Các quan hệ Grin trên nửa nhóm D - lớp chính quy
1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ
Các quan hệ L, R, J trên S được định nghĩa như sau: aLb xảy ra nếu và chỉ nếu S 1 a = S 1 b; aRb xảy ra nếu và chỉ nếu aS 1 = bS 1; aJb xảy ra nếu và chỉ nếu S 1 aS 1 = S 1 bS 1 Trong đó, S 1 a, aS 1 và S 1 aS 1 lần lượt là các iđêan chính trái, iđêan chính phải và iđêan chính của S sinh bởi a Do đó, L, R, J là các quan hệ tương đương trên S.
Do đó các quan hệ H = L ∩R (= R ∩L) D = L ◦R = R ◦L là các quan hệ tương đương trên S.
Các quan hệ L,R,J,H ,D được gọi là các quan hệ Grin trên S. Với mỗi a ∈ S, các L - lớp, R - lớp, J - lớp, H - lớp, D - lớp chứa a được kí hiệu tương ứng bởi L a , R a , J a , H a , D a
1.1.2 Chú ý Giả sửS là một nửa nhóm và ε(S) là dàn các tương đương trên
S Thế thìL,R,J,H ,D thuộcε(S), hơn nữaH = L ∧R, D = L ∨R và D ⊆ J
Một nửa nhóm S được định nghĩa với các đặc điểm sau: i) Phần tử e ∈ S được gọi là lũy đẳng nếu e^2 = e, và tập hợp các lũy đẳng của S được ký hiệu là E(S), E s hay E ii) Phần tử a ∈ S được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử x ∈ S sao cho axa = a iii) Nửa nhóm S được xem là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy iv) Một D - lớp D của S được gọi là D - lớp chính quy nếu tất cả các phần tử của D đều là phần tử chính quy Định lý này là kết quả của Định lý 2.11 [1].
Định lý 1.1.4 khẳng định rằng nếu D là lớp D của một nửa nhóm S chứa phần tử chính quy, thì mọi phần tử thuộc D cũng là phần tử chính quy Ngoài ra, nếu D là lớp chính quy, thì mọi lớp L và lớp R nằm trong D đều chứa lũy đẳng Định lý này là hệ quả của định lý 2.16.
Định lý Grin khẳng định rằng, với H là một H-lớp của nửa nhóm S, các điều kiện sau đây là tương đương: (i) H chứa lũy đẳng; (ii) tồn tại x, y thuộc H sao cho tích xy cũng thuộc H; (iii) H là một nhóm con của S Kết quả này được rút ra từ Định lý 2.17.
1.1.6 Định lí Mile - Cliphớt Giả sử a, b là hai hai phần tử của nửa nhóm
S Thế thì ab ∈ R a ∩L b khi và chỉ khi R b ∩L a chứa lũy đẳng.
Trong một nửa nhóm S, nếu a ∈ S, thì phần tử b ∈ S được gọi là phần tử ngược của a nếu thỏa mãn điều kiện ab = a và ba = b Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược khi mọi phần tử trong S đều có một phần tử ngược duy nhất Định lý này được chứng minh dựa trên Định lý 2.18 [1].
Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S, thì mỗi phần tử ngược với a đều thuộc D a Hơn nữa, H - lớp H b chứa phần tử ngược với a nếu và chỉ nếu cả hai H - lớp đều thỏa mãn điều kiện này.
R a ∩L b và R b ∩ L a chứa lũy đẳng. ii) Một H - lớp không chứa quá một phần tử ngược với a.
Hệ quả sau đây là kết quả của Hệ quả 2.19 [1].
1.1.9 Hệ quả S là một nửa nhóm ngược khi và chỉ khi mỗi L - lớp và mỗi
R - lớp của S chỉ chứa một lũy đẳng. Định lý sau là kết quả của Định lý 2.20 [1].
Giả sử e và f là các lũy đẳng D-tương đương trong cùng một nửa nhóm, với a là phần tử cố định thuộc R e ∩ L f và a 0 là phần tử ngược của a trong R e ∩ L f Khi đó, các ánh xạ x 7→ a 0 xa và y 7→ aya 0 tạo thành các đẳng cấu ngược nhau giữa H e và H f.
Nửa nhóm đơn hoàn toàn Định lý Rixơ
Nửa nhóm S được định nghĩa là nửa nhóm đơn nếu không chứa phần tử không và không có iđêan thực sự Ngược lại, nửa nhóm S chứa phần tử khác 0 được gọi là nửa nhóm 0 - đơn, với điều kiện phải thỏa mãn hai yêu cầu cụ thể.
(1) S chỉ có hai iđêan là 0 và S;
Nửa nhóm S được xác định là nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu tích J = S × S Đối với nửa nhóm S có phần tử khác 0, nó được coi là nửa nhóm 0 - đơn nếu và chỉ nếu S không chỉ chứa phần tử 0 và S chỉ có hai lớp J là {0} và S \ {0}.
Trong mục 1.8, đã chứng minh rằng nếu S là một nửa nhóm và E là tập hợp các lũy đẳng của S, thì quan hệ ≤ trên E được định nghĩa bởi e ≤ f nếu và chỉ nếu ef = f e = e, tạo thành một quan hệ thứ tự tự nhiên trên E.
Nếu S là một nửa nhóm với phần tử không 0 thì 0 ∈ E và 0 là lũy đẳng nhỏ nhất duy nhất của S.
Do đó ta đưa vào khái niệm: Lũy đẳng f ∈ S được gọi là lũy đẳng nguyên thủy của S nếu f 6= 0 và từ e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f.
Một nửa nhóm S chứa phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm 0 - đơn và S chứa lũy đẳng nguyên thủy Ngược lại, một nửa nhóm S không chứa phần tử không 0 được định nghĩa là nửa nhóm đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm đơn và S cũng chứa lũy đẳng nguyên thủy.
Kết quả nghiên cứu về nửa nhóm nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn cho thấy những mối liên hệ quan trọng với các kết quả của nửa nhóm đơn hoàn toàn Đặc biệt, nửa nhóm ma trận Rixơ đã được xác định, cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc và tính chất của các nhóm này.
Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị e và I, ∧ là hai tập hợp khác rỗng P = (p λi) là một ma trận Rixơ I×∧ với các thành phần thuộc nhóm G không chứa phần tử 0, tức là G0 = G ∪ {0} Ma trận P được coi là chính quy nếu không có hàng hoặc cột nào của P chỉ chứa phần tử 0, nghĩa là với mọi i thuộc I, tồn tại λ thuộc ∧ sao cho p λi khác 0, và với mọi λ thuộc ∧, tồn tại i thuộc I sao cho p λi khác 0.
Giả sử S = (I ×G× ∧)∪ {0}, ta định nghĩa một phép toán trên S cho bởi
Thế thì S là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn.
Nửa nhóm S được xây dựng theo cách trên được gọi là nửa nhóm I × ∧, với ma trận Rixơ trên nhóm có phần tử khụng G 0, được ký hiệu là à 0 [G;I,∧;P] (Tham khảo mục 3.1 [1] hoặc mục 3.2 [4]).
1.2.5 Định lí Rixơ Giả sử G 0 = G∪ {0} là một nhóm với phần tử không và
Cho hai tập hợp khác rỗng I và ∧, P = (p λi) là một ma trận Rixơ I×∧ với các thành phần thuộc G 0 Giả sử P là chính quy và S được định nghĩa là S = (I × G × ∧) ∪ {0} Nếu áp dụng phép nhân trên S như đã nêu, thì S sẽ trở thành một nửa nhóm 0.
- đơn hoàn toàn Đảo lại, mỗi nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn đẳng cấu với một nửa nhóm được xây dựng như vậy.
1.2.6 Chú ý Từ các kết quả trên ta thu được các kết quả tương ứng về các nửa nhóm đơn hoàn toàn.
Giả sử S là một nửa nhóm không chứa phần tử không, E là tập hợp các lũy đẳng của S, và ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E xác định bởi e ≤ f ⇔ ef = f e = e Lũy đẳng e ∈ E được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f ≤ e ⇒ f = e đối với mọi f ∈ E Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm đơn và S chứa lũy đẳng nguyên thủy Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị là e và I, ∧ là hai tập hợp khác rỗng Nếu P = (p λi) là một I × ∧ - ma trận Rixơ với các thành phần trong G, thì nửa nhóm ma trận Rixơ à[G; I; ∧; P] trên G với ma trận đệm P bao gồm các bộ ba (i, a, λ) trong đó i ∈ I, λ ∈ ∧, a ∈ G, và phép toán nhân trên à[G; I; ∧; P] được cho bởi (i, a, λ) (j, b, à) = (i, ap λj b, à).
Từ định lý Rixơ, ta có thể suy ra rằng các nửa nhóm ma trận Rixơ trên một nhóm là các nửa nhóm đơn hoàn toàn Hơn nữa, mỗi nửa nhóm đơn hoàn toàn này đẳng cấu với một nửa nhóm ma trận Rixơ [G; I; ∧; P] trên một nửa nhóm G thích hợp nào đó.
Nửa nhóm tôpô
Các không gian tôpô xét trong chương này là T 1 − không gian, nghĩa là không gian tôpô thỏa mãn điều kiện: tập chỉ gồm một điểm là tập đóng.
1.3.1 Định nghĩa Một nửa nhóm tôpô S là một không gian tôpô S cùng với phép toán trên S sao cho (S, ) là một nửa nhóm và ánh xạ S ×S →
S, (x, y) 7→ x.y là ánh xạ liên tục.
Khi đó ta nói rằng cấu trúc tôpô và cấu trúc nửa nhóm tương thích với nhau.
Nửa nhóm S được định nghĩa là một tập hợp các phần tử, trong đó một phần tử a ∈ S được coi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử x ∈ S thỏa mãn điều kiện axa = a Hơn nữa, nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu tất cả các phần tử trong S đều là phần tử chính quy.
Giả sửSlà một nửa nhóm Với mỗia ∈ S, ký hiệuV(a) ={x ∈ S : axa = a}. Thế thì a ∈ S là phần tử chính quy nếu và chỉ nếu V(a) 6= φ.
Trong lý thuyết nửa nhóm, một nửa nhóm S được định nghĩa với các phần tử có tính chất đặc biệt Phần tử x ∈ S được xem là phần tử ngược của phần tử a ∈ S nếu thỏa mãn điều kiện axa = a và xax = x Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược khi mỗi phần tử trong S đều có duy nhất một phần tử ngược, được ký hiệu là a −1 Hơn nữa, nếu S là nửa nhóm ngược và ánh xạ S × S → S, a 7→ a −1 là ánh xạ liên tục, thì S được gọi là nửa nhóm ngược tôpô.
Vì tích của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục nên từ các định nghĩa trên trực tiếp suy ra.
1.3.4 Mệnh đề Tập hợp S là một nửa nhóm ngược tôpô nếu và chỉ nếu trên
S trang bị được một tôpô và một phép toán sao cho (S, ) là một nửa nhóm ngược và ánh xạ S ×S →S, (x, y) 7→ xy −1 liên tục.
Với mỗi a ∈ S, ký hiệu W (a) = {x ∈ S : a xa= a, xax = a} Thế thì S là nửa nhóm ngược nếu và chỉ nếu với mỗi a ∈ S ta có |W (a)| = 1 Khi đó với mọi a, b ∈ S, a −1 −1 = a, (ab) −1 = b −1 a −1
Giả sử S là một nửa nhóm Phần tử e ∈ S được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e 2 = e Tập hợp các phần tử lũy đẳng của S được kí hiệu bởi E(S),
Nếu không sợ nhầm lẫn, E là một tập hợp quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm Đối với mọi a, x thuộc S, nếu thỏa mãn điều kiện axa = a, thì ax và xa đều thuộc E(S) Đặc biệt, trong trường hợp S là nửa nhóm ngược, mọi phần tử a trong S đều tạo ra aa^(-1) và a^(-1)a thuộc E(S) Hơn nữa, nếu S là nửa nhóm chính quy, thì tập hợp E(S) không rỗng.
Theo Lý thuyết nửa nhóm (xem chẳng hạn [1]), ta có
Nửa nhóm S có ba điều kiện tương đương: Thứ nhất, S là nửa nhóm ngược; thứ hai, các lũy đẳng bất kỳ của S giao hoán với nhau; và thứ ba, mỗi iđêan chính trái và phải của S đều có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất.
Giả sử S là một nửa nhóm và A, B là các tập con khác rỗng của S.
Ký hiệu AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B} Nói chung AB 6= A × B trong đó
Tích Đềcacs của hai tập A và B được định nghĩa là A × B = {(ab) : a ∈ A, b ∈ B} Trong một nửa nhóm tôpô S, nếu U và V là các lân cận của a và b, thì lân cận của ab trong S là U V, nhờ vào tính liên tục của ánh xạ S × S → S, (x, y) 7→ xy Nếu A là tập con của nửa nhóm ngược S, ta ký hiệu A −1 = {a −1 : a ∈ A} Khi S là nửa nhóm ngược tôpô và U là lân cận của a ∈ S, thì U −1 sẽ là lân cận của a −1 trong S, do ánh xạ S → S, a → a −1 cũng liên tục.
Trong nửa nhóm tôpô S, với a là một phần tử xác định, có hai ánh xạ liên tục quan trọng: ρ_a: S → S, x ↦ xa và λ_a: S → S, x ↦ ax Đặc biệt, nếu S là nửa nhóm ngược tôpô, thì ánh xạ f: S → S, x ↦ x^(-1) được xem là phép đồng phôi.
1.3.7 Ví dụ i) Giả sử R + là nửa nhóm cộng các số thực không âm Khi đó
R + cùng với tôpô thông thường (khoảng mở là tập mở) tạo thành nửa nhóm tôpô giao hoán, nhưng không phải là nửa nhóm chính quy hay nửa nhóm tôpô ngược Giả sử R + là nửa nhóm tôpô đã nêu, với mỗi số nguyên dương n, ta ký hiệu lũy thừa Đềcacs S n bởi T Tại đây, ta áp dụng phép cộng theo tọa độ, nghĩa là nếu x = (x i ) ∈ G và y = (y i ) ∈ G, thì x + y = (x i + y i ), từ đó T trở thành một nửa nhóm cộng giao hoán.
Trong toán học, một dãy x_k = x_i^k được xem là hội tụ nếu lim k→∞ x_i^k = x_i với mọi i Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập con M nếu x thuộc M hoặc tồn tại một dãy hội tụ về x trong không gian T Bao đóng của M bao gồm các điểm này.
M là điểm giới hạn của M, và có thể dễ dàng kiểm tra điều này thông qua phép toán bao đóng Các tiên đề về không gian tôpô được thỏa mãn, khiến T trở thành một không gian tôpô Hausdorff, tức là không gian T1 Hơn nữa, ánh xạ cũng được xác định trong ngữ cảnh này.
T × T → T, với (x, y) 7→ x + y, là một phép toán liên tục, do đó T hình thành nửa nhóm tôpô giao hoán Tuy nhiên, nửa nhóm tôpô này không phải là nửa nhóm chính quy, vì vậy nó không được xem là nửa nhóm ngược tôpô.
Một nửa nhóm tôpô S được định nghĩa là nửa nhóm compact nếu không gian tôpô S là không gian compact Ngoài ra, S được gọi là nửa nhóm compact địa phương khi không gian tôpô S là không gian compact địa phương.
Các nửa nhóm tôpô trong Ví dụ 1.1.7 là các nửa nhóm compact địa phương nhưng không phải là nửa nhóm compact.
Nửa nhóm con tôpô A của nửa nhóm tôpô S là một tập con khác rỗng, thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, A là nửa nhóm con theo nghĩa đại số, tức là với mọi phần tử a, b thuộc A, tích ab cũng thuộc A; thứ hai, A phải là tập con đóng trong không gian tôpô S.
Mệnh đề 1.3.10 cho rằng nếu A là nửa nhóm con theo nghĩa đại số của nửa nhóm tôpô S, thì A cũng sẽ là nửa nhóm tôpô với tôpô cảm sinh được xác định trên A từ tôpô của S.
S Nói riêng, nửa nhóm con tôpô của nửa nhóm tôpô là nửa nhóm tôpô.
1.3.11 Mệnh đề Giả sử A là một nửa nhóm con theo nghĩa đại số của nửa nhóm tôpô S Thế thì bao đóng A của A là nửa nhóm con tôpô của S.
Một tập con A của nửa nhóm tôpô S được gọi là iđêan tôpô nếu thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, A là iđêan của S theo nghĩa đại số, tức là với mọi phần tử a thuộc A và mọi phần tử x thuộc S, thì cả ax và xa đều thuộc A; thứ hai, A phải là tập con đóng trong không gian tôpô S.
Tương tự Mệnh đề 1.1.11 ta chứng minh được
1.3.13 Mệnh đề Giả sử A là iđêan theo nghĩa đại số của nửa nhóm tôpô
S Thế thì bao đóng A là iđêan tôpô của S.
Giao của một họ tùy ý các tập đóng trong không gian tôpô luôn là một tập đóng Bên cạnh đó, giao của một họ các nửa nhóm con (iđêan) của S cũng là một tập đóng nếu giao đó không rỗng Kết quả này khẳng định tính chất quan trọng của giao trong lý thuyết tôpô và đại số.
1.3.14 Mệnh đề Giả sử {A i } i∈I là học các nửa nhóm con tôpô (iđêan tôpô) của nửa nhóm tôpô S sao cho T i∈I
A i là nửa nhóm con tôpô (iđêan tôpô) của S.
Từ đó dẫn đến khái niệm
Tương đẳng, nửa nhóm thương và đồng cấu của nửa nhóm tôpô 16
1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng Một tập con ρcủa tích Đềcác được gọi là một quan hệ hai ngôi trên X.
Giả sử ρ là một quan hệ hai ngôi trên X và (a, b) ∈ ρ, khi đó ta nói rằng a có quan hệ ρ với b, kí hiệu aρb.
Quan hệ hai ngôi ρ được coi là quan hệ tương đương khi nó thỏa mãn ba tính chất cơ bản: tính phản xạ, tức là mọi phần tử a trong tập X đều có aρa; tính đối xứng, nghĩa là nếu aρb thì cũng có bρa; và tính bắc cầu, tức là nếu aρb và bρc thì sẽ có aρc.
Giả sửρlà một quan hệ tương đương trênX và(a, b) ∈ ρ, khi đó(b, a) ∈ ρ nên ta nói rằng a và b có quan hệ tương đương ρ với nhau.
Mỗi tập hợp X không rỗng có thể thiết lập một quan hệ tương đương i X, được gọi là quan hệ bằng nhau, quan hệ đường chéo hoặc quan hệ đồng nhất Bên cạnh đó, quan hệ ω X, với điều kiện (x, x) ∈ ω X cho mọi x thuộc X, cũng là một quan hệ tương đương và được biết đến như quan hệ phổ dụng của X.
X Xem như các tập con củaX×X với quan hệ bao hàm, ta cói X ⊆ ρ ⊆ ω X với mọi quan hệ tương đương ρ trên X.
Tập hợp tất cả các quan hệ tương đương trên X ký hiệu bởi ε(X).
Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên X và a ∈ X.
Ký hiệu aρ được định nghĩa là tập hợp các phần tử x thuộc X sao cho xρa Do đó, aρ trở thành một tập con của X, với các tập con này có thể trùng nhau hoặc hoàn toàn rời nhau, và hợp của tất cả chúng tạo thành X Quan hệ tương đương ρ phân hoạch X thành các lớp tương đương Mỗi phần tử a thuộc X sẽ có một tập con aρ, được gọi là ρ-lớp chứa a, trong đó mỗi phần tử của aρ là một đại diện cho ρ-lớp đó.
Ta định nghĩa một tập hợp mới, trong đó mỗi phần tử là một ρ-lớp tương đương Tập hợp này được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương đương ρ, ký hiệu là X/ρ Cụ thể, X/ρ được biểu diễn dưới dạng {aρ | a ∈ X}.
Tương đẳng là một khái niệm trong lý thuyết nhóm, trong đó một quan hệ tương đương ρ trên nửa nhóm S được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu nó ổn định phải (trái) Cụ thể, nếu aρb thì ac ρbc với mọi c ∈ S (đối với tương đẳng phải), hoặc aρb thì ca ρcb với mọi c ∈ S (đối với tương đẳng trái) Một quan hệ tương đương ρ trên S được xem là tương đẳng nếu nó vừa là tương đẳng trái, vừa là tương đẳng phải, tức là ρ ổn định hai phía.
Tập hợp tất cả các tương đẳng trên nửa nhóm S kí hiệu bởi C(S) Dễ thấy i S , ω S ∈ C(S) và với mọi ρ∈ C(S) ta có i S ⊂ ρ ⊂ ω S
Trong lý thuyết tôpô, nếu S là một nửa nhóm tôpô và ρ là một quan hệ tương đương trên S, thì ρ được gọi là tương đẳng tôpô của S khi nó thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, ρ phải ổn định hai phía; thứ hai, mỗi ρ - lớp phải là một tập con đóng trong không gian tôpô S.
1.4.4 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và ρ là một tương đẳng trên
Phép toán tương ứng (aρ, bρ) 7→abρ trên tập thương S/ρ tạo ra một nửa nhóm, được gọi là nửa nhóm thương của nửa nhóm S theo tương đẳng ρ hoặc nửa nhóm thương của S theo modulo ρ.
Định nghĩa về nửa nhóm tôpô cho thấy rằng nếu S là một nửa nhóm tôpô và ρ là một tương đẳng tôpô trên S, thì có thể xác định một phép toán ϕ : S/ρ×S/ρ → S/ρ, với quy tắc (aρ, bρ) 7→ abρ Phép toán này biến S/ρ thành một nửa nhóm Hơn nữa, tính liên tục của ánh xạ S × S → S, (x, y) 7→ xy đảm bảo rằng ϕ cũng là một phép toán liên tục Do ρ là tương đẳng tôpô, điều này cho phép mỗi phần tử của S/ρ được xác định rõ ràng trong ngữ cảnh của nửa nhóm tôpô.
S/ρ là một tập hợp đóng trong không gian tôpô, do đó nó trở thành một T1 - không gian Vì vậy, S/ρ được xem như một nửa nhóm tôpô, được gọi là nửa nhóm thương tôpô của nửa nhóm tôpô S theo tương đẳng tôpô ρ hoặc nửa nhóm thương tôpô của S theo modulo ρ.
Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa một nửa nhóm S và một iđêan I của S Quan hệ ρ1 trên S được xác định bởi (a, b) ∈ ρ1 nếu a = b hoặc a, b ∈ I, tạo thành một tương đẳng Rixơ (Riss) modulo I Các lớp ρ1 có thể là I hoặc {a} với mọi a không thuộc I Nửa nhóm thương S/ρ1 được gọi là thương Rixơ modulo I và được ký hiệu là S/I, trong đó I là phần tử không của nửa nhóm S/I Nếu tồn tại một nửa nhóm T sao cho S/I tương đương với T, thì S được coi là một mở rộng của T bởi iđêan I.
Trong lý thuyết nhóm tôpô, giả sử S là một nửa nhóm tôpô và I là một iđêan tôpô của S, thì quan hệ ρ1 trên S sẽ là một tương đẳng tôpô Các lớp ρ1 được xác định là các tập đóng theo nghĩa của nhóm tôpô S và iđêan tôpô I Do đó, S/I trở thành nửa nhóm tôpô, trong đó ρ1 được gọi là tương đẳng Rixơ tôpô modulo I và S/I được xem là thương Rixơ tôpô modulo I.
1.4.8 Định nghĩa Giả sử S và T là các nửa nhóm Khi đó ánh xạ ϕ: S →
Đồng cấu nửa nhóm T thỏa mãn điều kiện ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) với mọi a, b thuộc S Đồng cấu ϕ được phân loại thành đơn cấu, toàn cấu hoặc đẳng cấu tùy thuộc vào tính chất đơn ánh, toàn ánh hay song ánh của nó Nếu đồng cấu ϕ : S → S là tự đồng cấu, nó sẽ được gọi là tự đẳng cấu của nửa nhóm S Ánh xạ đồng nhất i S : S → S, với định nghĩa x 7→ x, là một đẳng cấu và được xem là tự đẳng cấu đồng nhất của S.
Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ánh xạ p : S →
S/ρ, x 7→xρ là một toàn cấu và được gọi là toàn cấu (phép chiếu) chính tắc.
Định nghĩa một đồng cấu nửa nhóm ϕ : S → T, tập con ϕ(S) = {ϕ(x) : x ∈ S} được gọi là ảnh của ϕ, kí hiệu là Imϕ, và là một nửa nhóm con của T Quan hệ ρ trên S được xác định bởi (a, b) ∈ ρ ↔ ϕ(a) = ϕ(b) cho mọi a, b ∈ S, là một tương đẳng trên S, được gọi là tương đẳng hạt nhân ứng với đồng cấu ϕ, kí hiệu là Kerϕ Đối với mỗi a ∈ S, lớp chứa a trong Kerϕ là ϕ −1 (ϕ(a)).
Trong lý thuyết nửa nhóm tôpô, một ánh xạ ϕ : S → T được gọi là đồng cấu nửa nhóm tôpô nếu nó thỏa mãn ba điều kiện chính: đầu tiên, ϕ phải bảo toàn phép toán, tức là ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) với mọi a, b thuộc S; thứ hai, ϕ cần phải là một ánh xạ liên tục; và cuối cùng, ϕ phải là ánh xạ đóng.
Khi ϕ : S → T là một đồng cấu nửa nhóm tôpô, tính đóng của ϕ cho thấy Imϕ là một nửa nhóm con tôpô của T Từ tính liên tục và tính đóng của ϕ, ta suy ra rằng mỗi Kerϕ - lớp ϕ −1 (ϕ(a)) là một tập con đóng trong S, vì {a} đóng trong S Do đó, Kerϕ trở thành một tương đẳng tôpô của S, dẫn đến nửa nhóm thương S/Kerϕ là một nửa nhóm tôpô Nếu S là một nửa nhóm tôpô và ρ là một tương đẳng tôpô trên S, ánh xạ đồng nhất i S là một đẳng cấu tôpô, trong khi phép chiếu p: S → S/ρ, x 7→ xρ là một toàn cấu tôpô.
Nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng
Trong lý thuyết nhóm tôpô, một nửa nhóm tôpô S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (congruence extension property - CEP) nếu với mỗi nhóm con tôpô T của S và một tương đẳng tôpô σ trên T, thì σ có thể được mở rộng thành một tương đẳng tôpô σ trên S Điều này có nghĩa là phần giao của σ với T × T phải bằng chính σ Kết quả này được trình bày trong Bổ đề 1.3 [4].
2.2.2 Mệnh đề Nếu một nửa nhóm compact có tính chất mở rộng tương đẳng thì mi(S) ≤3.
Kết quả sau đây là của Định lý 1.3 [5].
2.2.3 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm đơn hoàn toàn compact Thế thì
S được coi là có tính chất mở rộng tương đẳng nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với tích trực tiếp X × G × Y, trong đó G là một nhóm compact, X là nhóm các phần tử không bên trái (với điều kiện xy = x, ∀x, y ∈ X) và Y là nhóm các phần tử không bên phải (với điều kiện xy = y, ∀x, y ∈ Y).
Nửa nhóm X(Y) được gọi tắt là nửa nhóm zero trái (phải).
Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm - nil nếu với mọi phần tử a ∈ S, tồn tại một số nguyên dương n (không phụ thuộc vào a) sao cho a^n = 0 Hơn nữa, S được xem là mở rộng - nil của T nếu T là một iđêan của S và thương Rixơ là nửa nhóm - nil.
Trong lý thuyết nhóm, một nửa nhóm S được định nghĩa là một băng (band) nếu S giao hoán và mọi phần tử của S đều là phần tử lũy đẳng, tức là với mọi a, b thuộc S thì ab = ba và a^2 = a Nếu băng B thỏa mãn điều kiện aba = a cho mọi a, b thuộc S, thì B được gọi là băng chữ nhật Hơn nữa, một nửa nhóm S được coi là một nhóm chữ nhật nếu nó đẳng cấu với tích trực tiếp của một băng chữ nhật và một nhóm.
Giả sử S là một nhóm chữ nhật, thì S đẳng cấu với tích trực tiếp I × G × ∧, trong đó G là một nhóm, I là nhóm các phần tử không bên trái và J là nhóm các phần tử không bên phải (theo [7]).
Giả sử X là một tập hợp khác rỗng, T X là tập hợp các ánh xạ từ X vào chính nó T X, cùng với phép nhân ánh xạ, tạo thành một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm các phép biến đầy đủ của X Phép toán trên T X được thực hiện từ trái qua phải, ký hiệu xf thay cho f(x) Đối với mọi f, g ∈ T X, ánh xạ f g : X → X được xác định bởi x(f g) = (xf)g, không sử dụng ký hiệu thông thường (g ◦ f)(x) = g[f(x)] Nửa nhóm Q được gọi là nửa nhóm bộ phận nếu trên Q có một phép toán bộ phận xác định với mọi a, b ∈ Q, sao cho nếu các tích ab, bc, (ab)c, a(bc) xác định thì (ab)c = a(bc).
Giả sử M = I × G là một nhóm chữ nhật và (Q, ◦) là một nửa nhóm bộ phận không giao với M Xét các ánh xạ α : Q → T1, x ↦ α x và β : Q → T1, y ↦ β y từ Q vào các nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của I và ∧ Giả thiết rằng nếu xy ∈ Q thì α(xy) = α(x)α(y) và β(xy) = β(x)β(y) Hơn nữa, nếu xy ∈ M, thì α(x)α(y) và β(x)β(y) là các ánh xạ hằng.
Giả sử ϕ : I×Q →G và ψ : Q× ∧ → G là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện: iii) xy ∈ M kéo theo ϕ(i, xy) =ϕ(iα y , x)ϕ(i, x); iv) ϕ(i, x) =ψ(x, λ) đối với mọi i ∈ I và λ ∈ ∧ Định nghĩa một phép nhân trên P
(i, aψ(y, λ), λβy) (∀x = (i, a, λ) ∈ M, y ∈ Q) r (∀x◦y = r ∈ Q) và x•y = (xα x α y , ϕ(iα y,x )ϕ(i, y), λβ x β y ) nếu x, y ∈ Q nhưng xy ∈ M Thế thì(P,)là một nửa nhóm và được ký hiệu bởiP
(I, G,∧; Q;ϕ, ψ;α, β). Kết quả sau đây được rút ra từ Bổ đề 1.4 [6].
2.2.7 Mệnh đề Một nửa nhóm S được gọi là mở rộng - nil của một nhóm chữ nhật nếu và chỉ nếu S đẳng cấu với nửa nhóm P
(I, G,∧; Q;ϕ, ψ;α, β) nào đó. Để chứng minh định lý chính của tiết này ta sẽ chứng minh các bổ đề sau mà bản thân chúng cũng có ý nghĩa riêng.
2.2.8 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm - nil compact với tính chất mở rộng tương đẳng và x, y ∈ S Nếu xy 6= 0 thì x 2 = xy = y 2
Giả thiết rằng xy 6= 0 Thế thì x 6= 0 Giả sử T = hx, xyi, T 1 hT − {xy}i Thế thì T 1 là một iđêan của T Vì T T 1 ⊆ T.T 1 ⊆ T 1 và
T 1 là một iđêan của T, với T 1 ⊆ T Đặt σ = T 1 × T 1 ∪ ∆ T, trong đó ∆ T = {(a, a) | a ∈ T} là tương đẳng đường chéo của T Khi đó, σ tạo thành một tương đẳng tôpô trên T Do S có tính chất mở rộng tương đẳng, σ có thể được mở rộng thành tương đẳng tôpô σ trên S, sao cho σ¯∩ T × T = σ.
Từ đó, vì (x, xyx) ∈ σ nên xy,(xy) 2 ∈ σ nên xy,(xy) 2 ∈ T ×T ∩σ = σ = T 1 ×T 1 ∪∆ T
Do đó xy,(xy) 2 ∈ ∆ T nên xy = (xy) 2 Từ đó xy = 0 (Vì S là một nửa nhóm - nil); trái giả thiết.
Vìmi(S) ≤ 3theo Mệnh đề 2.1.5 nênx 3 = 0đối với mọix ∈ S do đó phần tử của nửa nhóm con T 1 phải có một trong các dạng 0, x, x 2 ,(xy)∗, x(xy)∗.
Thế thì T 1 ⊆A∪xyS ∪x(xy)S 1 và
T 1 ⊆ A∪ xyS ∪x(xy)S 1 ⊆A∪xyS ∪x(xy)S 1 = A∪xyS ∪x(xy)S 1
Xét ba trường hợp sau:
Nếu xy = x, thế thì xy = xy •y = xy •y •y = xy 3 = 0;
Nếu xy = xyu(u ∈ S)xy = xyu•u = xyu•u•u = xu 3 = 0
Nếuxy = x(xy)v(v ∈ S 1 ), thế thìxy = x•(x(xy)v)•v = x 2 •x(xy)v•v 2 xv 3
Cả ba trường hợp đều dẫn đến xy = 0: trái giả thiết.
Vậy chỉ có thể xy = x 1 Lập luận tương tự, nhận được xy = y 2
Bổ đề 2.2.9 khẳng định rằng, với S là một nửa nhóm - nil compact có tính chất mở rộng tương đẳng và hai phần tử x, y thuộc S, nếu tích xy và yx khác 0, thì đối với mọi phần tử z trong S, ta có xz = 0 nếu và chỉ nếu yz = 0, đồng thời zx = 0 nếu và chỉ nếu zy = 0.
Giả thiết rằng x, y ∈ S và xy 6= 0, yx 6= 0 Thế thì theo Bổ đề 2.2.5 ta có x 2 = y 2 = xy = yx Khi đó T = x, y, xy,0 là một nhóm con tôpô của S Đặt
U = x, y Giả sử ρ = (U ×U)∪∆ T Khi đó ρ là một tương đẳng tôpô trên
T Vì S có tính chất mở rộng tương đẳng, ρ có thể được mở rộng thành tương đẳng tôpô τ trên S, với τ ∩(T × T) = ρ Đối với z ∈ S mà zx = 0, chúng ta khẳng định rằng zy cũng bằng 0 Nếu ngược lại, giả sử zy ≠ 0, theo Bổ đề 2.2.5, ta có z² = zy = y², dẫn đến zx và zy đều thuộc T.
Từ (x, y) ∈ (U × U) ⊆ ρ ⊆ τ, ta có (zx, zy) ∈ τ và (zx, zy) ∈ T × T, dẫn đến (zx, zy) ∈ τ ∩ (T × T) = ρ = (U × U) ∪ ∆ T Vì (zx, zy) ∉ (U × U), nên (zx, zy) ∈ ∆ T, suy ra zy = zx = 0, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Do đó, zx = 0 kéo theo zy = 0 Tương tự, nếu zy = 0 thì zx = 0, chứng minh rằng zx = 0 ⇔ zy = 0.
Bổ đề 2.2.10 nêu rằng, cho nửa nhóm nil compact S thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, nếu tích xy khác 0, thì x bình phương bằng tích xy và y bình phương cũng bằng tích xy Thứ hai, trong trường hợp tích xy và yx đều khác 0, thì với mọi phần tử z thuộc S, ta có xz bằng 0 nếu và chỉ nếu yz bằng 0, và zx bằng 0 nếu và chỉ nếu zy bằng 0.
Khi đó có tính chất mở rộng tương đẳng.
Nếu x∈ S và x 3 6= 0, thì với mọi số nguyên n ≥3, có x 3 = x n Điều này dẫn đến việc x 3 ∈ M (Γ (x)), tức là x 3 là phần tử chính quy của S Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với x 3 = 0 Do đó, với mọi x ∈ S, ta có x 3 = 0.
Giả sử ρ là một tương đẳng tôpô trên nửa nhóm con T của S và đặt τ = ρ∪∆ S, thì τ là một tương đương tôpô trên S Rõ ràng τ là một mở rộng của lên S Để chứng minh rằng τ ổn định hai phía trên S, ta xem xét mọi x, y, z ∈ S sao cho x, y ∈ τ = ρ∪∆ S hoặc x, y ∈ ρ hoặc x = y Nếu x = y, thì xz = yz và zx = zy, do đó (xz, yz) và (zx, zy) thuộc ∆ S ⊆ τ Nếu (x, y) ∈ ρ, ta sẽ chứng minh τ ổn định trái và phép chứng minh τ ổn định phải cũng tương tự.
Xét ba trường hợp sau:
Nếu zx = zy = 0 thì rõ ràng (zx, zy) ∈ τ.
Nếu zx 6= 0, zy 6= 0, thế thì zx = z 2 = zy Từ đó (zx, zy) ∈ τ.
Nếu chỉ một trong hai phần tử zx, zy bằng không, chẳng hạn zx= 0, zy 60 thì z 2 = zy = y 2
Chúng ta khẳng định rằng một trong hai phần tử xy hoặc yx phải bằng không Nếu không, theo điều kiện ii), sẽ dẫn đến mâu thuẫn khi có zy = 0 Giả sử xy = 0, thì (zx, zy) = xy, và y² thuộc tập τ = ρ ∪ ∆S Do ρ là một tương đẳng, nên điều này phải ổn định.
Ta phát biểu kết quả chính của tiết này.