Một số tính chất của môđun mở rộng và p mở rộng

Kiến thức cơ sở

Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là một R-môđun phải Xét A là môđun con của M

Môđun con A gọi là cốt yếu (essential) trong M nếu với mọi môđun con

B khác không của M thì A B 0, kí hiệu A e M

Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu

1.1.2 Vợ dụ Mê e M, nđê e đ , " Ỉ n 0 ( xem lỏ -mừđun )

1.1.3 Tính chất a) Cho A là môđun con của M Khi đó

A e M  xR A 0, x 0, xẻ M b) Cho A£ N£ M Khi đóA£ e M Û e e

N M ỡùù ớ ùùợ £ £ c) Cho A£ e M và B£ e M thì A BÇ £ e M d)A i £ M i £ M, A i £ e M i , " = i 1, , n thì

= = Ç £ Ç e) Cho A£ N£ M nếu N A/  e M A/ thì N e M f) Cho f M: ® N là đồng cấu môđun và B£ e N thì f - 1 ( B)£ e M g) Cho i , i à i e i , i I

Khi đó nếu tồn tại 

Chứng minh a)(ị ) Do0ạ xẻ M n nờ 0ạ xRÊ M

Mặt khỏc, AÊ e Mnờn A xRầ ạ 0

(ĩ) Xột 0ạ BÊ M tồn tại xẻ B x, ạ 0

Ta cúA xRầ ạ 0 mà xRÊ B suy ra A Bầ ạ 0

Thật vậy, lấy X  M X ,  0 Do N  e M n n ê N   X 0. Đặt B=NX N Do A e N ê An n  B 0

     A X 0 Vậy A e M. c)Lấy X M X, 0 Do B e M nên B X 0và B X M.

Vậy A B e M d) Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh mệnh đề đúng với n=2

Lấy BM 1 M 2 , B0 B M và A 1 1  e M 1 nê An 1  B 0. Đặt

   :n+A=x+a+A Do đó n+a'=x+a+a" , a',a"A, nN, xX, xA Vì thế x=n+a'-a-a"N nên N X 0

Vì f  1 (0) f  1 ( ) (B do0B) nên X  f  1 ( )B nên X  f  1 ( )B =X 0. Vậy f  1 ( )B  e M.

Vậy f  1 ( )B  e M. g) Trường hợp 1 Nếu I hữu hạn I n Ta cần phải chứng minh rằng mệnh đề đúng với n=2

Ta cần phải chứng minh rằng 1 2

Thật vậy, do A 1  e M 1 , A 2  e M 2 N nê An 1  A 2 e M 1 M 2

Ta có f  1 ( )A 1 A 1 M 2 mà A 1  e M suy ra A 1 1 M 2  e M 1 M 2

Tương tự, xét đồng cấu f 2 : M 1  M 2  M , 2 x x 1  2 x 2

Ta có f  1 (A 2 ) M 1 A 2 Vì A 2  e M 2 suy ra A 2 M 1  e M 1 M 2 , do đó (A 1 M 2 )  (A 2 M 1 ) e M 1 M 2  A 1 A 2  e M 1 M 2

Trường hợp 2 Với I bất kì, ta chứng minh tồn tại i

M x Khi đó, có biễu diễn hữu hạn

I M là tổng trực tiếp hay  I i  i

Laáy X M, X 0, suy ra rằng x X, x0 có biểu diễn duy nhất

1.1.4 Bổ đề Zorn Giả sử ( , ), XX    là một tập sắp thứ tự thoả mãn điều kiện: Mọi xích của X đều có cận trên thế thì X có phần tử tối đại, nghĩa là tồn tại aX mà ax x, X thì xa.

1.1.5 Mệnh đề Cho M là R môđun  Khi đĩ tồn tạiA M T M để , 

Chứng minh rằng tập hợp S = {X | X ≤ M, X ∈ A} không rỗng bằng cách sử dụng Bổ đề Zorn, vì 0 thuộc S Ta thiết lập thứ tự cho S theo quan hệ ≤ Lấy một tập con sắp thứ tự tuyến tính của S, ký hiệu là X1 ≤ X2 ≤ ≤ Xn ≤

Ta chứng minh B S Thật vậy, nếu x A B suyra x B   do đó x Xk và ta có x X k  A 0 (X k S) Vì vậy x0

Vậy mọi tập con sắp thứ tự tuyến tính đều có cận trên

Theo Bổ đề Zorn, suy ra S có phần tử tối đại là T suy ra AT=0 và tồn tại

Lấy X M X , 0 bằng phương pháp phản chứng

Mà T T X Điều này mâu thuẫn tính tối đại của T trong S Do đó, ta có

1.1.6 Định nghĩa Cho vành R và U là R-môđun phải Môđun U được gọi là môđun đều (uniform module) nếu U 0 và A B 0 với mọi môđun con khác không A, B của U Hay nói cách khác, U là đều nếu U khác không và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U

1.1.7 Định nghĩa Số tự nhiên n được gọi là số chiều đều của môđun M nếu tồn tại hữu hạn n môđun con đều U i của M sao cho

(Người ta đã chứng minh số tự nhiên n như vậy là bất biến)

Nếu không tồn hữu hạn các môđun con đều thoả mãn điều kiện trên thì ta định nghĩa số chiều đều của môđun trên là , kí hiệu là udim (M) =

1.1.8 Định nghĩa Cho vành R, ta nói R có chiều đều phải (trái) hữu hạn nếu môđun R R (tương ứng R R ) có chiều đều hữu hạn.

Môđun con đóng và phần bù

1.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là R-môđun phải Xét N là môđun con của môđun M

Môđun con N được xem là đóng trong M nếu không tồn tại một mở rộng cốt yếu thực sự của N trong M Cụ thể, N được coi là đóng trong M khi mọi môđun con K khác không bằng 0 của M mà chứa N đều phải bằng N.

(b) Một môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun

N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K

1.2.2 Ví dụ A và B là hai môđun con của M thoả mãn M A B  Khi đó A,

B là các môđun con đóng của M Hay hạng tử trực tiếp là môđun con đóng

1.2.3 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun mở rộng (hay tương ứng n – mở rộng ) nếu mỗi môđun con đóng A của M ( tương ứng udim( )A n)là một hạng tử trực tiếp của M Hay nói cách khác, M gọi là mở rộng (hay tương ứng n –mở rộng ) nếu mỗi môđun con A của M ( tương ứng udim( )A n) là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

1.2.4 Định nghĩa Cho M là R-môđun, N M Khi đó N được gọi là môđun con EC-đóng của M nếu N là môđun con đóng và có một môđun con cyclic cốt yếu trong N Hay nói cách khác, N được gọi là môđun con EC-đóng của M nếu N là mụđun con đúng và tồn tại xẻ N sao cho xR cốt yếu trong N

1.2.5 Định nghĩa Giả sử M là R-môđun và A, B là hai môđun con của M

1) Môđun con B của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu B là môđun tối tiểu trong các môđun con của M có tính chất A+B=M

2) Môđun con B của M được gọi là phần bù theo giao của A trong M nếu B là môđun tối đại trong các môđun con của M có tính chất B A 0

1.2.6 Mệnh đề Giả sử A, B là hai môđun con của M Khi đó M A B  khi và chỉ khi B đồng thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của A trong

Chứng minh () Trực tiếp suy ra từ định nghĩa

() Giả sử M A B  và C là môđun con của B có tính chất

A+C=M Theo luật mođunlar ta có

Do A B C n n C B  ê  Điều này chứng tỏ môđun con B của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M

Bây giờ nếu B E v A E à  0 với môđun con E của M Khi đó theo luật mođunlar, ta có

Vậy môđun con B của M là phần bù theo giao của A trong M □

1.2.7 Mệnh đề Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là môđun con đóng thì K là phần bù theo giao trong M và ngược lại)

Chứng minh Giả sử K đóng, ta chứng minh K là phần bù theo giao trong M

Sắp thứ tự theo quan hệ  ta kiểm tra được  thỏa mãn Bổ đề Zorn Suy ra

 có phần tử tối đại, ký hiệu A.Từ đó ta chứng minh được K là phần bù theo giao của A trong M

Ngược lại, giả sử K là phần bù theo giao của A trong M Ta chứng minh K đóng

Thật vậy , giả sử K e X M Chứng minh X=K

Do K là phần bù theo giao nên tồn tại A M để A K 0 và K là tối đại có tính chất đó

Ta có X A=0 V nếu ì X A 0 a X a A a 0 aR X aR A

Do K e X aR K k 0 A K k 0 (Voâ lyù vì A K 0 Nếu X K thì tồn tại x X\K, x 0 Xét x R  X Khi đó K  K+ R x và

K+ R x  A 0 Vì nếu    a A (K+ R ) x thì a  A và a  K+ R x Tức là a=k+ r x  X a=0 (do K  X, R x  X , X  A=0) Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính chất K A 0

1.2.8 Mệnh đề Nếu K là môđun con của M và L là phần bù theo giao của K trong M Khi đó

1) L là môđun con đóng trong M;

2) L K là môđun con cốt yếu của M

Chứng minh 1) Theo Mệnh đề 1 2 6

2) Ta cần chứng minh rằng L K e M

Thật vậy, lấy N M N , 0 Nếu N(K L )0 thì NL=0, do đó

(N L ) K 0 (vì n+ =k thì n=k- hay nl l N và n K Lvà do đó n=0 và k-l=0) Lúc đó theo tính chất tối đại của L thì N L L  hay N=0 Điều này mâu thuẫn với giải thiết N 0.

1.2.9 Bổ đề Giả sử M là một R-môđun Khi đó

1) Cho A là một môđun con tùy ý của M Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M;

2) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M

Chứng minh 1) Giả sử M M 1 M 2 và A đóng trong M1 Ta chứng minh A đóng trong M Thật vậy, xét phép chiếu : M 1 M 2 M Giả sử

A  e B  M Ta chứng minh A B Ta có AM suy ra A 1 M 2 0 vì

 A là đơn cấu Do đóA= p( )A £ e p( )B £ M 1 Vì A đóng trong M1 nên ( )B A B p = £ suy ra (1- p)B£ B và (1- p)B BÇ = 0 mà ta có A  e B suy ra (1- p)B= 0 hay B= p( )B £ M 1 Do A đóng trong M 1 nên A=B

2) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có M  A B

Lấy N£ M sao cho A£ e N Khi đóA BÇ £ e NÇ B

Từ B NÇ = 0 và xét phép chiếu B 0  A B A, ta có ker(pB) = 0, do đó NÇ = 0 Điều này dẫn đến B 0 NÇker(p) = 0, cho thấy pB là đơn cấu Vì vậy, N được nhúng đơn cấu vào mô đun A, từ đó suy ra A = N.

1.2.10 Các điều kiện (C i ) của môđun

1) Cho M là một R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

( )C 1 Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M Nói cách khác, mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp của M

(C 2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C 3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B 0 thì AB cũng là hạng tử trực tiếp của M

Mỗi môđun con của M đều là một phần thiết yếu trong hạng tử trực tiếp của M Điều này có nghĩa là tất cả các môđun con đóng vai trò quan trọng trong M đều là hạng tử trực tiếp của M.

2) Ví dụ (a) Xét là -môđun

Ta kiểm tra điều kiện ( )C 1 Cho A là môđun con của Khi đó A=n nếu n=0 thì A 0 e 0  Z

Vậy là -môđun thỏa mãn điều kiện ( )C 1 □

Ta kiểm tra điều kiện (C 2 )

Chọn A=2 Ta có φ : Z 2Z,nφ(n)= 2n là một đẳng cấu , nghĩa là

Giả sử A e Z , nghĩa là tồn tại B Z saocho Z = A+ B và A B = 0.Vì

A và AB = 0 nên B=0 Suy ra Z=A=2Z (mâu thuẫn 2Z Z) Điều này suy ra A   Z

Vậy Z không thỏa mãn điều kiện (C 2 ) □

Ta kiểm tra điều kiện (C 3 ) Cho

Ta có các hạng tử trực tiếp của Z là 0 và Z

Vậy Z thỏa mãn điều kiện (C 3 ) □ (b) Xét Z 2 là Z -môđun Cho A là môđun con của Z 2 và A B  Z 2

Các hạng tử trực tiếp của Z 2 là 0 và Z 2 Do đó

Vậy Z 2 là Z -môđun thỏa mản điều kiện (C 2 ) □

3) Định nghĩa (a) Một môđun M gọi là CS-môđun (tương ứng (1C 1 )- môđun) nếu M thoả mãn điều kiện ( C 1 ) (tương ứng (1C 1 ))

(b) Môđun M gọi là liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện ( )C 1 và (C 2 ) (c) Môđun M gọi là tựa liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện ( )C 1 và

(d) Môđun M gọi là môđun - CS (tương ứng - (1-C ) 1 ) nếu môđun

M là CS-môđun (tương ứng (1C 1 )) với tập chỉ số I bất kì

(e) Môđun M gọi là môđun đếm được  - CS (tương ứng đếm được

 ) nếu môđun M( )I là CS-môđun (tương ứng (1C 1 ))

(a) Một môđun M thoả mãn điều kiện (C 2 ) thì thoả mãn điều kiện

(b) Ta có sơ đồ kéo theo sau đây là đúng:

Nội xạ  Tựa nội xạ  liên tục Tựa liên tục  CS  (1C 1 )Chiều ngược lại nói chung không đúng

(c) Nếu M là R-môđun trái nội xạ thì M thỏa mản điều kiện ( )C 1 và

(d) Hạng tử trực tiếp của một môđun thỏa mãn điều kiện C i i ( 1,2,3) cũng thỏa mãn điều kiện C i

5) Mệnh đề Nếu M là R-môđun trái thỏa mản điều kiện (C 2 ) thì M thỏa mãn điều kiện (C 3 )

Chứng minh Giả sử M thỏa mản điều kiện (C 2 ) và A B,   M sao choA,

B  M sao cho AB=0 Ta chứng minh A B  M

Thật vậy, vì A  M suy ra C M M:  A C

Gọi : A C C a, c c Ta chứng minh A  B A ( )B Thật vậy,

Ngược lại, ta cho x A ( )B , nghĩa là x a ( )b với bB Ta có b=d+f, dA, f C

     suy ra f 0 do đó b   d B A 0 suy ra b=0 nên ker( B)0, do đó B ( ) B

Vì M thỏa mãn điều kiện (C 2 ) và B  M ( )B   M.

Nghĩa là: M   K K, M Khi đó, do ( )B C suy ra C C M 

Vậy M thỏa mãn điều kiện (C 3 ) □

Môđun mở rộng và p-mở rộng

Môđun mở rộng

2.1.1 Định nghĩa Môđun M được gọi là môđun mở rộng (extending module) hay CS-môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 )

2.1.2 Ví dụ là -môđun mở rộng (theo 1 2 10 )

2.1.3 Bổ đề Hạng tử trực tiếp của CS-môđun cũng là CS-môđun

Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, N là hạng tử trực tiếp của M Ta chứng minh N là CS-môđun

Thật vậy, xét T là môđun con đóng của N Khi đó, T đóng trong M Vì M là

CS-môđun nên T ÅN £ , nghĩa là M = ÅT X, với môđun con X nào đó của

M Theo luật Mođunlar, ta có: N= NÇM = NÇ(TÅX)= ÅT (NÇX)

Do đó, T ÅN £ , bởi vậy N là CS-môđun □

2.1.4 Hệ quả Cho môđun M Nếu M là CS-môđun thì M là (1-C 1 )-môđun Chứng minh Giả sử M là CS-môđun, theo định nghĩa CS-môđun mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, từ đó dẫn đến M là (1-

2.1.5 Bổ đề Giả sử M là môđun nào đó Khi đó, ta có : i) Cho A là môđun tuỳ ý của M Nếu A đóng trong một hạng tử trực tiếp của

M thì A đóng trong M ; ii) Hạng tử trực tiếp của M đóng trong M

Chứng minh i) Giả sử M= M 1 Å M 2 và A đóng trong M1 Ta chứng minh A đóng trong M

Thật vậy, xét phép chiếu p:M 1 Å M 2 ® M 1 Giả sử e B

A£ £ M , Ta chứng minh A=B Ta có A£ M 1 suy ra A MÇ 2 = 0 vì thế πA là một đơn cấu

Do đó A= p( )A £ e p ( ) B £ M 1 Vì A đóng trong M1 nên p ( ) B = A £ B cho nên

(1- p)( )B £ B suy ra(1- p)B BÇ = 0 mà ta có A£ e B suy ra

(1- p)( )B = 0hay B= p( )B £ M 1 Do A đóng trong M1 nên A=B

Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, ta có thể biểu diễn M dưới dạng M = AÅB Lấy N là một tập con của M sao cho A thuộc e B, dẫn đến A BÇ thuộc e NÇB Từ đó, nếu 0 thuộc e NÇB, ta suy ra NÇ = B 0 Xét phép chiếu p từ AÅ đến B A, ta nhận được ker(p) = B m Nà Ç = B 0 Kết luận rằng n NÇker(p) = 0.

Bl p đơn cấu Vì thế N nhúng đơn cấu vào một môđun A mà A£ N suy ra A= N

2.1.6 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của (1-C 1 )-môđun là (1-C 1 )-môđun

Chứng minh Giả sử A£Å M hay M = AÅB, M thoả (1-C 1 )-môđun

Chúng ta chứng minh rằng A là (1-C1)-môđun khi A đóng trong M Cụ thể, với bất kỳ môđun T nào nằm trong A, do A đóng trong M và áp dụng Bổ đề 2.1.5, ta có T cũng đóng trong M Vì M là (1-C1)-môđun, từ đó suy ra rằng M = ÅT K.

K£ M Mặt khác, M= AÅB và T£ A suy ra tồn tại C= A KÇ £ M thoả mãn ( A K ) T Ç Ç = { } 0 nên A K Ç +T =A suy ra A = ( A K ) T Ç Å hay

2.1.7 Bổ đề Nếu M là (1-C 1 )-môđun Khi đó mỗi môđun con đóng của M cũng là (1-C 1 )-môđun

Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con đóng nào đó của M Nếu môđun con A đóng trong môđun con B, mà môđun B lại đóng trong môđun C, thì môđun A cũng sẽ đóng trong môđun C.

Vì M là (1-C 1 )-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa làM = UÅX với X là môđun con nào đó của M Vì U£ N nên theo luật Mođunlar, ta có

Như vậy U là hạng tử trực tiếp của N hay N là (1-C 1 )-môđun □

2.1.8 Mệnh đề Giả sử M là (1-C 1 )-môđun và XÅU là một môđun con đóng của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều Khi đó

XÅU là hạng tử trực tiếp của M

Chứng minh Vì A là hạng tử trực tiếp của M ,do đó M = XÅM 1 , với M1 là môđun con của M

Gọi p:M ® M 1 là phép chiếu tự nhiên Giả sử V là mở rộng cốt yếu của

(V ) U p @ Do đó p(V ) là môđun đều

Như vậy, V là môđun con đóng đều của M1, do M1 là hạng tử trực tiếp của M,

M là (1-C 1 )-môđun, M1 cũng là (1-C 1 )-môđun

Ta chứng minh p - 1 (V )Ê X ÅU Thật vậy, lấy xẻ p - 1 (V ) suy ra ( x ) Vp ẻ mà x= x'+ m , 1 x'ẻ X , m 1 ẻ M 1 nờn p( x )= m 1 ẻ V suy ra x= x'+ m 1 ẻ X ÅV hay X Å £U p - 1 (V )£ XÅV (*) Ta sẽ chứng minh rằng XÅ cốt yếu U trong X Å V

Gọi Z = (XÅU)Vầ, với x+ ẻu XÅU và uạ 0 Theo (*) ta có x+ ẻu XÅV, hay x+ = u x' + v nờnv = -x x' và vạ 0, nên suy ra Zạ 0 Vì V đều nên Z£ e V Từ đó, ta có XÅ £Z e XÅ, mà V XÅ £Z XÅ nên U.

XÅ £U e X Å Theo giả thiết V XÅ là đóng nên U XÅ =U XÅ Vì V

M = XÅM 1 và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên M = X Å ÅV M 2 , với M2 là môđun con của M 1 suy ra X Å là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là V

XÅ là hạng tử trực tiếp của M U □

2.1.9 Mệnh đề Giả sử M= M 1 ÅM 2 , với M1, M2 là các (1-C 1 )-môđun Khi đó M là (1-C 1 )-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều K của M là hạng tử trực tiếp của M, trong đó KÇM 1 = 0 hoặc KÇM 2 = 0

Chứng minh Giả sử M là (1-C 1 )-môđun Khi đó K£ M là môđun con đóng đều thoả mãn KÇM 1 = 0 hoặc KÇM 2 = 0 Rõ ràng K là hạng tử trực tiếp của M

Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng đều K với KÇM 1 = 0hay KÇM 2 = 0 là hạng tử trực tiếp của M Ta chứng minh M là (1-C 1 )-môđun

Giả sử L là môđun con đóng đều của M khi đó tồn tại phần bù H trong L sao cho L MÇ 2 £ e H, ta có H đóng đều trong M Theo giả thiết thì

HÇM = nên M= HÅH' với H’ là môđun con nào đó của M

Theo luật Mođunlar ta có L= HÅ( L H ')Ç Hơn nữa, LÇH ' đóng trong L,

L đóng trong M nên LÇH ' đóng trong M

Vì vậy theo giả thiết ( L H ') MÇ Ç 2 = 0, do đó LÇH là hạng tử trực tiếp của H’, nghĩa là H '= ( L H )Ç ÅX với X là môđun con của H’ Mà

M = HÅH'suy ra M = HÅ( L H')Ç Å = ÅX L M hay L là hạng tử trực tiếp của M

2.1.10 Bổ đề Cho M 1 , M 2 là các môđun và M = M 1 ÅM 2 Khi đó M2 là M 1 - nội xạ khi và chỉ khi mọi môđun con N của M sao cho N ÇM 2 = 0 tồn tại môđun con M’ của M sao cho M = M 2 ÅM ' và N£ M '

Giả sử mọi môđun con N của M với N ∩ M2 = 0 đều tồn tại môđun M’ của M sao cho M = M2 ⊕ M' và N ⊆ M' Cho L ⊆ M1 và g: L → M2 là đồng cấu Đặt H = { x - g(x) | x ∈ L } Khi đó, H là môđun con của M và H ∩ M2 = 0 Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho

M = M 2 ÅH ' và H£ H ' Giả sử p: M ® M 2 là phép chiếu chính tắc (đối với tổng trực tiếp M = M 2 ÅH ') Khi đó 1 2

: M M p M g= ® và với bất kỳ xẻ L ta cú ( x )g = p( x- g( x )+ g( x ))= p( x- g( x ))+ pg( x )= pg( x )= g( x )

Vậy g là mở rộng của g trên M1 Do đó M2 là M 1 - nội xạ

Nếu M2 là M1 - nội xạ, thì p:MđM1 được gọi là phép chiếu tự nhiên Xét biểu đồ giao hoán với a = p1N và b = p2N Do M2 là M1 - nội xạ, tồn tại đồng cấu j: M1 → M sao cho 2ja = b Đặt M' = {x + j(x) | x ∈ M1} Ta có M' + M2 = {x | x ∈ M2 ∪ x ∈ M1} = M1 + M2.

Hơn nữa, với bất kỳ 0ạ xẻ M suy ra x 2 ẽ M ' nờn M ' Mầ 2 = 0 Như vậy ta cú

M = M 2 ÅM ' Ta lại cú " ẻy N thỡ y=0 hoặc yẽ M 2 nờn yẻ M ' suy ra rằng N£ M ' □

2.1.11 Bổ đề Cho R là một vành và M là một R-môđun sao cho

M = M ÅM Å ÅM là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun M i (i = 1, n), trong đó {M i (i = 1, n)} là tập hợp các môđun nội xạ lẫn nhau M được gọi là (1-C 1)-môđun nếu và chỉ nếu tất cả các môđun M i (i = 1, n) đều là (1-C 1)-môđun.

Chứng minh (ị ) Điều kiện cần theo Hệ quả 2 1 6, ta thấy M là (1-C 1 )- môđun thì M i là (1-C 1 )-môđun, i= 1, n

(ĩ) Giả sử M i là cỏc (1-C 1 )-mụđun nội xạ lẫn nhau với mỗi i= 1, n Ta sẽ chứng minh M là (1-C 1 )-môđun bằng quy nạp theo n a

Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n=2 Giả sử M = M 1 ÅM 2 Gọi

K là môđun con đều đóng trong M Vì M1, M2 là các hạng tử trực tiếp của M nên KÇM 1 = 0 hoặc KÇM 2 = 0 Không mất tính tổng quát, giả sử

Khi M2 là M1-nội xạ, theo Bổ đề 2.1.10, tồn tại môđun con L của M sao cho M = ÅL M2 và K £ L Đặt p: M1 Å M2 là phép chiếu tự nhiên, với phần tử x thuộc L, tồn tại x1 thuộc M1 và x2 thuộc M2 sao cho x = x1 + x2 Khi đó, ta có p(x) = p(x1 + x2) = x1 Nếu p(x) = 0 thì x = 0 + x2, và vì L M2 = 0 nên x = x2 = 0, do đó ker(pL) = 0 Như vậy, pL là một đơn cấu.

Bõy giờ xột phần tử x 1 ẻ M 1 Vỡ M = ÅL M 2 nờn tồn tại x 2 'ẻ M x 2 , 'ẻ L sao cho x 1 ' = x ' + x suy ra x 2 ' ' = x 1 ' - x 2 ' Khi đó p( ')x = p(x 1 ' - x 2 ) = x 1 ' hay pL là một toàn cấu

Vì vậy pL là một đẳng cấu hay L@M 1

Gọi K'£ M 1 và K@K' Vì K là môđun đóng đều trong M nên K đóng đều trong L suy ra K’ đóng đều trong M 1

Do M1 là (1-C 1 )-môđun nên K'£ Å M 1 , nghĩa là M 1 = K' U 'Å Gọi U là môđun con của L mà U@U ' Ta sẽ chứng minh rằng L= KÅ U

Thật vậy, bất kỳ phần tử x Uẻ ầ ÊK L Khi đú vỡ pL là một đẳng cấu nờn

Lấy phần tử bất kỳ xẻ L suy ra pL ( ) x = x '

M 1 ẻ Khi đú cú x 1 'ẻ K', x 2 ẻ U ' sao cho p L ( )x = x'= x 1 '+ x 2 ' = p L ( )x 1 + p L ( )x 2 = p L (x 1 + x 2 ) hay x= x 1 + x 2

M = ÅL M 2 =KÅ ÅU M hay K 2 £Å M 1 hay M là (1-C 1 )-môđun □ 2.1.12

Bổ đề Giả sử K là hạng tử trực tiếp của M Khi đó K là phần bù giao của môđun con N trong M khi và chỉ khi KÇ =N 0 và KÅ £N eM

Chứng minh Giả sử K là hạng tử trực tiếp của M và K là phần bù giao của môđun con N trong M Khi đóKÇ = và theo N 0 Bổ đề 2 1 11, ta có

Ngược lại, Giả sử N, K là các môđun con của M và K là hạng tử trực tiếp của

M sao cho KÇ =N 0 và KÅ £N e M Khi đó tồn tại môđun con K’ của M sao cho M= KÅK'

Giả sử tồn tại môđun con K1 của M sao cho K£ K 1 và K 1 Ç =N 0 Khi đó

Giả sử cú 0ạ yẻ K 1 ầK' Trước hết 0ạ yr= +n k,trong đú 0ạ yr- k nẻ K 1 ầN Bởi vậy, yr= k ẻ KầK '= 0

Mâu thuẫn này chứng tỏ K 1 ÇK'= 0 và K= K 1 □

2.1.13 Mệnh đề Giả sử R là một vành và M là một R-môđun sao cho

M = M ÅM Å ÅM là tổng trực tiếp của các môđun M i và sự phân tích này là bự hạng tử trực tiếp Giả sử với mọi 1Ê ại jÊ n, mọi đơn cấu là một đẳng cấu Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương: i) M là (1-C 1 )-môđun; ii) M = M i ÅM j là (1-C 1 )-môđun.

Chứng minh i) ị ii) hiển nhiờn theo Hệ quả 2 1 6 ii) ị i) Giả sử mọi mụđun A= M i ÅM j là (1-C 1 )-mụđun với mọi

1Ê ại jÊ n Gọi KÊ M i ( K là mụđun đều ) và f K: đ M j là một đồng cấu Đặt U= { x- f x x ( ) : ẻ K }Ê M i ÅM j thỡ U@K ( Do phộp chiếu tự nhiờn p :M i ÅM j ® M c i ó ( )p U = K) là một môđun con đều của A

$ ẻ = - = + ẻ M j ầ =0 Do đú y=0 và do K đó UÇM j = 0 Bởi vì A là (1-C 1 )-môđun nên tồn tại môđun con

U '£Å A saocho U£ e U ' Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều nên chúng ta có: A= U'ÅM i hoặc A=U'ÅM j

Trường hợp 1 A= U'ÅM i Gọi p i : U 'ÅM i ® M i là phép chiếu tự nhiên

1 i M j = p Khi đó vì U£ e U ' nên U’ đóng đều trong A và khi đó

U ÇM = suy ra j là đơn cấu, từ giả thiết ta có j là đẳng cấu suy ra

1 j M a = p , trong đó p j :U 'ÅM j ® M j là phép chiếu chớnh tắc Khi đú với mọi xẻ K x, = -x f x( )+ f x( ), trong đú

= p + j ( ( ) j x f x M p - = f x( ), có nghĩa a là một mở rộng của f hay M j là M i - nội xạ

Trường hợp 2 A= U'ÅM j Gọi p j :U 'ÅM j ® M j là phép chiếu tự nhiên

1 j M b= p Khi đú với mọi xẻ M x i , = -x f x( )+ f x( ), trong đú ( ) j à ( ) '. f x ẻ M v x- f x ẻ U Từ đú ta cú b( )x = b(x- f x( )+ f x( ))= f x( ), cú nghĩa là b là một mở rộng của f hay M i là M j - nội xạ

Như vậy, các môđun M i (1£ £i n) là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề 2 1 11 ta có M là (1-C 1 )-môđun □

Môđun p-mở rộng

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Khi đó M được gọi là môđun p- mở rộng (principal extending module) nếu mỗi môđun con xyclic của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M Hay nói cách khác, M được gọi là môđun p-mở rộng nếu mỗi môđun con EC- đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M

2.2.2 Bổ đề Với mỗi môđun M không phân tích được, các khẳng định sau là tương đương: i) M là môđun mở rộng ; ii) M là môđun p-mở rộng ; iii) M là môđun đều

2.2.3 Bổ đề Một môđun M trên vành Noether phải là môđun mở rộng nếu và chỉ nếu M là môđun p-mở rộng

Chứng minh Giả sử M là môđun mở rộng và cReC với C là EC-đóng môđun con của M Vì R là vành Noether nên C có số chiều đều hữu hạn

Theo giả thiết, M là mở rộng Khi đó theo mệnh đề (4) trong [7] thì M là n- mở rộng Do đó C là hạng tử trực tiếp và M là p-mở rộng

Chiều ngược lại là hiển nhiên

2.2.4 Hệ quả Cho M là một môđun với số chiều đều hữu hạn

Khi đó các mệnh đề sau là tương đương : i) M là một môđun mở rộng ; ii) M là một môđun P-mở rộng

2.2.5 Hệ quả Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun con EC-đóng của M là

2.2.6 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 , với mỗi C là EC-đóng của môđun con của M sao cho C M 1 là một EC-môđun con của M Khi đó M là p-mở rộng nếu và chỉ nếu C là EC-đóng của môđun con của M sao cho C M 1 =0 hoặc

C M =0, là một hạng tử trực tiếp của M

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ

Thật vậy, giả sử cR e C với C là EC-đóng môđun con của M

Nếu C M 1 =0, theo giả thiết suy ra C là một hạng tử trực tiếp của M

Nếu C M 1  0, thì C M 1 là một EC-môđun con của M Giả sử C1 là một mở rộng cốt yếu lớn nhất của C M 1 trong C, do đó C1 cũng là một EC-môđun con của M với C M 2 = 0 Theo giả thiết, C1 là một hạng tử trực tiếp của M, nên ta có M = C1 ⊕ C2.

Theo luật mođunlar, ta có C C 1 (C C 2 ) Theo Hệ quả 2 1 5, suy ra

C C là môđun con của M với điều kiện (C C 2 )M 1 = 0, cho thấy rằng C C 2 là một hạng tử trực tiếp của M Do đó, C cũng là một hạng tử trực tiếp của M, điều này chứng tỏ rằng M là một môđun p-mở rộng.

2.2.7 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 , ở đây M 1 là một môđun với số chiều đều hữu hạn Khi đó M là một môđun p-mở rộng nếu và chỉ nếu mỗi EC-đóng môđun con C của M , với C M 1 =0 hoặc C có số chiều đều hữu hạn, là một hạng tử trực tiếp của M

Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử mReC với C là môđun con EC-đóng của M Nếu C M 1 =0, theo giả thiết, ta có thể kết luận rằng C là một hạng tử trực tiếp của M Ngược lại, giả sử 0  c C M 1.

C1 là một mở rộng quan trọng nhất của cR trong C, với số chiều hữu hạn, do đó M1 = C1 Theo giả thiết, C1 là một hạng tử trực tiếp của M, dẫn đến M = C1 ⊕ K Từ đó, ta có C = C1 ⊕ C*, trong đó C* = ∩K C là đóng trong M Giả sử m = c1 + c*, với c1 ∈ C1 và c* ∈ C*.

Vì C * là hạng tử trực tiếp của EC-đóng môđun con C nên theo Hệ quả 2 1 5 thì C * là EC-đóng

Nếu C * M 1 =0, theo giả thiết suy ra C * là một hạng tử trực tiếp và do đó C là một hạng tử trực tiếp của M

Mặt khác, nếu C * M 1 0 thì lặp lại các bước chứng minh như trên ta có

C C C , ở đây C2 là một hạng tử trực tiếp và C 2 M 1 0

Tiếp tục theo trình tự trên, chúng ta sẽ dừng lại ở hữu hạn bước ( do bởi

M1 có số chiều hữu hạn và cuối cùng ta có C = C1 ⊕ C2 ⊕ ⊕ Cn, trong đó Ci là một hạng tử trực tiếp của M (i=1,2,…,n-1) và Cn chứa một môđun con cốt yếu xyclic với Cn ∩ M1 = 0 Do đó, Cn là hạng tử trực tiếp của M.

M suy ra C là hạng tử trực tiếp của M, hay M là môđun p-mở rộng

2.2.8 Hệ quả Cho M M 1 M 2 , ở đây M 1 là một môđun với số chiều đều hữu hạn Khi đó M là một môđun p-mở rộng nếu và chỉ nếu mỗi EC-đóng môđun con C của M sao cho C M 1 =0 hoặc C M 2 =0, là một hạng tử trực tiếp của M

2.2.9 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Khi đó M gọi là môđun fp-mở rộng nếu mỗi môđun con EC-đóng của M có số chiều đều hữu hạn là hạng tử trực tiếp của M

2.2.10 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 , khi đó M là môđun fp-mở rộng nếu và chỉ nếu mỗi EC-đóng môđun con C của M với số chiều đều hữu hạn sao cho

C M =0 hoặc C M 2 =0, là một hạng tử trực tiếp của M

2.2.11 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 với M 1 là môđun nửa đơn Khi đó M là môđun p-mở rộng nếu và chỉ nếu mỗi EC-đóng môđun con C của M sao cho

C M =0, là một hạng tử trực tiếp của M

Để chứng minh, chúng ta cần xem xét điều kiện cần và đủ Giả sử C là một môđun con EC-đóng của M Nếu giao điểm của C và M là rỗng (C M ∩ 1 = 0), thì theo giả thiết, C sẽ trở thành một hạng tử trực tiếp của M.

Ngược lại, nếu C M 1 0.Vì M1 là môđun nửa đơn, suy ra C M 1  M 1 vì thế C C M  1 C * , ở đây C * là EC-đóng môđun con của M và

C M nên C * là một hạng tử trực tiếp của M , suy ra C là hạng tử trực tiếp của M □

2.2.12 Định nghĩa Cho M M 1 M 2 là R-môđun Khi đó

M2 được gọi là M 1 -EC-nội xạ nếu mỗi EC- đóng môđun con N của M1 và mỗi đồng cấu từ N đến M2 có thể mở rộng tới đồng cấu từ M1 tới M2

Hay nói cách khác, M2 được gọi là M 1 -EC-nội xạ nếu mỗi EC- đóng môđun con N của M sao cho N M 2 0 thì tồn tại N ’ M sao cho

2.2.13 Bổ đề Giả sử M M 1 M 2 và M 2 là M 1 -EC-nội xạ, khi đó :

1) M 2 là K-EC-nội xạ, với mọi K M 1 ;

2) H là M 1 -EC-nội xạ, với mọi H  M 2 ;

3) H là K-EC-nội xạ, với mọi K  M 1 và H   M 2

Chứng minh 1) Giả sử K là môđun con của M1 và N là EC- đóng môđun con của K M 2 với N M 2 0 Khi đó N là EC- đóng môđun con của M Vì

M 2 là M 1 -EC-nội xạ , khi đó tồn tại N ’ M sao cho NN và M=N' 'M 2, suy ra K M 2 (K M 2 )(N'M 2 )(N'(K M 2 ))M 2 và N N' (K M 2 ).Do đó M 2 là K-EC-nội xạ, với mọi K M 1

2) Giả sử H là hạng tử trực tiếp của M2 và N là một EC-đóng môđun con của M 1 H với N H 0 Khi đó N là EC-đóng môđun con của M, và

N M Vì M 2 là M 1 -EC-nội xạ nên tồn tại

N ’ M sao cho NN và M=N' 'M 2 Vì H   M 2 nên M 2  H H',

Từ đó suy ra H là M 1 -EC-nội xạ, với mọi H   M 2

2.2.14 Mệnh đề Cho M M 1 M 2 ,với M là môđun p-mở rộng và M 2 là M 1 -EC-nội xạ Khi đó ta có M C M  1 'M 2 ,ở đây M 1 ' M 1 , với mọi môđun con đóng C của M thỏa C M 2 0.

Chứng minh Giả sử cReC với C là EC-đóng môđun con của M thỏa

C M Đặt X M 1 (C M 2 ), khi đó c R 1 e X, với c c c c M c  1 2 , 1  1 , 2 M 2 Giả sử N 1 là mở rộng cốt yếu lớn nhất của X trong M 1 , khi đó N 1 là EC-đóng môđun con của M 1

Vì M 1 là P-mở rộng nên N 1  M 1 Khi đó M 1 N 1 M 1 ' với M 1 'M 1 Suy ra C M 2  X M 2  e N 1 M 2 , nghĩa là C N 1 M 2 và C là phần bù của

Vì M 2 là M 1 -EC-nội xạ và N 1 là hạng tử trực tiếp của M 1 nên theo Bổ đề 2 1

13 thì M2 là N 1 - EC-nội xạ , vì thế tồn tại N'N 1 M 2 sao cho

C M M Do đó N ’ là phần bù của M2 trong N 1  M 2 Nhưng C là phần bù của M2 trong N 1 M 2 , suy ra N ’ =C và

2.2.15 Hệ quả Giả sử M M 1 M 2 ,với M i là môđun p-mở rộng Khi đó M i là M j –EC-nội xạ (i j 1 2, ) nếu và chỉ nếu với mọi C là EC-đóng môđun con của M thỏa C M j 0, M i 'M i , ta có M=CM i 'M j

 , là R-môđun, M(F) là p-mở rộng và

M(I\F) là M(F)-EC-nội xạ với mọi F là tập con hữu hạn của I Khi đó M là p- mở rộng

Chứng minh Giả sử c M và C là mở rộng cốt yếu lớn nhất của cR trong M

Khi cR M F ( ) và cRM(I\F)=0 với F là tập con hữu hạn của I, ta có cReC n nê CM(I\F)=0 Đồng thời, M(I\F) là M(F)-EC nội xạ và C là EC–đóng môđun con của M, dẫn đến kết luận rằng C là hạng tử trực tiếp của M.