Xây dựng nửa nhóm số đối xứng và nửa nhóm số giả đối xứng với bội và chiều nhúng cho trước
và chiều nhúng cho trước.
Chương 2 Phân tích một nửa nhóm số thành giao của các nửa nhóm số bất khả quy
2.1 Mở rộng một nửa nhóm số
Phân tích một nửa nhóm số thành giao của các nửa nhóm số bất khả quy
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin chân thành cảm ơn Cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Bộ môn Đại số và Khoa Sư phạm Toán đã giảng dạy lớp Cao học 23 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, Phòng Đào tạo Sau đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ tác giả trong quá trình học tập.
NỬA NHÓM SỐ ĐỐI XỨNG VÀ NỬA NHÓM SỐ GIẢ ĐỐI
1.1 Nửa nhóm số đối xứng và nửa nhóm số giả đối xứng
S được định nghĩa là một nửa nhóm số khi S là một tập con của nhóm các số tự nhiên N và tập hợp N\S là hữu hạn.
Một nửa nhóm số là tập con S của tập hợp các số tự nhiên N, bao gồm số 0 và có tính chất đóng kín đối với phép cộng Đồng thời, N\S là một tập hợp hữu hạn.
Cho A là một tập con khác rỗng của N Định lý sau đây chứng minh rằng nhóm con của N được sinh bởi A là một nửa nhóm số nếu và chỉ nếu ước chung lớn nhất của các phần tử trong A bằng 1.
1.1.2 Định lý Cho A là một tập con khác rỗng của N Khi đó hAi là một nửa nhóm số nếu và chỉ nếu gcd(A) = 1.
1.1.3 Định nghĩa Một nửa nhóm số được gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành giao của hai nửa nhóm số thực sự chứa nó.
1.1.4 Định nghĩa Cho S là một nửa nhóm số Số nguyên lớn nhất không thuộc nửa nhóm số S được gọi là số Frobenius của S và được kí hiệu bởi
Số Frobenius F(S) có các tính chất sau:
(i) Cho nửa nhóm số S và 0 < n ∈ S Khi đó,
F(S) = max Ap(S, n)−n, trong đó Ap(S, n) là tập Apéry của n trong S được xác định như sau:
(ii) Cho các số dương a, b sao cho gcd(a, b) = 1, S = ha, bi là nửa nhóm số sinh bởi a và b Khi đó,
(iii) Cho S là một nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {n1, n2, , np} Đặt d = gcd{n1, n2, , np − 1} và T = hn1/d, , np − 1/d, npi Khi đó,
Các nửa nhóm số bất khả quy được xem là cực đại trong tập hợp các nửa nhóm số có cùng một số Frobenius Chúng tôi sẽ chứng minh rằng việc bổ sung số Frobenius vào một nửa nhóm số sẽ tạo ra một nửa nhóm số mới, đây là một trường hợp cụ thể của một kết quả tổng quát hơn mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây.
1.1.5 Bổ đề Cho S là một nửa nhóm số khác N Khi đó S ∪ {F(S)} cũng là một nửa nhóm số.
Vì N\S là hữu hạn, phần bù của S ∪ {F(S)} trong N cũng hữu hạn Xét hai phần tử a, b thuộc S∪ {F(S)}: nếu a hoặc b là F(S), thì a+b≥ F(S), do đó a+b thuộc S∪{F(S)} Nếu cả a và b đều thuộc S, thì a+b cũng thuộc S, từ đó suy ra a+b thuộc S∪{F(S)} Hơn nữa, 0 thuộc S ∪ {F(S)} Do đó, S ∪ {F(S)} là một nửa nhóm số.
Kết quả sau đây được đưa ra trong [5].
1.1.6 Định lý Cho S là một nửa nhóm số Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) S là nửa nhóm số bất khả quy;
(2) S cực đại trong tập tất cả các nửa nhóm số với số Frobenius là F(S);
(3) S cực đại trong tập tất cả các nửa nhóm số không chứa F(S).
Chứng minh (1)⇒(2) Cho T là một nửa nhóm số thỏa mãn S ⊆ T và F(T) = F(S) Khi đó, S = (S ∪ {F(S)})∩ T Do S là bất khả quy nên ta suy ra rằng S = T.
(2)⇒(3) Cho T là một nửa nhóm số sao cho S ⊆ T và F(S) không thuộc
T Khi đó, T ∪ {F(S) + 1,F(S) + 2,→} là một nửa nhóm số chứa S với số Frobenius F(S) Do đó S = T ∪ {F(S) + 1,F(S) + 2,→} Vậy S = T.
(3)⇒(1) Cho S1 và S2 là hai nửa nhóm số thực sự chứa S Khi đó, theo giả thiết F(S) ∈ S1 và F(S) ∈ S2 Do đó S 6= S1 ∩S2.
Kết quả này đã được trình bày trong tài liệu [1] với một thuật ngữ khác Chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ này để phân tích và chứng minh sự tương đương giữa hai kết quả.
Một nửa nhóm số S được xem là đối xứng khi nó là bất khả quy và số Frobenius F(S) là lẻ Ngược lại, S được gọi là giả đối xứng nếu nó cũng là bất khả quy nhưng F(S lại là số chẵn.
Cho một nửa nhóm số S, nếu S không bất khả quy, theo Định lý 1.1.6, sẽ tồn tại một nửa nhóm số bất khả quy T chứa S với F(S) = F(T) Kết quả này có thể được coi là một phương pháp để xây dựng nửa nhóm số bất khả quy.
1.1.8 Bổ đề ([6]) Cho S là một nửa nhóm số và giả sử rằng tồn tại h = max{x ∈ Z\S | F(S)−x /∈ S, x 6= F(S)/2}.Khi đó, S ∪ {h} là một nửa nhóm số với số Frobenius F(S).
Chứng minh Rõ ràng S∪ {h} có phần bù hữu hạn trong N, và 0∈ S∪ {h}. Đặt
Lấy s ∈ S \ {0} Nếu h+s /∈ S, thì do tính cực đại của h nên
Do đó F(S)−h = t+ s ∈ S, mâu thuẫn với định nghĩa của h.
Nếu 2h /∈ S, thì cũng lại do h cực đại, nên ta có F(S)−2h = t ∈ S Như ta đã thấy ở trên, h+t ∈ S Tuy nhiên, ta lại có h+t = F(S)−h /∈ S Đây là một mâu thuẫn.
Mệnh đề tiếp theo mô tả các đặc điểm của nửa nhóm số đối xứng và giả đối xứng, trong đó nhiều tài liệu sử dụng kết quả này để định nghĩa khái niệm nửa nhóm số đối xứng và nửa nhóm số giả đối xứng.
1.1.9 Mệnh đề Cho S là một nửa nhóm số.
(1) S là nửa nhóm số đối xứng nếu và chỉ nếu F(S) là số lẻ và x ∈ Z\S kéo theo F(S)−x ∈ S.
(2) S là nửa nhóm số giả đối xứng nếu và chỉ nếu F(S) là số chẵn và x ∈ Z\S kéo theo F(S)−x∈ S hoặc x = F(S)/2.
Chúng ta chỉ cần chứng minh khẳng định đầu tiên, khẳng định thứ hai sẽ tương tự Nếu tồn tại x ∈ Z\S sao cho F(S)−x /∈ S, thì tồn tại h cực đại được xác định theo Bổ đề 1.1.8, dẫn đến S∪ {h} trở thành một nửa nhóm số với số Frobenius F(S), mâu thuẫn với tính cực đại của S trong Định lý 1.1.6 Theo Định lý 1.1.6, để chứng minh S cực đại trong tập tất cả các nửa nhóm số không chứa F(S), ta xét T là một nửa nhóm số với S (T) Chọn x ∈ T\S ⊂ Z\S, theo giả thiết, F(S)−x ∈ S và do đó F(S)−x ∈ T, từ đó suy ra F(S) = x + (F(S)−x) ∈ T.
Từ kết quả này ta dễ dàng suy ra được các đặc trưng sau đây.
Cho S là một nửa nhóm số Tập hợp G(S) =N\S được gọi là độ hở của
S Lực lượng của tập hợp G(S) được gọi là giống của S và được kí hiệu là g(S).
1.1.10 Hệ quả Cho S là một nửa nhóm số.
(1) S là nửa nhóm số đối xứng nếu và chỉ nếu g(S) = F(S) + 1
(2) S là nửa nhóm số giả đối xứng nếu và chỉ nếu g(S) = F(S) + 2
2 Theo [4, Lemma 2.14], đối với nửa nhóm số S ta luôn có bất đẳng thức liên quan giữa giống và số Frobenius g(S) ≥ F(S) + 1
2 Như vậy, từ Hệ quả 1.1.10 ta thấy nửa nhóm số bất khả quy là lớp nửa nhóm số với giống bé nhất có thể.
Từ [4, Proposition 2.13] và Hệ quả 1.1.10, ta có hệ quả sau.
1.1.11 Hệ quả Mỗi nửa nhóm số với chiều nhúng bằng 2 là nửa nhóm số đối xứng.
1.1.12 Ví dụ (1) Nửa nhóm số h4,6,7i = {0,4,6,7,8,10,11,→} là đối xứng vì C(h4,6,7i) = 10 ⇒F(h4,6,7i) = 9.
(2) Nửa nhóm số h3,4,5i = {0,3,→} là giả đối xứng vì C(h3,4,5i) 3⇒ F(h3,4,5i) = 2.
(3) Nửa nhóm số h5,7,9i là không bất khả quy vì h5,7,9i = h5,7,9,17i ∩ h5,7,9,19i.
Cho S là một nửa nhóm số, và n là một phần tử khác 0 của S Tập Apéry của n trong S được ký hiệu và xác định theo cách cụ thể.
Khi S là nửa nhóm số bất khả quy, Ap(S, n) sẽ thể hiện những đặc điểm đặc biệt Chúng ta sẽ khám phá điều này ở phần cuối của bài viết Trước tiên, hãy xem xét bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.1.13 khẳng định rằng, với S là nửa nhóm số và n là số nguyên dương thuộc S, nếu x, y ∈ S và x+y ∈ Ap(S, n), thì tập hợp {x, y} sẽ nằm trong Ap(S, n) Chứng minh cho điều này là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa của tập Apéry.
Cho S là một nửa nhóm số
(i) Số nguyên x được gọi là số giả Frobenius nếu x /∈ S và x+s ∈ S với mọi s ∈ S \ {0};
Tập hợp các số giả Frobenius của nửa nhóm S được gọi là PF(S) Lực lượng của PF(S) được xác định là kiểu của nửa nhóm số S và được kí hiệu là t(S).