tục tuyệt đối ϕ(t) xác định trên khoảng mở I ⊂ R thỏa mãn i. (t, ϕ(t)) ∈ G, với t ∈ I, ii. ϕ  (t) = f(t, ϕ(t)) , với t ∈ I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp nơi của (1.1.1). Ví dụ 1.3.1. Cho phương trình x  = t 2 − 2t + 5. Khi đó nghiệm của phương trình vi phân trên là x(t) = t 3 3 −t 2 + 5t + C, với C là hằng số. Ví dụ 1.3.2. Cho phương trình x  = f(t, x) =    1, t ≥ 0 −1, t < 0 Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên R thỏa mãn x  = f (t, x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu khắp nơi của bài toán trên. 1.4 Hàm Carathéodory Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm f : D ⊂ R 2 → R (t, x) → f(t, x). Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thoả mãn các điều kiện Carathéodory sau đây (C1) f (t, .) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định, (C2) f (., x) là đo được theo t với mỗi x cố định, (C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa |f (t, x)| ≤ m(t), với mọi (t, x) ∈ D. 1.5 Đường gấp khúc Euler ứng với phép phân hoạch trên một đoạn Xét I = [t 0 , t 0 + a] ⊂ R, với a > 0. Khi đó ta xây dựng phép phân hoạch P = {t 0 , t 1 , , t n } trên I với t 0 < t 1 < t 2 < < t n = t 0 + a. Đặt I i = [t i−1 , t i ], i = 1, n. Đường gấp khúc ứng với P là đồ thị hàm số ϕ xác định bởi đẳng thức sau ϕ(t) = ϕ(t i−1 ) + m i−1 (t − t i−1 ), t ∈ I i , i = 1, n trong đó m 0 , m 1 , m 2 , , m n−1 và ϕ(t 0 ) là các số thực cho trước. Hàm ϕ xác định như trên liên tục trên I. 5 Mệnh đề 1.5.1. Cho ϕ được xác định như trên. Với mọi t, t  ∈ I, t < t  ta luôn có ϕ(t  ) − ϕ(t) = (t  − t) j−1  l=i−1 q l m l (1.5.1) trong đó t ∈ I i , t  ∈ I j , q l ≥ 0, l = i − 1, j −1 và j−1  l=i−1 q l = 1. Chứng minh. Với t, t  ∈ I, t < t  và t ∈ I i , t  ∈ I j ta xét các trường hợp sau Trường hợp i = j thì ta có ϕ(t  ) − ϕ(t) = m i (t  − t). Trường hợp i = j, do t < t  nên i < j. Ta có ϕ(t  ) = ϕ(t j−1 ) + m j−1 (t  − t j−1 ) ϕ(t j−1 ) = ϕ(t j−2 ) + m j−2 (t j−1 − t j−2 ) . . . ϕ(t i ) = ϕ(t i−1 ) + m i−1 (t i − t i−1 ) ϕ(t) = ϕ(t i−1 ) + m i−1 (t − t i−1 ). Suy ra ϕ(t  ) − ϕ(t) = m j−1 (t  − t j−1 ) + m j−2 (t j−1 − t j−2 ) + + m i−1 (t i − t) = (t  − t)  t  − t j−1 t  − t m j−1 + t j−1 − t j−2 t  − t m j−2 + . . . + t i − t t  − t m i−1  . Đặt q j−1 = t  − t j−1 t  − t , q i−1 = t i − t t  − t và q l = t l+1 − t l t  − t , l = i, j − 2, khi đó ta có ϕ(t  ) − ϕ(t) = (t  − t) j−1  l=i−1 q l m l trong đó q l ≥ 0, l = i − 1, j −1 và j−1  l=i−1 q l = 1. 1.6 Bổ đề Zorn Giả sử S là một tập với quan hệ thứ tự . Một tập A ⊂ S được gọi là được sắp toàn phần nếu với bất kì u, v ∈ A, ta có u  v hay v  u. Phần tử s ∈ S được gọi là một cận trên của tập A nếu u  s với mọi u ∈ A. Phần tử s ∈ S được gọi là một phần tử tối đại của S nếu với bất kì u ∈ S mà s  u thì u = s. Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện đủ để tồn tại trong S một phần tử tối đại. Bổ đề 1.6.1. [1](Bổ đề Zorn) Cho S là tập được sắp bởi quan hệ thứ tự . Nếu mọi tập con được sắp toàn phần của S đều có một cận trên thì S có một phần tử tối đại. 6 1.7 Định lý Azella - Ascoli Định nghĩa 1.7.1. Cho M ⊂ R, F = {f i : M → R} i∈I được gọi là họ liên tục đồng bậc nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t, t  ∈ M mà |t −t  | < δ thì |f i (t) − f i (t  )| < ε với mọi i ∈ I. F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho |f i (t)| ≤ K, ∀i ∈ I, ∀t ∈ M. Định lý 1.7.1. [3](Định lý Azella - Ascoli) Nếu dãy F = {f n : [a, b] → R} n∈N liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a, b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều trên [a, b]. 1.8 Định lý Lebesgue về mật độ Cho µ là độ đo Lebesgue trên R và A là tập đo được. Định nghĩa 1.8.1. Mật độ của A trên một lân cận của điểm t ∈ R được cho bởi công thức d  (t) = µ(A ∩ B(t, )) µ(B(t, )) với B(t, ) là hình cầu đóng bán kính  > 0, tâm t trong R. Định lý 1.8.1. [9] Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t) = lim →0 d  (t) tồn tại và bằng 1. Định lý sau đưa ra điều kiện cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy ở trên. 1.9 Định lý Picard Định lý 1.9.1. [3] Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R = [t 0 −a, t 0 + a] ×[x 0 −b, x 0 + b] (a, b > 0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0 sao cho |f(t, x 1 ) − f(t, x 2 )| ≤ K|x 1 − x 2 |, ∀(t, x 1 ), (t, x 2 ) ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x = ϕ(t) của phương trình(1.1.1), liên tục trên [t 0 −h, t 0 + h] ⊂ [t 0 −a, t 0 + a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 . Như vậy trên lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz bài toán Cauchy tồn tại nghiệm và nghiệm đó là duy nhất. Vấn đề đặt ra là liệu trên các lớp hàm khác thì bài toán Cauchy có tồn tại nghiệm không và tính duy nhất nghiệm có còn đúng không. Để giải quyết vấn đề đó, người ta đã tìm cách để làm yếu các điều kiện 7 của hàm f. Trên một số lớp hàm, người ta đã thu được nghiệm địa phương hoặc nghiệm hầu khắp của bài toán Cauchy. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp tính duy nhất nghiệm không còn được bảo đảm. Trong các chương tiếp theo, chúng ta sẽ khảo sát vấn đề này trên một số lớp hàm cụ thể. 8 [...]...Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi khảo sát định lý Peano và định lý Carathéodory Cả hai định lý đó đều khẳng định sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy, đó có thể là nghiệm cổ điển hoặc nghiệm hầu khắp tùy vào vi c làm yếu hàm f (t, x) Tuy nhiên lúc này tính duy nhất nghiệm không còn đúng nữa Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ để thấy... 0 0 với giả thiết Carathéodory Chúng tôi cũng trình bày kết quả gần đây của D C Biles và P A Binding về sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện tựa tăng Ngoài ra, chúng tôi phân tích một số ví dụ để so sánh, làm rõ sự khác biệt giữa các điều kiện và một số ví dụ áp dụng 3.1 Sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy dưới điều kiện Carathéodory Như đã biết, hướng khảo sát bài toán Cauchy. .. x2 dần về 0 Do đó ∀ K > 0, ∃ x1 , x2 đủ nhỏ để x2 − 1 3 3 x2 2 x1 − x2 > K Vậy điều kiện Lipschitz bị phá vỡ Trong một số trường hợp, nghiệm của bài toán Cauchy thu được không khả vi trên toàn bộ tập xác định, mà chỉ khả vi hầu khắp nơi Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu cụ thể vi c chứng minh sự tồn tại nghiệm hầu khắp đối với lớp hàm f Carathéodory của bài toán Cauchy 2.2 Định lý Carathéodory Định lý 2.2.1... thiết về hàm f bởi các giả thiết yếu hơn Ban đầu với điều kiện hàm f (t, x) phụ thuộc vào x trong Định lý Picard ta thu được sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy và dưới những điều kiện đó thì đó là nghiệm duy nhất Peano đưa ra điều kiện f liên tục để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy, nhưng khi đó tính duy nhất bị phá vỡ Ngoài ra Peano cũng chỉ ra (1) luôn có nghiệm nhỏ nhất bên phải của. .. định lý và các hệ quả của nó mà từ đó cho phép ta thác triển nghiệm của bài toán lên một khoảng lớn hơn Với giả thiết D được xác định như ở Bổ đề 2.3.1 ta có định lý sau: Định lý 2.3.3 [13] Giả sử f : D → R là liên tục và x là một nghiệm của (1) xác định trên khoảng I Khi đó x có thể thác triển được lên khoảng tồn tại cực đại (ω− , ω+ ) và (t, x(t)) → ∂D khi t → ω± Nhận xét 2.3.4 Theo khẳng định của. .. có kết quả bài toán Chẳng hạn hàm f (t, x) = tx + sin x liên tục trên mặt phẳng (t, x), fx (t, x) = t + cos x và |f (t, x)| ≤ k (x) = |t| + 1 nên phương trình x = tx + sin x với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 có nghiệm trên (x0 , +∞) 20 Chương 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp hàm dưới của Goodman để chứng minh sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy  x... kết luận nghiệm bài toán dựa vào định lý Peano Mặt khác, ta lại có f liên tục theo x với mỗi t cố định, đồng thời f đo được theo t với mỗi x cố định Ngoài ra, ta có hàm m(t) = 1, ∀t ∈ [0, 1] khả tích Lebesgue và thỏa |x | = |f (t, x)| ≤ 1, ∀(t, x) ∈ [0, 1] × [0, 1] Như vậy f là hàm Carathéodory Theo Định lý Carathéodory, bài toán trong ví dụ này tồn tại nghiệm hầu khắp nơi Ta dễ nhận ra bài toán có nghiệm. .. nghiệm hầu khắp nơi Chỉ với các giả thiết Carathéodory, năm 1968, G S Goodman đã sử dụng phương pháp hàm dưới để chỉ ra sự tồn tại nghiệm lớn nhất của bài toán Cauchy, đồng thời kết quả của G S Goodman còn bao gồm cả định lý so sánh nghiệm Trước hết, chúng ta cần có một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 3.1.1 Hàm x(.) được gọi là hàm dưới của f (t, x) trên I = [t0 , t0 + a] nếu x(.) liên tục tuyệt đối. .. (a, b) được gọi là khoảng tồn tại cực đại về phía phải của x(t) nếu không tồn tại khoảng J = (a , b ) với a ≤ a, b < b trên đó x(t) có thể thác triển được Kí hiệu: I = (a, ω+ ) Tương tự cho khoảng tồn tại cực đại về phía trái Khoảng mở (ω− , ω+ ) được gọi là khoảng tồn tại cực đại của x(.) nếu nó là khoảng tồn tại cực đại về phía trái và phải của x Nhận xét 2.3.2 Sự thác triển của x(.) nói chung không... lim x(t) = x1 Vậy t→b− tồn tại lim x(t) Lý luận tương tự cho sự tồn tại của lim x(t) − + t→b t→a Từ bổ đề này chúng ta chỉ ra được nghiệm của (1) có thể vượt quá khoảng (a, b), tức nghiệm x có thể liên tục bên trái a và bên phải b Nhưng đến một lúc nào đó thì sự mở rộng này không còn là nghiệm của (1) nữa Chính vì thế ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.3.1 Giả sử x(t) là nghiệm của (1) Khoảng mở I =