Tập đại số bất khả qui trên đường thẳng, trên mặt phẳng, trong không gian và iđêan của chúng

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Khái niệm tập đại số

Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1≠ 0 Vành đa thức n biến , , , x x1 2 xn trên A là tập A[X] : = A[ , , , x x 1 2 xn ] Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng

    với d là một số tự nhiên nào đó và

  A gọi là các hệ tử Khi A là trường ta gọi chúng là các hệ số Các biểu thức 1 2

1 2 r r r n x x xn được gọi là các đơn thức Bậc của đơn thức 1 2

1 2 r r r n x x xn là tổng các số mũ r1 + r2 +… + rn

Bậc của f  0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f

= 0, ta quy định degf =  Nếu 0  f  A, ta nói degf = 0 Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = 1

1 1 2 2 n a x a x  a xn na  , trong đó ít nhất phải có một hệ tử gắn biến khác không

1.1.2 Định nghĩa tập đại số

Cho K là trường, tập con V K n được gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K   X

Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f)

Ví dụ (về tập đại số):

1 Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình f = 0 với f  K mà f 0 là vô nghiệm.

TẬP ĐẠI SỐ

Khái niệm tập đại số

Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1≠ 0 Vành đa thức n biến , , , x x1 2 xn trên A là tập A[X] : = A[ , , , x x 1 2 xn ] Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng

    với d là một số tự nhiên nào đó và

  A gọi là các hệ tử Khi A là trường ta gọi chúng là các hệ số Các biểu thức 1 2

1 2 r r r n x x xn được gọi là các đơn thức Bậc của đơn thức 1 2

1 2 r r r n x x xn là tổng các số mũ r1 + r2 +… + rn

Bậc của f  0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f

= 0, ta quy định degf =  Nếu 0  f  A, ta nói degf = 0 Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = 1

1 1 2 2 n a x a x  a xn na  , trong đó ít nhất phải có một hệ tử gắn biến khác không

1.1.2 Định nghĩa tập đại số

Cho K là trường, tập con V K n được gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K   X

Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f)

Ví dụ (về tập đại số):

1 Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình f = 0 với f  K mà f 0 là vô nghiệm

2 Tập 1 điểm a = (a 1 , a2,…., a n ) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình tuyến tính

3 Các m – phẳng trong không gian afin K n là các tập đại số vì đó là nghiệm của các đa thức bậc nhất có phương trình dạng:

ap1x1+ap2x2+ +apnxn+bp=0 Trong đó n-m  p n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m

Nói riêng, đường thẳng ,mặt phẳng đều là tập đại số

4 K n là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

Khái niệm "Tập đại số" không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ Nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2, , xn) thuộc S, thì khi chuyển sang tọa độ mới (y1, y2, , yn), ta vẫn có thể biểu diễn V dưới dạng tổng các hệ số c.

Thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình f(c 10 + c 11 y 1 +….+ c 1n y n ,… , c n0 + c n1 y 1 +….+ c nn y n ) = 0, f  S

Như vậy ta có: Nếu deg f = 0 thì , f = 0

 Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng

Cho S là một tập con của K[X] Ký hiệu Z(S) đại diện cho tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S, hay còn gọi là tập nghiệm của S, và được coi là một tập đại số Ta có thể diễn đạt Z(S) = ( ) f S.

Chú ý: Tương ứng S Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n

1/ Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K vì các đa thức một biến trên trường K có thể vô nghiệm, hữu hạn nghiệm hoặc tập nghiệm là K

Thật vậy, đặt V: =  a a , 2  ; a  K  Ta có V  Z(f)

Ngược lại, giả sử (a a 1 , 2 )  Z(f) Nếu a 1 = 0 thì a 2 = 0 nên (a a 1 , 2 ) = (0, 0 2 )  V Khi a 1 0, ta có

Do đó ta có (a a 1 , 2 )  V Từ đó suy ra Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 3/ f = x 3 – y 2 thí Z(f) =   a a 2 , 3  ; a  K 

Thật vậy, đặt V :=  a a 2 , 3  ; a  K  Chứng minh tương tự như trên, ta có V  Z(f)

Ngược lại, giả sử (a a 1 , 2 )  Z(f) Nếu a 1 = 0 thí a 2 = 0 nên (a a 1 , 2 ) = (0 2 , 0 3 )  V Khi a 1 0, ta có

Do đó ta có (a a 1 , 2 )  V Từ đó suy ra Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f).

Một số tính chất cơ bản của tập đại số

1.2.1 Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

Chứng minh:Xem tài liệu [6]

1.2.2 Bổ đề: Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g

Chứng minh:Xem tài liệu [6]

Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A

Chứng minh: Xem tài liệu [6]

1.2.4 Bổ đề: Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với  a K n  f 0

Chứng minh: Xem tài liệu [6]

Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a 1 , a 2 ,., a n )  K n thì f = g Chú ý Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng

Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} và f (x) = (x- a1) (x- a2)… (x- as) thì f triệt tiêu trên K nhưng f  0

Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn

Tất cả các tập đại số trong K^n được tổ chức thành một tôpô gọi là tôpô Zariski Mỗi phần tử của tôpô này, hay còn gọi là tập Z(S), được xác định là một tập đóng Zariski.

Chú ý Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng

IĐEAN

Định nghĩa

Tập con I của vành A được gọi là iđêan nếu nó là vành con của A và có tính chất hf  I với mọi h  I và f  A.

Ví dụ

1/ Tập {0} và A là iđêan Chúng gọi là các iđêan tầm thường của A Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự

2/ Với mọi f  A, tập (f) : = {gf ; g  A} là một iđêan, gọi là iđêan chính sinh bởi f

3/ Cho S  A là tập con bất kỳ

Thế thì tập (S) : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…, hr  S; f1 , f2 ,…., fr  A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.

Tính chất

Cho I, J là hai iđêan Ta có

3/ Tập IJ : = { h 1 f 1 + h 2 f 2 +……+ h r f r ; h 1 , h 2 ,…,h r I và f 1 , f 2 ,…., f r J } là iđêan;

4/ IJ  I J và nói chung hai iđêan IJ và I∩J này khác nhau;

5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M

Chứng minh Xem tài liệu [6]

Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f  I và g J

1/Cho I = (x, y 2 ) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y], ta có : a/ I + J = (x, y) ; b/ IJ = (xy, y 3 ) ; c/ I J = (xy, y 2 )

Cho iđêan I, ta định nghĩa iđêan mũ là iđêan I d : = I.I… I (d lần) và quy ước I 0 : = A (cả vành A) Nếu S là tập con bất kỳ của vành A, tập

I : S : = { f  A; sao cho fg  I với mọi g  S } là một iđêan Nếu S chỉ có

1 phần tử g, ta ký hiệu iđêan này là I : g

Kết quả cho thấy mọi tập đại số đều là nghiệm của một iđêan Điều này cho phép chúng ta thay thế hệ phương trình đa thức xác định tập đại số bằng iđêan và áp dụng các tính chất đại số liên quan đến iđêan để nghiên cứu tính chất hình học của các tập đại số.

Kết quả sau cho ta thêm tính chất của ánh xạ Z

Cho I, J là các iđêan, ta có

Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z Cụ thể, cho V là tập bất kỳ tromg K n Ký hiệu

Thế thì I V là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêan của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a }

4/ Nếu V  K 2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x 2 thì IV = (x 2 – y) ; 5/ Nếu V  K 2 là tập vô hạn điểm trên đường cong x 3 – y 2 = 0 thì IV = (x 3 – y 2 ) ; 6/ Nếu V là d- phẳng trong K n mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

2.3.6 Mệnh đề : (về tính chất của ánh xạ I)

3/ IV + IW  II W và nói chung IV + IW  II W

Ví dụ Cho V = Z(x 2 – y) và W = Z(y), ta có

= (y) ; 2/ IV + IW = (x 2 - y, y) = (x 2 , y) và II W = (x, y) vì V W = (0,

*) Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

2.3.7 Bổ đề Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I  I = I Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn

Chứng minh: xem tài liệu [6]

ÁNH XẠ ZARISKI

Ánh xạ Zariski

Cho K là trường Nhắc lại rằng, tập con V K n được gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]

Ví dụ: Cho S: =  fiK[x x , x ],i I1 2 , , n    K[x x , x ]1 2 , , n và kí hiệu  (S)    a K / f (a) n    0 f S  thế thì Z(S) chính là một tập đại số Phần bù K n \ Z(S) gọi là tập mở Zariski

Nhắc lại rằng kí hiệu ( [ ]) x1 xn

  là họ tất cả các tập con [ ] x1 xn

 là họ tất cả các tập con của Kn, thì cách xác định tập đại số Zariski cho ta ánh xạ:

Ta gọi Z là ánh xạ Zariski

Mệnh đề: (thêm một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)

Một số tính chất của ánh xạ Zariski  :    x 1 , x n        k n

( , )a b KnKm là nghiệm của đa thức trong S   T a là nghiệm của đa thức trong S và b là nghiệm của đa thức trong T

Một ví dụ về ánh xạ Zariski

Xét n = 1, K = R và định nghĩa Z : P(R[x])  R cho mỗi họ đa thức một ẩn với tập nghiệm tương ứng Tập nghiệm này luôn là một tập hữu hạn trong R, có thể là tập R hoặc tập rỗng Do đó, Z được coi là một ánh xạ Zariski.

TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN TRONG TẬP ĐẠI SỐ

Nhận xét

1) Phép cộng và phép nhân các iđêan thỏa mãn tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối;

3) Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;

4) I  V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

5) Cho S  V Kí hiệu:   S  { a f 1 1  a f 2 2   a f n n | a i  V f , i  S i ,  1,2, , } n Lúc đó (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan sinh bởi S Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì   S   f 1 2 , f , , fn , nếu S có một phần tử thì     S  f  { fh h V |  } được gọi là iđêan chính.

Ví dụ

2) IJ =   xy y , 3 do IJ = {(xf + y 2 g)yh | f, g, h  K[x, y]}

Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I  S là iđêan sinh bởi S

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại số của iđêan I Thật vậy:

Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S Suy ra g(a) = 0 với g  I vì

Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).

Định lí

Cho V là tập con của K n Khi đó tập I V : {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V} là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V; I V gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X]; V  Z(I V ) Khi V = {a} thì ta viết I V = I a Chứng minh Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau: i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:

Thật vậy: Do f, g  IV nên f(a) = 0 và g(a) = 0 với va  V, suy ra

(f + g)( a) = f(a) + g(a) = 0 với a  V Do đó f + g  IV (đpcm) ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:

Vì f  I V nên f(a) = 0 với a  V Do đó (fh)( a) = f(a)h(a) = 0 với a  V Vậy fh  IV

Kết luận: IV là iđêan trong K[X]

Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho trong sơ đồ sau   Z  

  ; trong đó Z : S Z(S) và I : V IV ; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X

Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các song ánh ngược nhau.

Ví dụ

4) Nếu V  K 2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x 2 thì IV = (x 2 – y) ;

5) Nếu V là d- phẳng trong K n mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  K n } thì IV = (xd+1, xd+2,…., xn)

1) Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;

2) Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là K n

3) Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0) Mọi đa thức f  K[X] đều viết được dưới dạng f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b với b K Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng f = h 1 x 1 + h 2 x 2 +……+ h n x n , nghĩa là khi và chỉ khi f  (x 1 , x 2 ,…., x n )

4) Ta chỉ cần chứng minh I V  (x 2 – y) Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể viết f = h(x 2 – y) + g với g  K[x]

Do V  Z(x 2 – y) = { (a, a 2 ) ; a  K } nên với f  IV thì f(a, a 2 ) g(a) = 0 với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x 2 – y), nghĩa là f  (x 2 – y)

Mọi đa thức trong K[X] có thể được viết dưới dạng f = h d+1 x d+1 + h d+2 x d+2 + … + h n x n + g, trong đó g thuộc K[x1, x2, …, x d] Để f thuộc IV, điều kiện cần và đủ là f(a1, a2, …, ad, 0, 0, …, 0) = g(a1, a2, …, ad) = 0 với mọi a1, a2, …, ad thuộc K Điều này dẫn đến g = 0, từ đó suy ra f = h d+1 x d+1 + h d+2 x d+2 + … + h n x n thuộc (x d+1, x d+2, …, x n).

Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu I : = f   A ; f r  I, r N * .

MỐI QUAN HỆ GIỮA IĐÊAN NGUYÊN TỐ VÀ TẬP ĐẠI SỐ BẤT KHẢ QUY

Định nghĩa

Ví dụ

nếu tồn tại 0  y A sao cho xy = 0 Vành A giao hoán gọi là miền nguyên nếu nó không có ước của không, nghĩa là nếu có xy = 0 thì hoặc x = 0 hoặc y = 0

1/ Iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;

2/ Iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;

3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh I  I Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố Dưới đây ta có một tiêu chuẩn để iđêan căn là nguyên tố.

Định nghĩa

bị chứa trong một iđêan thực sự nào khác của A.

Ví dụ

1/ I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f  I;

2/ Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) là iđêan cực đại trong K[X]

Thật vậy, giả sử 0 = (0, 0, …, 0) Khi đó Ia = (x1, x2,…., xn) Với một đa thức f  K[X] ta viết được f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + c

Nếu f  I thì c  K là hằng số khác không Vì vậy c  (Ia, f) và do đó (I a , f) = K[X].

Nhận xét

1/ Nếu I  A thì I  A và do I  I nên nếu I là iđêan cực đại thi

Mỗi iđêan cực đại trong vành A tương đương với một iđêan căn, và chỉ có một iđêan căn lớn hơn, đó là cả vành A Do đó, một iđêan cực đại không thể là giao của hai iđêan căn lớn hơn Điều này dẫn đến kết luận rằng mọi iđêan cực đại đều phải là iđêan nguyên tố.

2/ Nếu I 1  I2 …  Ij  …… là một dãy tăng các iđêan thực sự thì hợp I j j cũng là một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố

5.7 Định nghĩa (tập bất khả quy) Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự

1/ Tập 1 điểm là tập đại số bất khả quy vì nó chỉ có 1 tập đại số nhỏ hơn là tập rỗng

2/ K n là tập bất quy vì nếu nó là hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thì giao của 2 tập mở là phần bù tương ứng phải là tập rỗng, nhưng điều này là không thể vì 2 tập mở thực sự Zariski luôn giao nhau

Ta sẽ thấy khái niệm đại số tương ứng với khái niêm tập bất khả quy là iđêan nguyên tố qua kết quả sau.

Định lý

Chứng minh Nếu V bất khả quy mà I V không nguyên tố thì I V = I 1 I 2 với I1 và I2 là 2 iđêan thực sự lớn hơn I

Khi đó V = Z(IV) = Z(I1 I2) = Z(I1) Z(I2) Vì vậy V = Z(I ) 1

Giả sử V không phải là một vành bất khả quy, ta có thể biểu diễn V dưới dạng V = V1 V2, trong đó V1 và V2 là hai tập đại số thực sự nhỏ hơn V Khi đó, I V1 và I V2 là hai iđêan thực sự lớn hơn I V, dẫn đến sự tồn tại của f thuộc IV1 nhưng không thuộc IV, và g thuộc IV2 nhưng không thuộc IV Do đó, tích fg sẽ thuộc IV1 IV2, và điều này cho thấy IV không thể là một iđêan nguyên tố.

Ví dụ

1/ Ia là iđêan cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy; 2/ K n bất khả quy vì IKn = 0 là iđêan nguyên tố.

Chú ý

của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi iđêan nguyên tố mà vô nghiệm, thì nó không là iđêan của 1 tập đại số nào.

Đinh nghĩa

Nếu tồn tại y thuộc A sao cho xy = 1, thì x được gọi là ước của đơn vị Tập hợp tất cả các ước của đơn vị trong A tạo thành một nhóm.

Nếu a = bc trong A thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết a; hay a chia hết cho b; hay a là bội của b

Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên A gọi là bất khả quy nếu có phân tích f = gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch.

Nhận xét

Kết quả sau cho một tiêu chuẩn để nhận biết tập đại số bất khả quy.

Mệnh đề

Vì f bất khả quy nên (f) là iđêan nguyên tố Do vậy Z(I Z(f) ) = Z((f)) là tập bất khả quy.

Hệ quả

1/ đường parabol là tập đại số bất khả qui trong R2

2/ đường y = x 3 là tập đại số trong R 2

Vì: Các đa thức x 2 – y và x 3 – y 2 là bất khả quy trong K[x, y] Mặt khác I = (x - y) và I 2 = (x - y ) 3 2

Z(x -y) Z(x -y ) nên các đường cong (tập đại số) x 2 – y = 0 và x 3 – y 2 = 0 là bất khả quy.